策略转换和学习最优策略

在任何概率框架中，潜在的概率空间自然地规定了基本的观察单位（例如个人、企业、类型等），因此在进行反事实分析时，观察单位必须与事实和反事实状态相同。这一点似乎是中观的，但它将对我们大多数结果的陈述和证明产生重大影响，同时也将解决一些解释上的困难。假设2.1中U是紧空间的限制似乎过于严格；例如，欧几里德空间Rd（d<∞) 通常的拓扑结构不是一个紧凑的空间。我们可以考虑放宽假设2.1，允许U是局部紧的第二可数Hausdorff空间，其中CHRD（具有通常的拓扑）就是一个例子。然而，任何局部紧Hausdorff空间都有一个单点紧空间；也就是说，假设U是局部紧的，并且hausdorff，存在一个紧空间eu和UeU使eU\\U由一个点组成。此外，eU在同胚上是唯一的。相关论点已在Schennach（2014）中提出。从这个角度来看，很难想象一个环境，在这个环境中，决策者应该有很强的先验理由，使用局部紧凑的Hausdorff空间U和它的一点紧凑空间U对不可观测的事物进行建模，尽管这是在实践中实现的。另一方面，从理论上讲，将U看作紧致（或某些局部紧致Hausdorff空间的一点紧致）的好处很多。我们将强调这些好处。见Munkres（2014）定理29.1。回想一下，同胚是一个具有连续逆的连续可逆函数。注意，我们不要求分布U属于参数类。

这与我们希望避免将U的分布视为模型原语的愿望是一致的。这一观点与以下观点一致：潜在变量代表未建模的基础经济系统的组成部分，这主要是因为决策者不知道决定U的过程，因此无法构建受调查经济系统的完整数学描述。鉴于潜在变量在决定反事实结果中所起的作用，这种解释变得特别有意义。相反，正如我们将看到的，U的分布可以隐式地受到模型的其余原语的约束。最后我们注意到，用Borelσ来装备参数空间-代数B（Θ）可能看起来很奇怪。然而，要在我们的框架内做出政策决定，需要在以后介绍某些功能的可测量性。所需可测量性的原始条件将利用测量空间（Θ，B（Θ））。我们在整篇文章中回到了类似的观点，并请读者参阅附录B.2.1，以了解我们关于可测量性的结果。现在我们将总结对事实域和反事实域的限制，从非事实域开始。假设2.2（事实领域）。事实域由随机向量Y表示：(Ohm, （A）→（Y，B（Y））和Z：(Ohm, （A）→ （Z，B（Z）），其中Y和Z是波兰空间。存在一个（可能是多值的）映射G-: Y×Z×Θ→ U是封闭的，效果是可测量的，并且满足：PU∈ G-（Y，Z，θ）|Y=Y，Z=Z= 1，（2.1）（y，z）-a、 对于一些θ∈ Θ. 此外，EPU | Y，Z×PY，Z[mj（Y，Z，U，θ）]≤ 0，j=1，J、 （2.2）对于一些可测函数mj:Y×Z×U×Θ→ R、 对于j=1。

，J，每个θ的绝对值有界∈ Θ.假设的第一部分指出，未观测到的随机向量是从随机集G中选择的-（Y，Z，θ）（选择的定义见附录A）。注意，假设只需要G-（·，θ）在θ=θ时允许选择。因此，假设的第一部分可以解释为不可观测向量的支持限制，条件是观测数据。这些限制来自决策者的计量经济模型，我们将在前面的例子中看到。我们还注意到，随机集G-包含美国-Chesher和Rosen（2017a）提出的水平集是一个特例，因此我们的框架将适用于他们工作中考虑的广义工具变量（GIV）模型。Chesher和Rosen（2015）附录B中提出的类似论点可以用来表明，以（y，z）A.s.为条件的可选择性的这种表征相当于对（y，z，U）的联合分布使用类似的可选择性标准。稍后，当我们引入假设2.3时，类似的观点也将适用。在假设的第二部分中，我们假设事实域满足（2.2）中的矩不等式，这取决于未观测到的随机变量U。这与广义矩法（GMM）中的矩条件以及矩不等式的典型定义不同（c.f.Chernozhukov等人（2007））。这使得我们的论文在狭义文献中以部分识别的形式出现，从而允许时刻依赖于可能未知分布的未观测随机变量（c.f.Ekeland et al.（2010）、Schennach（2014）、Torgovitsky（2019）和Li（2019））。矩函数的边界假设似乎是有限制的。

这个假设可以用较弱的假设来代替，即矩函数对于概率测度集PU | Y，Z×PY，Z一致可积，Z满足假设2.2的其他部分。然而，不管它是如何被削弱的，我们认为矩函数的有界性仍然是最原始的假设。最后，力矩函数的数量有限这一事实也可能具有限制性；例如，当条件变量是连续的时，这禁止使用条件矩不等式。第3节中的识别结果可以在适当修改假设的情况下进行扩展，以处理有限数量的矩不等式。然而，第4节和第5节中关于政策决策的结果并非如此，它们更关键地依赖于时刻条件的数量是有限的这一事实。我们还注意到，G的可测量性-每个矩函数Mj相对于B（Y）的Borel可测性 B（Z）B（Θ）（而不仅仅是关于B（Y） B（Z））之后将被要求确保某些关键类函数的可测量性。与事实域类似，我们必须指定对反事实域的限制，在指定反事实域时，我们必须指定决策者正在考虑哪些反事实。我们通过抽象参数γ对各种反事实进行索引，其中γ的固定值代表单个反事实，不同的γ值对应不同的反事实。对贯穿始终的参数γ的解释是，它是决策者控制下的政策工具的抽象。参数γ将在本文后面介绍的政策决策过程中发挥重要作用。假设2.3（Γ-反事实域）。

Γ-反事实域由随机过程{Y？（ω，γ）：γ表示∈ Γ}其中（Γ，B（Γ））是一个可测空间，Γ是一个抛光空间，在哪里？γ：=Y？（·，γ）是这样的吗？：(Ohm ×Γ，A B（Γ）→ （Y？、B（Y？）是可测量的吗？抛光空间。此外，存在一个（可能是多值）映射G？：Y×Z×U×Θ×Γ→ Y这是封闭的、可测量的，并且令人满意：PYγ∈ G（Y，Z，U，θ，γ）|Y=Y，Z=Z，U=U= 1，（2.3）（y，z，u）-a、 对于相同的θ∈ Θ根据假设2.2，对于所有γ∈ Γ .与现有文献相比，假设2.3似乎是新的。它限制了副手的设置，例如Ekeland et al.（2010）和Li（2019）中给出的替代假设。图2：上面显示的是假设2.1、2.2和2.3所暗示的设置说明。特别要注意的是，假设所有随机变量定义在同一概率空间上。此外，注意箭头的方向，从事实域Y×Z到潜在U，再到反事实域Y？，旨在说明事实领域的信息通知反事实领域的过程。本文中考虑的事实是那些可以写成支持修正的事实，比如对模型中随机变量的限制。我们认为，这一假设能够适应经济学中最感兴趣的计算事实，尽管它排除了，例如，考虑改变潜在变量分布的反事实。在这个假设下，我们有Y？γ：=Y？（·，γ）是集值过程G的选择过程吗？（Y，Z，U，θ，γ），其中G？要求对产品σ的影响是可测量的-代数同样，关于Θ和Γ的可测量性要求可能看起来很奇怪，但当我们考虑政策选择问题时，第4节和第5节将要求这样做。

注意，与假设2.1中的注释一致——假设2.2和2中的概率空间。假设3是相同的。备注2.1（“无回溯”原则）。从纯数学的角度来看，假设2.2中的矩函数不能也是Y？γ和/或γ∈ Γ. 然而，出于解释的原因，我们省略了这个扩展，并提醒对这种方法感兴趣的研究人员。特别是，如果研究人员在制定此类矩函数时不够明智，那么就有可能存在反事实γ的环境∈ 感兴趣的Γ对结构参数θ具有“识别能力”∈ Θ. 这种环境非常令人费解，因为直觉上，在这些情况下，反事实域是γ∈ 考虑中的Γ包含有关结构参数θ值的“信息”∈ Θ存在于事实领域。避免这种困难的环境将被称为满足“无回溯原则”我们将在同步离散choicemodels的示例中的某个时刻回到这个想法。假设2.1、2.2和2.3所暗示的设置如图2所示。在本文的剩余部分，我们让Vγ：=（Y？γ，Y，Z，U）表示一个随机向量，其实现为V∈ 五、 其中V是乘积为σ的productspace-代数这一原则是为了纪念哲学家戴维·刘易斯（David Lewis）而命名的，他在刘易斯（1979）中反对类似的“反向追踪反事实”。2.2示例我们现在将通过两个示例来帮助说明刚才介绍的假设的性质。这些例子将在正文的其余部分重新讨论。这些例子的介绍很长，读者可以跳过第2.3小节而不失去连续性。我们考虑的第一个例子是同时离散选择模型。

同时离散选择模型有着广泛的应用，包括经验进入博弈（如Tamer（2003））和具有社会互动的离散选择模型（如Brock和Durlauf（2001））。从Chesher和Rosen（2020）的工作中已经知道，这个例子属于Chesher和Rosen（2017a）考虑的GIV模型类别。对于熟悉这些作品的读者来说，该模型将成为一个自然的比较点。第二个例子是一个项目评估例子，它与Eckman和Vytlacil（2005）中的环境密切相关。该示例显示了一个模型，其中结构参数是点识别的，但感兴趣的反事实对象是部分识别的。示例1（同时离散选择）。考虑一个同时离散选择问题。特别地，假设二进制结果向量Y:=（Y，…，YK）具有泛型元素YK∈ Y由方程确定：Yk={πk（Zk，Y-Kθ) ≥ 英国}。（2.4）这里ZK是协变量的向量，UK是未观测到的随机变量，θ是模型参数的向量。我们将定义向量Z:=（Z，…，ZK）和U:=（U，…，UK），其中每个变量Zkhas支持Z={Z，…，zL}，欧氏空间的有限子集，每个Ukhas支持U=[-1，1]杜。对于eachk，我们假设πkis是（Zk，Y）的已知可测函数-k、 θ），映射到[-1，1]在参数θ中是线性的，并且每个（z，y）都有一个远离零的梯度（相对于θ）-k） 。我们还假设θ=（θ，…，θK），并且每个πkd仅在子向量θK上结束。为了简单起见，我们假设参数空间Θ是Rdθ的一个紧子集，并且U是连续分布的。为了避免使用半参数限制，我们还将假设向量ui的每个坐标（i）中值为零，且（ii）中值独立于（Zk，Y）-k） 。

最后，我们假设所有随机变量都支持在同一概率空间上(Ohm, A、 P）。这些条件下假设2.1的验证见附录C.1.1。对于事实领域，我们有以下几个方面：-（Y，Z，θ）：=cl{u∈ U:Yk={πk（Zk，Y）-Kθ) ≥ k=1，K.}。（2.5）在我们的设置中，这是因为假设仪器具有有限的支持。注意，我们可以定义U:=Rdu，但是：{πk（Zk，Y-Kθ) ≥ Uk}={πk（Zk，Y）-Kθ) ≥~Uk}，其中~πk（Zk，Y）-Kθ） =tanh（πk（Zk，Y）-Kθ） ）和<<Uk=tanh（英国）。换句话说，U:=Rduis的情况与U:=Rduis的情况同胚[-1，1]杜。注：采取封闭措施以确保G-（·，θ）是每个θ的闭集。然而，这并没有引入额外的结构，只是一种技术简化，因为-上文定义的（·，θ）几乎肯定等于（2.5）的右侧，而不进行闭包，这是因为假设U是连续分布的。为了完成对事实域的描述，我们将向量U的每个坐标的中值零和中值独立假设作为力矩条件序列。特别是，对于k=1，K、 我们将施加当前条件：E[（{Uk≥ 0}-{英国≤ 0}）{Zk=z，Y-k=y-k} ]≤ 0, Z∈ Z、 y-K∈ YK-1，（2.6）E[（{Uk≤ 0}-{英国≥ 0}）{Zk=z，Y-k=y-k} ]≤ 0, Z∈ Z、 y-K∈ YK-1.（2.7）综合起来，（2.6）和（2.7）意味着潜在变量Uk都是中位数零，中位数独立于协变量Zk和结果Y-k、 附录C.1.1中提供了假设2.2的验证，包括多功能（2.5）的可测量性。关于反事实领域，有许多可能的反事实可能会引起人们的兴趣。为了便于说明，我们将考虑以下形式的反事实。

设γk:Z×YK-1.→Z×YK-1，γ=（γk）Kk=1，和Y？γ：=（Y？1，γ，…，Y？K，γ），典型元素为Y？k、 γ={πk（γ（Zk，Y？-k、 γ）；θ) ≥ 英国}。（2.8）例如，我们的兴趣可能是反事实随机变量Y的性质？k、 γ，例如它的平均值或它的条件平均值。反事实域的多功能性由以下公式给出：G？（Z，U，θ，γ）：=Y∈ Y:Y？k={πkγ（Zk，y？-k） )；θ≥ k=1，K. （2.9）注意这里我们用Y=Y.附录C.1.1中提供了假设2.3的验证，包括（2.9）中多功能的可测量性。例2（项目评估）。考虑一下项目评估的问题。在本例中，二进制变量D∈ {0,1}表示参与某个项目的治疗或对照组，观察到的实值结果由以下公式给出：Y=U（1-D） +UD，（2.10），其中UAR和UAR存在从未共同观察到的潜在结果。我们会一直假设∈ U=[Y，Y]，因此我们也假设结果Y取有界区间Y的值：=[Y，Y]。在没有确定D值的选择方程的情况下，潜在结果模型是不完整的。Russell（2019）考虑了这个案例，本文的框架也适用于这个案例。或者，我们将考虑Heckman和Vytlacil（1999）以及Heckman更流行的方法，并注意到这种限制意味着对向量（U，…，UK）的联合分布的限制。或者，我们可以只对UKZK施加中间独立性，这只限制了英国的边际分布。Vytlacil（2005），并将假设治疗由以下等式确定：D={g（Z）≥ U} ，（2.11），其中U是连续的，g（·）是可观测协变量Z的未知可测函数∈ ZRdz，其中dz是向量Z的维数。

我们假设Z是有限的，并且考虑到向量Z可以分解为Z=（X，Z）和（i）U的情况⊥⊥ Z | X（条件独立）和（ii）E[Ud | Z]=E[Ud | X]表示d∈ {0,1}（平均独立性）。因此，我们将Z分解为Z=Z×X，其中Z是对Zand X的支持，X是对X的支持。在这些假设下，U在[0,1]上以Z为条件均匀分布是不失普遍性的。如Vytlacil（2002）所示，这些假设与（2.11）中选择方程的加性可分性相结合，相当于估算Imbens和Angrist（1994）的当地平均治疗效果（后期）所需的假设。这将这个模型与大量的实证工作联系起来，这些实证工作的重点是获得最近的估计。将参数空间设置为Θ=G×T。这里，G可以取为Z上所有正可测函数的空间，这是一个具有sup范数的度量空间（例如）；在Z的精确性下，这个空间是波兰的。此外，我们将参数空间的T分量作为Z上所有可能可测函数的空间。参数空间的这一分量将用于下面的矩函数。最后，我们将表示一个泛型对（g，t）∈ Θasθ。我们将（U，U，U）的支持表示为U:=[Y，Y]×0，1]。我们还假设向量（Y，D，Z，U，U，U，U）中的随机变量都支持在相同的概率空间上(Ohm, A、 P）。在这些条件下，假设2.1在附录C.2.1中得到验证。对于事实域，我们有多功能：G-（Y，D，Z，θ）：=cl（U，U，U）∈ U:Y=U（1-D） +UD，D={g（Z）≥ U} 。. （2.12）注意，关闭是为了确保-（·，θ）是每个θ的闭集。