策略转换和学习最优策略

（5.17）现在注意，如果δ**= T] （1）-1/a）+ε对于任何ε>0，则T（δ）≤ (1 -1/a）·每个δ的δ≥ δ**. 此外，通过构造δ的值**将接近最小的可能值，这是正确的。现在，用σ=E确定γ*(γ) ≥ δ**. 那么很明显：T（σ）≤1.-A.E*（γ） ，（5.18）将这个结果与（5.16）和（5.17）相结合，我们得到了满足E*(γ) ≥ δ**我们有：E*(γ) ≤ aEn（γ），（5.19）En（γ）≤ 是*(γ). （5.20）引理5.1证明的其余部分致力于证明以下不等式成立，从技术上讲，（5.15）对Ph`b（·θ，γ，λ）和Ph`b（·θ，γ，λ）的依赖性是通过非对称不等式（c.f.Van Der Vaart and Wellner（1996）引理2.3.1）和Hoe-ffing型浓度不等式消除的，这正好导致上界T（δ），它以很高的概率成立。任何γ∈ Γ关于事件En:E*(γ) ≤ a（En（γ）∨ δ**) , （5.21）En（γ）≤ b（E）*(γ) ∨ δ**) , （5.22）在建立了这些不等式之后，可以直接认为Gn（δ/a） G*(δ)  当δ≥ aδ**. 直观地，定理5.2的证明证明了H`b（δ），T（·）（及其[- 和]-变换）和δ**引理5.1中定义的可替换为其可行版本Hn、`b（δ）、Tn（·和[- 和]-变换）和δ*定义见定理5.2。定理5.2建议采用以下程序来近似δ-水平仪。决策者首先计算En（γ）作为γ的函数（例如，通过在Γ上建立网格）。政策制定者有时重视∈ (1, ∞) 并构造了一个序列{δj}∞j=0随（1）减小到零- 1/a）δ>2H。一般来说，如果序列{δj}∞j=0具有较小的初始增量。然后policymaker计算δ*> T] n（1）-1/a）。这是通过以下程序完成的：（i）决策者接受NI.i.d。

Rademacher随机变量ξ的绘制。（ii）在jthstep（从第0步开始），决策者使用En（γ）计算Rademacher复杂度| | | Rn | |（Hn，`b（bδj））和公式（5.2）。（iii）决策者使用En（γ）来计算Hn的统一上界Hn（δj），`b（δj）（或者她可以简化2H）。（iv）决策者确定是否存在任何价值δ∈ （δj+1，δj]使得Tn（δj）/δ≥ 1.-1/a.o如果是，决策者停止并设置δ*= δ+η，其中η>0和δ∈ （δj+1，δj]等于满足Tn（δj）/δ的任何值≤ 1.-1/a.o如果不是，决策者重复迭代j+1的步骤（i）和（ii）。图4中提供了该步骤的说明。根据定理5.2，决策者就知道了≥ δ*, δ-最小集G（δ）将包含在样本模拟δ中-最小集Gn（bδ），并将包含样本模拟δ-概率至少为κ的极小集Gn（δ/a）。请注意，此过程中的计算瓶颈来自重复计算Rademacher复杂度。除了本身有趣之外，定理5.2还揭示了前一小节的结果。特别地，定理5.2和引理B.9的证明导致以下结果，这是定理5.2的推论。请注意，第一个不平等是微不足道的，因为当E*(γ) ≥ δ**, 如果E*(γ) ≤ δ**, 然后是E*(γ) ≤ aδ**,因为a>1。第二个不等式是非平凡的，依赖于附录中引理B.9给出的辅助结果。推论5.1。假设定理5.2的假设成立，让δ*如定理5.2所示。对于任何ε>0的情况，让^γ∈ Γ是eME决策规则选择的政策。

如果δ≥ δ*≥ ε>0，则：infPY，Z∈PY，ZP纽约，Z（E）*(^γ) ≤ δ) ≥ κ.那是^γ∈ G*（δ） 当δ≥ δ*≥ ε > 0.这个结果表明，如果ε≤ δ*那么我们上一小节的eME规则将包含在δ中-水平集G*（δ） 当δ≥ δ*可能性很大。这应该作为使用eME规则的一些额外理由，因为它表明，当*和ε都很小，这是理论5建议的程序。2不会导致决策规则大大优于eME规则。6结论本论文的目的是为界定反事实数量和决策制定一个通用且新颖的框架。我们的框架适用于部分识别和/或不完整的模型。此外，我们不需要潜变量的参数分布假设，我们允许依赖于潜变量的矩条件。我们引入了策略变换，并认为许多反事实量可以写成某些函数的策略变换。然后，我们引入了一个考虑弱优势的偏好关系，并使用一个类似于计算学习理论中的PAC可学习性模型的框架讨论了政策选择问题。我们的理论结果分为事前（即观察样品前）和事后（即观察样品后）适用的结果。对于我们的事前结果，我们引入了“学习”策略空间的概念，并为策略空间的可学习性提供了充分的条件。对于事后结果，我们为特定政策规则的执行提供了理论保证。在本文中，我们还演示了如何将结果应用于同时离散选择示例和程序评估示例。这项工作有许多明显的扩展，可能会很有趣。

本文特别关注理论发展，其中的例子主要用于教学目的。需要进一步开发示例和实证应用，以清楚地说明和充分调查该方法在实践中的优缺点。此外，本文基本上没有提到实现，在某些环境下，实现可能会很复杂。显然，需要进一步开发有效的算法来实现这些程序。最后，PAC可学习性与频繁决策理论文献之间的关系需要进一步调查和澄清。我们相信所有这些扩展都是未来研究的富有成效的途径。参考Saliprantis，C.D.和Border，K.C.（2006）。有限维分析：搭便车指南。斯普林格。北卡罗来纳州阿隆、南卡罗来纳州本·大卫、北卡罗来纳州塞莎·比安奇和豪斯勒（1997年）。尺度敏感维度、一致收敛性和可学习性。ACM杂志（JACM），44（4）：615-631。Andrews，D.W.和Shi，X.（2013）。基于条件矩不等式的推理。《计量经济学》，81（2）：609-666。Andrews，D.W.和Shi，X.（2017）。基于许多条件矩不等式的推理。《经济计量学杂志》，196（2）：275-287。Angluin，D.和Laird，P.（1988年）。从嘈杂的例子中学习。机器学习，2（4）：343-370。Bartlett，P.L.，Boucheron，S.，和Lugosi，G.（2002）。模型选择和误差估计。机器学习，48（1-3）：85-113。Bartlett，P.L.，Bousquet，O.，Mendelson，S.，等人（2005年）。本地rademacher的复杂性。《统计学年鉴》，33（4）：1497-1537。Bartlett，P.L.，Long，P.M.，和Williamson，R.C.（1996）。脂肪粉碎和真实价值函数的可学习性。计算机与系统科学杂志，52（3）：434-452。贝洛尼，A.，布尼，F.A.，和切尔诺朱科夫，V.（2019年）。

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