对中介效应和其他假设进行的几乎相似的测试

因此，如果我们让T=Ohm-1/2^θ和u=Ohm-1/2θ使得Tk=^θk/σθkar表示t比率，uk=θk/σθkar表示非中心参数，我们假设：假设1:t~ N（μ，IK）。这很容易扩展到包括更多的回归/协变量。也可以使用仪器变量，但请注意，X和M出现在两个方程和标准设置中，由于M的实验解释，u和v是独立的。所需的只是估计值和t统计量的渐近正态性。测试问题对K参数{θi}Ki=1的参数（排列）和符号变化（反射）进行重新排序是不变的。排列组，Gsay，hasK！元素和符号更改组Gsay有2个元素（每个元素有两个可能的符号）。这些群体只有共同的身份元素，但在其他方面不重叠。由Gand Gt生成的完整群G=G×G因此有K！2种元素。利用问题的不变性和对称性，将积分域缩小了一个因子K！2K。这一点很重要，因为非优化需要通过数值积分计算概率。对于T的置换，通过以uK为单位的相应符号变化获得的TKI的asign变化后的密度也相应地以uK为单位。因此对于任何元素g∈ 我们有G·T~ N（g·u，IK）或Pgu[gT∈ A] =Pu[T∈ A] 所以分布是不变的；见莱曼和罗马诺（2005年）。定理1假设1，在T和u上的变换群G=G×Gacting下，测试问题H:u···uK=0是不变的。绝对有序统计|T |（1）|T |（K）0<| T |（1）<|T |（2）<…<|T |（K）是最大不变量统计量和绝对序参数|u|(1), ..., |u|（K）与0≤ |u|(1)≤ ··· ≤ |u|（K）是变换群G=G×G下的最大不变参数。

分配|T |（1）|T |（K）只取决于|u|(1), ..., |u|（K）.Wald和LR测试是最大不变量的函数，我们的新测试也是如此。新测试的概率计算和优化需要密度。利用Vaughan和Venables（1972）的方程（6）可以简单地导出任意维的概率密度函数：引理1绝对阶统计量的概率密度函数由f{T |（1），…，|T |（K）}|t |（1）|t |（K）= 烫发χ|t |（1），|u|（1）··· χ|t |（1），|u|（K）......χ|t |（K），|u|（1）··· χ|t |（K），|u|（K）, （6） 用perm（A）表示方阵A的持久性，用χ（x，u）表示一个自由度和非中心参数u>0的非中心分布。一个自由度的非中心Chi分布χ（t，u）等于折叠正态分布，如果t~ N（u，1），那么| T |的密度可以写成f |T |（T，u）=p2/πexp{-（t+u）}cosh（ut），对于t≥ 0.引理1中的替换和简化给出了以下结果，这是后续数值计算的基础：永久性定义为perm（A）=Pσ∈SnQni=1ai，σ（i）与数字1，…，的所有置换σ之和。。。，n、 与行列式相似，但没有排列的±特征。引理2中介假设的有序绝对t统计量的密度为：f{t |（1），|t |（2）}（t，t；u，u）=πexp-（t+t+u+u）/2{cosh（ut）cosh（ut）+cosh（ut）cosh（ut）}≥ T≥ 0和u=θ/σθ，u=θ/σθ。有序平方t统计量也可用作最大不变量。引理1将导致非中心卡方分布的密度。2.1标准（单一）调解测试统计数据的问题实践中使用的标准调解测试统计数据的分布依赖于null下的参数值。

因此，拒识概率并非恒定不变，而且随着功率下降到测试尺寸以下，测试会产生偏差，尤其是在原产地的高硼环境中。我们为经典的Wald和LR测试说明了这个问题。零假设θθ=0定义了一个几乎处处连续可微分的流形，但原点除外，原点是一个所谓的“双点”，其中两个限制θ=0和θ=0，每个限制定义一条一维线，重合。广泛使用的Sobel（1982）检验等于Wald检验的平方根。Glonek（1993）推导了Wald检验统计量的渐近分布：W=TTT+Td→χ：如果θ=0或θ=0，但不是两者都是，χ：如果θ=θ=0。（7） 因此，当θ=0和θ=0时，W的渐近5%临界值为χ（0.95），但跳到χ（0.95），即对于任何其他值，对于单向限制，通常的卡方临界值。从理论到任何其他固定参数的渐近分布的离散跳跃是显著的，并明确表明分布严重依赖于零下的参数值。渐近分布的这种不连续性和对参数的依赖性也使引导过程无效，而且它们的规模过大。对于原点处5%的NRP，临界值应为0.96，但这将导致在空值下对其他值的过度拒绝，测试将过大（尺寸>30%）且无效。人们可以考虑用参数值的漂移序列来研究原点附近瓦尔德统计量的行为，但这并不能解决问题。Drton和Xiao（2016年）以及Drton（2009年）充分证明了在奇点为零的情况下Wald检验的问题行为。在过去的几十年中，还没有找到令人满意的解决方案来挽救瓦尔德统计数据，例如Dufour等人。

(2017).这促使我们进行调查，并提出另一种解决方案。Van Giersbergen（2014）证明，LR测试等于：LR=min{T |，|T |}=|T |（1）、（8），当Hθ：θ=0和Hθ：θ=0被基本T测试拒绝时，LR=min{T |，|T |}=|T |（1）、（8）和拒绝。InMacKinnon等人（2002年）将其称为联合显著性测试，但不等同于LR测试。临界值cv的拒收概率为：P[LR≥ cv]=P[|T |≥ 个人简历∩ |T|≥ cv]=P[|T |≥ cv]·P[|T |≥ cv]，与Tand T无关。这些拒绝概率在θ和θ的绝对值内单调增加。因此，通过让θ选择测试的临界值，可以获得正确的尺寸→ ∞ 当θ=0，或θ→ ∞ 如果θ=0，则保证零位下的拒绝概率始终小于或等于标称尺寸。因此，渐近5%临界值通常为1.96。NRP将取决于θ和θ的值，并在以下两个极端之间变化：P[LR≥ z0。025] =0.05：如果θ→ ∞ ∧ θ=0，或θ→ ∞ ∧ θ=0,0.05=0.0025：如果θ=0∧ θ=0，其中z0。025是标准正态分布的上限2.5%。对于原点处的NRPof 5%（θ，θ）=（0，0），临界值应等于cvLR00=1.217。如果只有一个参数为零，而另一个参数则大得多，这会导致大量的过度拒绝。具有此临界值的测试过大（大小>20%）且无效。第三个经典测试，拉格朗日乘数（LM）或分数测试，问题更大，因为它的定义取决于空值下的参数值，根据哪个θ或两个θ都为零，有三种不同的版本。所有这些经典测试都是两个t统计量的函数。它们的分布，以及它们的NRP，显然取决于空值下的参数值，并且测试不相似。

Hif边界上的测试被称为“相似”。H手边界上所有参数值的拒绝概率均为常数。对于中介，该边界等于Hitself，由（θ，θ）空间的水平轴和垂直轴组成。所有经典测试都不相似，在原点附近，NRP接近于零。因此，原点附近的功率也接近于零，远低于测试的大小，并且测试是有偏差的，因为在备选方案下，存在拒绝概率低于零的参数值。2.2关键区域经典测试统计的行为和构造是有问题的。尽管近几十年来已有相当大的影响，但考虑到经典测试统计数据的工厂调整已被发现，需要采用不同的方法。为了得出一个替代测试程序，我们将重点从测试统计转移到临界区域（CR）。一个临界区域当然定义了一个检验统计量，但选择一类检验，如Wald、LR或LM检验，会限制临界区域的形状。出于同样的原因，测试的重点是提高^θ或（^τ）的标准误差*- MacKinnon等人（2002）分析的^τ）限制了临界区域的可能形状。我们构造了一个新的测试程序，通过在测试构造中使用的t统计量的二维样本空间中确定临界区域的形状，直接构造临界区域。当|T |（1）>g（|T |（2））时，我们考虑以函数g为界的临界区域。我们施加了一些弱正则性条件。特别是我们假设g是从R+（包括0）到R+的c`adl`ag函数。这将允许g进行跳跃，但将跳跃次数限制为可数个。我们还坚持认为g是弱增量。

这确保了当|t |（1）或| t |（2）增加（减少）时，对实现（|t |（1），|t |（2））的拒绝（接受）不会逆转。这种推理也激发了（拓扑）简单连接的CR。用D表示弱递增的c`adl`AGF函数集R+，R+, 与常见的Skorokhod空间表示法一样，但这里的单音性较弱。定义1 A函数g∈ DR+，R+当定义：临界区：CRg=n（T，T）时，称为（临界区的）边界函数∈ R | T |（1）>g（|T |（2））o，接受域：ARg=n（T，T）∈ R | | T |（1）≤ g（|T |（2））o.仅使用T-统计量的合理性取决于效率和不变性。首先，MLE^λ=^τ,^θ, ^σ,^θ, ^σ是一个完全最小的有效统计。由于最小有效统计量和参数空间的维数相等，该模型构成了一个全指数模型；见Van Garderen（1997）。第二，与干扰参数τ、σ和σ无关的零分布。Hillier等人（2021年）表明，在有限样本中，T=（T，T）也是一个最大不变量，在适当的变换组下，它推广了T统计量的尺度不变性。定理1表明，由于置换和反射不变性，只需要考虑T的二维样本空间的1/8，我们在第一个八分之一点（从东到东北）定义临界区域。其他七个八分之一是富洛比对称的。CRgis定义的测试确实对排列、反射和尺度变换保持不变。

因此，g（·）的域可以限制为非负线，并以45为界o行：g（x）≤ x、 我们可以用边界函数g（·）来定义一个类似的测试，而不是说它本身就是手的边界H：定义2 g（·）是一个类似的边界函数，如果g定义的临界区域CRgde的概率在H:P下是常数T∈ CRg|(θ, θ) ∈ rθ=0= 常数Wald（Sobel）和LR定义的边界函数不相似。图2a和2b显示了边界函数，该函数根据Wald和LR测试的（T，T）确定了临界区域。我们给出了两个临界值的边界：一个是，对于大的|θ|或|θ|，NRP渐近为5%。该值通常为Wald测试的3.84，LR测试的1.96。第二个较小的临界值是，当θ=θ=0时，NRP为5%。Wald测试的该值为0.96，LR测试的该值为1.217。对于给定的u=0，射概率显示为非中心参数u=θ/σθ的函数，因此Hholds。对于临界值为1.96的LR试验，当θ=θ=0时，NRP下降至0.0025=0.05。在第二种情况下，具有较小的临界值1。217，当θ=θ=0时，NRP为5%，但这不是有效的测试，因为对于其他值，NRP远高于5%的标称尺寸。构造点最优不变检验时也会出现同样的情况。Wald试验比LR试验更为严重，NRP较低，范围更广，见图2c和2d。经典测试的三位一体显然是不相似的。

问题是我们能否做得更好。是否存在类似的测试，或者这是一个本质上无法解决的问题？下一个理论，以及主要的理论贡献，回答了这个问题。定理2当且仅当1/α是整数（或平凡的α=0）时，存在一个类似的边界函数g（·）来测试H:θ=0。如果存在，则边界在D中是唯一的R+，R+.对于常见的显著水平，包括1%、5%和10%，该定理证明存在完全相似的测试。附录C给出了证明，并利用了问题的对称性和正态分布的完备性。证明是构造性的，表明g函数必须是阶跃函数，并且在弱递增的c`adl`ag函数类中是唯一的。对于α=0.25，精确的相似边界如图3所示-6-4-2 0 2 4 6-6-4-20246（a）CR Wald（Sobel）试验-6-4-20246-6-4-20246（b）CR LR试验。Wald005%-6-4-2046μ→0.050.100.150.200.250.30P[Rej]→（c） NRP瓦尔德（索贝尔）试验。LR005%-6-4-2046μ→0.050.100.150.200.250.30P[Rej]→（d） NRP LR试验。图2:Sobel（Wald）和LR测试的关键区域及其拒绝概率。白色区域是有效5%测试的关键区域。对于原点（α，β）=（0，0）中5%的排斥，将暗区添加到临界区域，从而导致过大的测试。LR测试很差，但Sobel测试更差。CR与Berger（1989）的图2有明显的相似之处。step功能水平启动，定义具有不良特征的CR。特别是，CR将包括所有T，使得0<| T |（2）<Φ-1.+α. 对于α=0.05，当两个t统计量的绝对值均小于0.0627（但非零）（对于α=0.10和0.01，分别小于0.1257和0.0125）时，这对应于拒绝。

这种接近于零的t统计量不能被定性为反对零的有力证据，有利于θ和θ都不为零。尽管如此，该测试尺寸正确，因此LR测试α-不可接受。因此，用帕尔曼和吴（1999）的术语来说，这是一个“皇帝的新测试”，并不能为找到更好的测试提供令人满意的解决方案。这个完全相似的边界的第二个不吸引人的特征是，对于平行于对角线且接近对角线的测试统计值的增加，尽管反对零的证据似乎单调增加，但决定在拒绝和接受之间交替进行。考虑到相似性检验的唯一性，我们放宽了严格的相似性要求，并将0。5 1.0 1.5 2.00.51.01.52.0→ T1T2↑c1c2c3g（t）c1c2c3g-1（t）图3：当第一象限中的α=0.25时，精确相似g-测试的边界。考虑一类与NRP相似的测试，其与α的差异不超过.在这个所谓的-在定义3中给出的类似测试中，我们确定了一个测试，该测试避免了完全类似测试的不良特性，但实现了良好的性能。在这类近似相似的测试中，我们确定了功率包络线，并确定了使功率面和功率包络线之间的距离最小化的测试。因此，从这个意义上说，这个新测试是最佳的。使用表1或附录E中的R代码很容易实现。最佳测试的第一步是构建近似相似测试的新通用方法。3.近似相似测试构造：变化的g-方法构造近似相似测试的一般方法包括三个一般步骤：1。为相关样本空间中的临界区域定义一个灵活的边界g。2.

定义一个标准函数Q（g），该函数惩罚零（以及可能的限制和其他相关方面）下参数值网格中NRP与α级的偏差。系统地改变和确定g，使其最小化标准函数，因此在Q定义的度量中尽可能接近相似性。相关样本空间由手头的特定测试问题确定，并可能已通过效率、不变性或其他原则降低到尺寸k。临界和可接受区域的边界g的尺寸为（k- 1） ，但如果临界区域和/或接受区域不是拓扑意义上的简单连接，则可能由不相交的部分组成。灵活定义g有多种可能性，但我们将使用样条曲线。标准函数可以包括除相似性以外的其他方面，例如g的光滑性和单调性、临界或接受区域的凸性，甚至是备选方案下的拒绝概率。因此，步骤3通常是一个约束优化问题。g的系统变化旨在符合用于最小化Q的优化路线，如牛顿-拉夫逊型程序。对于α=0.05的调解测试，存在一个精确的测试，但变化的g方法可能无法找到它，因为（i）g不够灵活（ii）Q（g）包括NRP以外的标准（iii）确定跳跃的数值困难（iv）以及故意排除不良CR的最终限制。本文给出了变g方法在调解问题中的显式实现。3.1近似类似的中介g-测试变化g方法中的步骤1是确定测试问题的相关样本空间。第一维度缩减为最小效率和完整的最大似然估计。