对中介效应和其他假设进行的几乎相似的测试

首先，如果g（t）=0，那么CRg=Rand测试总是拒绝，导致所有参数值的NRP为100%。另一个解决方案是g（t）=t，这样ARg=Rand测试将永远不会拒绝，且所有u的NRP为0%。证据问题的对称性意味着边界函数g(-t） =g（t）=g（|t |）和g（t）≤ t、 所以我们只定义了t的g（t）≥ 0和g（0）=0。假设边界函数g（t）是弱单调递增的，但可以是阶跃函数。如果g（t）是astep函数，那么它没有普通逆，但我们可以将其广义逆定义为：g-1（t）=inf{x | g（x）>t}（参见分位数函数，例如Van der Vaart（2000年，第304页））。g的定义-选择具有严格不等式的1（t），使得相似性的必要条件成立。1.对于任何有限常数cvwe havelimu→∞P[|T |>cv |u]=1，拒收仅取决于Tu→ ∞. 因此P[|T |>c∞] = 2P[T>c∞] =2(1 -Φ（c）∞)) = α、 例如：c∞= Φ-1.1.-α.g的单调性意味着g（t）≤ 极限→∞g（t）=Φ-1.1.-α我们遵循惯例-1（t）=+∞ 如果没有≥ Φ-1.1.-α.2.作为u函数的零拒绝概率等于：NRPα（u）=2Z+∞-∞φ（t）- u）“Zg-1（t）g（t）φ（t）dt#dt=2Z+∞-∞φ（t）- u)ΦG-1（t）- Φ（g（t））dt。3.相似性要求NRPα（u）=αu ∈ R.因此α=2Z+∞-∞φ（t）- u)ΦG-1（t）- Φ（g（t））dt=>0=Z+∞-∞φ（t）- u）hΦG-1（t）- Φ（g（t））-αidt=Z+∞-∞φ（t）- u）F（t）dt，其中F（t）=ΦG-1（t）- Φ（g（t））-α. (15)4. 均值为u的正态分布的完整性意味着条件F（t）=0。（16） 我们将证明这导致了一个步进函数，并且证明迭代地确定了步进点和步长，如图3.5所示。从t=0开始，定义为g（0）=0，但对于广义逆g-1（0）有两种可能性：（a）g-1（0）=0=g（0）。

对于t=0，条件（16）意味着：F（0）=Φ（g-1(0)) -Φ（g（0））-α= Φ (0) - Φ (0) -α= -只有当α=0时，α=0才成立。在这种情况下，f（t）=Φ（g-1（t））- Φ（g（t））=0只能在g-1（t）=g（t）=t，测试从不拒绝。（b） g-1（0）=c>0。在这种情况下。G-1（t）=inf{x | g（x）>t}和g-1（0）=inf{x | g（x）>0}意味着g（t）=0，0≤ t<cand g（c）>0。二、g（t）=0 0≤ t<cand F（0）表示g-1（t）=c 0≤ t<c.iii.g-1（t）=c 0≤ t<c和g-1（t）=inf{x | g（x）>t}依次求出（c）≥ c、 但是g（t）≤ 索伊夫。g（c）=c.v.c=Φ-1.+α因为F（0）=Φ（c）-Φ (0)-α=0意味着Φ（g-1（t））=+α，结果是Φ6的逆的唯一性。这个论点现在可以重复。（a） 在Φ（g）中-1（c））- Φ（g（c））-α=0意味着Φ（g-1（c））=+α+α和g-1（c）=Φ-1.+2α= c、 如第五章。b、 i）g（t）=cC≤ t<c=> ii）g-1（t）=c C≤ t<c=> iii）g（c）=cand g-1（c2）=Φ-1.+3α= c、 （b）在这个参数重复J次之后，我们得到一个阶跃函数：g（|t |）=cj:cj-1.≤ t<cj，j=1。。，Jc=0，cj=Φ-1.+ jα7.只有当1/α是整数时，才存在完全相似的检验。（a） 如果R是α=1/R的整数，则cR=Φ-1.+Rα= Φ-1(1) = +∞和cR-1= Φ-1.+（R）-1) α= Φ-1.1.-α= 极限→∞g（t）。结果步函数g（t）的构造使得F（t）=0表示所有t∈ R.NRPequals 2R+∞-∞φ（t）- u）[Φ（g）-1（t））-Φ（g（t））]dt=所有u的α。因此，如果1/α是一个整数，则存在一个完全相似的检验。（b） 如果1/α不是整数，则定义R=b1/αc（整函数或浮函数）R∈ Nand 0<r<1表示余数，使α=1/（r+r）。因此Rα<1。经过步骤5中的论证，给出Φ-1.+Rα= Φ-1.+（R+R）-r） α=Φ-1.1.-rα> Φ-1.1.-α. 同样地，R-1：Φ-1.+（R）-1) α=Φ-1.1.-α-rα< Φ-1.1.-α. 因此，阶跃函数g（·）没有极限→∞g（t）=Φ-1.1.-α这是NRP等于α为u的要求→ ∞.

进一步注意，R迭代之后的下一步是1 +(1-r） α> 1所以我们不能申请-1获取下一个边界点。因此，如果1/α不是整数，则不存在类似的g检验。附录D算法最优g检验的构造分为两步。第一步是通用变量g方法的基本实现。这会产生一个近似的测试，其偏差小于0。从5%提高到01%。我们用这个 作为确定功率包络上限的起始值。第二步是利用这个上界推导出一个最佳g-测试，该测试使功率面和功率包络之间的距离最小化，以ΓMα为单位进行测试，. 变量g方法的实现。基本g函数算法1。将g（·）非参数定义为由J+2节定义的线性样条曲线t（j），g（j）J+1j=0，即通过点t（J）网格上的J+2值g（J）。第一个和最后一个结分别固定在（0,0）和（2.5,z0.025），因此需要选择J结。选择其中一个节点t=z0。025使LR边界可以构造为初始化函数。对于不在网格上的点t，g（t）通过线性插值获得，g（t）=z0。025≈ t>2.5.2时为1.96。标准函数Q（g）是5%的累积NRP偏差，由点SNu（ι）oΥι=1（Υ>J）和u（1）=0:Q（g）=ΥXι=1的网格上的二次损失函数测量NRPgu(ι)- 0.05,s、 t.NRPgu(ι)≤ 0.05，NRPG（u）=P[T∈ CRg |u=0，u=u≥ 0]3. 通过改变g（·）最小化Q（g）：（a）用结{（0,0），（1.96,1.96），（2.5,1.96）}初始化g（·），这是对应于LR边界的J=1函数。

优化Q（g）时，第一个和最后一个结是固定的，中间的结是变化的。（b） 对于给定的g（·），通过数值积分计算零下的Υ非中心参数点{（0，u（ι））}Υι=1的网格的NRP，其中Υ≥ J并计算Q（g）。（c） 通过改变J结来改变g（·），并最小化标准函数Q（g），服从：i.0≤ g（j+1）- g（j）<δ：单调性和有限增量ii。g（t）≤ t：逻辑限制，因为最大不变量是绝对阶统计量和|t |（1）≤ |T |（2）iii.g（J+1）=z0。025：维度一致性要求简化为一维解（见第6节）（d）增加节点数J并迭代直至收敛。评论1。我们设定g（t）=z0。025对于t>2.5，因为对于足够大的| t |，基本上知道θ6=0，拒绝仅取决于θ=0是否被拒绝。基于正态分布的| T |对应的5%临界值通常为z0。025≈ 1.96 as | T|→ ∞.2.对于J small，通过改变节数，将偏差从5%减少到5%有很大的好处t（j），g（j）Jj=1，并通过增加J，见图5.3。用于检查相似性的u（ι）点的数量Υ被选择为Υ=76>J：60个点在0和6之间等距分布，16个点在6和20之间等距分布。这就附加了152个附加条件。步骤3（c）对每个J选项施加了进一步的3J限制，当J=32.4时，施加了大约100个限制。我们实际上使用了一个附加条件0.05- ≤ NRPgu(ι)≤ 0.05并迭代以查找最小值 这就产生了一个可行的解决方案。最优g函数为了找到最优g，我们将g的功率面和点网格上的功率包络之间的差异之和最小化，这取决于大小和-相似的条件。

我们施加单调性gt（i+1）≥ Gt（i）而且，由于绝对顺序统计量的定义|T |（1）≤ |T |（2），我们在逻辑上将g限制为0≤ g（t）≤ t、 最优g函数算法1。将g（·）非参数定义为上述线性样条曲线。2.定义标准函数Q*（g） 作为点M=n的三角形网格上的累积功率差u(γ,κ), u(γ,κ)o1≤γ<κ≤Υ：Q*（g） =ΥXκ=1Xγ≤κπu(γ,κ), u(γ,κ)- PhCRg|u(γ,κ), u(γ,κ)i3。最小化Q*（g） 通过改变g（·）：（a）用等于LR边界或之前确定的基本CG函数的g（·）初始化。（b） 对于给定的g（·）计算Q*（g） 通过数值积分。（c） 通过改变J结来改变g（·），并最小化标准函数Q*（g） ，受制于：i.0.05-  ≤ PhCRg|0, u(ι)我≤ 0.05, ι=1，··，Υ：近似相似性和尺寸限制II。0=g（0）≤ Gt（j）≤ Gt（j+1）≤ t（j+1）：单调性，iii.g（j+1）- g（j）<t（j+1）- t（j）：有限增长和衍生，iv.g（t）≤ t：逻辑限制，因为参数是绝对顺序统计量，v.g（J+1）=z0。025：维度一致性。（d） 增加节数J并迭代直到收敛。基本实现算法通过最小化来求解最优g-边界.一旦 确定后，当前算法类似于解决使用对于不平等的限制和权力最大化。它最大限度地减少了与电源包络线的总差异。功率包络我们计算了两个功率包络：一个用于Γα中近似相似的测试，第二种是非相似测试。计算功率包络线的算法与Chiburis（2009）有关，并在Julia中实现，参见Bezanson等人（2017），使用了Gurobi，这是一个可以处理多方面限制的优化包；参见古罗比优化（2021）。

在0.05下，我们在Υ参数点网格上根据大小和近似相似性限制最大化功率-  ≤ NRPu(ι)≤ 0.05表示ι=1。。。，Υ. 上界的大小是正确的，至少对于所考虑的点是正确的。下限构成了近相似性限制。通过在备选方案下的AGID点（u，u）上重复该最大化，可获得功率包络。对于非相似幂包络，我们可以放弃下限限制0.05- ≤NRPu(ι). 功率只能增加（或保持不变），而两个不同功率包络之间的差异就是功率损失，这有助于坚持相似性。这被证明是低于2%的点，应该强调的是，这夸大了损失，因为没有一个测试达到功率包络线。表示有序绝对非中心性参数Ξ的参数空间=(u, u) ∈ R+×R+| 0≤ u≤ u.我们将使用这个八分之一的有界（三角形）子集定义为=(u, u) ∈ R+×R+| 0≤ u≤ u≤ umax并将其划分为null和alternativeparameter集合Ξ=(u, u) ∈ R+×R+| 0=u≤ u≤ umaxΞ=(u, u) ∈ R+×R+| 0<u≤ u≤ umax分别地类似地定义最大不变/绝对顺序统计量asT的样本空间=（t，t）∈ R+×R+| t≤ T. 非常大的阻力值是有限的，出于计算目的，我们可以将自己限制在样本空间的一个有界三角形子集：T=（t，t）∈ R+×R+| t≤ T≤ tmax.功率包络算法1。将Ξ离散为H:M=n下的Υ点0, u(ι)oΥι=1.2。通过在H:M=n下选择Υ（1+Υ）点的三角形阵列来离散Ξu(γ,κ), u(γ,κ)o1≤γ≤κ≤Υ3. 用1分割成正方形≤ 我≤ J≤ N以至于[1]≤我≤J≤Nsij=T和sij∩ skl= （i，j）6=（k，l）。在Hforι=1的情况下，计算pιij=Ph|T |（1），|T |（2）∈ sij|0, u(ι)∈ Ξi5。

每1个≤ γ, κ ≤ m选择u（γ，κ）=u(γ,κ), u(γ,κ)∈ 蒙德是另一个选择。对于该u：（a）计算pγκij=Ph|T |（1），|T |（2）∈ sij |u（γ，κ）=u(γ,κ), u(γ,κ)如果每个sij∈ T（b）确定最大化powermax{φγκij，1的临界区域≤我≤J≤N} X1≤我≤J≤Npγκijφγκij通过选择指标φγκij=1CR（sij），如果sijis是临界区域的一部分，则等于1；如果sijis是可接受区域的一部分，则等于0，受NRP的近似相似性和大小限制：0.05- ≤X1≤我≤J≤Npιijφuij≤ 0.05表示ι=1。。。，Υ评论。优化器：Gurobi:tmax=11，每个正方形的长度为0.01。|T |的Hencecardinality=285150。对于功率计算，我们使用μm的Ma规则网格∈ {0.2, 0.4, ··· , 4}, u∈ {0.2, 0.4, ··· , u}. 对于尺寸和近似相似性限制，我们使用u∈ {0.0,0.1,7.5}和近似相似性 = 10-5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5、1.35、1.36、1.15、0.15、0.14、0.15、1.15、1.15、1.35、1.36、1.37、1.44、1.37、1.44、1.45、1.45、2.45、2.05、2.45、2.05、2.05、2.05、2.05、2.06、2.06、2.06、2.06、2.07、2.07、2.07、2.07、2、2.08、2.08、2.08、2.08、2.08、2.08、2.09、2.09、2.09、2.09、2、2.09、2.09、2.09、2、2.9、2.9、2.9、2.9、2.1、2.1、2.2 ifelse（tabs>=2.1,1.95996，约（x，y，xout=tabs）$y）}参考Alan，S.，S.Ertac，和I.Mumcu（2018年）。课堂上的性别刻板印象及其对成绩的影响。《经济学与统计学评论》100（5），876–890。Alwin，D.F.和R.M.Hauser（1975年）。路径分析中效应的分解。《美国社会学评论》40，37-47。Andrews，D.W.K.，M.J.Moreira和J.H.Stock（2006年）。工具变量回归的最优双边不变量相似检验。计量经济学74（3），715-752。Andrews，D.W.K.，M.J.Moreira和J.H.Stock（2008）。在弱仪器的iv回归中进行有效的双侧非相似变量检验。《计量经济学杂志》146（2），241-254。安德鲁斯，D.W.K.和W.Ploberger（1994）。

当一个讨厌的参数只出现在备选方案下时的最佳测试。《计量经济学》62（6），1383-1414。Baron，R.M.和D.A.Kenny（1986年）。社会心理学研究中的调节变量区分：概念、策略和统计考虑。《个性和社会心理学杂志》51（6），1173。伯杰，R.L.（1989）。关于线性不等式和正态平均数的假设的一致更强大的测试。《美国统计协会杂志》84（405），192-199。J.贝赞森、A.埃德尔曼、S.卡尔平斯基和V.B.沙阿（2017年）。朱莉娅：一种新的数值计算方法。暹罗评论59（1），65-98。Bollen，K.和R.Stine（1990年）。直接和间接影响：变异性的经典和自举估计。社会学方法论20115-140。博伦，K.A.（1989）。带潜变量的结构方程。约翰·威利父子公司。Chiburis，R.C.（2009）。矩不等式的近似最有力的检验。在关于治疗效果和力矩不平等的论文中，第3章。普林斯顿大学经济学系博士论文。Coletti，A.L.，K.L.镇静剂和K.L.Towry（2005年）。控制系统对协作环境中信任与合作的影响。会计审查80（2），477–500。克雷格，C.C.（1936）。关于xy的频率函数。《数理统计年鉴》7（1），1-15。Drton，M.（2009）。似然比检验和奇异性。《统计年鉴》37（2），979-1012。Drton，M.和H.Xiao（2016）。瓦尔德检验单一假设。伯努利22（1），38-59。杜福尔、J.-M、E.雷诺和V.津德·沃尔什（2017年）。当限制条件是局部单数时，Wald进行测试。技术报告，arxiv。org/abs/1312.0569v1。Elliott，G.，U.K.M–uller和M.W.Watson（2015）。在零假设下，当存在干扰参数时，进行近似最优测试。《计量经济学》83（2），771-811。Frewen，P.A.，V.D。

施密特曼、L.F.布林格曼和D.博斯布姆（2013年）。焦虑、创伤后应激和抑郁之间的因果关系：扩展到适度、调解和网络分析。欧洲精神创伤学杂志4（1），20656。格洛内克，G.F.V.（1993年）。关于两个规则假设的析取的wald统计量的行为。英国皇家统计学会期刊：B辑（方法学）55（3），749-755。Guggenberger，P.，F.Kleibergen和S.Mavroeidis（2019年）。线性工具变量回归中更强大的子向量anderson-rubin检验。数量经济学10（2），487–526。古罗比优化，L.（2021年）。古罗比优化器参考手册。Heckman，J.和R.Pinto（2015a）。haavelmo之后的原因分析。计量经济学理论31（1），115–151。Heckman，J.和R.Pinto（2015b）。计量经济学中介分析：通过未测量和错误测量的投入，从实验估计的生产技术中确定处理效果的来源。计量经济学评论34（1-2），6-31。Hillier，G.H.，K.J.Van Garderen和N.P.A.Van Giersbergen（2021年）。改进了调解测试。美眉。Huber，M.（2020年）。调解分析。劳动、人力资源和人口经济学手册，1-38。Imai，K.，L.Keele和T.Yamamoto（2010）。因果调解效应的识别、推理和敏感性分析。统计科学25（1），51-71。Imai，K.，D.Tingley和T.Yamamoto（2013年）。识别因果机制的实验设计。英国皇家统计学会期刊：A辑（社会统计）176（1），5-51。Imbens，G.W.（2020年）。因果关系的潜在结果和有向无环图方法：与经济学实证实践的相关性。《经济文献杂志》58（4），1129-79。莱曼、E.L.和J.P.罗马诺（2005年）。检验统计假设（第3版）。SpringerScience&商业媒体。麦肯齐，S。

B.R.J.Lutz和G.E.Belch（1986年）。对ADA的态度是广告效果的中介：对相互竞争的解释的检验。市场研究杂志23（2），130-143。MacKinnon，D.P.，C.M.Lockwood，J.M.Ho Off-man，S.G.West和V.Sheets（2002年）。比较测试调解和其他干预变量影响的方法。心理学方法7（1），83。MacKinnon，D.P.，C.M.Lockwood和J.Williams（2004年）。间接影响的置信限值：产品分布和重采样方法。多变量行为研究39（1），99–128。McDonald，J.A.和D.A.Clelland（1984年）。纺织工人和工会情绪。社会力量63（2），502-521。Moreira，M.J.和R.Mourao（2016年）。一种临界值函数方法，应用于持久性时间序列。arXiv预印本arXiv:1606.03496。Perlman，M.D.和L.Wu（1999）。皇帝的新考验。统计科学14（4），355-369。布道尔，K.J.和A.F.海斯（2008）。评估和比较多重中介模型中间接影响的渐进和重采样策略。行为研究方法40（3），879-891。索贝尔，M.E.（1982）。结构方程模型中间接影响的渐近置信区间。社会学方法论13290–312。范德法特，A.W.（2000）。渐近统计，第3卷。剑桥大学出版社。Van Garderen，K.J.（1997）。计量经济学中的曲线指数模型。计量经济学理论13（6），771-790。范加德伦，K.J.和N.P.A.范吉尔斯伯格（2021年）。引导中介测试。美眉。Van Giersbergen，N.P.A.（2014）。关于间接影响的推断：似然法。阿姆斯特丹大学技术报告，UvA计量经济学讨论文件2014/10。沃恩，R.J.和W.N.维纳布尔斯（1972年）。顺序统计密度的永久表达式。