电力市场中凸壳价格的计算

正如相关著作所确认的，例如[28]，[31]，扩展公式，即使它们能够准确地描述特定类别的单元，它们也会导致LP问题，而这些问题（至少）在实际规模的市场中是无法解决的。为了解决这个问题，这些工作提出了迭代算法，从公式开始，在可能的情况下精确描述每个单元的CHO，并尽可能紧密地逼近剩余的CHO。近似值的严密性及其性能，即解的质量及其速度，都是经验问题，这取决于雇佣的公式、其CH表示的质量等。后一类工作的主要特点是，它们依赖于特殊类别单元的特定特征，以及在个案基础上的广泛重新表述。值得注意的是，实际的市场实施在单元特性和约束的建模和描述中包含了更多的复杂性和细节。因此，如此广泛的重新制定对其在商业产品中的实施造成了巨大的负担。它们还使新单元的修改/增加和/或限制变得复杂，因为它们需要进行重要分析，以评估其对价格的影响。此外，扩展公式似乎无法提供CHprice形成的直觉。提出的D-W特征作为CH定价问题的自然特征，在简单性、通用性和经济解释方面优于扩展公式。它提供了关于价格形成的独特直觉。它不需要任何单位约束或成本函数的重新表述。这些可以按“原样”使用，即按当前最先进的市场管理系统建模。

更重要的是，UCCH公式中的任何变化，例如增加新特征、新单位等，都可以直接整合到我们的CH定价问题公式中，这与迄今为止文献中要求逐案描述和/或近似的建议不同。所提出的方法是可推广的，独立于商业供应商对单位成本/约束的具体实施。这是一个重要的特性和比较优势，极大地促进了监管行动和利益相关者的接受。此外，它是一种易于处理的精确方法，具有有限收敛性。计算性能始终是一个经验问题。基于直觉的运筹学理论认为，该方法非常适合定价问题——事实上，直接的经济解释并非巧合。此外，在ISO规模的大规模数据集上进行的计算实验证实了这一直觉，并提供了令人鼓舞的证据，证明可扩展到实际市场环境。我们进一步强调了所提出方法的一些有趣的计算特性。对于CG算法toproceed，我们需要找到至少一个成本为负的列来更新对偶。也就是说，子问题不需要在中间迭代中求解到最优，而只需要在最后才能保证终止。显然，所有的子问题都可以并行解决，或者我们可以根据可用的计算资源来调整每次迭代中解决的子问题的数量。假设完全并行化，每个迭代的计算时间由RMP的解决定，RMP是一个LP问题，包括系统约束和每个单元的“凸性约束”。单元特定约束的复杂性仅出现在子问题中，而不是RMP中。

使用标准配方，子问题是一个小的MILP，通常很难解决。请注意，CG不需要使用MILP配方来解决最大利润问题；无论采用何种方法，我们只需找到一个负的降低成本可行计划。尽管如此，MILP的制定将极大地促进当前ISOMarket管理体系的实施。B.斜坡约束示例[29，Ex.2]该示例包括2台发电机和一个3小时的发电机，负载分别为95、100和130 MW。G1的最大功率为100兆瓦，能量报价为每兆瓦时10美元。G2的最低功率为20兆瓦，最高功率为35兆瓦，提供的能量为50美元/兆瓦时，启动成本为1000美元，空载成本为30美元，爬坡率为5兆瓦/小时，启动功率为22.5兆瓦/小时，关机率为35兆瓦/小时，最小启动/关闭时间为1小时，最初它是灵活的。下面提供了UC3二元公式[29]。minp，u，v，wf=Xt=1（10p1，t+30u2，t+50p2，t+1000v2，t），（17a）受制于：p1，t+p2，t=Dt，1≤ T≤ 3，（17b）0≤ p1，t≤ 100, 1 ≤ T≤ 3，（17c）20u2，t≤ p2，t≤ 35u2，t，1≤ T≤ 3，（17d）p2，t- p2，t-1.≤ 5u2，t-1+22.5v2，t，1≤ T≤ 3，（17e）p2，t-1.- p2，t≤ 5u2，t+35w2，t，2≤ T≤ 3，（17f）u2，t- u2，t-1=v2，t- w2，t，1≤ T≤ 3，（17g）v2，t≤ u2，t，v2，t≤ 1.- u2，t-1, 1 ≤ T≤ 3，（17h）带p1，t，p2，t≥ 0和u2，t，v2，t，w2，t∈ {0, 1}, t、 分别表示状态、启动和关闭变量。最优调度为：p1,1=75，p1,2=75，p1,3=100，p2,1=20，p2,2=25，p2,3=30，带f*= 7340.本例的有趣特征与定价约束有关，这对CH定价的应用是一个挑战。（17）的IR产生了一个价格向量λIR=（10，10，182.701），它偏离了CH价格，我们显示为λCH=（10，10，276）。

我们注意到[29]报告了通过扩展公式获得的平均增量价格（AIC），该公式产生λAIC=（10，10，146.333），同时还注意到，使用3二进制公式的数值近似将导致小时3的价格非常高，即（10，10，1161）。显然，在这个例子中，小时3是有意义的，而且显然，IR（其目标函数值为$6464.55）比LD（其值显示为$6975）不那么紧。应用CG，使用松弛变量st，t、 罚款1000美元/兆瓦时，我们得到：（1）初始列：z[1]：^p[1]=（0,0,0），^c[1]=0；z[1]：^p[1]=（0,0,0），^c[1]=0；RMP（1）对偶：λ（1）=（100010001000），π（1）=0，π（1）=0。（2） 新列：z[2]：^p[2]=（100100100），^c[2]=3000；z[2]：^p[2]=（22.5,27.5,32.5），^c[2]=5215；RMP（2）对偶：λ（2）=(-970, 0, 1000), π(2)= 0, π(2)= -5460.（3）新列：z[3]：^p[3]=（0,01000），^c[3]=1000；z[3]：^p[3]=（0,22.5,27.5），^c[3]=3560；RMP（3）对偶：λ（3）=（45.832，-25.832, 150.589), π(3)= -14060, π(3)= 0. （4） 新列：z[4]：^p[4]=（100,01000），^c[4]=2000；z[4]：^p[4]=（0,0,22.5），^c[4]=2155。RMP（4）对偶：λ（4）=（10,10276），π（4）=-26600, π(4)= -4255.CG终止4500美元5000美元5500美元6000美元6500美元7000美元750090101151401651902152402652903153403665390415440465490515555906156406656907157407657908158408658091594096599010151040106510901114016151190双功能  （$/MWh）英里/小时： 中国：  = $6,975; 二元差距=365美元。IR:  = $6,464.55; 差距=875.45美元。AIC扩展：  = $6,202.25; 差距=1137.75美元。AIC 3-bin：  = $4,762.5;差距=2577.5.1161276182.7146.3美元图。1.对于λ=（10,10,λ），q（λ）的计算，90≤ λ≤ 1200.z[2]=0.75，z[3]=0.163，z[4]=0.088，z[2]=0.5，z[3]=0.5；目标函数值：g（4）=g*= $6975.在图。

1.我们举例说明了对λ=（10，10，λ）的对偶函数Q（λ）的评估，λ（$/MWh）的范围为90（即[29]中报告的边际成本）到1200，从而包括1161的高价。CH二元性缺口为365美元，对应于G2的LOC。值得注意的是，IR缺口为875.45美元，而扩展配方AIC缺口为1137.75美元。最后，我们还实现了一种次梯度方法，它用CG解决相同的子问题，但使用步长更新对偶（价格λ）。毫不奇怪，步长调整不是一项简单的任务。我们试验了几种步长，即1/k，1/√k、 10/k，10/√k、 0.001、0.01、0.02和不同的初始化，例如λ（1）=（10、10、90）（边际成本）和λ（1）=λIR（10、10、182.701）（IR价格）。许多步长都表现出较差的性能。对于步长为10/k的情况，我们得到了最好的结果，但是，即使对于这个小例子，经过10000次迭代后，我们也只能在所有三个小时内达到接近0.1（$/MWh）的价格。为了进行比较，典型的1/k步长（在10000次迭代后）产生的λ价格约为206（$/MWh），即比精确的CH价格低70（$/MWh）。简言之，CG在以下方面明显优于次梯度实现：（i）CG提供精确的LD值，而次梯度方法提供近似的边界；（ii）CG完全收敛，而次梯度法只能在多个数量级的迭代后渐近收敛，（iii）CG提供精确的价格，而无需调整，而次梯度法在适当调整后仅提供近似的价格，正如我们所示，即使是一个小例子，这也不是一项简单的任务。C.FERC数据集示例在本小节中，我们在PJM likeFERC“summer”数据集上测试我们的方法[41]。

UC配方已被深入研究——参见[53]了解MILP配方的概述，在最后一个例子中，我们的目标不是详尽地包括所有功能，而是提供证据证明可扩展到实际大小的问题。事实上，正如已经变得明显的那样，CG的一个主要优势在于它可以方便地适应任何机组模型，以及电力市场中当前存在的所有系统约束。下面提供了所使用的UC MILP配方。除非另有说明，否则我∈ 一、 t∈ T和b∈ {1，…B}，其中B是块提供步数。minp，u，v，w，sf=Xi，thCNLiui，t+CSUivi，t+CSDiwi，t+XbCpi、bpi、t、b+ 克里里，ti+XtMpspt+Mrsrt, （18a）受制于：Xipi，t+spt=Dpt，t、 （18b）西日，t+srt≥ Drt，t、 （18c）π，t，b≤\"皮,布,特,，i、 t，b，pi，t=Xbpi，t，b，i、 t，（18d）Piui，t≤ 圆周率≤“Piui，t- ri，t，ri，t≤“里，i、 t，（18e）π，t- 圆周率-1.≤ t.瑞伊-1+RSUivi，t，i、 t，（18f）π，t-1.- 圆周率≤ RDiui，t+RSDiwi，t，i、 t，（18g）ui，t- ui，t-1=vi，t- wi，t，i、 t，（18h）tXt=t-MUTi+1vi，t≤ ui，t，i、 t=[MUTi，t]，（18i）tXt=t-MDTi+1wi，t≤ 1.- ui，t，i、 t=[MDTi，t]，（18j）UTiXt=1ui，t=UTi，dtix=1ui，t=0，i、 （18k）带π，t，b，π，t，ri，t，spt，srt≥ 0和ui，t，vi，t，wi，t∈ {0, 1},i、 t，b.简言之，（18a）将总承诺成本（空载、CNLi、启动、CSUi和关闭、CSDi）、调度成本（Cpi、bis——区块报价b的成本）加上储备成本（储备报价Cri），再加上与电力/储备设施SLAT spt、srt相关的罚款成本降至最低，系统约束（18b）–（18c）包括功率平衡（需求Dpt）和服务需求（Drt）。单位特定约束集（18d）–（18k）如下所示。（18d）规定了区块报价b的最大值、π、b和定义π，tas——可接受区块数量π、t、b的总和。（18e）规定了功率、π、π和最大储备容量Ri的最小和最大容量限制。

热类型值用于CSUi，缺失的MUTIM DTI设置为1，U Tiand DTito设置为0，所有机组最初在线调度为Pi。RUi和Rdiqual被减少到一半，Rsui被设置为与Piplus相等，RSDiequal被设置为“Pi”，而“Riequal”被设置为30分钟加速。CG采用C语言建模，并使用CPLEX 12.7在IntelCore i7-5500U 2.4GHz和8GB RAM上求解。在图2中，我们探讨了CG在迭代方面的性能，当从（i）MILP UC解决方案开始时——称为“热启动”，以及（ii）初始列以零价格消费自调度的“平启动”。请注意，currentpractice通常在MILPUC解决方案之后执行定价运行。然而，CH定价可以与MILP UC问题并行运行，因为它实际上不需要解决方案！结果表明，对于这两种情况，CG都会在少量迭代中终止。我们确实在热启动开始时观察到了一个预期的平台，因为CG最初需要一些列来“组合”它们。初始值迅速下降（由于可变惩罚的减少而导致的高值被截断），但需要更多的迭代才能终止。顺序实现中的计算时间由子问题决定；每次迭代耗时约14秒。然而，我们注意到RMP时间小于1秒（通常明显小于1秒），而每个子问题的解决时间为10毫秒。不言而喻，子问题的并行实现将使每次迭代的时间缩短到实际解决RMP的时间，即anLP问题；假设完全并行化，两种情况下的估计时间都远低于1分钟。但是，即使使用一些简单的部分并行化，例如，解决一批十几个子问题，每次迭代的时间也会减少大约10倍。六、

结论和进一步研究在这项工作中，我们使用D-W分解和CG计算CH价格。我们在叙述和描述理论之间取得了平衡，通过示例增强了读者的直觉，并提供了计算可处理性和可扩展性的指示，以适应实际大小的系统。CG的简单性、对问题“对流”或CHF格式的直观解释，以及使用标准UC和单位特定MILP公式的可并行结构，加强了CG在解释和计算中的使用。虽然这种策略在其他应用中已经成功，但没有使用任何可能提高CG性能的已知方法。正在进行的工作是针对一个大型美国ISO应用程序，使用实际市场数据测试CGC。参考文献[1]M.C.卡拉马尼斯、R.R.博恩、F.C.施韦佩。“最优现货定价：实践与理论”，IEEE Trans。电源应用。系统。，PAS-101卷，第9期，第3234-32451982页。[2] F.C.Schweppe，M.C.Caramanis，R.D.Tabors，R.E.Bohn，“电力的定价”，克劳弗学术出版社，马萨诸塞州波士顿，1988年。[3] R.P.奥尼尔、P.M.索奇维茨、B.F.霍布斯、M.H.罗斯科普夫和W。R.Stewart Jr.“非凸市场中有效的市场清算价格”，欧洲出版社。J.Oper。《自然资源》，第164卷，第1期，第269-285页，2005年。[4] P.Andrianesis、G.Liberopoulos、G.Kozanidis和A.D.Papalexopoulos，“具有非凸性的日前市场中的恢复机制——第一部分：设计和评估方法”，IEEE Trans。电力系统。，2013年第28卷第2期，第960-968页。[5] P.Andrianesis、G.Liberopoulos、G.Kozanidis和A.D.Papalexopoulos，“具有非凸性的日前市场中的恢复机制——第二部分：实施和数值评估”，IEEE Trans。电力系统。，2013年第28卷第2期第969-977页。[6] W·W·霍根和B·J。

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