网络干扰随机实验分析

β0m=0或β1m=0值得关注，因为它表明在结果水平上是否存在治疗溢出。2.4内生源总之，我们的治疗选择和结果模型可以写成以下半三角系统：Yi=Yi（Di，π）*（一）=Xiα+u1i+Xiβ+e1iπ*iif Di=1Xiα+u0i+Xiβ+e0iπ*iif Di=0（19）Di=1{vi≤ Xiθ+θZi+θπ*i} （20）s.t.σ*i=ΦXiθ+θZi+θπ*我, 我∈ Nn。（21）使用公式Yi=DiYi（1，π）*i） +（1）-Di）Yi（0，π）*i） =Yi（0，π）*i） +Di（Yi（1，π）*（一）-Yi（0，π）*i） ），19可以写成：Yi=Xiα+π*iXiβ+DiXi（α）- α） +Diπ*iXi（β- β) + 我（22）在哪里i=u0i+π*ie0i+Diu1i- u0i+π*i（e1i）- e0i）. （23）等式22给出了传统的线性回归模型。当然，可以考虑通过Yion（Xi，π）的最小二乘回归来估计（α，α，β，β）*iXi，DiXi，Diπ*iXi）。只有当iis与回归系数不相关，即[i | Di，Xi，π*i] =0，需要满足以下两个条件：E[u0i+π*ie0i | Di=0，Xi，π*i] =（a）E[u0i+π*ie0i | Xi，π*i] =（b）0，E[u1i+π*ie1i | Di=1，Xi，π*i] =（a）E[u1i+π*ie1i | Xi，π*i] =（b）0。由于ηi=（u1i，u0i，e1i，e0i）通过构造与S=（G，X，Z）不相关，（b）和（b）自动满足。因此，我们只需要证明（a）和（a）是满足的。只有当Dii与ηi条件on（Xi，π）不相关时，这才是正确的*i） 。这是基于可观测假设的常见选择。如果治疗组和对照组在未观察到的因素η方面存在系统性差异，即使在控制了所有相关观察值后，这种假设也不太可能成立。事实上，具有相同观察特征（Xi，π*i） 他们做出了不同的治疗选择，这表明他们的未观察因素有所不同。

因此，内生性的来源来自VIA和ηIEN之间的相关性，即使是在S条件下。更具体地说，请注意，基于可观测假设的选择要求以下两个条件成立：Corr（Yi（0，π*i） ，Di | Xi，π*i） =0（24）和corr（Yi（1，π）*（一）- Yi（0，π）*i） ，Di | Xi，π*i） =0。（25）条件24要求Yi（0，π）的特殊部分*i） 与Di不相关，即在没有治疗的情况下，一旦我们考虑到相关的观察结果（Xi，π），治疗组和对照组的平均潜在结果应该没有差异*i） 。然而，即使在控制了（Xi，π）之后，接受治疗的药物也可能具有异常的yi（0，π）值*i） 。如果接受治疗的个体倾向于在不可观察项方面具有更高的Yi（0，π）值，那么朴素的最小二乘回归将受到cov（Di，i | S）>0。经典选择问题就是这样。要求25也很麻烦，因为这种情况意味着治疗中无法观察到π*治疗组和对照组之间的差异不应存在。如果治疗选择与未观察到的治疗收益相关，则这一点并不令人满意。代理人在选择治疗状态时，可能对治疗可能带来的特殊收益有所了解，这似乎是合理的。如果代理人的治疗选择部分基于这些知识，那么25个将不满足。

这种对未观察到的增益进行排序的方式，被Heckman等人（2006）称为“本质异质性”，在现代项目文献中得到了强调。总之，无论何时存在选择问题或本质异质性，naiveOLS回归都会对结构参数（α，α，β，β）进行不一致的估计。3在上一节中，我们发现，当与ηi=（u1i，u0i，e1i，e0i）相关时，22个样本的OLS回归会对偏差产生影响，即使在我们控制S时也是如此，我们首先表明，在普遍异质性存在的情况下，IV方法没有识别出感兴趣的随机参数。然后，我们提出了另一种称为控制函数法的方法。3.1常规IV方法的问题通常通过两阶段最小二乘法（2SLS）等IV方法解决。在我们的设置中，Zi是一种有效的抗感染IV（i）DII与Zi相关，以及（ii）Zi是外源性的，并且被排除在结果方程之外。事实上，在第一阶段出现溢出的情况下，不仅Zi，而且n维向量Z=（Zi，Z-i） 是disice的有效工具在这种情况下，dii是整个赋值向量Z的函数。。因此，回想一下，当第一阶段选择模型中存在溢出时，不仅我的直接邻居Z，而且间接邻居Z也会产生影响。因此，最终连接到i is的j的zjf可能会运行到22的IV回归，在这里，我们通过Z=（Zi，Z）对Diby Zior进行仪器测试-i） ，取决于第一阶段是否存在溢出。我们认为这种策略在我们的设置中没有识别（α，β，α，β）。假设我们给迪比·齐装上乐器。只有当[i |子，Xi，π*i] =0，其中i=u0i+π*ie0i+Diu1i- u0i+π*i（e1i）- e0i）就像23年一样。

注意，E[i |子，Xi，π*i] =E[u0i+π*ie0i+Diu1i- u0i+π*i（e1i）- e0i）|子，Xi，π*i] =E[u0i+π*ie0i | Zi，Xi，π*i] |{z}A+E[u1i- u0i+π*i（e1i）- e0i）| Di=1，Zi，Xi，π*i] |{z}BPr（Di=1 | Zi，Xi，π）*i） |{z}C.A=0，因为ηi=（u1i，u0i，e1i，e0i）与S不相关，因此与（z，Xi，π）不相关*i） 。C不能为零，除非是很小的情况。因此E[i | Z，Xi，π*i] 仅当B=0时才为0。当E[u1i-u0i+π*i（e1i）-e0i）| Di=1，Zi，Xi，π*i] =E[u1i-u0i+π*i（e1i）-e0i）|子，Xi，π*i] E[ηi | S]=0意味着最后一项为零。注意，u1i- u0i+π*i（e1i）-e0i）可以解释为Yi（1，π）的一个特殊部分*（一）-Yi（0，π）*i） 。因此，我们需要假设DII与我们在（Zi，Xi，π）条件下接受治疗的特殊收益无关*i） 。当代理对其特异性收益有一定的了解，并将其治疗决策建立在这种知识的基础上时，即当存在对未观察到的收益的排序时，这种要求是不现实的。u1i-u0i+π*i（e1i）-e0i）与DII相关，这是一个经验问题，不应预先解决。IV方法排除了这种相关性的可能性，并且在存在相关性时会失败。传统治疗效果文献中也指出了这一点，排除了溢出效应。（见哈恩·安德里德（2011））。例如，文献中已经明确指出，IV/2SLSL不能恢复非均匀反应模型（如随机系数模型）下的平均因果参数，如ATE（见Imbens and Angrist（1994））。3.2控制函数法我们现在提出了另一种策略，称为控制函数法。控制函数方法通过显式地表示Di的相关变量来解决内生性问题。

然而，随着i和j之间的网络距离变得更大，当λ<1时，nzjand和Didecays之间的依赖性呈指数增长。（见徐晓波（2018）和梁振英（2020b））。因此，使用离i太远的ZJT作为IV可能会产生弱IV问题。结果和治疗之间的依赖性。为了应用这种方法，我们首先将观察到的条件平均值E[Yi | Di=1，S]和E[Yi | Di=0，S]写成如下：E[Yi | Di=1，S]=E[Yi | Di=1，σ*i（S，θ），π*i（S，θ），S]=E[Yi（1，π）*i（S，θ）|vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ）），σ*i（S，θ），π*i（S，θ），S]=Xiα+E[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ）），S]+π*i（S，θ）nXiβ+E[e1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ），S]osince Di=1<==> Φ（vi）≤ σ*我（见14）。同样，观察到的对照组条件平均值为，E[Yi | Di=0，S]=Xiα+E[u0i | vi>Φ-1(σ*i（S，θ）），S]+π*i（S，θ）nXiβ+E[e0i | vi>Φ-1(σ*i（S，θ）），S]o.术语E[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ）），S]，E[e1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ）），S]和E[u0i | vi>Φ-1(σ*i（S，θ）），S]，E[e0i | vi>Φ-1(σ*i（S，θ）），S]是解释Di内生性的“控制函数”。下面的假设5限制了这些控制功能的形式。假设5。尽管我∈ Nn，ηi=（u1i，u0i，e1i，e0i）满足以下条件。（i） 在这两个条件下，我们写了[u1i| vi，S]=E[u1i| vi，S]在这两个条件下，我们写了[u1i| vi，S，S，S]=E[U1i124；vi，S]=E[U1i124；vi，S]=E[U1i124；vi，S，S]=E[U1i124；vi，S，S，S，S]=E[U1i124；vi，S，S，S，S，S，S，S]=E[E[u0i 1240i 124；vi，vi，S，S，S）vi，S，S，S，S，S]=E[E[u0i，S]i，vi，vi，vi，vi，S]vi，S，S，S，S，S，S，S，S，S，S]=E[E[u0i，S伊恩德维。假设5（i）通常被称为“可分性”假设，并已在卡内罗等人（2011年）和布林奇等人（2017年）的文献中使用。在此假设下，控制函数仅取决于个体倾向得分σ*i（S，θ），例如，e[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ），S]=E[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i（S，θ））]使控制功能与S分离。

因此，E[Yi | Di=1，S]和E[Yi | Di=0，S]只依赖于（Xi，π）*i、 σ*i） 。这一步是必要的，因为我们的数据由一个大网络组成，所以不可能控制forS=（G，X，Z）本身。假设5（ii）进一步允许我们写E[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i） 例如，作为ρuE[vi | vi≤ Φ-1(σ*i） ]。结合vi的正态性假设，我们认为（ηi，vi）是共同正态的。然而，它可以很容易地适应不同于正态性的交替分布假设。在联合正态性假设下，控制函数采用逆millsratio形式。定义λ（·）和λ（·）如下：对于σ∈ (0, 1),λ(σ) = -φ(Φ-1(σ))σ, λ(σ) =φ(Φ-1(σ))1 - σ.因此e[Yi | Di=1，S]=Xiα+ρuλ（σ*i） +π*我Xiβ+ρeλ（σ）*（一）,E[Yi | Di=0，S]=Xiα+ρuλ（σ*i） +π*我Xiβ+ρeλ（σ）*（一）.设λi=Diλ1i+（1）- Di）λ0i。我们看到（α，β，ρu，ρe）由回归方程（Xi，λi，π）确定*iXi，π*iλi）使用Di=1的子样本。同样，我们可以通过回归Yion Xi，λi及其与π的相互作用来识别（α，β，ρu，ρe）*i使用Di=0的子样本。将λiaccounts纳入ηi和visothat之间的相关性，我们可以通过检查相关性是否为零来测试DIB的内生性。我们的模型通过利用ηi和vi之间的函数形式假设来实现点识别。我们可以放松线性假设，通过添加高阶项来获得更灵活的参数函数形式。例如，我们可以将E[u1i | vi]指定为通孔的二次函数，如下所示：E[u1i | vi]=ρuvi+～ρuvi。然后可以证明e[u1i | vi≤ Φ-1(σ*i） ]=-ρuφ（Φ-1(σ*i） ）σ*i+~ρuhΦ-1(σ*i） φ（Φ）-1(σ*i） ）σ*i+nφ（Φ）-1(σ*i） ）σ*看。这也提供了一种根据Lee（1984）的精神测试线性假设的方法。4估计我们提出了一种两阶段估计程序。

在第一阶段，我们使用嵌套定点最大似然（NFXP-ML）方法估计治疗选择博弈。在第二阶段，使用第一阶段估计，我们使用生成的回归器估计治疗结果的回归模型。4.1第一阶段估计回想一下，治疗选择模型可归结为等式20，但需符合执行点要求28。我们的样本对数似然函数定义如下：bLn（θ）=nnXi=1nDilnσ*i（S，θ）+（1）- Di）ln（1）- σ*i（S，θ）o（26）我们的估计量^θ=（^θ，^θ，^θ）被定义为受{σ}约束的Ln（θ）的最大化子*i（S，^θ）}满足定点要求。形式上，^θ=arg maxθ∈ΘbLn（θ）（27）服从σ*i（S，^θ）=ΦXi^θ+^θ子+^θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，^θ）, 我∈ Nn（28）对于计算，我们使用嵌套固定点（NFXP）算法。具体来说，从任意初始猜测^θ开始，我们通过收缩迭代找到28的固定点（可以证明，当λ<1时，28是收缩映射）。然后，我们使用获得的条件选择概率计算对数似然函数26。根据牛顿的方法将^θ更新为^θ。迭代该过程，直到一系列估计值收敛。我们的NFXP-ML估计器被作为它的极限。4.2第二阶段估计让我们定义回归方程组asWi=[Xi，λi，π*i（S，θ）Xi，π*式中，i=1λ- Di）λ0i，其中λ1i=λ（σ*i（S，θ））和λ0i=λ（σ*i（S，θ））。我们的估计基于以下矩条件se[Yi | Di=1，S]=Wiγ，E[Yi | Di=0，S]=Wiγ，其中γ=（α，ρu，β，ρE）和γ=（α，ρu，β，ρE）。这表明γ和γ可以通过将Yion Wi分别回归到Di=1和Di=0的子样本来估计。然而，由于λi和π*对于未知第一阶段参数θ的函数，我们需要用θ替换θ。定义λ1i=λ（σ*i（S，^θ））和^λ0i=λ（σ）*i（S，^θ））。设λi=Diλ1i+（1）- Di）λ0i。

同样地，我们替换了未知的π*i（S，θ）≡|Ni | Pj∈Niσ*带π的j（S，θ）*i=π*i（S，^θ）=Ni | Pj∈Niσ*j（S，^θ）。因此，我们生成的回归函数^Wi for Wiis^Wi=[Xi，^λi，^πiXi，^πi^λi]。然后，γ的估算值定义为^γ=arg minγnnXi=1Di易-^Wiγ=nnXi=1Di^Wi^Wio-1nXi=1Di^WiYi。类似地，γ的估计量为^γ=arg minγnnXi=1（1- Di）易-^Wiγ=nnXi=1（1）- Di）^Wi^Wio-1nXi=1（1- ^WiYi。4.3推论对于渐近分析，我们考虑了大型网络的渐近性，其中多个连接在单个网络中的个体达到了一致。此外，对于每个n，我们将=（G，X，Z）视为固定值。之所以如此，是因为S是一种辅助统计数据，即S不包含任何有关感兴趣参数的信息。4.3.1我们首次建立的第一阶段博弈推理√第一阶段估计量^θ的n-相合性和渐近正态性。真参数用θ表示。从我们的数据{vi}1生成≤ Xiθ+θZi+θπ*受σ约束的i（S，θ）}*i（S，θ）=ΦXiθ+θZi+θπ*i（S，θ）尽管我∈ Nn。定理2（θ的一致性）。在以下假设下，^θ- θp-→ 真参数θ=（θ，θ，θ）位于紧集Θ中 Rdim（θ）和|θ|<√2π. Xi的支撑是Rk的一个有界子集。（ii）设Ri=（Xi，Zi，π）*i（S，θ））。对于足够大的n，Pni=1是可逆的，即lim infn→∞det（nXi=1RiRi）>0。有关证明，请参见附录B.1。假设（i）确保在真参数（见定理1）处存在唯一平衡，且每个平衡概率σ*i（S，θ）∈ （0，1）对于所有i.假设（ii）是识别的秩条件，要求对于所有足够大的n.回归系数的矩矩阵具有满秩。现在我们建立了θ的渐近正态性。让我们定义信息矩阵如下：In（θ）=EhnnXi=1θli（θ）θli（θ）其中li（θ）=Dilnσ*i（S，θ）+（1）- Di）ln（1）- σ*i（S，θ））是单个对数似然函数。

因此θli（θ）由θli（θ）=Diθσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- Di）-θσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）。（29）定理3（θ的渐近正态性）。除了定理2的条件外，假设（i）真参数θ位于紧集Θ的内部 Rdim（θ）。（ii）对于任何n，In（θ）是非单数的。然后（我）-1n（θ））-1/2√n（^θ）- θ） d-→ N（0，Idim（θ））（30），其中Idim（θ）是dim（θ）×dim（θ）单位矩阵。参见附录B.2以获取证据。方差估计^θ的渐近方差可以通过dv ar（^θ）=bI来估计-1n/N Wherebin≡nnXi=1θli（^θ）θli（^θ）。为了计算θli（^θ）使用等式29，我们需要计算θσ*i（S，^θ）。为此，我们使用数值近似方法：取^θ+ 对于一个小扰动 （例如：。， = 10-5） ，然后计算新的平衡{σ*i（S，^θ+)}通过求解固定点，ni=1。θσ*i（S，^θ）由（σ）计算*i（S，^θ+) - σ*i（S，^θ））/.4.3.2第二阶段回归的推断接下来，我们建立√第二阶段估计（γ，γ）的n-相合性和渐近正态性。让我们用（γ，γ）来表示真参数。我们假设我们的模型是正确指定的，即满足以下条件力矩限制：e[Yi | S，Di=1]=Wiγ，e[Yi | S，Di=0]=Wiγ。我们保持√第一阶段估计量θ的n-相合性和渐近正态性。定理4（^γ，^γ）的一致性。在以下假设下，^γ-γp-→ 0和^γ- γp-→ 0（i）真参数γ位于紧集Γ中 Rdim（γ）。同样，真参数γ位于紧集Γ中 Rdim（γ）。（ii）Letlim infn→∞detnnXi=1E[DiWiWi | S]o>0和Lim infn→∞detnnXi=1E[（1）- Di）WiWi | S]o>0。参见附录B.3以获取证据。接下来，我们得到了第二步估计的渐近结果。对于紧凑性，我们只报告^γ的结果，因为^γ的情况可以用类似的方式导出。定理5（^γ的渐近正态性）。

定义n=E[nnXi=1diwi | S]ψn=E[nnXi=1diwi1i | S]+EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）SiEhnnXi=1θli（θ）θli（θ）硅-1EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）Si除了定理4的条件外，假设（i）真参数γ位于紧集Γ的内部 Rdim（γ）。（ii）对于任何n，ψ和Υnare非奇异。然后我们有∧-1/2n√n（^γ）- γ） d-→ N（0，Idim（γ））式中∧N=Υ-1nψnΥ-1n。参见附录B.4以获取证据。如果忽略第一阶段估计，渐近方差将为Υ-1nEhnnXi=1DiWiWi1i|SiΥ-在正半有限意义上，其小于正确的渐近方差Υ-1nψnΥ-1n。方差估计渐近方差∧nca可以通过用样本替换总体均值来估计。具体来说，n=nnXi=1Di^Wi^Wi^ψn=nnXi=1Di^Wi^Wi^1i+nnXi=1DiWi^γγWi（γ）nnXi=1θli（^θ）θli（^θ）nnXi=1DiWi^γγWi（γ）在哪里1i=Di（Yi）-^Wi^γ）。4.4蒙特卡罗模拟在本节中，我们通过模拟练习说明了我们估计量的有限样本特性。出于模拟目的，我们模拟了Dupas（2014）的环境。网络G是根据Dupas（2014）的GPS数据构建的。具体而言，如果两户i和j居住在500米半径范围内，则认为它们是连通的。移除孤立节点后，我们的样本量为538。工具变量Zis也取自Dupas（2014），其中二进制Zis表示我是否获得了高水平的补贴。（G，Z）的汇总统计数据可在下一节中找到。在整个模拟复制过程中，G和Z是固定的。我们不考虑X。生成内生变量治疗选择根据以下等式确定：Di=1{vi≤ θ+θZi+θπ*i} 在哪里~iidN（0,1）。我们设置θ=（θ，θ，θ）=(-2,1,1.5），在此情况下，ofD=1的概率约为0.8。由于|θ|<2.5，根据定理1，存在唯一的平衡。