网络干扰随机实验分析

我们假设每一个我都选择Di∈ {0，1}通过效用最大化，我收到的效用取决于我的同龄人的选择。设agent i的效用函数为π（Di，D）-i、 Xi，Zi，vi）其中D-我∈ {0，1}n-1是除i之外的试剂治疗选择的向量。我们将效用函数指定为以下线性模型：π（Di，D-i、 Xi，Zi，vi）=Xiθ+θZi+θ| Ni | Pj∈奈吉- 如果Di=0，则viif Di=10。（1） 首先请注意，选择Di=0的实用程序被规范化为零。这并不失去普遍性，因为只确定了公用设施的差异。选择di=1的公用设施依赖于其他代理通过termPj进行的治疗选择∈NiDj/| Ni |，接受治疗的同龄人的分裂。这个术语代表治疗选择中的社会互动或溢出效应。当θ=0时，不存在溢出效应，该模型成为McFadden（1984）中常见的单代理二元选择模型。当θ>0时，我们有正溢出效应，当i的参考组成员（我们规范中的定向邻居）表现类似时，选择Di=1的效用更高。θ> 0表示代理对一致性有偏好。另一方面，当θ<0时，我们得出结论，治疗选择存在负溢出。我们假设vi是一个私人信息，即vi只有我知道，其他代理无法观察vi。因此，代理对其他人的选择拥有不完整的信息。换句话说，我无法观察其他球员在做出选择时的治疗选择。取而代之的是，我选择的每一个代理人都会根据他们对PJ的信念，最大化他们的预期效用∈NiDj/|Ni |。信念是在toi可用的信息集下形成的。让τide注意i的信息集。我们将τias指定如下：假设1（信息结构）。设G=（Gij）i，j∈Nn，X=（Xi）i∈n和Z=（Zi）i∈Nn。

我们假设（G，X，Z）是一个公共信息，即每个代理都知道整个网络结构（G）、观察特征向量（X）和治疗分配向量（Z）。另一方面，vi是i的私有信息，其值仅为i所知。因此τi=（G，X，Z，vi）总结了i可用的信息。假设1是关于不完全信息博弈的文献中的标准假设。设S=（G，X，Z）为公共信息集。这通常也被称为公共状态变量。对于私有信息vi，我们做出以下假设：假设2（未观察到的异质性）。尽管我∈ Nn是一种私有信息viis（i）i.i.d.，具有标准正态cdfΦ和（ii）独立于S。在标准单代理二进制选择模型中，VIM的分布必须已知为有限维参数。我们使用正态分布只是为了方便。也可以使用其他分布假设，如logit。VI相互独立的假设对于我们的识别分析至关重要。这一假设意味着，对于任何j 6=i，视频的知识都无助于预测Vjv。据我们所知，在一般网络环境下，识别具有相关私有信息的不完全信息游戏是一个悬而未决的问题。如果我们将S视为固定的，则假设2（ii）是微不足道的。因此，我们不讨论网络内生性问题，因为这不是本文的重点。策略让Di（τi，θ）表示i的纯策略，它将i的信息集τi=（s，vi）映射到治疗选择Di∈ {0，1}给定一个参数值θ=（θ，θ，θ）。Agent i通过最大化其期望效用E[π（Di，D）来选择其最优行为-i、 Xi，Zi，vi）|τi]其中对D取期望值-我知道她对D的看法-i、 在给定信息τi的情况下，设σj，ibe i相信事件{Dj=1}。

然后σj，i=defPr（Dj=1 |τi）（2）=Pr（Dj（τj，θ）=1 |τi）（3）=Pr（Dj（S，vj，θ）=1 | S，vi）（4）=Pr（Dj（S，vj，θ）=1）（5）=σj（S，θ）（6），其中第四个等式来自假设2。从上一个等式中，我们看到σj，i=σj，对于所有的i6=j，也就是说，每个代理都对j的选择有一个共同的信念。这个共同的信念应该与j在理性预期下选择Dj=1的实际概率一致，如下所示。均衡考虑到{σj（S，θ）}j6=i的置信度，agent i计算他在选择Di=1时得到的期望值，如下所示：π（1，D）-i、 Xi，Zi，vi）|τi= EXiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈奈吉- 六、S、 六（7） =Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈NiPr（Dj=1 | S）|{z}=σj（S，θ）-vi（8）=Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσj（S，θ）- vi.（9）如果E，我会选择Di=1π（1，D）-i、 Xi，Zi，vi）|τi≥ 因此，Di=1nvi≤ Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσj（S，θ）o.贝叶斯-纳什均衡（BNE）由选择概率σ的向量定义*（S，θ）=σ*i（S，θ）我∈NN这与观察到的决策规则一致，因为它满足以下方程组：σ*i（S，θ）=Pr六、≤ Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）, 我∈ Nn（10）=ΦXiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）, 我∈ Nn。（11） 这里我们使用上标[*] 强调这一点*（S，θ）是一个平衡量。换句话说，给定的Bayes-Nash均衡（S，θ）是一个向量σ*（S，θ），定义为上述方程组的固定点。通过隐函数定理，可以很容易地证明σ*（S，θ）在S和θ中都是光滑的。因此，对于任何实现的数据s和参数值θ，Brouwer的定点定理保证了一个执行点的存在。然而，可能有许多固定点*（S，θ）求解系统。我们证明，如果我们限制θ的值为sufficientlymild，则存在唯一的平衡。形式上，定理1（唯一平衡）。让振动的pdfφ（v）。

定义λ=|θ| supuφ（u）。对于任何S和θ，都存在唯一的平衡{σ*j（S，θ）}j∈Nnifλ<1。有关证据，请参见附录A。当Vi为正态分布时，我们有supuφ（u）=1/√2π. 因此λ<1相当于|θ|<√2π ≈ 2.5. 在整个论文中，我们假设λ<1，这样相互作用的程度就不会太强而导致多重平衡。假设3（唯一均衡）|θ| <√2π.在唯一平衡下，药剂的处理选择可以写成以下简化形式方程：Di=1nvi≤ Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）o（12）<==> Di=1nΦ（vi）≤ ΦXiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）o（13）<==> Di=1nΦ（vi）≤ σ*i（S，θ）o（14），其中最后一步从11开始。故事是这样的：对于给定的S和θ，平衡选择概率σ*i（S，θ），我∈ 他们意识到了。观察这种平衡，每个代理人根据12、13或14.2.2溢出潜在结果模型选择其治疗状态。在本节中，我们提出了溢出情况下的治疗反应模型。之前关于治疗反应的研究是基于SUTVA假设的，该假设要求个体的结果仅取决于其自身的治疗状态。在经文假设下，我的结果或反应可以写成Yi=Yi（Di）。出租∈ {0，1}是代理可以获得的可能治疗值。SUTVA假设下的潜在结果由Yi（d）表示，当分配到Di=d时，它提供i的反应。然而，与SUTVA情况不同，没有明显的方法来模拟治疗反应中的溢出。

正如Manski（2013年）和Kline and Tamer（2020年）所示，有很多方法可以放松SUTVA假设，每一种方法都基于对代理间干扰性质的不同限制。在我们的论文中，我们假设i的结果是自身治疗状态的直接影响和i的邻居的间接影响或溢出影响的函数。溢出效应被认为是由PJ介导的∈Niσ*j（S，θ）/|Ni |。为了简单起见，让我们定义π*i（S，θ）=Pj∈Niσ*j（S，θ）/|Ni |。还有π*大地π*i（S，θ）将互换使用。因此，我们将i的实现结果写为：Yi=Yi（Di，π）*i） π在哪里*i=π*i（S，θ）是i\'S Ighbor的平衡治疗选择概率的平均值。从现在开始，我们简单地说π*ias i的“邻里（倾向）得分”。这是i的直接邻居的倾向性得分的平均值，其中每个得分衡量了在公共信息s.Jackson等人（2020年）将同一对象称为“同伴影响倾向得分”。让π∈ [0，1]是π的可能值*我可以接受。潜在结果Yi（d，π）代表当我们外源性地分配Di=d和π时i的反应*i=π。具体地说，Yi（1，π）表示当我需要治疗时，i的结果，并且i的邻里得分被外源性地设置为π。类似地，Yi（0，π）是当我被禁止治疗时，我的结果，并且我的邻域得分被外源性地设置为π。潜在的假设是，可以操纵Diandπ的值*i、 自π*作为公共状态变量S=（G，X，Z）的函数，我们可以想见地操纵π的值*Ib通过改变给定（G，X）的Z，该给定（G，X）被认为是预先确定且不可操作的。

因此，Yi（d，π）可以通过改变人口中的Z参数来实现，其方式是诱导π*i=π作为第一阶段的一个平衡，然后要求我选择Di=d。与其他方法相比，现有文献中的干扰通常会将潜在结果建模为自身治疗状态、治疗邻居的比例或治疗邻居的数量的函数（例如Hudgens and Halloran（2008）、Leung（2020a）、Vazquez Bare（2020））。定义“Di”≡Pj∈NiDj/| Ni |具有通用值| d∈[0, 1]. 然后，这些模型将实现的结果写为Yi=Yi（Di，\'Di），将潜在的结果写为Yi（d，\'d）。我们的模型与他们的不同之处在于，我们通过事前（预期）预期“比事后实现”更直接的方式对溢出进行建模。还记得π吗*i（S，θ）=E[\'Di|S]。因为“d”和π之间的差异*i（S，θ）的平均值为零（即e[\'Di- π*i（S，θ）|S]=0），在实践中，这两个量的值可能不会有太大差异，尤其是当| Ni |较大时。然而，它们基于两种不同的行为假设。假设利益的结果代表代理人的决定或行为。然后，公式i=Yi（Di，’Di）是在假设代理人的决策基于‘比预期的方向’Di的情况下推导出来的。只有在做出决定时完全遵守“DII”时，这才是现实的。因此，该模型可以被解释为一个具有完全或完美信息的模型。另一方面，我们的规格Yi=Yi（Di，π*i） 假设代理人在决定自己的行为时没有完全遵守“DII”。因此，即使在第二阶段，代理人也面临着对他人治疗选择的内在不确定性。当参考组相对较大时，这是合理的，因此代理人不容易完全观察到“Di”的值。

此外，在某些情况下，代理人不愿意透露他们的治疗状态——例如，当治疗代表了解他们的HIV状态时，如Godlonton和Thornton（2012年）。在这种情况下，假设代理即使在第二阶段也拥有私人信息可能更现实。与“Di”不同的是，平衡指数为π*iis总是可以被代理观察到，因为它是公共信息S的函数。因此，代理根据平衡量π做出决策是合理的*这表明邻里中治疗采用的先验普遍性。请注意，某些组合（d，π）可能代表平衡量。因此，结果yi（d，π）可能不是与政策相关的反事实。然而，为了严格定义因果效应，我们需要考虑（d，π）的所有可能组合∈ {0, 1} × [0, 1].潜在反应的随机系数模型通过使用随机系数模型，我们在Yi（d，π）上增加了结构，其中我们考虑了个体治疗状态和随机系数之间的相关性。因此，我们的模型可以被视为一个相关的随机系数模型，如Masten和Torgovitsky（2016）以及Wooldridge（2003）所述。假设4（随机系数模型）。（i） 无论如何，我∈ Nn，d∈ {0,1}和π∈ [0，1]，我们有Yi（1，π）=α1i+β1iπ，Yi（0，π）=α0i+β0iπ，其中（α1i，β1i）和（α0i，β0i）是单位系数。（ii）对于S=（G，X，Z），单位系数满足以下限制条件：E[α1i|S]=E[α1i|Xi]=Xiα，&E[β1i|S]=E[β1i|Xi]=Xiβ，同样，E[α0i|S]=E[α0i|Xi]=Xiα，&E[β0i|S]=E[β0i|Xi]=Xiβ。回想一下，当我接受治疗时，Yi（1，π）代表我的反应，并且我的邻域得分被外源性设置为π。在假设4（i）下，假设此类响应在π上与截距α1和斜率β1呈线性关系，这两个截距α1和斜率β1允许在不同的试剂之间存在差异。

类似地，假设Yi（0，π）在π中与截距α0i和斜率β0i呈线性关系。请注意，为了通用性，接受治疗的单位系数（α1i，β1i）可以与未接受治疗的单位系数（α0i，β0i）不同。假设π影响线性过程中的潜在结果Yi（1，π）和Yi（0，π），只是为了方便。将我们的模型扩展到包括π等高阶项是很简单的，例如Yi（d，π）=αd，i+βd，iπ+γd，iπ代表d∈ {0, 1}.单位系数是不可观测的随机变量，可能取决于单位观测到的协变量。通过假设4（ii），我们假设系数的观测部分仅通过hxi依赖于公共状态变量S=（G，X，Z）。重要的是，这一假设意味着Z与随机系数无关。这排除了治疗分配向量Z=（Zi，Z）的情况-i） 直接影响易建联。这是仪器的标准排除限制。因此，在这个假设下，Z是一个工具变量。假设G是冗余的只是为了方便，因为我们总是可以包括网络统计数据，比如Xi中的直接对等点的数量。

最后，在xi中，条件期望是线性的也是为了方便，因为我们总是可以允许Xito包含潜在协变量的非线性函数。在假设4（ii）下，我们可以将单位系数分解为给定Xi的平均部分，其与平均值的偏差如下：α1i=Xiα+u1i，E[u1i | S]=0，β1i=Xiβ+e1i，E[e1i | S]=0。与Di=0类似：α0i=Xiα+u0i，E[u0i | S]=0，β0i=Xiβ+e0i，E[e0i | S]=0。因此，潜在结果可以写成asYi（1，π）=Xiα+u1i+πXiβ+e1i, E[u1i | S]=E[e1i | S]=0，Yi（0，π）=Xiα+u0i+πXiβ+e0i, E[u0i | S]=E[e0i | S]=0，观察结果如下：Yi=Yi（Di，π）*（一）=Xiα+u1i+π*我Xiβ+e1i如果Di=1Xiα+u0i+π*我Xiβ+e0i如果Di=0，我们的模型包含四维误差项：ηi=（u1i，e1i，u0i，e0i）。通过构造，ηi与S不相关，即e[ηi | S]=0。通过ηi，即使在控制了相关的观察特征之后，随机系数也被允许是异质的。现代项目评估文献强调了考虑这种未观察到的异质性的重要性（见Heckman（2001）、Heckman等人（2006）和Imbens（2007））。2.3兴趣参数在本节中，我们正式定义了我们的兴趣参数，即平均偶然效应的类别。为此，让我们首先研究平均潜在结果函数。平均潜在结果根据我们的规范，Xi=x的试剂的平均潜在结果计算如下：对于π∈ [0,1]，E[Yi（1，π）|Xi=x]=xα+（xβ）π，E[Yi（0，π）|Xi=x]=xα+（xβ）π。将它们积分到同分布的X上，得到无条件的平均潜在结果。让uX=E[Xi]，E[Yi（1，π）]=uXα+（uXβ）π（15）=α1m+β1mπ，（16）E[Yi（0，π）]=uXα+（uXβ）π（17）=α0m+β0mπ（18），其中（α1m，β1m，α0m，β0m）=（uXα，uXβ，uXα，uXβ）。

由于uXis可从数据中识别，因此（α1m、β1m、α0m、β0m）的识别需要识别（α、β、α、β）。（α1m，α0m）代表当我们设置π=0时的基线平均潜在结果，即（α1m，α0m）=（e[Yi（1，0）]，e[Yi（0，0）]）。π的影响由（β1m，β0m）表示。另一方面，（α，β，α，β）衡量平均潜在结果的异质性影响。要看到这一点，请注意以下等式成立：E[Yi（1，π）|Xi=x]=xα+πxβ=E[Yi（1，π）]+（x- uX）α+π（X）- uX）β，E[Yi（1，π）|Xi=X]=Xα+πXβ=E[Yi（0，π）]+（X- uX）α+π（X）- uX）β。因此对于d∈ {0，1}，（αd，βd），没有常数系数部分，解释了E[Yi（d，π）|Xi=x]和E[Yi（d，π）]之间的差异。平均因果效应给定平均响应函数，我们现在定义平均因果效应，这是我们感兴趣的参数。让我们将自身治疗在π下的平均直接影响（ADE）定义如下：ADE（π）=e[Yi（1，π）- Yi（0，π）]。ADE（π）衡量的是在要求我选择Di=1的情况下，与禁止我选择Di=1的情况下，结果的平均变化，而Lei的邻里得分固定为π。根据我们的随机系数规范，ADE（π）可以写成ADE（π）=α1m- α0m+（β1m- β0m）π。同样，我们定义了平均溢出效应（ASE），即将每个d的邻里得分从π改为π∈ {0，1}如下所示：ASE（π，π，d）=E[Yi（d，π）- Yi（d，π）＝（π）- π） βdm，它测量了在Di=d时，将邻里得分从π改为π的效果。