网络干扰随机实验分析

根据Gallant and White（1988）定理3.3，我们通过显示可识别的唯一性和一致收敛结果来建立一致性结果。可识别的唯一性我们表明→∞（Ln（θ）- 对于任何θ，如|θ，Ln（θ））>0- θ| ≥  > 0-林恩芬→∞（Ln（θ）- Ln（θ））=lim infn→∞-nnXi=1ehdlnσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- Di）ln1- σ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）Si=lim infn→∞-nnXi=1hσ*i（S，θ）lnσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- σ*i（S，θ））ln1- σ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）硅≥ 林恩芬→∞-nnXi=1lnσ*i（S，θ）+1- σ*i（S，θ）= 第二个等式由E[Di | S]=σ得出*最后一个弱不等式是Jensen不等式。为了证明这种不平等性严格成立，我们需要排除lim infn的情况→∞（Ln（θ）- Ln（θ））=0。这种情况发生在，对于一些大的Enough，σ*i（S，θ）=σ*i（S，θ）为所有i∈ Nn={1,2，··，n}，即存在n，在观测上等价的选择概率。假设是这样。满足任意点的Φθ，包括任意点的Φθ-1(σ*i（S，θ））=Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ），我∈ n和Φ-1(σ*i（S，θ））=Xiθ+θZi+θ| Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ），我∈ Nn。如果σ*i（S，θ）=σ*i（S，θ），我∈ 我们有，Xi（θ）- θ） +Zi（θ）- θ) + (θ- θ） | Ni | Xj∈Niσ*j（S，θ）=0，我∈ Nn。等价地，Ri（θ-θ) = 0, 我∈ 其中Ri的定义如定理2所示。由此得出（θ）-θ） Pni=1RiRi（θ）-θ) = 0. 假设Pni=1对于所有足够大的n都是正的，上述方程仅在θ=θ下成立，从而导致矛盾。接下来，我们验证supθ∈Θ| bLn（θ）- Ln（θ）|p-→ 0.我们首先展示了逐点收敛。一致收敛遵循Lipschitz条件。我们首先证明了，对于任何θ∈ Θ，|bLn（θ）- Ln（θ）|p-→ 0

可以证明bln（θ）- Ln（θ）=nnXi=1n（Di- σ*i（S，θ））lnσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）|{z}ζio。{ζi}ni=1与给定S的平均值零是条件独立的。它也与引理1一致有界。因此，我们可以将LLN应用于独立观测（如马尔可夫），结果如下。一致收敛给定逐点收敛结果，如果我们能建立{bLn（θ）则一致收敛-Ln（θ）}在Θ上是随机等连续的（Andrews（1992）的定理1）。有效条件是证明样本目标函数{li（θ）}中的和是Lipschitz（Andrews（1992）中的假设W-LIP）。注意θli（θ）=Diθσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+（1）- Di）-θσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ），以|θli（θ）|≤θσ*i（S，θ）σ*i（S，θ）+θσ*i（S，θ）1- σ*i（S，θ）.通过引理1和引理2，σ*i（S，θ）和θσ*i（S，θ）一致有界。因此{li（θ）}是Lipschitz连续的，结果如下。B.2第一阶段估计量的渐近正态性证明^θ应满足最大化的一阶条件：θbLn（^θ）=0。假设bln（^θ）是光滑的，我们可以将中值定理应用于关于真参数θ的一阶条件：θbLn（^θ）=θbLn（θ）+θbLn（°θ）（^θ）- θ) = 0 (38)<==>√n（^θ）- θ) = -(θbLn（°θ））-1.√NθbLn（^θ）（39），其中θ是连接^θ和θ的直线的平均值。定义Hessian矩阵asHn（θ）=EhnnXi=1θli（θ）信息矩阵asIn（θ）=EhnnXi=1θli（θ）θli（θ）硅。我们首先展示了这一点θbLn（°θ）- Hn（θ）p-→ 0（Hessian矩阵的ULLN）然后√镍-1n（θ）θbLn（^θ）d-→ N（0，Idim（θ））（分数上的CLT）。Hessian矩阵的ULLN证明了θbLn（°θ）- Hn（θ）p-→ 0.注意θbLn（°θ）- Hn（θ）=nnXi=1θli（°θ）-nnXi=1θli（θ）{z}A+nnXi=1θli（θ）- EhnnXi=1θli（θ）Si |{z}BFirst，A=op（1）自^θ-θp-→ 0和由于引理3，θli（·）是连续的。

接下来，请注意b=nnXi=1nθli（θ）- Eθli（θ）so |{z}ξi{ξi}独立于均值为零的S上的条件。同样通过引理3，它是统一的。因此，对于独立观测，由LLN计算，B=op（1）。CLT注意到√NθbLn（θ）=√nnPni=1θli（θ）和{θli（θ）}是S上独立分布的条件变量，在（θ）上具有一致有界的条件变量。因此，我们可以将李亚普诺夫的CLT应用于独立观测，以获得√镍-1/2n（θ）θbLn（θ）d-→ N（0，I）。结合所有这些结果，我们可以看到等式39可以写成√n（^θ）- θ) = -（Hn（θ）+op（1））-1In（θ）1/2√nIn（θ）-1/2cLn（θ）由信息矩阵不等式确定，当模型正确指定时，Hn（θ）=-在（θ）中，我们有√n（^θ）- θ） =（In（θ）+op（1））-1In（θ）1/2√nIn（θ）-1/2cLn（θ）假设In（θ）是非奇异的，我们得到期望的结果：√n（I）-1n（θ））-1/2(^θ - θ） d-→ N（0，Idim（θ））。B.3第二阶段估计量一致性的证明我们的估计量基于以下矩条件SE[Yi | Di=1，S]=Wiγ，E[Yi | Di=0，S]=Wiγ让我们关注^γ情况，因为^γ情况可以用类似的方式分析。给定力矩条件E[Yi | Di=1，S]=Wiγ，我们用误差形式asYi=Wiγ+1i，E[1i | Di=1，S]=0。γ的估计器定义为^γ=arg minγnnXi=1Di易-^Wiγ（40）=arg minγnnXi=1迪伊- 迪^Wiγ（41）=nnXi=1Di^Wi^Wio-1nXi=1Di^WiYi（42）注意，DiYi=DiYi（1，π*i（S，θ））=Di（Wiγ+1i）=Di^Wiγ+1i- （^Wi）- Wi）γ.把这个插进42就得到了^γ=nXi=1Di^Wi^Wi-1nXi=1Di^Wi^Wiγ+1i- （^Wi）- Wi）γ= γ+nXi=1Di^Wi^Wi-西迪瓦1i- （^Wi）- Wi）γ所以- γ=nnXi=1Di^Wi^Wi|{z}A-1nXiDi^Wi1i- （^Wi）- Wi）γ| {z}B=A-1B。（43）A部分我们证明NPI=1Di^Wi^Wi- E[nPni=1DiWiWi | S]=op（1）。

分解pi=1Di^Wi^Wi- E[nPni=1DiWiWi|S]分为以下两部分：nXi=1Di^Wi^Wi-nnXi=1diwi |{z}（a）+nnXi=1diwi-nnXi=1E[DiWiWi|S]|{z}（b）。（a） =op（1）自^θ- θp-→ 0和Wi（θ）在θ中是连续的。对于（b），请注意summand{DiWiWi- E[DiWiWi | S]}在给定均值为零的S时是条件独立的。它也是一致有界的。因此由LLN（b）=op（1）。最后，E[nPni=1diwi | S]的可逆性由识别条件得出。B部分自^Wi- Wi=op（1），我们可以把它写成B asnnXi=1Di（Wi+op（1））(1i- op（1））=nnXi=1DiWi1与上述类似的参数显示nnxi=1迪维1i- E[DiWi1i|S]= 作品（1）。它从条件E的时刻开始[1 i | Di=1，S]=0表示E[DiWi1i | S]=0。因此我们得出结论B=nnXi=1DiWi1i+op（1）=op（1）。结合A部分的结果，我们得出如下结论：- γ=op（1）。B.4第二阶段估计量渐近正态性的证明来自43，√n（^γ）- γ) =nnXi=1Di^Wi^Wi-1.√nXiDi^Wi1i- γ（^Wi）- Wi）(44)=E[nnXi=1DiWiWi | S]+op（1）-1.√nXiDi^Wi1i- γ（^Wi）- Wi）| {z}C（45），其中上一节已经确定了最后一步。以^Wi为例-Wiin C.通过中值定理，^Wi- Wi=Wi（γ）- Wi（γ）=γWi（γ）（γ）- γ)==>√n（^Wi）- Wi）=γWi（γ）√n（^γ）- γ） 式中，γ是连接γ和γ的线的平均值。通过方程30中第一步估计量^θ的渐近正态性，我们可以证明√n（^θ）-θ） 是渐近线性的。

具体而言，将影响函数定义为ηi=E[nPni=1θli（θ）θli（θ）|S]θli（θ），那么√n（^θ）- θ) =√nnXi=1ηi+op（1）。因此，术语C在√n（^γ）- γ） 可以写成√nXiDi^Wi(1i- γ（^Wi）- Wi）=√nnXi=1Di^Wi1i-nnXi=1Di^Wiγ√n（^Wi）- Wi）=√nnXi=1Di^Wi1i |{z}C（a）-nnnXi=1Di^WiγγWi（γ）o |{z}C（b）√nnXi=1ηi+op（1）我们首先证明C（a）可以被√nPni=1DiWiC（b）可以由E[nPni=1DiWiγ代替γWi（γ）]。C部分（a）我们展示了√nnXi=1迪瓦维1i- 迪维1iP-→ 0Note htat√nnXi=1Di（^Wi）- Wi）1i=√nnXi=1DiγWi（γ）（γ）- γ1i（46）=nnXi=1DiγWi（γ）√n（^γ）- γ)1i（47）=nnXi=1DiγWi（γ）√nnXi=1ηi1i（48）=nnXi=1DiγWi（γ）1i√nnXi=1ηi（49）可以很容易地看出npni=1DiγWi（γ）1i-E[DiγWi（γ）1i|S]P-→ 0其中e[DiγWi（γ）从力矩条件来看，1i | S]=0。因此，等式49变成sop（1）×Op（1），结果如下。C（b）部分我们证明nnxi=1Di^WiγγWi（γ）- E[nnXi=1DiWiγγWi（γ）|S]=op（1）。分解LHS asnnXi=1Di^WiγγWi（γ）-nnXi=1DiWiγγWi（γ）|{z}A+nnXi=1DiWiγγWi（γ）- E[nnXi=1DiWiγγWi（γ）|S]|{z}B.A=op（1）因为^θ-θp-→ 0.而且，由于{DiWiγ}γWi（γ）}是条件独立的，给定S且一致有界，我们可以应用Markov-LLN证明B=op（1）。综合所有结果，术语C可以写成asC=√nnXi=1DiWi1i- EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）硅√nnXi=1ηi+op（1）=√nnXi=1nDiWi1i- EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）Siηio |{z}ζi.由于ζi | S的平均值为零且独立分布，我们可以应用CLT进行独立观测并得到ψ-1/2n√nPni=1ζid-→ N（0，Idim（γ）），其中ψN=nPni=1E[ζiζi|S]，可以简化为nnxi=1E[diwiwiwi]1i]+EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）SinnXi=1E[ηiηi|S]EhnnXi=1DiWiγγWi（γ）由于E，交叉项被划掉了[1iηi|S]=0，即第一阶段和第二阶段情绪不相关。最后，从45开始，通过定义Υn=E[nPni=1wiwiwi | S]，我们得到∧-1/2n√n（^γ）- γ） d-→ N（0，Idim（γ））表示∧N=Υ-1nψnΥ-需要1个NAS。

C辅助引理1（σ的一致有界性）*i（S，θ））。存在一个常数C∈ （0，1）这样的σ*i（S，θ）≥ C对于A中的任何i、S、θ和n（证明），让我们将代理的最佳响应函数定义为Γ（Xi，Zi，\'-σi，θ）=Φ（Xiθ+θZi+θ′σi）。还记得吗*i（S，θ）=Φ（Xiθ+θZi+θπ*i（S，θ））。结果如下：xi是有界的，zi是二进制的，π*i（S，θ）≤ 1.引理2（群的一致有界性）σi）。假设λ<1。存在一个有限常数，如supi，n，S，θ，kσ*i（S，θ）θk< C<∞.（证据）回想一下*i（S，θ）=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i（S，θ），θ）。关于θkgives微分上述方程σ*i（S，θ）θk=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk+Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我σ*i（S，θ）θk等价，σ*i（S，θ）θk=Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk+| Ni | Xj∈镍Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我σ*j（S，θ）θk（50），它给出了[σ*i（S，θ）/θk]i∈Nn。让我们通过定义以下内容，在矩阵中写出50：o让χnbe n×1向量具有第i个分量σ*i（S，θ）/θk.o设dn为n×n矩阵，ijth元素| Ni|Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*iif Gij=1，如果Gij=0，则为零设τnbe n×1向量与ith分量Γ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）θk，那么我们可以把系统50写成χn=Dnχn+τnor，也就是- 如果| | Dn，则χn=τn是可逆的||∞< 1其中诱导矩阵范数| | Dn||∞是行和绝对值的最大值，即| | Dn||∞= 马克西∈NnΓ（Xi，Zi，\'）σ*i、 θ）σ*我.37意味着| | Dn||∞≤ λ、 因此| | Dn||∞< 1.因此dn是可逆的，并且-Dn）-1=P∞t=0Dtn。因此，χn=（P∞t=0Dtn）τn.取sup范数得到| |χn||∞≤∞Xt=0 | | Dtn||∞||τn||∞=||τn||∞1.- λ<Cτ1- λ由于RHS不依赖于（i，n，zn，θ，k），我们得到了期望的结果。引理3（群的一致有界性）σi）。假设λ<1。有一个明确的恒常性|σ*i（S，θ）θmθk |<C<∞对于任何i，n，S，θ，k，ma.S.（证明）固定m.微分方程50w.r.t。

θmgaivesσiθmθk=Γθmθk+Γ“∑iθk“∑iθm+Γ“∑i“∑iθmθk+“∑iθknΓ“∑i“∑iθm+Γθm“∑io。让我们把它写得简洁如下：mkσi=Γmk+Γ′σkm′σi+Γ′σmk′σi+Γ′σ′σk′σim′σi+Γ′σmk′σi.（51）通过定义带有第i个分量的向量，以矩阵形式写出51mkσi.o设带第i分量Γmk+Γ′σk的Γτnbe n×1向量m′σi+Γ′σ′σk′σim′σi+Γ′σmk′σi.51可以写成（In- 如我们之前所示，Dn是可逆的。无论如何，我∈ Nn，|τi |≤ Bθ，θ+2B′σθCσ+B′σ，′σCσ、 所以| |τn||∞= maxi |τi |一致有界。因此，| |xn||∞≤Cτ1- λ，结果如下。参考唐纳德·W·K·安德鲁斯。广义一致收敛。计量经济学理论，8（2）：241-2571992。Sarah Baird、J.Aislinn Bohren、Craig McIntosh和Berk–Ozler。干扰条件下的实验优化设计。《经济学与统计学评论》（5）：844-8602018。帕特里克·巴贾里、韩红、约翰·克莱纳和丹尼斯·内基佩洛夫。评估战略互动的静态模型。商业与经济统计杂志，28（4）：469-4822010。doi:10.1198/jbes。2009.07264. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1198/jbes.2009.07264.Jorge巴拉特和苏金汉。策略性互动的多重治疗。arXiv，2019年。Christian N.Brinch、Magne Mogstad和Matthew Wiswall。再晚些时候用谨慎的仪器。《政治经济学杂志》，125（4）：985-10392017。内政部：10.1086/692712。统一资源定位地址https://doi.org/10.1086/692712.William布洛克和史蒂文·杜拉夫。识别具有社会互动的二元选择模型。计量经济学杂志，140（1）：52-752007。统一资源定位地址https://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:econom:v:140:y:2007:i:1:p:52-75.威廉·A·布洛克和史蒂文·N·杜洛夫。社会互动的离散选择。《经济研究回顾》，68（2）：235-260，2001年4月。ISSN 0034-6527。内政部：10.1111/1467-937X。00168.网址https://doi.org/10.1111/1467-937X.00168.Pedro詹姆斯·J·卡内罗。

Heckman和Edward J.Vytlacil。估算教育的边际回报。《美国经济评论》，101（6）：2754-812011年10月。内政部：10.1257/aer。101.6.2754. 统一资源定位地址https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.101.6.2754.Bruno克雷彭、埃丝特·杜弗洛、马克·古尔甘德、罗兰·拉特洛特和菲利普·萨莫拉。DoLabor市场政策是否会产生置换效应？来自集群随机实验的证据*。《经济学季刊》，128（2）：531-580，2013年4月。ISSN0033-5533。doi:10.1093/qje/qjt001。统一资源定位地址https://doi.org/10.1093/qje/qjt001.Pascaline杜帕斯。新健康产品的短期补贴和长期采用：来自现场实验的证据。《计量经济学》，82（1）：197-228，2014年。内政部：https://doi.org/10.3982/ECTA9508.统一资源定位地址https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.3982/ECTA9508.Marc费拉奇、格里戈里·乔利维特和杰拉德·J·范登伯格。市场内治疗溢出的证据。《经济学与统计学评论》，95（5）：812–8232014。A.英勇和H.怀特。非线性动力学模型的估计和推理的统一理论。牛津：巴兹尔·布莱克威尔，1988年。苏珊·戈德隆顿和丽贝卡·桑顿。同伴对学习hiv结果的影响。《发展经济学杂志》，97（1）：118-129，2012年。ISSN 0304-3878。内政部：https://doi.org/10.1016/j.jdeveco.2010.12.003.统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304387810001343.Jinyong哈恩和吉特·里德。条件矩限制和三角联立方程。《经济学与统计学评论》，93（2）：683–6892011。詹姆斯·J·赫克曼。样本选择偏差是一种规格错误。《计量经济学》，47（1）：153-1611979年。詹姆斯·J·赫克曼。微观数据、异质性和公共政策评估：诺贝尔结构。政治经济学杂志，109（4）：673-7482001。詹姆斯·J·赫克曼和爱德华·维特拉西尔。与政策相关的治疗效果。《美国经济评论》，91（2）：107-1112001年5月。

内政部：10.1257/aer。91.2.107. 统一资源定位地址https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.91.2.107.James赫克曼、塞尔吉奥·乌尔祖亚和爱德华·维特拉西尔。理解具有本质异质性的模型中的工具变量。《经济学与统计学评论》，88（3）：389–4322006。内政部：10.1162/休息。88.3.389. 统一资源定位地址https://doi.org/10.1162/rest.88.3.389.MichaelG.哈金斯和M.伊丽莎白·哈洛兰。倾向于带有干扰的因果推理。《美国统计协会杂志》，103（482）：832-8422008。内政部：10.1198/01621450800000292。统一资源定位地址https://doi.org/10.1198/016214508000000292.PMID:19081744。伊井康介、江志超和阿努普·马兰尼。两阶段随机实验中干扰和不服从的因果推断。《美国统计协会杂志》，0（0）：1-132020。内政部：10.1080/01621459.2020.1775612。统一资源定位地址https://doi.org/10.1080/01621459.2020.1775612.GuidoW.Imbens。《内生回归的非加性模型》，计量经济学会专著第3卷，第17-46页。剑桥大学出版社，《非经济学与计量经济学进展：理论与应用》，第九届世界大会，2007年版。Guido W.Imbens和Joshua D.Angrist。识别和估计局部平均治疗效果。《计量经济学》，62:467–4751994。Matthew O.Jackson、林中坚和余宁。2020年，在评估治疗效果时，调整同伴影响不恰当评分。Brendan Kline和Elie Tamer。第7章——社会互动模型的计量经济学分析本章的一些内容之前曾被同一作者作为“社会互动模型的经验内容”和“社会互动的线性均值模型的一些解释”分发。布莱恩·格雷厄姆和奥雷奥·德·保拉主编，《网络数据的经济计量分析》，第149-181页。学术出版社，2020年。ISBN 978-0-12-811771-2。

内政部：https://doi.org/10.1016/B978-0-12-811771-2.00013-4.统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128117712000134.Natalia拉扎蒂。社会互动的治疗反应：通过单调比较静态法进行部分识别。数量经济学，6（1）：49–832015。内政部：https://doi.org/10.3982/QE308.统一资源定位地址https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.3982/QE308.Lung-Fei李。具有选择性的计量经济模型中二元正态分布的检验。《计量经济学》，52（4）：843-863，1984年。梁建邦。不完全信息网络形成模型的两步估计。《计量经济学杂志》（2015年第182期，第188页）。ISSN 0304-4076。内政部：https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2015.04.001.统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304407615001396.Michael梁佩英。网络干扰下的处理和溢出效应。《经济学与统计学评论》，102（2）：368-3802020a。梁建邦。近似邻域干扰下的因果推理。arXiv，2020b。查尔斯·F·曼斯基。通过社会互动识别治疗反应。《经济计量学杂志》，16（1）：S1-S23，2013年。内政部：https://doi.org/10.1111/j.1368-423X.2012.00368.x.统一资源定位地址https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1368-423X.2012.00368.x.MatthewA.马斯滕和亚历山大·托戈维茨基。工具变量相关随机系数模型的识别。《经济学与统计评论》，98（5）：1001–10052016。丹尼尔·麦克法登。定性响应模型的计量经济学分析。在Z.Griliches+和M.D.Intriligator中，编辑，《计量经济学手册》，第2卷，第24章，第1395-1457页。爱思唯尔，第一版，1984年。统一资源定位地址https://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:ecochp:2-24.爱德华·米格尔和迈克尔·克雷默。蠕虫：识别治疗外部性对教育和健康的影响。《计量经济学》，72（1）：159-217，2004年。