不确定性条件下选择的双重保守主义

由于是凸闭的，所以存在一个非零向量ξ∈ ROhm和k∈ R如此∈Chu，ξi>k>hu*, ξi.ξk-, 未爆炸弹药∈ 外汇∈ Xufξuxkf xminu∈CRufu>uxminu∈CRufu<uxu*∈ Cf 6 X矛盾。因此C是唯一的，类似的论证表明D是唯一的。Q.E.D.A.2其他证据A。2.1命题1的证明u、 C，D-, 具有普遍性。由于参数是对称的，我们只证明（i）。D C补充actsf，g∈ Fsuch thatf（ω）+g（ω）~ 所有ω的xf∈Ohm, 假设 xξufζugζk1OhmuxkSince f x、 接下来就是这个∈Chξ，ui>k<==> 最小u∈Chξ- k1Ohm, ui>0<==>最小u∈Chξ- ζ、 ui>0<==> 最大u∈Chζ- ξ、 ui<0，ξζk1Ohm两边乘以-1.此外，由于 C、 接下来就是麦克斯∈Dhζ- ξ、 ui<0。堵塞ξ=2k1Ohm- ζ，我们得到2 maxu∈Dhζ- k1Ohm, ui<0<==> 最大u∈Dhζ，ui>k。由于ζ=u（g）和k=u（x），这意味着x g、 所以， 满足公理8。D 6 Cu*∈ Du*/∈ CCξ∈ ROhmK∈ R如此∈Chu，ξi>k>hu*, ξi.（17）ξk-, 未爆弹药∈ 外汇∈ Xufξuo H-ξuykg=h+y。因此f+g=ξ+-ξ+k1Ohm=KOhm,fgfωgω~ xoutcome x∈ 由于u（f）=ξ，方程（17）表示最小u∈CZu（f）du=最小u∈Chu，ξi>k=u（x），f 许古希-ξk1Ohm自从*∈ D、 等式（17）表示maxu∈DZu（g）du≥Zu（g）du*= -hu*, ξi+k>-k+k=k=u（x），x6 gfωgω~ xω∈F x、 和x6 g、 这意味着违反了公理8。Q.E.D.A.2.2命题2Let的证明和分别由一份文件（u、C、D）和（u、C、D）表示。假设[-,1] u（X）不丧失一般性。我们只证明（我）。（ii）的论点是完全对称的。C 查阅∈ 外汇∈ Xfximplies thatminu∈CZu（f）du≥ 最小u∈CZu（f）du>u（x），其中fx、 因此，对替代方案的模糊厌恶程度大于.对于相反的方向，假设c6 C、 也就是说，存在一些问题*∈ Cu*/∈ CCξ∈ ROhm和k∈ R如此∈Chu，ξi>k>hu*, ξi。

（18） ξk-, 未爆炸弹药∈ 外汇∈ Xufξuxk（18）fxu*∈ C（18）f 6十、对替代方案的模糊厌恶比. Q.E.D.A.2.3推论1的证明u、 C，Du，C，D命题2暗示了C 坎德 D.相反，假设 坎德 德霍尔德。同样，根据命题2，这意味着f、 g∈ FfG十、∈ Xf十、女朋友十、因为两者都比, 因此，我们有gby的及物性. 因此他比我保守. Q.E.D.A.2.4考虑双重多优先级偏好的命题3的证明用表示法（u，C，D）。和往常一样，假设[-1, 1]  u（X）。我们想证明以下是等价的：（a） 满足单调性，即公理10。（b） 满足独立性，即公理11。（c） 对于某些u，c=D={u}∈ (Ohm).f、 g∈ Ffω gω∈uf，ug∈-,Ohm不失概括性。Letu（x）=0，让^g∈ 是一种行为，使你（^g）=-u（g）。gω^gω~ xω∈uufωu^gω>uxω∈f^g 根据公理6，它遵循F+g因此，公理11就意味着F g、 如你所愿。为了完成（i）的证明，让我们证明（a）意味着（c）。让任何这样的行为发生吧∈-,Ohm >F∈ 福夫超滤- 公理10意味着 F, i、 e.，最小u∈CRu（f）dp>maxp∈DRu（f）dp- . 让 →0，我们得到了不等式∈CZu（f）du≥ 最大u∈DZu（f）du，同时我们还有Maxu∈DZu（f）du≥ 最小u∈CZu（f）du，sinceC∩ D 6=. 因此，我们已经证明了这一点∈CRξdu=最大u∈DRξdu每ξ∈-,Ohm只有在存在的情况下才有可能∈ (Ohm) 这样C=D={u}。u、 C定理1中的公理，意思是这是一种双重的多重优先选择。但是除了偏好之外，它还满足了独立性和单调性公理。因此，根据陈述（i），它必须是一种主观预期效用偏好。Q.E.D.A.2.5命题4的证明u、 C，D**u、 C*C* C∩ Df g、 然后是最小u∈C*Zu（f）du≥ 最小u∈CZu（f）du>最大u∈DZu（g）du≥ 最大u∈C*Zu（g）du，其中f*g、 因此， 他比我保守*.相反，假设他比我保守*.

我们想证明这一点* C∩D.假设，通过矛盾论证，存在*∈ C*\\ C.通过标准的分隔符，我们可以找到∈ F和k∈ [-1，1]这样∈CZu（f）du>k>Zu（f）du*.十、∈ Xuxkf xf 6*根据同样的逻辑，假设存在*∈ C*\\ F.我们可以找到∈ Fandx∈ Xsuch thatZu（f）du*> u（x）>最大u∈DZu（f）du。在这种情况下，我们有X fbutx 6*f、 这导致了另一个矛盾。因此，我们必须有C* C∩ D.Q.E.D.A.2.6命题5的证明u、 C，D^^I:F→ Rα：F→,^Ixuxx∈ X^Xf g、 它认为i（f）≥ 最小u∈CZu（f）du>最大u∈DZu（g）du≥ I（g），其中第一个和第三个不平等来自C∩ D 6=, 这需要α，f^g^很容易证明^ 满足度（R1）和（R2）来自所有x的I（x）=u（x）这一事实∈ X.反过来，假设^是定期完成. 定义^byf^gif和onlyg 6^f^~^^^法米特斯a^-确定性等价。索赔8。F∈ Fxf∈ Xf^~xff^~xf^~x、 然后u（x）=u（x）。证据Sincef(Ohm) 是的，我们可以找到∈ f(Ohm) 这样的话 f（ω）^ 所有ω的xf∈Ohm.x^ f^ x^{λ ∈,λx- λx^ f} {λ∈,f^ λx- λx}，∪,^Λ∪Λ=. 因此，xf^~ 如果我们设置xf=λx+（1- λ） xforλ∈Λ∪Λ. 显然，u（xf）^~及物性。Ifuxff∈ 菲Iαt取[0,1]中的任何值，由于I（f）=u（xf），因此必须显示minu∈CZu（f）du≤ u（xf）≤ 最大u∈DZu（f）du（19）f∈ Fuxf>minu∈CRufuxf fxf^ F ^xf^~ fuxf>maxu∈DRu（f）duf f、 这反过来意味着xf^ f、 矛盾~ f、 因此，方程式（19）适用于所有f∈ F、 如你所愿。Q.E.D.A.2.7推论2的证明我们证明(,^) 共同满足谨慎，然后它接受最大最小表示（u，C）。相反的含义是立即验证的。鉴于命题5，我们想证明谨慎意味着α（f）=0表示所有f∈ F.显然，对于预期效用不依赖于u的任何情况，我们可以通过这种方式设置α∈ C

现在，假设fαf>minu∈CRufu<最大u∈请注意，对于everyx∈ 十、 ifminu∈CRu（f）du<u（x）<maxu∈CRu（f）du，我们有6个 x、 另一方面，我们可以选择使u（x）任意接近inu∈CRu（f）du。α>f*谨慎。因此α（f）=1适用于所有f∈ F、 如你所愿。对maximax的情况进行了类似的讨论。Q.E.D.A.2.8命题6x的证明∈ 十、Bu，CcxTFu，C，C和x。为此，fix任何菜单A∈ A、 考虑以下两种情况：ocAxxf 6Bxf∈ A.BcxTF6号高炉TFx适用于所有f∈ A.oIfc（A；x）=F6=x，我们有Bxandg 6所有人∈ A.同样，根据命题4，g 6TFfg∈ Af所有u的BxRu（f）du>u（x）∈ C、 这相当于最小值∈CRu（f）du>u（x）。这意味着fTFx。通过对弱合理化能力的定义，上述讨论得出以下结论：TFWEAKLYR也在x下对c进行了酰化。现在我们证明了一个选择函数的存在性，这个选择函数可以通过一个two-foldux<sup-uXTFu，C，CCN不是单身汉。然后，假设u（f）包含在开放矩形（u（x），sup u（x））中Ohm, ru（f）du不是常数。显然，存在一个 这样我们就可以定义动作g，使得u（g）=u（f）+1.Ohm, 这样G6TFf。现在定义了一个选择函数C（{f，g}；x）=Fandc是弱合理的TF。这显然是可能的，因为TFxandg 6TFf。但是，任何贝弗利偏好都不能弱合理化因为单调性决定了g男朋友。Q.E.D.A.2.9命题7和8U的证明·，uvumaxu∈DU·，uvb∈ Vv∈ B*C、 Dminu∈CU·，uvb 6Vb仅以V为主的IFBI。这意味着我们有∈ B*（C，D）当且仅当ifU（b）≥ U（v），其中U（b）≡ 最大u∈DZb（v）- ω） du（ω）|{z}≡U（b，u）和U（v）≡ 最小u∈CZv（v）- ω） du（ω）。uUb，u{，…，v}{，…，v}Ub，u在{，…，v}上增加，{，…，v}上轻微减少。

这意味着U（b）的集合≥ U（v）采用离散区间的形式，如命题7所示。现在，假设C=D=(Ohm), 考虑将质量分配给点b的信念∈Ohm. 根据μ，讲真话实现了u（v，μ）=0的最小预期效用。bD=(Ohm). 这意味着每一个b都是不确定的。Q.E.D.A.2.10定理2的证明uX→ R正齐次函数T，T:ROhm→ R和T≥ 不是这样的，对于所有的f，g∈ F、 F G<==> T（u（f））>T（u（g））。（20） 具体地说，下一个权利要求中的第三个要点是与之前唯一的区别，即公理12现在使T和T都是超加的。索赔9。函数T，T:ROhm→ R具有以下性质。i） 尽管如此，ξ∈ ROhm安德烈∈ R、 ifr≥ ξ(ω)≥ r全部ω∈Ohm, 然后T（ξ），T（ξ）∈[r，r]。ii）对于所有ξ∈ ROhm,R∈ R、 λ>0，T（λξ+r1）Ohm) =λT（ξ）+randT（λξ+r1）Ohm) =λT（ξ）+r，尤其是T（r1）Ohm) = T（r1Ohm) = r代表所有r∈ R.iii）对于所有ζ，ζ∈ ROhm, T（ξ+ζ）≥ T（ξ）+T（ζ）和T（ξ+ζ）≥ T（ζ）+T（ζ）。iv）T和T相对于R上的sup范数k·k是连续的Ohm.证据皮重与权利要求5相同。和前面一样，它足以证明t（ξ+ζ）≥T（ξ）+T（ζ）TζTζT此外，通过正同质性，我们可以毫无损失地假设ξ，ζ∈（u（X））Ohm, 因此，g∈ Fξufζugx∈ XTξux（20），我们有x 6 fandx 6 g、 公理12的意思是x 6f+g.再乘以（20），它紧跟着t（ξ+ζ）≥ 而右边等于tou（x）=T（ξ）+T（ζ）。坦斯泰德获得。因此，在这种情况下，等式（22）中有max运算符。连同定理2的后续证明，这说明了定理3证明的草图。现在我们定义（0）=nξ∈ ROhm: T（ξ）≥ 0o和V（0）=nξ∈ ROhm: T（ξ）≥ 0o。（21）TTUVU 及物动词≥ 图瓦Ohm++C、 D以至于u（0）=ξ ∈ ROhm: 最小u∈CZξdu≥ 0和V（0）=ξ ∈ ROhm: 最小u∈DZξdu≥ 0. （22）此外，U（0） V（0）意味着 C

事实上，如果存在*∈ 那么*/∈ C、 然后存在一个非零向量ξ∈ ROhm这样的话∈CZξdu>0>Zξdu*≥ 最小u∈DZξdu，其中ξ∈ U（0）但ξ/∈ V（0），一个矛盾。最后，让我们证明t（ξ）=minu∈CRξdu和t（ξ）=最小u∈DRξdu表示所有ξ∈ ROhm.Tξ>最小u∈CRξξr∈ RT（ξ+r1）Ohm)>> 最小u∈CR（ξ+r1）Ohm)du。但是，（21）意味着ξ+r1Ohm∈ U（0），而（22）表示ξ+r1Ohm/∈ U（0），一个矛盾。同样，如果ξ<minu，我们会遇到一个矛盾∈CRξuTξminu∈CRξuthatT（ξ）=最小u∈ξdu博士。与表示（20）一起，我们得到了.显然，uis在正a ffine变换之前是唯一的，（C，D）的唯一性来自标准的分离超平面参数。Q.E.D.A.2.11违反（R1）的完成示例*αu、 C，C | C | 6-, 十、 Ruxxx∈ X以下实用功能：I（f）=（1）- α） 最小u∈CZu（f）du+αmaxu∈CZu（f）du，J（f）=（1- β） 最小u∈CZu（f）du+βmaxu∈CZu（f）du，αβ≤ α < β ≤由I或J表示的首选项成为.*遵循字典规则：f*G<==>I（f）>I（g）；orI（f）=I（g）和J（f）>J（g）。不难看出这一点*是完成和满意度（R2）。然而，我们声称*违反（R1）。为此，因为| C | 6=1和[-,1] 十、 我们可以走了∈ 范德克斯，x∈ X使X<minu∈CZu（f）du<最大u∈CZu（f）du<x.根据*, 对于任何λ∈ [0,1]，它紧随其后*(1 - λ） x+λx<==>I（f）>（1）- λ） x+λx或I（f）=（1）- λ） x+λx和J（f）>（1）- λ） x+λx<==>I（f）>（1）- λ） x+λx或I（f）=（1）- λ） x+λx<==>I（f）≥ (1 - λ） x+λx,式中，第二个等价性是由于i（f）<J（f）这一事实，它来自于α<β。{λ ∈,F*- λxλx}[0，1]，所以（R1）失败。参考文献数理统计，34（1）：199-2051963。T.F.贝利。奈特决策理论。第一部分。

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