不确定性条件下选择的双重保守主义

具体地说，无记名投标集将作为一个离散区间给出，该区间包含真实估值与提案7。存在*, B*∈ Vwithb*≤ 五、≤ B*这样的*（C，D）={b*, . . . , B*}.命题7背后的直觉可以用图4来解释。考虑一个拥有三个先验的决策者，比如u、u和u，根据这三个先验，预期效用b{，…，v}在{v，…，\'b}上减少，并达到最大atb=v。更重要的是，注意下包络atv的BB。如图所示，单峰意味着这样的b区域采取了离散区间的形式，其中肯定包含v。提议8。如果C=D=(Ohm), 然后B*（C，D）={0，…，b}。前科的数量越来越少。推论3。如果C 坎德 D、 然后是B*（C，D） B*（C，D）7双重最大最小表示双重多重多重优先表示有两种方式表达了选择现状的倾向。首先，通过在比较FversusGorgversusf时允许不对称评估，表示法偏离了完备性公理。其次，将最坏情况准则应用于备选方案，而将最佳情况准则应用于关于轮廓集凸性的公理4。虽然上轮廓集的凸性是建模不确定性的标准假设，但现状和替代方案之间模糊态度不对称的规范性理由并非完全不言而喻。在这一部分中，我们研究了一种显示双重偏好的不确定性厌恶结构的替代表征：定义6。u:X→ 研发部 C(Ohm) 这样对于所有的f，g∈ F、 F G<==> 最小u∈CZu（f）du>最小u∈DZu（g）du。（8） F地位问题，尽管方式不同。

在多优先级表示中，fis根据不确定性厌恶标准进行评估，GAI根据不确定性喜爱标准进行评估。maxmin标准，但适用于替代F的评估显示出比适用于现状的评估更多的不确定性厌恶。这源于公理4中C.CDD的一个子集的假设。公理12。为了所有的x∈ 十、 集合{f∈ F:F x} 和{f∈ F:x6 f} 它们是凸面的。寓言集（黄色）分别为两个maxmin（左）和maxmax（右）ug显示，黄色区域中的边界由.{f]的凸性∈ F： F级 x} 这意味着如果双方都已经了解dxαf- αgx{f∈ 外汇6 f} fgxαf- αgx关于现状行为和替代行为的不确定行为的质量。公理12是必要的，并且适用于两种最大最小偏好。定理2。而C和D是独一无二的。我们还可以通过假设Lower的凸性来考虑公理12的相反情况，从而产生决策者对交替和现状的不确定性偏好态度。公理13。为了所有的x∈ 十、 集合{f∈ F:x f}和{f∈ F:F6 x} 它们是凸面的。与Twold Fold maxmin类似，我们可以通过在（8）的两侧用max操作符替换min操作符，并通过替换conditionD来定义Twold maxmax表示 CwithC D.图5的右面板显示了前一个的轮廓，因此我们省略了它。定理3。而C和D是独一无二的。Miya*****a（2021）确定了一组公理，这些公理是必要且有效的通用双重表示。

他们还表明，双重方法不仅限于本文所考虑的，而且还与一些独立类型公理的弱化相兼容，例如Schmeidler（1989）提出的共单调独立性和Maccheroni等人（2006）提出的弱C独立性。附录：A。定理1的证明通过附录，我们用bycl，co和coto表示闭包，凸包，ROhmkξkmaxω∈Ohm|ξω| r∈ Rr1OhmrωrOhmdiag{r1Ohm∈ ROhmR∈ R} ROhm+{ξ ∈ ROhmξω≥, ω ∈}ROhm++{ξ ∈ ROhmξω>, ω ∈}ROhm-ROhm--类似地。A.1.1效率%Xx，y∈ 十、 byx%yif，仅iF6 x、 自从根据公理1，%是完全的和可传递的。公理2和公理3合在一起，则%满足所有冯·诺依曼-摩根斯坦公理。因此，存在一个有效函数u:X→ Rx%yux≥ uyx，y∈ 自 是非平凡的，并且u在正a ffine变换中是唯一的。权利要求1。尽管如此∈ F、 集合{x∈ X:f x} 是非空的。证据F∈ 外汇，x∈ fx%fω%xω∈f 6 xx 6 外汇~ xfω~ xω∈x6 xf 6 xx 6 ffω~ xω∈现在考虑一下这个案例 x、 用矛盾的方式假设 x、 根据公理α∈,G≡ αf- αx xu（g（ω））=αu（f（ω））+（1- α） u（x）<u（x），ω∈十、 gf 6 我们同样可以证明，x6 f也是。给定λ∈ 设[x=1]，λ- λ） x.我们定义了∧集∧ [0,1]乘∧={λ∈ [0,1]：f6 xλ}和∧={λ∈ [0,1]：xλ6 f} 。，公理2。此外，我们有∧∪Λ= [0,1]. 的确，如果λ∈[0,1]\\∧那么我们有 xλ，所以产量xλ6 f、 因此，我们有λ∈每当λ6∈∧，从中∪,,∩存在一些λ*∈ Λ ∩ Λ. 通过构造，可以得出f xλ*如你所愿。U、 U:F→ Rwe setU（f）=supx∈X{u（X）：f x} U（f）=infx∈X{u（X）：f x} ，（5）f∈ F{uxf x} LettingX和x分别表示F、Axiom7和tou（x）产生的最佳和最差结果≥ U（f）和U（f）≥ u（x），所以这两个函数都是实值的。

让我们在下一次索赔中收集一些其他财产。索赔2。函数U，U:F→ R具有以下性质。i） 为了所有的x∈ F、 u（x）=u（x）=u（x）。ii）所有∈ F、 u（x）≥ U（f）≥ U（f）≥ u（x），其中x，x∈ f(Ohm) 结果是所有ω的u（x）%f（ω）%u（x）吗∈ Ohm.iii）u（X）=u（F）=u（F）。证据显然，（i）源于以下事实：是不对称的和负传递的，因此，构成弱序的严格部分。至于（ii），fix anyf∈ F、 还有letxandxUf≥ Ufux≥ Ufuxsup uuux<sup uxsall >0和x∈ Xsuch thatu（x）<u（x）)≤ u（x）+. 它保持着thatx 所有ω的x%f（ω）∈Ohm, 所以公理7意味着X f、 现在，ifu（x)< U（f），那么我们可以找到∈ Xwithf 是的< 乌伊 福克斯 ≥ 用户体验> 超滤 →用户体验≥ UFU（f）≥ u（x）是对称的。至于（iii），请注意（i）容易暗示u（X） U（F）uX UFuXuu（x）≥ U（f）≥ U（f）≥ u（x）也意味着相反的内含物。下一个引理推导出公理5的一个重要含义。引理1。在公理1-3、6和7的存在下，二元关系满足公理5当且仅当∈ Fwithf 这里有一些∈ 这么说 十、 Y g、 证据。F gx，y∈ Xthatf 十、 Y g、 现在注意到anyz∈ x必须与Etherxory，x相比较 zz xy zz 是的，自从是可传递的，我们可以很容易地检查它是否与f或g相类似。因此， 满足公理5。相反，假设满足公理5，以及∈ Fwithf g、 自从Ohm 是有限的，我们可以从F中找到%-最大和%-最小元素(Ohm)∪ g(Ohm), 用X和X表示。Ifx~ x、 thenf（ω）~ g（ω）表示所有ω∈Ohm. 但是，sincef g、 公理6f f、 不对称的矛盾。因此，x x保持。我们设置f=f+x+x和g=g+x+x.f gω∈uux>ufωugω>uxx 前景 X使用及物性总结这些关系，我们有X F G x、 现在，给定λ∈ 设[x=1]，λ- λ） x。

我们定义了∧，∧集 [0,1]乘∧={λ∈ [0,1]：f xλ}和∧={λ∈ [0,1]：xλ g} 。请注意，这两个都是非空的，因为0∈∧和1∈根据公理，与[0,1]相对开∪,λ ∈,\\f6 xλxλ fxλ gλ∈F xλf gxλgxλ 游戏打得好 xλf xλf xxλ gλ∈,∩∩λ> λ来自这个集合。通过构造，如果我们写x=xλ和x=xλ，它就跟在x后面 F 十、 十、 G x、 uxx fωgωxxω∈公理7暗示x+x F 十、 十、 Gx+x，α，α∈,α> αxi~ αix- αixi∈ {,}β, β∈,β> βxi~（βix+（1）- βi）x）+x+x表示i∈ {1, 2}. 让yi=βix+（1）- βi）x，我们得到f=f+x+xy+x+xy+x+xf+x+x=g。公理2现在意味着f Y Y g根据需要。我们现在准备建立它使用两个效用函数su，U:F→ 引理2。假设满足公理1-3和5-7，以及letU，U:F→ Rbe定义见（5）。为了所有的f，g∈ F、 F g当且仅当U（f）>U（g）。证据假设U（f）>U（g）。为了证明这一点 gwe首先考虑以下情况，即fguf>uxufx必须具有可比性，即f x还是x F特别是，对于任何一个∈ X加f y、 我们有（y）≥ U（f）>U（x），大豆 xholds。因此，我们不能有X fin表示及物性的存在。那么，f 当u（f）>u（x）时，xholds。类似地，我们可以证明 gholds wheneveru（x）>U（g）。现在，我们进入一般情况。F，g∈ F、 假设U（F）>U（g）。请注意，值su（f）和u（g）属于setu（X），因此，我们可以选择somex∈ Xsuch thatU（f）>u（x）>u（g）。前面的参数暗示f x和x g、 其中f g由及物性决定。为了证明唯一的if方向，假设f g、 通过引理1，我们可以找到x，y∈ Xf 十、 Y 古夫≥ uxuy≥ Ugux>Ufx∈ Xf xux>uxx xf xf X矛盾。所以，U（f）≥ u（x）成立，同样，你可以证明u（y）≥ U（g）。因为u（x）>u（y）乘以x y、 我们得出结论：U（f）>U（g）。在声明中。为了达到这一目的，接下来的一系列声明将解释研究了ANDU的功能属性。

在下面的内容中，由于参数是对称的，我们只改进了U（或T，很快就会定义）的性质。索赔3。F∈ 外汇∈ αX∈,Uαf- αxαUf（1）- α） u（x）和u（αf+（1）- α） x）=αU（f）+（1- α） u（x）。证据当α∈ {，}，所以让α∈(0,1). 如果有的话 >0，定义fu意味着存在∈ Xwithf ysuch thatu（y）≤ U（f）+. 根据公理3，f 简化αf+（1）- α） x αy+（1）- α） x.同样通过对u的定义，可以得出u（αf+（1- α） 十）≤ u（αy+（1）- α） x）=αu（y）+（1- α） u（x）≤ αU（f）+（1）- α） u（x）+α.自从 > 0是任意的，让 → 0 yieldsU（αf+（1）- α） 十）≤ αU（f）+（1）- α） u（x）。（9） Ufinf uX（ii），这意味着su（f）=u（x），其中x是最坏的结果inf(Ohm). 然后，得出αf（ω）+（1- α） x%αx+（1）- α） x代表所有ω∈ Ohm, 权利要求2（ii）再次暗示U（αf+（1- α） 十）≥ αu（x）+（1）- α） u（x）=αu（f）+（1）- α） u（x），根据需要。既然U（f）>inf U（X），我们可以取一些z∈ X与u（z）<u（f），使得u（αf+（1- α） x）<αu（z）+（1- α） u（x）<αu（f）+（1）- α） u（x）。通过引理2，第一个不等式意味着αf+（1- α） x6 αz+（1）- α） x，其中公理f 6 zuz<Uff 与先前的结论相反。因此，我们也得到了caseU（f）>inf u（X）所需的等式。从今往后，我们将看到eu:X→ 以这样的方式[-,1] u（X）。这是可能的，因为eu是非常数的，并且在正a ffine变换之前是唯一的。因此，设置≡ {uff∈ F} ROhm-,Ohm此外，我们设置了T（ξ）=U（f）和T（ξ）=U（f），其中ξ=U（f），ξ∈TTξ≡ ufugfω~ gω∈F xg XuuuufugfugtξTξfgT（ξ）≥ T（ξ）表示所有ξ∈Ξ，以及（r1Ohm) =T（r1Ohm) =rfor allr∈ u（X）。接下来我们展示整个空间Ohm.索赔4。ξ ∈λ ≥λξ ∈TλξλTξTλξλTξROhm同质性证据λ >λ 6λ ∈,ξ ∈Ξ，来吧∈ Fbe使得u（f）=ξ，并且∈ Xbeu（x）=0。

根据权利要求3和T的定义，T（λξ）=T（uo （λf+（1）- λ） x））=U（λf+（1）- λ） x）=λU（f）=λT（ξ）。λ >λ∈,T（ξ）=T（λξλ）=λT（λξ），由此得到T（λξ）=λT（ξ）。最后，我们声明tcan可以唯一地扩展到Ohm通过保持正同质性。的确，给定任何非零向量ξ∈ ROhm, 我们可以考虑规范化向量∧ξkξk |ξω|≤~ξ ∈TSξ已经定义。为了保持正均一性，我们必须有T（ξ）=kξkT（～ξ），这提供了T到R的唯一扩展Ohm.TTROhm下一个声明收集了T和T的一些其他属性，我们将使用它们。索赔5。函数T，T:ROhm→ R具有以下性质。i） 尽管如此，ξ∈ ROhm还有r，r∈ R、 如果R≥ ξ(ω) ≥ 对于所有ω，则T（ξ），T（ξ）∈ [r，r]。ii）对于所有ξ∈ ROhm,R∈ R、 λ>0，T（λξ+r1）Ohm) =λT（ξ）+randT（λξ+r1）Ohm) =λT（ξ）+r，尤其是T（r1）Ohm) = T（r1Ohm) = r代表所有r∈ R.iii）对于所有ζ，ζ∈ ROhm, T（ξ+ζ）≥ T（ξ）+T（ζ）和T（ξ+ζ）≤ T（ζ）+T（ζ）。iv）T和T对于k·k证明是连续的。ξ, ζ ∈f、 g∈ Fξufζugx，x∈ XuxruxrTξr1OhmTξrTξr1OhmTξrT（λξ+r1）Ohm) = λT（ξ）+r表示任何λ>0。对于（iii），注意t（ξ+ζ）≥ T（ξ）+T（ζ）相当于toT（ξ+ζ）≥T（ζ）+ζ。为了说明这一点，我们首先考虑情况T（ζ）=T（ζ）。考虑anyk<T（ξ），且letk=u（y）。因为ξ=u（f）和ζ=u（g），所以它跟在f后面 扬格 y、 公理4则引出tof+g y、 因此，T（ξ+ζ）=U（f+g）>U（y）=k。既然可以任意循环toT（ξ），或者等价于toT（ζ），那么T（ξ+ζ）≥T（ζ）+T（ζ）。对于一般情况，假设T（ξ）>T（ζ），并用δ=T（ξ）表示差异- T（ζ）>0。设▽ζ=ζ+δ1Ohm. 由（ii）可知，T（～ζ）=T（ζ）+δ=T（ξ）。Tξζ≥TζTζTζδTζTζδ设置δ这个术语后，T（ξ+ζ）≥T（ζ）+T（ζ）。最后，（ii）和（iii）暗示T是凸的，T是凹的，由此（iv）得出。建立它们的积分表示。

给定任何ξ∈ ROhm, 我们将ξ的上下集合定义如下：U（ξ）=nζ∈ ROhm: T（ζ）>T（ξ）o，Udiag（ξ）=U（ξ）∩ ROhmdiag，L（ξ）=nζ∈ ROhm: T（ξ）>T（ζ）o，Ldiag（ξ）=L（ξ）∩ ROhm此外，让ξ7→ ξ和ξ7→ ξ是R中的运算符Ohm到ROhm由ξ=arg min定义的诊断T（ζ）：ζ∈ cl（Udiag（ξ））,ξ=arg maxT（ζ）：ζ∈ cl（Ldiag（ξ））,自T（r1Ohm) = T（r1Ohm) = r是r的一对一Ohmdiagto R.证明了（c）任何向量ξ的轮廓集对算子ξ7是不变的→ ξ、 ξ，且（d）常数向量的轮廓集可沿45°方向移动o线通过这些观察，我们就足以描述原点U（0）和L（0）的轮廓集，从而恢复任意点的轮廓集。索赔6。对于任何ξ，ζ，以下是正确的∈ ROhmλ∈ R.（a）U在T中减小，即U（ξ） U（ζ）每当T（ξ）≥ T（ζ）。（b） L在T中增加，即L（ξ） L（ζ）T（ξ）≥ T（ζ）。（c） U（ξ）=U（ξ）和L（ξ）=L（ξ）。（d） U（λ1）Ohm) = U（0）+λ1Ohm和L（λ1）Ohm) = L（0）+λ1Ohm.（e） U（0）和L（0）是开凸锥，因此ROhm++ U（0）和ROhm-- L（0）。证据请注意，从定义来看，（a）和（b）是显而易见的。为了证明（c），证明T（ξ）=T（ξ）和T（ξ）=T（ξ）对每个ξ都成立就足够了∈ ROhm. 显然，操作员的定义是ξ7→ ξ、 ξ意味着t（ξ）≤ T（ξ）和T（ξ）≥ T（ξ）。假设asTξ<Tξr∈Tξ，Tξ，它的结果是T（ξ）>T（r1）Ohm) = r=T（r1Ohm) > T（ξ），r1Ohm∈ Udiagξ与ξ的极小值相矛盾。因此，T（ξ）=T（ξ）成立。类似地，我们可以证明T（ξ）=T（ξ）。至于（d），考虑任何ξ∈ ROhmλ∈ R.注意权利要求5（ii）最简单（ξ）-λ1Ohm) =T（ξ）- λ. 因此，可以得出ξ∈ U（λ1）Ohm) <==> T（ξ）>λ<==> T（ξ）- λ1Ohm) > 0<==> (ξ - λ1Ohm) ∈ U（0）<==> ξ ∈ U（0）+λ1Ohm.ξUλ1OhmUλ1OhmL（λ1）Ohm) = L（0）+λ1Ohm.至于（e），请注意，权利要求5暗示U（0）和L（0）由（iv）打开，圆锥由（ii）打开，凸由（ii）和（iii）打开。

此外，ROhm++ U（0）andROhm-- L（0）由（i）保持。他们支持超平面。以下结果基于标准的对偶参数。索赔7。存在非空、闭和凸集C、D (Ohm) 以至于u（0）=ξ ∈ ROhm: 最小u∈CZξdu>0, （10） L（0）=ξ ∈ ROhm: 最大u∈DZξdu>0. （11） 证据。ζ ∈ ROhm\\ Cluconvergence，分离超平面定理产生一个非零向量μζ∈ ROhm这样的≡ minξ∈cl（U（0））huζ，ξi>huζ，ζi。权利要求6（e）还暗示cl（U（0））是圆锥曲线且包含Ohm+. 因此，ζ≥0，因此我们可以将其标准化为概率度量。注意B≤0因为0∈ cl（U（0））。此外，b<ξ∈ clUhξ，uζi<左侧表达式可以任意变小，这是一个矛盾。因此b=0。Cco{uζζ ∈ ROhm\\ clU}最小u∈CRξu≥ξ ∈ 克林u∈CRζdu每ζ<0/∈ cl（U（0））自ζ∈ C.这意味着Cl（U（0））=ξ ∈ ROhm: 最小u∈CZξdu≥ 0. （12） 可以很容易地证明，右侧（12）的内部可以通过替换来获得，并且，通过从权利要求6（e）中看到的U（0）是开放的和凸的这一事实，CL（U（0））的内部与U（0）重合。综合这些观察结果，我们得出结论，U（0）的特征为In（10）。类似地，我们可以用（11）来刻画L（0）。ζTTζ∈ cl Lζ意味着ζ∈ cl（L（ζ））=cl（L（0））+ζ<==> ζ - ζ ∈ cl（L（0））<==> 最大u∈DZ（ζ）- ζ） du≤ 0<==> 最大u∈DZζdu≤ ζ、 （13）其中ζ与相应的实数相同。我们认为最后一个不等式ζ∈ ROhmdiagmaxu∈DRζdu<ζ<ζ。同样根据权利要求6和7，以下等效性成立：ζ∈ L（ζ）=L（0）+ζ<==> ζ - ζ∈ L（0）<==> 最大u∈DZ（ζ）- ζ） du<0<==> 最大u∈DZζdu<ζ。因此，由于最后一个断言在假设中是正确的，我们有ζ∈ L（ζ），或等效的ζ∈ Uζζ>ζζ因此，我们已经证明∈ ROhm满足以下特性：ζ=最大u∈DZζdu。（14） 现在，fix anyf，g∈ F、 设ξ=u（F）和ζ=u（g）。根据引理2和T的定义，它遵循F gif，仅ifT（ξ）>T（ζ）。

结合这一点，尽管我们在其余的证明中没有使用它，但对称恒等式ζ=minu∈CRζdu也适用。6和7，我们观察到 G<==> U（f）>U（g）<==> T（ζ）>T（ζ）<==> ξ ∈ U（ζ）=U（ζ）=U（0）+ζ<==> ξ - ζ ∈ U（0）<==> 最小u∈CZ（ξ）- ζ） du>0<==> 最小u∈CZξdu>ζ，（15）ζ不取决于u的选择∈ C.将（14）代入（15），我们得到 G<==> 最小u∈CZu（f）du>最大u∈DZu（g）du。（16） 因此，我们获得了所需的表示。C合同∩ D=持有。然后，sincecanddar凸紧子集Ohm, 存在一个非零向量ξ∈ ROhm这样的话∈Chξ，ui>最大u∈Dhξ，ui.因此，ξf∈ 外汇∈ Xminu∈CRufu>ux>最大u∈德鲁夫uf xx fof. 因此，C∩ D 6=. Q.E.D.A.1.2伊索莱特是一个允许定理1表达的偏好。接下来我们展示它必须满足公理1-7。限制toXis非平凡且自CEU起具有负传递性假设C∩ D 6=. 证明…的及物性, 以actsf为例 G h、 Wehaveminu∈CZu（f）du>最大u∈DZu（g）du≥ 最大u∈C∩DZu（g）du≥ 最小u∈C∩DZu（g）du≥ 最小u∈CZu（g）du>最大u∈（DZ）o h） du，其中f h、 因此， 满足公理1。代表权。为了证明这一点为了满足公理5的要求，考虑其相反的陈述，即假设：每当两个行为具有可比性时，每个恒定的行为都应至少与其中一个行为具有可比性。假设f g没有损失，我们有最小值∈CZu（f）du>最大u∈DZu（g）du。这意味着每x∈ 十、 以下至少一项适用：u（X）<minu∈CZu（f）du或u（x）>最大u∈DZu（g）du因为前者 而后者意味着 g、 我们得到公理5。最后，这种表述很容易暗示满足单调性条件，即公理6和公理7。Q.E.D.A.1.3唯一性CDCDC 6C在不丧失一般性的情况下，假设存在u*∈ C\\C。