集体慈善：描述和模拟捐赠生态

我们如何解释这一点？答案并不简单，因为爱因斯坦的所有捐赠者都给出了他们以统一的方式给出的结果的倍数：这不会改变Zipf或对数空间中频率分布的斜率（即α或γ）。作为第一次尝试，我们从一个合理的假设开始，即更大的捐赠来自更富有的捐赠者。在Zipf分配方面，礼物的大小将按照捐赠者的财富顺序排列。因此，如果我们知道在某个时间段内，每个人捐赠的总金额在整个人群中的分布，我们就可以估计出，作为收入的函数，每个人必须相对地向特定的慈善机构类别捐赠多少，才能获得我们在图1中观察到的特定分布（即γ值）。基于这种动机，我们转向了一些证据，这些证据描述了收入和送礼在美国的关系。图4所示的2001年美国国税局纳税申报表数据将申报的收入与申报的慈善扣除额进行了比较。平均而言，美国人捐赠了收入的2.9%，慈善捐赠的扣除额似乎与收入几乎成正比。当以Zipf格式绘制并符合幂律分布时，用于慈善捐赠的γ（γ=2.41）略小于用于收入的γ（γ=2.56），更倾向于富人捐赠略高比例的收入。为了前进，我们现在需要能够比较两种任意的齐夫分布，无论是个人财富的齐夫分布还是礼物大小的齐夫分布。

为了便于使用语言，可以考虑向α=αinst=1/（γinst）的特定机构赠送礼物- 1） ，以及α=αpop=1/（γpop）人群中个人的总捐赠-1).我们想知道对该机构的排名第一（最大）的捐赠与人口捐赠的第一个总数的比较，依此类推，直到最后一个排名的捐赠。我们通过Zipf分布推导出这种关系：Sinst（r）~ R-α瞬时Spop（r）~ R-αpop（4），它通过孤立和等同于秩，直接导致USSIST（r）-1/α仪器~ Spop（r）-1/αpop。（5） 使用α=1/（γ）-1） 然后，我们得出，捐赠给该机构的礼物的大小Sinst（r）与个人Spop（r）根据宗教教育捐赠总额020406081000占总捐赠金额的百分比<100100相关-200200-1000>1000 D其他经济或收入群体，单位：千美元<100100-200200-1000>1000 E C联合dPurp ose基金<100100-200200-1000>1000 F其他rFIG。6：根据收入分配捐赠者的选择。列代表2005年捐赠者调查数据[9]。连通正方形代表我们的乘数模型，该模型根据图5中描述的γ值计算得出。乘数模型与捐赠者调查数据基本一致。toinst（r）=cSpop（r）（γpop）-1） /（γ仪器）-1） 式中c=Sinst（r*) [Spop（r*)]-（流行音乐）-1） /（γ仪器）-1） 带r*任何参考排名。我们确定在我们的理论人口中，i和j两个人相对地给予该机构多少。如果这些人的财富等级是RIA和rj（假设他们的捐赠等级也是rj），那么使用公式（6），我们就得到了Sinst（rj）Sinst（ri）=Spop（rj）Spop（ri）（流行音乐）-1） /（γ仪器）-1).

（7） 最后，我们可以计算一个乘数M，它是一个机构的礼物大小之比，由个人捐赠的总额i和j归一化：M=hSinst（rj）Spop（rj）ihSinst（ri）Spop（ri）i=Spop（rj）Spop（ri）（流行音乐）-γinst）/（γinst-1). （8） 现在，我们可以使用公式（8）将个人捐赠（以及相关的收入）的分配转化为各种慈善事业的捐赠分配。首先，我们使用2001年IRS慈善扣除数据作为参考分布来估计γpop，得出γpop’2.41。然后，利用公式（8），我们计算出不同总捐赠水平的人为实现礼物大小分配所需付出的乘数。指数γinst.0.5 1 1.5 21234567log10Gift rank rlog10Gift size Sα=1.54γ=1.65罗姆尼，2010McCain，2006Obama，2011HW布什，1990Clinton，1992Nixon，1972图。7：美国总统候选人从公开发布的联邦纳税申报表中获得的慈善礼物。同样，由于最大似然法的有限规模偏差，我们采用线性回归来拟合分布标度参数γ。其中包括罗姆尼总统2010年的礼物。我们在补充材料中包括了每位总统的γ分布及其范围，如表S3所示，并与表S4中的其他分布进行了比较。根据我们的数据集，我们在图5中显示了六种类型机构的乘数，为方便起见，使用25000美元的收入作为任意参考。我们看到，乘数在收入水平和机构类型上存在很大差异。例如，考虑一下γinst=2.47的联合方式，作为我们的合并用途基金的例子。由于United Ways的礼物大小分布与送礼人群的分布（γpop’2.41）相当接近，因此乘数接近统一。

因此，如果一个捐款总额为S的人将其慈善资金的某一部分捐赠给了United Way，那么我们期望一个捐款总额为10倍的人，也将其慈善资金的类似部分捐赠给United Way，从而产生大约10倍大的礼物（图5，蓝色方块）。这里的乘数是10（2.47-1.80)/(1.80-1） “0.9，也就是说，作为他全部捐赠的一个百分比，来自富人的礼物是不那么富有的人的礼物的0.9倍，但从绝对意义上说，礼物是他的9倍，因为他的总捐赠水平是他的10倍。相比之下，对于γinst\'1.81的佛蒙特大学，乘数现在强烈依赖于收入水平。如果同一个人的捐赠总额为0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 3.5 40123456log10捐赠规模缓慢10捐赠等级d a 0 1 2 3 40123456log10捐赠规模缓慢10礼物等级r B 0 1 2 3 4 C 0.5 1123456log10捐赠规模单一Donorlog10捐赠等级。8：γ制度价值差异模型。A.使用2001年IRS扣除额γ=2.41 Ranks的礼物分配每个捐赠者的礼物总额（黑线实线），以及捐赠礼物1到5的价值（虚线）。插图显示了等级为#316（2.5=log316）的捐赠者根据捐赠者γ=1.8制作的fivegifts。B.机构礼物分配吸引1号捐赠者的顶级礼物和10000号捐赠者的第五份礼物，γ=2.08/等式（9）。C.机构礼物分配吸引了捐赠者1的第五份礼物，以及捐赠者10000的最高礼物，γ=3.04/等式（9）。如果有人现在将他们的部分慈善资金捐给佛蒙特大学，收入较高的人会给出10（2.47）的乘数-1.81)/(1.81-1） “4.0，是他们每年向同一机构捐款总额的三倍（图5，绿色圆圈）。

请注意，礼物的绝对价值增加了40倍：10倍于较大的收入，4倍于乘数效应。我们可以将这些乘数叠加到2005年关于收入群体慈善捐赠的研究数据上。Wedo so在图6中是对图2中显示的samedata的重新排列，根据图4中的IRSincome数据进行装箱。图6中的各栏代表从个体捐赠者调查中收集的数据。这些线是计算出的乘数，如图5所示，由图1和13C所示的γ值生成。这是两个独立的数据集：前者代表来自礼物赠送者的数据，后者代表来自礼物接收者的数据。他们在定性上一致，描述了同一个故事，但视角不同。1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2.3 2.4 2.511.522.533.54幂律表达式γ增益G N=300N=200N=100N=50N=24N=12图。9：与前12名捐赠者筹集的金额相比，预计筹集的总金额。对于低γ机构，更多的捐赠者对筹集的资金总额的影响相对较小。对于高等院校来说，一个庞大的捐赠池对筹集的资金总额有更大的影响。三、 一个针对不同斜率的拟议机制到目前为止，我们已经能够描述作为机构捐赠比例和捐赠者财富的函数，捐赠模式在不同机构类型之间必须如何变化。我们现在试图部分解释这些可变捐赠模式的起源。在许多系统中，出现了多个相依的幂律分布，所涉及的指数通常通过简单的代数表达式联系起来[11]。虽然指数可能是独立模型参数的函数[12]，但我们这里的这种比例指数之间的平滑变化关系是不寻常的。

因此，我们试图解释将γpop和γinstas联系起来的给予机制的一部分，而不仅仅是“幂律输入，幂律输出”（PLIPLO）。我们首先关注个人捐赠者的捐赠行为，他们的捐赠数量、捐赠规模以及对目标机构的个人排名都会有所不同。他们可能会选择把最大的礼物送给健康，第二大礼物送给教育，等等。我们想检查这些捐赠者捐赠行为的特征数据，比如通过检查联邦纳税申报表上的逐项慈善扣除额。虽然这些私人信息通常无法获取，但一些总统候选人已经公开发布了他们的纳税申报表，我们可以使用这些数据作为粗略的指南。图7显示了在对数刻度上绘制的几个候选项的分项扣除额。这些捐赠从大到小排列，在视觉上符合近似的幂律齐普夫分布，伽马值在2到3之间，平均值在2左右。5（见补充材料，表S3和S4）。为了简单起见，我们将再次假定，个人捐赠者的礼物可以用幂律齐普夫分布来充分描述。然后，我们可以提出一种机制，利用捐赠者的选择来解释我们在慈善机构中看到的不同Gammas。在图8A中，我们假设礼物大小分布为γpop=2.41，并使用α供体=1.8的粗略估计值绘制前五名礼物。插图显示了一位捐赠者的Zipf分布的头部。图8B显示了一个机构的礼物分配情况，该机构对获得捐赠的#1捐赠者有强烈的吸引力，但在排名靠前的捐赠者中，对该机构的兴趣单调增加，直到它吸引了最终捐赠者的第5份礼物。这产生了一个低γ，与图3所示的爱因斯坦医学院一致。无花果

8C显示了与捐赠者呼吁相反的安排，导致了更典型的宗教机构的高收益。根据这个公式，我们可以直接得出机构的Zipf指数αinst（以及相应的γinst），作为捐赠者Zipf指数α捐赠者、人口Zipf指数αpop（例如，来自IRS慈善扣除分布）、第一捐赠者和最终捐赠者的礼物选择排名，以及捐赠者数量N的函数，如我们的幂律模型所定义，这种关系在对数空间中是线性的，其斜率等于-αinst.我们有αinst=-日志（排名最后的捐赠者的礼物）- 日志（排名第一的捐赠者礼物）洛根- 日志，其中排名第一的捐赠者的礼物的大小由K给出（排名第一的捐赠者的选择）-α捐赠者和最后一位（第N位）捐赠者礼物的大小（最终捐赠者选择的等级）-α多诺-流行音乐。将这些方程代入斜率方程，并进行简化，得到我们寻求的关系：αinst=αpop+αdonorlogNlog最终捐赠者排名第一捐赠者选择银行.（9） 对于图8B和C的示例，上面给出了γ的范围，从2到3。虽然第一位和最后一位捐赠者的选择排名是固定整数，但这种关系实际上是统计的。J F M A M J A S O N D24681012141618202224 t i i M i i i M i i i i i i O 1 2 3 4.501234567l og1 0Gi F t t S S B 1月4日第一周第一个月第一个月第一个月第六个月全年图。10:A组：2010年佛蒙特州大学收到的礼物按收到顺序的累积表明了超线性增长。在收到非常大的礼物之前，积累是线性的。B组：趋势线与预期最大礼物的纵轴相交，并根据等式显示预期最大礼物如何随捐赠者数量增长。

(9).γ=2.0γ=2.3捐赠者数量12γ=1.6γ=1.8510208850美元200美元200美元200美元200美元739美元10295美元2597美元42413美元535美元1371美元3840美元11167美元440美元934美元2126美元5006美元367美元655美元1231美元2385美元178495美元33150美元12015美元4693美元365546美元总计109094美元60797美元39508美元图。11：为某个机构定制的筹款金字塔。使用幂律筹款模式，低γ院校应该计划并要求比高γ院校更高的顶级礼物。四、 筹款建议a。前12条规则在开展资本运动时，机构将要评估其社区的筹款能力。与本文报道的年度活动相比，资本活动往往是一种更为集中的筹资活动，针对的捐赠者更少。我们收集了一些初步数据，表明一家机构的资本活动γ往往低于其年度活动γ，从而导致礼品的分配更为极端。Dove报告称，前10至15名捐赠者通常占所募集资金总额的50%至70%[13]。类似地，一位专业顾问使用一个通俗的规则来估计慈善活动的筹款能力，即前12位捐赠者将贡献65%的捐款[14]。为了便于讨论，让我们将其称为12大原则。如果我们能估算出竞选活动的预期γ，知道预期的捐赠者数量N，并知道从12个最大的礼物中可以期望多少，我们就可以计算出一个增益因子G来估算竞选活动的总数：竞选活动总数=G×Xr=1S（r））（10），其中G=PNr=1S（r）Pr=1S（r）（11）当我们将慈善捐赠的幂律模型应用于前12位65%规则时，我们可以找到该规则何时适用，何时不适用的情况。无花果

9证实，对于γ值在1.8到1.9范围内的活动（例如，高等教育），筹集的总金额约为前12名捐赠者的1.5倍，对于捐赠者总数为300对100的活动，筹集的金额仅略有增加。但该规则严重低估了γ值较大的机构的总筹资额。对于γ值在2.3左右的活动（例如，对于综合用途基金），我们预计100名捐赠者筹集的总数将超过前12名捐赠者的总数，300名捐赠者将是前12名捐赠者总数的三倍。这一分析表明，前12名筹款-65%规则是一个糟糕的筹款估计器，特别是对于有大量预期捐赠者的活动而言，这是联合用途基金和宗教组织中典型的γ值较高的筹款估计器。请注意，图9是基于这样一个假设，即我们可以为一个给定规模的群体确定前12名捐赠者，并且礼物的幂律分布适用于整个捐赠者池。如果我们增加原始捐赠池的规模，这些假设将不再适用，因为来自新捐赠者的捐赠不会连续添加到发行的尾部，而是会填充整个发行的所有位置，并且随着捐赠池的扩大，可能会超过最初的前12名捐赠中的一些。这将产生比图9所预测的筹集更多资金的效果。换言之，随着活动范围的扩大，它可能会收到一份不超过最初前12名的礼物。对于幂律增长模型，筹集的总金额往往与捐赠者总数呈超线性增长：从100个捐赠者筹集的预期金额是从50个捐赠者筹集的预期金额的两倍以上（前提是扩大的捐赠者池具有与原始池相同的特征财富分布和对组织的兴趣）。

然而，这种趋势受到很大的变化影响，并且对于较小的γ值比较大的γ值更明显。这一扩大的捐赠者群体的预期最大礼物如下所示：最大礼物组A最大礼物组B最大礼物组=# A组捐赠者#B组捐赠者1/(γ-1).（12） 下面的示例演示了这种关系所受的随意性变化。图10显示了按照2006年、2007年、2008年、2009年、2010678年10（捐赠）爱因斯坦医学院（γ）捐赠的顺序累积的总数≈ 1.79）佛蒙特大学（γ）≈ 1.89）Chittenden县联合路（γ）≈ 2.53）弗林剧院（γ）≈ 2.15）图12：低γ组织的筹款波动性可能比高γ组织大。这里报告的γ值是图1所示所有年份的平均值。2010年在佛蒙特大学获得。总收入似乎在一段时间内呈线性增长，然后在收到特大礼物时上升。图10B显示了这些礼物被分解成不同的时间框架。虚线显示了预期的最大礼物如何随着单子数量的增加而增长（根据等式（9））。毫不奇怪，实际最大的礼物显示出这个预测值的巨大变化。B.80-20原则和筹款金字塔通常礼品表（筹款金字塔）是根据维尔弗雷多·帕雷托的80/20原则预测的；80%的资金来自20%的捐赠者[6]。帕雷托最初是基于他对意大利财富的幂律规模分布的观察[15]（80/20筹款关系的γ根据捐赠者的数量而变化，从100个捐赠者的1.82到5000个捐赠者的2.04不等）。