带跳的严格局部鞅

设B是空间上的标准布朗运动(Ohm, G、 P，G）并设τx=inf{t>0:Bt≥ x} 和νx=inf{t>0:Bt≤ x} （12）设∧ (0, ∞), 设F等于σ（τx）≤ s，s≤ t、 x∈ Λ) ∨ σ（νx）≤ s，s≤ t、 x∈ ∧）（13）和Ftis∩u> tFt∨ N，其中N是G的P个零集。假设∧包含一系列点αnw，其中lim supαN=∞lim-infαn=-∞. （14） 定理3。设B为布朗运动，F为（13）中给出的，maderight连续。设X是形式为xt=X+Ztσ（Xs）dBs（15）的SD E的解，其中σ∈ C、 σ>0，σ和σ′都是Lip-schitz连续的。然后存在一个F停止时间序列s（Tn）n≥1增加到∞ a、 s。以至于∧这是一个丰富的过程，每n证明。我们假设Rn是αn中B的首次通过时间，其中αn在（14）中给出。接下来让W=-B，设sn为αn的W的第一个通过时间。如果我们下一个letTn=Rn∧ 我们有晚餐≤Tn | Bs |≤ αn，因此是有界的。我们使用了H.Doss[8]的一个老定理。另见[34，定理25，第289页]。特别是在[34]中，ifdYt=σ（Yt）σ′（Yt）dt+σ（Yt）dBt；Y∈ R、 （16）thenYt=h-1（Bt+h（Y））（17），其中h（Y）=Zyyσ（u）du；ε>0因为σ>0，我们有h严格地增加，因此h-1是连续的；因此，我们的时代也因代表而受到约束（17）。我们接下来要改变测量技术。我们通过让Z=dqdp定义Q，在这里，鞅（在过滤中）Zt=E（Z|Gt）由Zt=1+ZtZs（σ（Xs）σ′（Xs））dBs（18）给出，那么Q等价于P，在Q下，过程X满足SD-EdXt=σ（Xt）dBt+σ（Xt）σ′（Xt）dsgirsanov定理。我们使用序列（Tn）n≥1选定的第一次通过时间| B |以确定X在Q下局部有界，停止时间在F和sinceP中<< Q我们也可以使用相同的停止时间（Tn）n得到X在P下局部有界≥1.我们现在已经建立了足够的结果来推导如下：定理4。

设B是标准布朗运动，在它的佳能定理上(Ohm, G、 P，G），设X是（9）的解，使（10）和（11）化。让∧ [0, ∞) 包含左孤立点，使得sup{η：η∈ Λ} = ∞, 设F为B对∧中每个点的首次通过时间所产生的过滤，F满足通常的假设。设M是X在F上的投影，即i s，M=oX，对于a X，hasoXt=E（Xt | Ft）。我们取M的c`adl`ag vers i on，那么M是一个严格的局部过程，它在每个时间Tβ，对于βa在∧中离开孤立点，对于Tβ，是B在β中的第一次通过时间。证据注意，notationoX指的是X在过滤F上的可选投影。我们让αnbe表示∧中的一系列点，这样αn→ ∞, 和letRn，Snand Tn=Rn∧ n如定理3的证明所示，然后通过同样的定理3，我们得到了Xt∧它是有界的。但如果它是有界的，那么它的可选投影也是有界的，因为时报（Tn）n≥1不只是G停车时间，还有F停车时间。因此，M=oX局部受F停止时间Tn的限制。我们观察到，对于每个t，E（Xt）=E（Mt）≥ 0，那是t7→ E（Xt）是递减的，因为X是非负严格局部鞅；因此t 7→ E（Mt）也是递增的，因此M不能是鞅，因此是严格的局部鞅。还有待观察，我们知道M的跳跃时间是F的完全不可到达时间。这是定理2给出的。我们有MTβ=MTβ-MTβ-= MTβ-MS，其中S=supα∈∧{Tα：Tα<Tβ}，因为过滤F根据定理1从S跳到Tβ。在定理4中，我们假设X是SDE（9）的解，我们把它投影到F上，我们假设M=oX。M是一个局部的马丁酒，因此它可以写为uniquelyasM=Mc+Md（19），其中Mcdenotes是它的连续部分，MDE表示它的“纯粹不连续”部分。这最初是由C.Yoeurp[39]展示的。

然后我们知道，如果M是一个停止时间R，过程1{t≥R} 有一个类似于t 1{t的补偿器≥R}-ARtis a mart ingale，并且如果MDI是局部平方可积的，它可以被写为一个跳跃的补偿和（参见[30，p.266]），因此：Mdt=Xβ在∧中左孤立MTβ{t≥Tβ}- Cβt（20） 其中Cβ是过程的补偿器MTβ{t≥Tβ}。如[18]所示，当补偿器过程Aβ具有绝对连续路径时，给出条件是很有意义的；也就是说，当Aβ的形式为βt=Rth（β）sds时，其中h（β）是一个适应的随机过程，先验地随时间tβ而变化。在这种情况下，过程h（β）有一个自然的解释，即在时间间隔（t，t+dt）内发生跳跃的瞬时（随机）相对可能性。研究论文中的一个常见假设是，此类补偿器确实是绝对连续的，但在实践中很难证明它们确实是连续的。我们希望给出条件，确保时间Tβ的补偿器确实是绝对连续的。注意，这也意味着等式（20）的补偿器Cβ也是绝对连续的。为了看到这一点，我们在局部有界的情况下给出了一个证明，然后通过隐式局部化，我们假设它是有界的。假设H=mtl是有界的∞. 让我们注意有界的可测随机变量。然后我们就有了∈ b和s<t:|E（（Cβt- Cβs）J）|=|E（J（H1{t≥T}- H1{s≥T}）|=|E（JH1{s<T≤t} ）|（21）≤ 吉隆坡∞|E（J1{s≤T≤t} ）|≤吉隆坡∞E（JZts | h（β）r | dr），然后只剩下应用闫增对Ethier-Kurtz补偿器绝对连续性标准的扩展（见[18，定理2]）。注意，Cauchy-Schwarz不等式的两个应用和几乎相同的论证证明了H=我们从一个初步结果开始，它利用了布朗运动的特殊性质。定理5。

对于空间上的rownian运动(Ohm, G、 P，G）和一组∧ R+，我们假设Tβ是B对于aβ水平的首次通过时间∈ Λ. 我们像以前一样定义F（参见（2））。对于左孤立点β∈ 我们知道β是绝对连续的。也就是说，存在一个F适应的p过程λβ=（λβs）s≥0使得1{t≥Tβ}-Rt是一种F马丁酒。证据我们定义了一个左孤立点β∈ ∧，我们让Nt=1t≥Tβ。我们让E F Gbe过滤网=σ（τx≤ s，s≤ t、 x∈ Λ ∩ [0, β]).通过应用单调类定理很容易证明σ（Ft∩ {Tβ>T}）=σ（Et∩ {Tβ>T}）。（22）通过单调类定理的另一个应用，我们得到了以下恒等式：P（Tβ>T+h |σ（Et∩ {Tβ>T}P（Tβ>T|Et）=P（Tβ>T+h|Et）1{Tβ>T}（23）表示我们的固定点β∈ 我们设α=sup{x∈ ∧：x<β}具有以下约定： = 因此Tα=supx∈Λ∩[0，β]Txand是过滤的停止时间。我们也观察到了这一点 ∨十、∈(Λ∩[0，β]）GTx∧T GTα∧T GTα。因此我们有{Tβ>T}=E（E（1{Tβ>T}| GTα）Et）。接下来我们使用进程（Tx）x≥0对于时间变化的原始过滤离子Gtxto getE（E（1{Tβ>T}|GTα）|Et）=E（E（1{Tβ-Tα>T-Tα}| GTα）| Et=E（1）- FTβ-Tα（T- Tα）| Et）=1{Tα>T}+{1- FTβ-Tα（T- Tα）}1{Tα≤t} （24）在哪里-Tα（x）=FTβ-α（x）是Tβ的分布函数- Tα和更高的值等于rxfβ-α（u）du，其中fγ（u）=γ（2πu）-经验(-γ/2u）。（25）对P（Tβ>T+h | Et）的一个逻辑计算可以用来表明P（Tβ>T+h | Et）=P（1）- FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）={1- FTβ-α（t+h）- Tα）}1{Tα≤t} +E（1）- FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）1{Tα>T}（26）使用（24）和（26）我们得到（Nt+h）- Nt | Ft）=Ftβ-α（t+h）- Tα）- FTβ-α（t- Tα）1- FTβ-α（t+h）- Tα[Tα，Tβ）（T）+E（FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）1[0，Tga）（T）上述最后一项最多为FTβ-α（h）1[0，Tα）（T），因此，如果我们除以h，让h趋向于0，它会收敛到0的密度，也就是0乘以（25）。

因此我们得到了Hp（t+h≥ Tβ>T | Ft）→fβ-α（t- Tα）1- FTβ-α（t+h）- Tα[Tα，Tβ）（T）≡ λt（27）as h→ 0.很明显，过程λ适用于F。鉴于这种收敛性，我们有了候选λF或随机强度。为了证明事实确实如此，我们只需验证（例如）T.Aven[1]的一个结果的假设，或其他结果，如Ethier Kurtz[10]的定理，或者参见[18]。这些是向前推进的计算，我们省略了它们。下面的引理无疑是众所周知的，但我们不知道在光明时代哪里有一个引理，所以我们把它包括在这里。L设R和T为两个停止时间，使得P（R=T）=0。假设它们都有绝对连续补偿器，且letMt=1{t≥T}-Zt∧Tλsds和Nt=1{T≥R}-Zt∧Rusds（28）是两个鞅；通过滥用语言，我们说T的补偿强度是λ=（λT）0的过程≤T≤T∧引理1。设T，R是两个停止时间，P（T=R）=0，补偿强度λ和u。那么停止时间的补偿器强度S=T∧ Risλ+u。那就是，{t≥T∧R}-Zt∧T∧R（λs+us）ds是一个m鞅。（29）证据。设M和N如（28）所示。然后（M+N）t=1{t≥T}+1{T≥R}-Zt∧Tλsds+Zt∧Rusds在时间t停止M+N∧ R给我们（M+N）T∧Rt=1{t≥T∧R}-Zt∧T∧R（λs+us）ds如果P（T=R）=0。否则时间t会有一个跳跃∧ R等于1+{T=R<∞}.我们想利用定理5的结果给出相对明确的例子，通过这种投影方法得到的带跳跃的严格局部马尔特内加莱。我们回到连续严格局部鞅族，其形式为dxt=σ（Xt）dBt，X=1，（30），其中B是标准布朗运动，我们假设条件（10）和（11）。也就是说，我们假设εxσ（x）ds=∞ 安德烈∞εxσ（x）ds<∞ 对于某些ε>0的情况。我们将证明以下结果。定理6。

假设给定空间上的布朗运动B(Ohm, G、 P，G）anda集∧ R+，这样至少存在一个左孤立点序列∞ 以及至少一个右孤立点序列，其倾向于-∞. 我们对F的定义与之前（2）中的定义相同。Le t X是（30）wi条件（10）和（11）保持的解决方案。此外，假设σ>0，σ∈ C、 σ和σ′都是Lipschitz连续的。设M=oX是它在F上的投影，那么M是严格的局部鞅l e，它的跳跃有绝对连续的补偿器。证据我们已经看到M是严格的局部鞅，只要我们能证明它是局部鞅。一旦证明了这一点，根据定理5，跳跃和跳跃时间的补偿器都是绝对连续的。为了证明M是一个局部马氏体，我们只需要证明存在一个停止时间的缩减序列。设αnbe为∧上的左孤立点序列，趋向于∞. 然后英国电信∧Tα在n上有界，但不一定在fr下有界。我们定义W=-B我们让Rαnbe表示对应的首次通过时间W。根据定理5，我们得到了Rα的补偿器是绝对连续的。让我们抑制n。我们知道F适应过程λ和u的存在，使得1{t≥Tα}-Rtλsds和1{t≥Rα}-Rt是鞅。但通过引理1，我们得到了T的补偿器∧ R也是绝对连续的；事实上，通过引理1，我们甚至知道它的形式是isRt∧T∧R（λs+us）ds。由此我们知道Sαn≡ Tαn∧ Rα和thatSαn=inf{t>0}{Bt|≥ αn}，以及时间（Sαn）n≥1形成完全不可接近的F的递增序列。

现在，定理3.4.1给出了一系列例子，我们详细地给出了一个例子，在这个例子中，我们可以分析例子的几个特征，例如局部鞅跳跃的补偿器的结构。按照同样的思路，可以构建一个更一般的示例系列，但代价是对其特征进行稍微不那么明确的分析。我们让(Ohm, G、 P，G）是一个支持标准布朗运动B的过滤完全概率空间。用τi<τi+1表示每个i的停止时间的停止顺序≥ 1.limi→∞τi=∞. 此外，我们还假设时间τ都是连续分布的，并且其中有一个序列τ| Bt∧τin|≤ n、 最后，设H为任意可预测过程，使得对于每个t>0，存在It^o积分RTHSDBS。为了消除放射性，假设H 6≡ 0.定理7。让（τi）i≥1.停止时间的顺序，严格按照上述连续分布增加。下一个letJt=∞Xi=1（τ2i）-1，τ2i]（t），并通过Ft=σ（RsHrJrdBr；s）定义G的次过滤F≤ t） 。然后过滤从定义1的意义上从Fτ2i“跳跃”到Fτ2i+1，以及时间τ2i-1对于我来说，这完全是不可能的≥ 1.设X为（9）、（10）、（11）中stocha微分方程的解，设M=oX，X在f上的可选投影。那么M是一个严格的局部鞅，每次跳数（τ2i）是完全不可及的-1） 我≥1.证据。我们知道X是一个严格的局部鞅，只要F中存在一个导出的停止时间序列，M也将是一个。

然而，这种序列的存在是定理3的一个结果，它与定理3的证明中使用的Doss定理是相同的。我们知道，随机积分HJ·B与二次变分过程具有相同的恒常区间（参见示例[34]）。但是[HJ·B，HJ·B]t=Zt（HsJs）dsj，这在i的随机区间（τ2i，τ2i+1）上是常数≥ 1，由此我们可以得出结论，过滤F从Fτ2i跳到Fτ2i+1，然后每个τ2i-1是以F表示的完全不可访问的停止时间（注意，以G表示的所有τi可预测的停止时间）。τ2i+1处的跳跃等于Mτ2i-1=Mτ2i+1-Mτ2，因为过滤本身在这两个停止时间之间跳跃。5与数学金融的联系一个人认为过滤是随着时间推移而演变的可观察事件的集合。在财务方面，将不同的参与者建模为知情或不知情是很自然的，这可以通过过滤收缩和放大来建模。InFontana、Jeanblanc和Song【12】关注过滤扩张和内幕交易，严格的本地鞅作为本地鞅的定义者自然产生。Jarrow、Protter和Sezer[21]在简化形式的信贷风险模型中使用了将差异投射到子过滤上的想法，并以抽象的方式将其与Jarrow和Protter[19]中信贷风险的结构模型和简化形式模型联系起来。扩大和缩小都与模型中没有套利机会的保留或损失有关：例如见F–ollmer和Protter[13]和Larsson[28]。

与此相关的是“虚幻套利”的概念，这是一种涉及严格局部鞅的lso：参见Jarr ow和Protter[20]。局部鞅最常用的应用之一是它们与金融泡沫数学模型的关系，例如参见[5]、[22]、[24]、[35]。直到最近，数学气泡模型（例如[5]、[22]）还仅限于具有连续采样路径的过程。然而，Kardaras、Kreher和Nikeghbali[24]明确地处理了更一般的情况，其中包括c`adl`ag严格局部鞅。他们进一步利用贝塞尔（3）过程及其倒数贝塞尔逆过程构造了一个带跳的严格局部鞅。他们通过对贝塞尔（3）过程的第三个分量以非随机方式离散时间来实现这一点，并进行光学投影。因此，他们的方法基本上与这里使用的方法相同。此外，在Biagini、F¨ollmer和Nedelcu[2]的论文中，考虑了通过风险中性测度的变化来产生泡沫，还讨论了c`adl`ag严格局部鞅的一般情况。H.Hulley[15]的这篇有趣的论文讨论了连续路径过程，但其中大部分内容对于c`adl`agpath过程是有意义的，并且代表了带跳跃的严格局部鞅在数学金融理论中的潜在应用。我们可以想象，当交易者或市场不具备真实基础模型（如（9）、（10）、（11））所需的所有观察值G，而是具有较小的过滤F时，这里所考虑的一系列例子就会出现。因此，交易者看到的是基础模型在子过滤上的投影。

在F中仍然是一个泡沫，在这种情况下，交易者看到了跳跃，即使基础模型是一个持续的差异。在数学金融学中，严格局部鞅的另一个用途是随机投资组合理论中出现的定义，如Fernholz and Karatzas[11]、Ruf[37]以及Platen[32]和Platen and Heath[33]的基准方法所示。事实上，对于概率测度P，设M是一个非负的统一整数鞅，不跳到零，但t仍然达到0，具有正概率。假设Q由dQ=M给出∞dP，所以Q<< 但QI不等于P。在Q下，过程1/M是严格的局部鞅。M可以取0，我们除以它，在Q下，这只发生在Q概率为0的情况下。Kreher和Nikeghbali[27]在最近的研究中对这种情况进行了很好的分析。5.1股票的定价网格和交易时间问题，美国市场的价格是以便士报价的。这意味着，即使将价格过程建模为一个连续过程（例如扩散），也只能在网格点以便士分隔（即最多1美分）的价格网格中观察到。这自然会造成过滤收缩的情况，人们只能在过滤过程穿过以便士单位分隔的价格网格时观察过滤过程。这在精神上再次类似于A.Deniz Sezer在[21]和[38]中开创的方法。另一个问题是交易时间。对数学金融模型的一种常见解释是，价格过程是不断演变的，例如，在发生分歧之后。但人们只能在交易发生时随机观察价格过程。因此，人们观察这个过程的顺序很好，包括停止时间和交易发生的时间。