带跳的严格局部鞅

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英文标题：
《Strict Local Martingales with Jumps》
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作者：
Philip Protter
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A strict local martingale is a local martingale which is not a martingale. There are few explicit examples of \"naturally occurring\" strict local martingales with jumps available in the literature. The purpose of this paper is to provide such examples, and to illustrate how they might arise via filtration shrinkage, a phenomenon we would contend is common in applications such as filtering, control, and especially in mathematical finance. We give a method for constructing such examples and analyze one particular method in detail.
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中文摘要：
严格局部鞅是一个非鞅的局部鞅。文献中很少有“自然发生”的带跳的严格局部鞅的明确例子。本文的目的是提供这样的例子，并说明它们是如何通过过滤收缩产生的，我们认为这一现象在过滤、控制等应用中很常见，尤其是在数学金融中。我们给出了构造此类示例的方法，并详细分析了一种特殊的方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Strict_Local_Martingales_with_Jumps.pdf (221.33 KB)

2022-4-28 17:34:20 上传

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关键词：Applications Quantitative Differential Mathematical Constructing

带跳跃的严格局部鞅*2018年11月7日摘要严格局部鞅是局部鞅，而局部鞅不是鞅。文献中很少有“自然发生”的带跳的严格局部鞅的明确例子。本文的目的是提供这样的例子，并说明它们可能如何通过过滤收缩而产生，我们认为这种现象在过滤、控制等应用中很常见，尤其是在数学金融中。我们给出了构造此类示例的方法，并详细分析了一种特殊的方法。1.在文献中最近有人指出，除了Chybiryakov[4]处理的情况外，很少有带跳的严格局部鞅的例子（参见[12]，[24]）。[24]中也给出了带跳跃的严格局部鞅的例子。如[24]所述，如果M是一个连续的严格局部鞅，而N是一个纯粹的不连续鞅，那么L=M+N之和也是一个严格的局部鞅，但这似乎是一种创建带有跳跃的严格局部鞅示例的艺术方法，这里的目的是展示它们是如何自然出现的，以补充[4]的理论。Elwort hy、Li和Yor[9]、Delbaen和Schachermayer[6]以及最近的Madan和Yor[29]等经典文献都强调了严格局部鞅在不同理论中的重要性。带有跳跃的严格局部鞅的明显候选对象是L′evyprocess。然而，没有任何L’evy过程可以是严格的局部马丁加过程（见[16]或[34，*纽约哥伦比亚大学统计系，邮编：10027；部分由NSFgrant DMS-1308483练习29，第49页）支持。

当然，带跳跃的严格局部鞅可以产生关于L’evy过程的随机积分，但给定一个候选被积，很难确定将产生的随机积分是严格局部鞅，还是仅仅是鞅。最近人们对金融泡沫模型的研究兴趣极大地激发了人们对产生“自然发生”的带跳跃的严格局部鞅例子的内在兴趣。我们的目标是提出一种这样做的方法。作者希望感谢新加坡国立大学（National University of Singapore），在那里完成了本文的大部分工作，并与Bob Jarrow和他在新加坡国立大学（NUS Freddy Delbaen）的同事进行了讨论。他还从2005年与闫增的多次讨论中受益匪浅。我们在本文中的方法是在给定的过滤概率空间上采用连续路径的严格局部鞅Y(Ohm, G、 P，G），其中G=（Gt）t≥0，并将其投影到一个显著更小的过滤F上，得到一个新的过程X。我们以这样一种方式进行投影，即X是较小过滤中的严格局部鞅。如果过滤非常“差”，那么它将失去许多G停止时间，而剩下的一些F停止时间将完全无法访问。（我们将在第2节中介绍完全不可接近停车时间的定义。）这些停止时间是严格局部鞅的潜在跳跃时间。由于Delbaen和Shirakawa[7]的工作，我们有一种方法可以随意构造连续严格局部鞅，这反过来又给了我们一种方法，可以随意构造带有j umps的严格局部鞅。

它还说明了当信息受到限制时，它们是如何从连续严格局部鞅中自然产生的。在第2节中，我们提出了一种过滤收缩的方法，它很简单，并且创建了带跳跃的严格局部鞅。我们还建立了第2节中的一些初步结果，并在第3节中继续讨论更多内容。第四部分是本文的主要结果，包括对跳跃不足假设的补偿器的分析。致谢作者感谢两位匿名推荐人的建设性意见，这些意见使这些结果的陈述更加清晰。2我们假设的基本框架是一个经过过滤的完全概率空间(Ohm, G、 P，G）满足通常条件，并且足够丰富以支持布朗运动。为了分析我们开发的框架，我们需要从Jacodand Skorokhod[17]的一篇论文中获得一个概念，即过滤的跳跃。定义1。让我们≤ 对于一个给定的过滤H，T是两个s的顶部。我们说过滤H从s跳到T，如果对于所有的T≥ σ代数Hs和Ht在{S上重合到零集≤ t<t}。我们希望与英国《金融时报》共同创建一个子公司F GTT≥ 0.实现这一点的一种方法是：。设X是一个具有连续样本路径的自适应过程（例如，X可以是布朗运动）。我们让τxdenote作为x级的第一个通过时间。也就是说，τx=inf{t>0:Xt≥ x} 。（1） 接下来我们让∧ (0, ∞), 然后T（λ）=（τx）x∈∧表示级别X的所有首个消息时间的集合∈ Λ. 我们假设F是最小过滤，使得每个τx，x∈ ∧是一个停止时间，符合通常的假设。也就是说，F由Ft=(∩u> tFu）∨ N，每t≥ 0，其中N表示G的所有Pnull集，其中ft=σ（τx≤ s、 s≤ t、 x∈ ∧）（2）定义2。

我们说的是β点∈ 如果supα∧，则∧在∧中从下方隔离∈Λ{α <β} < β.我们可以通过考虑一组正随机变量（Tα）α来更抽象地定义这一点∈若α6=β，我们称这个族为完全有序∈ ∧，eitherTα<Tβ或Tβ<Tα。命题1和命题2摘自曾彦2006年的博士论文[40]。提议1。设T（λ）=（Tα）α∈λ是一个完全有序的族，让F是满足通常h假设并使所有T（λ）停止时间的最小过滤。确定时间Tβ∈ T（λ），设S=supα∈∧{Tα：Tα<Tβ}。如果S<Tβa.S.，那么F从S跳到Tβ。证据请注意，S是一个停止时间，因为我们也可以将S表示为可数个停止时间的上限。因此，我们可以使用σ代数。然后是FS∩ {S≤ t} 英国《金融时报》和财政司司长∩ {S≤ t<tβ} 英尺∩ {S≤ t<tβ}。相反，对于任何γ∈ ∧，Tγ>S a.S.或Tγ≤ S.a.S.代表S≤ 如果tγ≤ Tγ∈ FSand{Tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}∈ 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。如果Tγ>S，则Tγ≥ Tβa.s.，和{Tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}= 对于s≤ t、 无论如何，我们有{tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}∈ 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。SinceFt=σ（{Tγ≤ s} ：s≤ t、 γ∈ 通过单调类定理，我们得出结论：∩ {S≤ t<tβ} 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。在我们陈述下一个命题之前，让我们回顾一下完全无法到达的停止时间的定义。回想一下，可预测的停止时间T是一个停止时间，因此存在一个停止时间序列Tn和Tn≤ Tn+1a。s、 ，Tn<T a.s.每个n和limn→∞Tn=T a.s.a完全不可访问时间是一个停止时间U，对于一个可预测的时间T，P（T=U）=0。一个著名的P.A.定理。

Meyer指出，关于Feller强马尔可夫过程的自然完全过滤，完全不可接近的停止时间的集合与过程的跳跃时间的集合是一致的（该定理在例如[34]中有详细说明）。提议2。假设F i是满足通常假设的最小过滤，并使每个Tα都有一个停止时间。对于任何β∈ 如果（i）β在∧中从下方分离，并且（ii）给定的Tβ的规则条件分布是连续的，则∧，Tβ是完全不可接近的。证据首先我们假设Tβ是完全不可接近的。假设β在∧中不是从下面孤立出来的。然后存在一个序列αnβ，每个n的停止时间tαntβa.s.，和tαn<tβa.s。因此tβ是可预测的，这是一个矛盾。此外，由于Tβ是完全不可访问的，它的补偿器是连续的。因此，这样的序列αnβ不可能存在，这意味着命题1f中的S<Tβa.S.从S跳到Tβ，因此很容易检查（见[40，定理4，p.20]），其补偿器是zt（S，Tβ]（u）p（Tβ）∈ du | FS）P（Tβ≥ u | FS）（3）由于Tβ完全不可通过假设获得，它必须是连续的。相反，我们希望证明Tβ是完全不可接近的。由于假设β在∧中是从下方分离出来的，因此我们通过X的路径连续性得到了S<Tβ∈ du | FS）是连续的，那么Tβhasa是连续补偿器。我们得出结论，Tβ是完全不可接近的。注意，在这种普遍性水平下，不可能得出这样的结论：对于勒贝格测度而言，时间的补偿器（如Tβ，其中β是∧的左端点）是绝对连续的。实现这种结果的一种方法是将它们与强马尔可夫过程（如狩猎过程）联系起来。[14]和[18]中都采用了这种方法。

但我们必须补充一点，例如，如果基本的连续随机过程X是标准布朗运动，那么我们可以证明∧doindeed的左孤立点的时间Tβ的所有补偿器都有绝对连续的路径。备注1。发展过滤收缩理论的想法并不新鲜。这方面的主要工作是Br’emaud和Yor[3]1978年的论文。通过考虑与allx对应的第一次通过时间来缩短过滤的想法∈ ∧并非新概念，A.Deniz Sezer在她的论文中对其进行了讨论，并发表了论文[38]和[21]。她的方法植根于马尔科夫过程理论和偏移理论中，涉及到各种不同的随机集。在第二篇论文[21]中，她的技术被用于解决信用风险理论中的问题，并提出了艺术表现的问题。这种技术也可以在这个框架中使用（在其他假设下），但我们不尝试在这里这样做。使用过滤收缩概念的最新论文包括[13]、[20]和[28]。3理论预备本节中，我们发展并回顾了一些理论，我们将使用这些理论来建立第4节中的结果，后者是本文的核心。我们首先考虑无约束严格局部鞅的情况。这些问题经常出现在金融领域，并与金融泡沫模型的存在有关（参见[5]、[22]、[2]、[35]）。Delbaen和Shirakawa[7]给出了一种方法，将连续严格局部鞅的例子构造为随机微分方程的解（另请参见[31]和[26]），因此，从假设Z是G连续非负严格局部鞅开始是合理的。

设U为任意连续的G适应过程，且∧与之前一样：∧ [0, ∞) 我们假设∧有左孤立点，左孤立点包含一个倾向于∞. 我们让τx=inf{t>0:Ut≥ x} 。（4） 我们定义F byFt=∩u> tFuwhere Ft=σ（τx≤ s，s≤ t、 x∈ ∧，（5）其中P个零集被添加到所有Ft中。注意，F满足“通常假设”提议3。支持二次变量t7→ [Z，Z]它总是严格地增加，a.s。如果Z的约化停止时间也是F中的停止时间，则Z在F上的可选投影M是nf严格局部鞅。此外，如果u=Z，那么M每次τβ都有一个t的跳跃，其中β是∧的左孤立点。证据由于G严格局部鞅Z的约化停止时间是F中的停止时间，因此从[13]的定理11可以得出M是F局部鞅。由于Z是非负严格局部马尔可夫，我们知道t 7→ E（Zt）正在下降。选择一个任意点β∈ ∧从下面隔离，让我们像以前一样定义：S=supα∈∧{τα：τα<τβ}（6）M在∧左孤立点处的跳跃仍有待研究。注意，我们通过定理2知道，这是F完全不可能的时间Mτβ=Mτβ- Mτβ-= Mτβ- MS，其中S=supα∈∧{τα：τα<τβ}，因为过滤F根据定理1从S跳到τβ。但Mτβ=E（Zτβ| Fτβ）=E（β| Fτβ）=β，MS=E（ZS | FS）=E（α| FS）=α，其中α=sup{x∈ 使x<β}。现在我们从只考虑非负严格局部鞅转向一般严格局部鞅。我们已经通过[13]的定理11知道，G严格局部鞅Z在子滤波器F上的最优投影也是局部鞅，只要G中停止时间的减少序列也是F停止时间的序列。

因此，唯一的问题是Z在G中是否严格也意味着Z在F中是严格的。如果我们使用Kazamaki在1972年建立的局部鞅的Kr-ickeberg分解，一般情况是从正的情况出发[25]。T表示a.s.有限停车时间的集合。对于局部鞅X，我们定义了1范数byk X k=sup{T∈T}E（|XT |）。定理2（局部鞅的克里克伯格分解）。设X是局部鞅。然后k X k=仰卧位（|XTn |），对于limn的每一个减少的停止时间序列（Tn）→∞Tn=∞. I f k X k<∞, 然后存在两个正局部鞅Xp和Xnsuch thatX=Xp- Xn（7）kxk=kxpk+kxnk（8）上面的克里克伯格分解是唯一的，只要一个在（8）上。此外，还可以选择减少s打顶次数（Tn）n的顺序≥1这同时减少了X、X和X中的三个。我们注意到定理2中的最后一个陈述不包含在Kazamaki的原始文件中，但直接检查很简单。提议4。设Y是空间上的严格局部鞅(Ohm, G、 P，G）并让Fbe作为G的一个子过滤。假设存在一个以f为单位的停止时间（Tn）序列，该序列构成G中Y的减少序列。还假设k=supnE（| YRn |）∞对于每一个还原序列ce（Rn）n≥当M=oY是一个严格的局部鞅F，且M是（Tn）n的约化序列≥1.我们强调M=oY是[13]中建立的局部鞅这一事实。定理4的新颖之处在于它在严格意义上是aga。证据假设我们有k<∞. 让Y=Yp- 可能是它的克里克伯格分解。如果Yp和Yn都是鞅（即，不是严格局部鞅），那么Y也是，这违反了我们关于它是严格局部鞅的假设。所以至少有一个Ypyn是严格局部鞅。

让我们假设这一点是严格的。由于YPI是一个正的严格局部马氏体，它的期望值必须是递减的，尤其不能是常数。所以它在F上的投影，称为Mp=oYp，也是一个严格的局部鞅，因为它是正的，有递减的期望，而F约化序列（Tn）n≥根据假设和定理，Yp是一个递减序列。我们也知道mn是一个局部鞅。不管它是鞅还是严格局部鞅，在这两种情况下，差异Mp都无关紧要- 因为MPI是一个，所以MNI是一个本地入口。注意，当我们选择YN而不是Yp时，推理是相同的。4.主要结果通过将连续严格局部鞅投影到子滤波器上，我们将获得带跳跃的严格局部鞅的例子。因此，让我们首先简要回顾一下连续过程的情况。这里有几个连续严格局部鞅的例子。迄今为止已知的最简单、或许也是最有用的家族是德尔班家族和白川家族[7]。另见米贾托维奇和乌鲁索夫[31]。他们考虑随机微分方程的解，其形式为dxt=σ（Xt）dBt，X=1，（9），其中B是标准布朗运动。在zεxσ（x）ds=∞ （10） （9）的解X是严格正的（ε>0）。证明了X是严格局部鞅当且仅当z∞εxσ（x）ds<∞. （11） 一个例子是约翰逊和赫尔姆斯[23]著名的逆贝塞尔（3）过程，它对应于σ（x）=-x、 接下来，我们将建立一个初步结果，稍后我们会发现这个结果很有用。