具有多种资产的场外交易市场模型

此外，投资者之间以λi的速率相遇，但只有当（li，o）类型的投资者遇到（hi，n）类型的投资者时，才会发生资产交换。因此，我们有以下投资者类型比例的动力系统，每个z测量ut（z）∈ E、 由具有k+1约束的3K+1方程组成：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I（8）˙ut（l，n）=Xi∈IλIut（hi，n）ut（li，o）-十一∈Ieγuiut（l，n）+Xi∈Ieγdiut（hi，n）（9）˙ut（hi，o）=λiut（hi，n）ut（li，o）+γuiut（li，o）- γdiut（hi，o），我∈ I（10）˙ut（li，o）=-λiut（hi，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（11）8 B′elage等人，在ut（hi，o）+ut（li，o）=mi的约束下，我∈ 伊克西∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1双资产市场（K=2）中这类模型的投资者之间的动态示意图如图2所示。所有者（h1，o）所有者（h2，o）卖方（l1，o）卖方（l2，o）集合（l，n）买方（h1，n）买方（h2，n）λuγdγuγdγuγdγuγdγ图2注意，可以通过将（8）的每个方程添加到（9）中来消除之前系统的方程（9）。类似地，将（10）中的每一个等式与（11）中的相应等式相加，即可将其消去。

然后将系统简化为以下2K方程组：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I˙ut（li，o）=-λiut（hi，n）ut（li，o）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（12）具有多个资产的OTC市场模型，9具有1+K约束ut（hi，o）+ut（li，o）=mi，我∈ I（13）Xi∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1（14）系统（12）是我们的主方程，我们定义强度度量m，如下所示我∈ I:m（s，（hi，n）；（hi，o））=λius（li，o）；m（s，（li，o）；（l，n））=λius（hi，n）；m（s，（li，o）；（hi，o））=γui；m（s，（嗨，o）；（li，o））=γdi；m（s，（l，n）；（hi，n））=eγui；m（s，（hi，n）；（l，n））=eγdi；对于s∈ [t，∞), 其他条件为0。Vayanos和Wang[11]提出了一个类似的双资产市场。3.ODE系统的稳态。当系统（5）和（12）的左侧等于零时，我们有一个稳态。也就是说，不再依赖时间。3.1. 非细分市场。这里，我们需要求解以下方程组：0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γuu（l，n）- γdu（h，n）（15）0=-λiu（h，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o）， ∈ I（16）首先，请注意，我们可以通过使用约束方程（7）来消除（15）中的u（l，n）。因此，（15）变成0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γu1-十一∈伊米- u（h，n）！- γdu（h，n）=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）（17）10 B′elage等，其中γ，γd+γu。

此外，为了简化最后一个方程，我们将（16）到（17）的K方程减去0=-u（h，n）Xi∈IλIu（li，o）+Xi∈I[λIu（h，n）u（li，o）+γuiu（li，o）- γ二u（hi，o）]+γu1-KXi=1mi！- γu（h，n）=Xi∈Iγuiu（li，o）-十一∈Iγdiu（hi，o）+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）通过使用约束方程（6）替换上一个方程中的每个u（hi，o），我们得到0=Xi∈Iγuiu（li，o）-十一∈Iγdi（mi- u（li，o））+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）=Xi∈IγIu（li，o）-十一∈Iγdimi+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）（18），其中γi，γdi+γui。此外，（16）中的每一个K方程都给出了等式u（li，o）=γdimiλiu（h，n）+γi（19），可以替换为（18）到haveF（u（h，n）），Xi∈IγIγdimiλIu（h，n）+γI-十一∈Iγdimi+γu1-十一∈伊米！- γu（h，n）。（20） 然后，我们需要求解F（x）=0的x，u（h，n）。因此我们得到u（h，n），从中我们得到（6）u（l，n）=1- u（h，n）-圆周率∈Imi，每个u（li，o）的标识（19），最后，每个u（hi，o）=mi- u（li，o），乘以（7）。这里的挑战是求解F（x）=0。首先，请注意我们有1。F（0）=γu1.-圆周率∈伊米> 0，因为γu>0和π∈Imi<1；2.F1.-圆周率∈伊米< -γd1.-圆周率∈伊米< 0;3.F（x）是x的递减函数≥ 所以在0和1之间有一个正根-圆周率∈它总是可以用数字来计算的。因此，对于任何具有多个资产的K.OTC市场模型，始终存在一个固定解u（h，n）。部分细分市场。

根据我们的主方程（12），我们需要求解以下方程组：0=-λiu（hi，n）u（li，o）+eγuiu（l，n）- eγdiu（hi，n），我∈ I（21）0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o），我∈ I（22）具有u（hi，o）+u（li，o）=mi的约束条件，我∈ I（23）Xi∈Imi+Xi∈Iu（hi，n）+u（l，n）=1（24）使用每个约束条件（23），并在（22）的每个等式中用它们替换u（hi，o），我们得到0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）- γdiu（li，o）+γdimi，我∈ 因此i（li，o）=γdimiλiu（hi，n）+γi，我∈ I（25）式中，γI，γui+γdi。现在，将每个（22）减去每个（21），并使用约束（24）代替u（l，n），我们得到：0=eγui“1”-十一∈伊米-十一∈你好，Iun#- eγdiu（hi，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ 我=> eγiu（hi，n）=eγui1-十一∈伊米！- eγuiXj6=iu（hj，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ i使用约束（23）代替u（hi，o）并用（25）代替u（li，o），我们最终得到：u（hi，n）=-eγuieγiXj6=iu（hj，n）+γiγdimieγi（λiu（hi，n）+γi）-γdieγimi+eγuieγi1-十一∈伊米！，我∈ I（26）因此，我们必须求解K个未知量u（hi，n）中的非线性K方程组。一旦我们解出了u（hi，n），我们就可以通过（25）和（12）得到u（li，o）。B’ELANGE等人推导出u（hi，o）=mi-u（li，o），乘以（23），且u（l，n）=1-圆周率∈伊米-圆周率∈Iu（hi，n），by（24）。由于无论市场是非细分市场还是部分细分市场，K=1的情况都是相同的，因此我们得到了上一小节的结果。我们将在下一小节中证明K=2的情况。3.2.1. 两种资产的特例。

从（26）到我∈ {1，2}，我们得到了以下要求解的系统：u（h1，n）=-eγu1eγu（h2，n）+γγd1meγ（λu（h1，n）+γ）+eγu1eγ（1- M- m）-γd1eγmu（h2，n）=-eγu2eγu（h1，n）+γγd2meγ（λu（h2，n）+γ）+eγu2eγ（1- M- m）-γd2eγmor通过重新调整参数：u（h2，n）=-eγeγu1u（h1，n）+γγd1meγu1（λu（h1，n）+γ）+1- M- M-γd1eγu1m（27）u（h1，n）=-eγeγu2u（h2，n）+γγd2meγu2（λu（h2，n）+γ）+1- M- M-γd2eγu2m（28）注意，第一条曲线（27）通过集合{（x，y）}中的以下两点，其中x，u（h1，n）和y，u（h2，n）：（0，0）≤ (0 , 1 - M- m）≤ （0,1）和1.- M- M- (1 - M- m）eγeγu1- 1.+γλ(1 - M- m） +γ- 1.γd1eγu1m≤ （1,0）因为eγeγu1=eγu1+eγd1eγu1>1。通过对称，我们得到第二条曲线（28）通过点（0，0）≤ (1 - M- m、 0）≤ （1,0）和- (1 - M- m）eγeγu2- 1.+γλ(1 - M- m） +γ- 1.γd2eγu2m，1- M- M≤ （0,1）因为γeγu2>1。因此，这两条曲线必须在正单位平方内相交，我们有一个稳定定律。有多种资产的场外交易市场模型134。资产定价。让C（t）表示消费过程。假设U为自性函数，r为货币市场利率（假定为常数）。与之前一样，我们还有Z（t），这是描述投资者类型的非齐次马尔科夫链（类似于杜菲、G^arleanu和佩德森[6]）。我们有以下有限期期望效用最大化问题：sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EZ∞te-r（v）-t） U（C（v））dv | Z（t）=Z，W（t）=W（29）当财富过程{W（t），t≥ 满足以下等式：dW（t）=rW（t）dt- C（t）dt+Xi∈我θi（t）δhi- δdi{Z（t）=（li，o）}dt- Pi（t）dθi（t）（30）W（0）=W初始财富，Pi（t）是代理人之间的交易价格。θi（t）是θi（t）定义的第i项资产的所有权过程=1.如果投资者拥有资产i，即。

如果Z（t）∈ {（hi，o），（li，o）}0，否则（31）注意，这里的dθi（t）只是θi（t+）的简写形式- θi（t）-).继Du^arleanu和Pedersen[6]之后，我们将简单地假设投资者是风险中性的，也就是说我们可以让U（C（t））=C（t）。因此，从（29）中，我们定义了以下优化问题：I（t，W（t），Z（t））=sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EZ∞te-r（v）-t） C（v）dv | Z（t）=Z，W（t）=W（32）根据预算等式C（t）dt=rW（t）dt- dW（t）+dA（t）（33）其中dA（t），Xi∈我θi（t）δhi- δdi{Z（t）=（li，o）}dt- Pi（t）dθi（t）通过（32）和（33），我们可以写∞te-r（v）-t） C（v）dv=Z∞特雷-r（v）-t） W（v）dv-Z∞te-r（v）-t） dW（v）+Z∞te-r（v）-t） dA（v）=W（t）+Z∞te-r（v）-t） dA（v），由It^o的引理14 B’ELANGE等人和thusI（t，W（t），Z（t））=sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}EW（t）+Z∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z，W（t）=W= sup{C（v），θ（v），…，θK（v）}w+EZ∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z4.1. 本征值V（t，z）。我们现在要计算每个州在时间tV（t，z），E时的内在价格Z∞te-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z.（35）设τ为时间t后链Z（t）中第一次跳跃的时间，因此我们可以重写（35）asV（t，Z）=EZτte-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z+ EZ∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z.通过条件迭代，第二项可以写成Z∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z= EEZ∞τe-r（v）-t） dA（v）|Z（τ）| Z（t）=Z= EEZ∞τe-r（（v）-τ )+(τ -t） dA（v）| Z（τ）| Z（t）=Z= EE-r（τ）-t） EZ∞τe-r（v）-τ）dA（v）|Z（τ）| Z（t）=Z= Ehe-r（τ）-t） V（τ，Z（τ））|Z（t）=zi，by（35）和thusV（t，Z）=EZτte-r（v）-t） dA（v）|Z（t）=Z+ Ehe-r（τ）-t） V（τ，Z（τ））|Z（t）=zi。在接下来的小节中，我们将介绍每个状态z的内在值∈ 对于非分段和部分分段模型。计算细节见附录A.1。几种资产的场外交易市场模型154.1.1。非细分市场的内在价值。此类模型的计算详情见附录A.1.1。

结果是：V（t，（l，n））=Z∞电视（s，（h，n））γuexp{-（γu+r）（s）- t） }ds（36）V（t，（h，n））=Xi∈伊兹∞t（V（s，（hi，o））- π（s））λius（li，o）（37）×exp(-Zstr+γdi+Xi∈IλIuv（li，o）！dv）ds+Z∞tV（s，（l，n））γdi×exp(-Zstr+γdi+Xi∈IλIuv（li，o）！dv）dsV（t，（hi，o））=Z∞TZste-r（v）-t） δhidvγdiexp{-γdi（s）- t） }ds（38）+Z∞电视节目{-（γdi+r）（s）- t） }dsV（t，（li，o））=Z∞TZste-r（v）-t） （δhi- δdi）dv（γui+λius（h，n））（39）×exp-Zst（γui+λiuv（h，n））dvds+Z∞电视（s，（hi，o））γui×exp-Zst（γui+r+λiuv（h，n））dvds+Z∞t（V（s，（l，n））+Pi（s））λius（h，n）×exp-Zst（γui+r+λiuv（h，n））dvds4。1.2. 部分细分市场的内在价值。此类模型的计算详情见附录A.1.2。B’ELANGE等人的结果是：V（t，（l，n））=Xi∈伊兹∞电视（s，（hi，n））eγui（40）×exp(-r+Xi∈我就是！（s）- t） ）dsV（t，（hi，n））=Z∞t（V（s，（hi，o））- Pi（s））λius（li，o）（41）×exp-Zst（eγdi+r+λiuv（li，o））dvds+Z∞tV（s，（l，n））eγdi×exp-Zst（eγdi+r+λiuv（li，o））dvdsV（t，（hi，o））=Z∞tγdiexp{-γdi（s）- t） }Zste-r（v）-t） δhidvds（42）+Z∞tγdiexp{-（γdi+r）（s）- t） }V（s，（li，o））dsV（t，（li，o））=Z∞TZste-r（v）-t） （δhi- δdi）dv（γui+λius（hi，n））（43）×exp-Zst（γui+λiuv（hi，n））dvds+Z∞电视（s，（hi，o））γui×exp-Zst（γui+r+λiuv（hi，n））dvds+Z∞t（V（s，（l，n））+Pi（s））λius（hi，n）×exp-Zst（γui+r+λiuv（hi，n））dvds4。2.为V（t，z）而作的颂歌。当我们想要计算稳定价格时，首先需要计算每个状态z的V（t，z）的导数。我们可以从上一节中注意到，V（t，z）的形式总是V（t，z）=mXk=1Z∞tgk（z；t，s）dsOTC市场模型具有多个资产17因此，我们有˙V（t，z）=电视（t，z）=tmXk=1Z∞tgk（z；t，s）ds=mXk=1tZ∞tgk（z；t，s）ds=mXk=1-gk（z；t，t）+z∞Ttgk（z；t，s）ds这些计算的明确细节见附录A.2.4.2.1。对于非细分市场，ODE代表V（t，z）。

此类模型的计算细节见附录A.2.1。结果是：˙V（t，（l，n））=-V（t，（h，n））γu+（γu+r）V（t，（l，n））（44）˙V（t，（h，n））=-十一∈I（V（t，（hi，o））- Pi（t））λiut（li，o）- γdV（t，（l，n））（45）+γd+r+Xi∈IλIut（li，o）！V（t，（h，n）˙V（t，（hi，o））=（γdi+r）V（t，（hi，o））- γdiV（t，（li，o））- δhi（46）˙V（t，（li，o））=（γui+r+λiut（h，n））V（t，（li，o））- γuiV（t，（hi，o））（47）-λiut（h，n）（V（t，（l，n））+Pi（t））- （δhi- δdi）4.2.2。针对部分细分市场的V（t，z）ODE。此类模型的计算详情见附录A.2.2。结果是：˙V（t，（l，n））=-十一∈IV（t，（hi，n））eγui+r+Xi∈我就是！V（t，（l，n））（48）˙V（t，（hi，n））=- （V（t，（hi，o））- Pi（t））λiut（li，o）- V（t，（l，n））eγdi（49）+（eγdi+r+λiut（li，o））V（t，（hi，n）˙V（t，（hi，o））=（γdi+r）V（t，（hi，o））- γdiV（t，（li，o））- δhi（50）˙V（t，（li，o））=（γui+r+λiut（hi，n））V（t，（li，o））- γuiV（t，（hi，o））（51）-λiut（hi，n）（V（t，（l，n））+Pi（t））- （δhi- δdi）4.3。均衡内在价值和价格。平衡内在值通过以下方式计算：电视（t，z）对于每个状态z，V（z）=0∈ E.18 B’ELANGE等人4.3.1。非细分市场的均衡价格。

从四个方程（44），（45），（46）和（47），我们得到以下系统：0=-γuV（h，n）+（γu+r）V（l，n）0=-十一∈I（V（hi，o）- Pi）λiu（li，o）- γdV（l，n）+γd+r+Xi∈IλIu（li，o）！V（h，n）0=（γdi+r）V（hi，o）- γdiV（li，o）- 嗨，我∈ I0=（γui+r+λiu（h，n））V（li，o）- γuiV（hi，o）- λiu（h，n）（V（l，n）+Pi）- （δhi- δdi），我∈ 在编写这个系统时，我们得到rv（l，n）=γu（V（h，n）- V（l，n））rV（h，n）=Xi∈IλIu（li，o）（V（hi，o）- V（h，n）- π）+γd（V（l，n）- V（h，n））rV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（h，n）（V（l，n）- V（li，o）+Pi）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 我的写作方式与杜菲、G^Arleanuan和Pedersen[6]附录中的系统A5类似，但没有市场庄家（ρ=0），我们有以下广义系统：V（l，n）=γuV（h，n）γu+rV（h，n）=Pi∈IλIu（li，o）（V（hi，o）- Pi）+γdV（l，n）γd+r+Pi∈IλIu（li，o）V（hi，o）=γdiV（li，o）+δhiγdi+r，我∈ IV（li，o）=λiu（h，n）（V（l，n）+Pi）+γuiV（hi，o）+δhi- δdiγui+r+λiu（h，n），我∈ 在下一步中，为了找到价格Pi，我们首先根据买家的保留价格改写系统hi=V（hi，o）- V（h，n）和卖方li=V（li，o）- V（l，n）。我们必须这样做锂≤ 圆周率≤ 嗨，这意味着（52）π=（1- q）li+q你好∈ [0，1]代表代理人的议价能力，并假设有多个资产的toOTC市场模型对于每个资产i是相同的∈ 我

那么，rV（l，n）=γu（V（h，n）- V（l，n））rV（h，n）=Xi∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- li）+γd（V（l，n）- V（h，n））rV（hi，o）=γdi（V（li，o）- V（hi，o））+δhi，我∈ IrV（li，o）=λiu（h，n）q(你好- li）+γui（V（hi，o）- V（li，o））+δhi- δdi，我∈ 定义, V（l，n）和e、 n，V（h）- V（l，n）并重写系统：r= γu呃e=Xi∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- （李）- （γu+γd）呃hi=γdi(锂- 你好- （e）-十一∈IλIu（li，o）（1）- q）(你好- li）+γde+δhi，我∈ 红外光谱li=λiu（h，n）q(你好- （李）- γui(锂- 你好- （e）- γue+δhi- δdi，我∈ 它是由2K+2个未知数组成的2K+2方程组的线性系统。如果我们确定了矢量（53） , (, , HH香港，LLlK）Tand（54）δ，（0，0，δh1，δh2，…，δhK，δh1- δd1，δh2- δd2。。。，δhK- δdK）T，它给出了以下需要求解的系统（类似于杜菲、G^arleanu和Pedersen[6]附录中的系统A7）：（55）M = δ式中，M是附录B中定义的（2K+2）×（2K+2）系数矩阵。1.如果M是可逆的，我们可以通过计算 = M-1δ，然后使用（52）计算资产价格。4.3.2。部分细分市场的均衡价格。