一般离散时间马尔可夫模型破产概率的计算

更准确地说，让我们定义任何∈ Nand setsA，B∈ B（E）：wn（x；A，B）：=PxτB<τAc，τB≤ N.[RCSL10]中显示，对于alln，函数Wn满足以下递归∈ N:（wn+1（x；A，B）=1B（x）+IA\\Bwn（x；A，B），w（x；A，B）=1B（x）。值得一提的是，基于状态空间离散化[AKLP10]，有成熟的数值方法可以找到任何给定精度的函数。此外，它认为w（x；A，B）=limn→∞wn（x；A，B）[RCSL10]，其中极限在E上是单调的非递减点。因此，我们得出结论：（9）w（x；A，B）=1B（x）+IA\\Bw（x；A，B）。对于任何x∈ E和B∈ B（X）它认为v（X；B）=w（X；E，B），因此可达性值函数的递归和导出方程是可达避免函数的特例。因此，一般来说，到达避免问题的递归和预测方程受到备注1中讨论的问题的影响。然而，我们接下来表明，通过适当选择集合A和B，这些问题可以得到缓解：特别是，我们获得了Bellman方程解的唯一性和算子IA的收缩性，这导致了到达避免问题的可计算解[TA13a]。此外，我们还展示了如何通过到达-避免问题来近似求解可达性问题。为了实现这些目标，我们需要以下引理。引理1。对于任意两组K，L∈ B（X）i.以下界限成立：|v（X；K）-(1 - w（x；Kc，L））|≤ 好的∈Lv（x；K）；二、如果v（·；K）∪ L）≡ 1，那么w（x；Kc，L）是方程（9）相应版本的唯一解。特别是，如果存在一个整数m∈ n其中δm:=infx∈Xvm（x；K）∪五十） 大于0，则v（·；K）∪L）≡ 1和furhtermore（10）0≤ w（x；Kc，L）-wn（x；Kc，L）≤mδm（1）-δm）纳米对于任何x∈ 对于任何n∈ N.证据。

第[i]部分直接来自[TA13a，引理2]，而第[ii]部分可由[TA13a，命题2，定理1]直接证明。让我们讨论引理1如何实现上述目标。第[i]部分表明，可达性函数v（·；K）可以用到达避免函数w（·；Kc，L）来近似，这导致了后者的计算。第[二]部分反过来，提供了使用有限水平面函数wn（x；Kc，L）计算有限水平面到达避免函数w（x；Kc，L）的条件。请注意，后一个有限水平函数可以使用可用方案计算[AKLP10]。马尔可夫模型破产概率的计算7在我们将引理1应用于破产概率问题之前，让我们阐明我们将要追求的方向。聚焦于v（x；A），一个给定的集合A允许以下二分法，取决于量α：=infx∈Xv（x；A）：（1）如果α>0，则存在m∈ 通知∈Xvm（x；A）>0。因此，ifin[ii]引理1取K=；L=A，我们得到v≡ 1.因此问题得以解决。（2） 如果α=0，那么我们可以找到集合B 足够小的，足够的∈Bv（x；A）小于要求的精度水平。同时，如果集合B足够大，以至于δmas per[ii]引理1是正的，那么（11）v（x；A）-1.-wn（x；Ac，B）≤ 好的∈Bv（x；A）+mδm（1）-δm）纳米.如上所述，函数Wn可以以任何给定的精度进行数值计算，因此（11）提供了一种逼近可达性概率v的有用方法。然而，这里的关键步骤是B的选择和supx上边界的构造∈Bv（x；A）。虽然没有一般的程序，但让我们展示一下所描述的想法如何适用于破产概率问题。我们从选择集合B开始。回想一下，为了通过（6）连接破产和可回收性问题，我们选择了集合a:=R≥0× Θ.

对于y>0，我们还用by=R>y×Θ表示选择集合B的候选者。Thusw（z，θ；A，By）=φ（z，θ，y）对应于两个屏障破产概率，屏障被选择为等于0和y。注意，从引理1可以看出，为了使φ成为相应的点方程（12）的唯一解，φ（z，θ，y）=1（y，∞)（z） +1[0，y]（z）·ZR×φ（z，θ，y）P（（z，θ），dz×dθ）v（·A）是足够的∪ 由）≡ 1.关注后一个条件，让我们注意到，对于大多数风险过程模型，一个更强大的条件是成立的，即v（·；By）≡ 1.只要风险过程增量的预期值大于一个正常数，这一点总是可以满足的。该条件对应于已知净利润条件（NPC）[Mik09]，该条件确保保险公司在长期内是可盈利的（NPC的示例见第2.5、2.6节）。显然，对于任何固定的（z，θ）∈ R×Θ，我们有那个酸橙→∞φ（z，θ，y）=1-ψ（z，θ）。在[Asm00]中，在φ允许封闭形式解的几个具体例子中，这一事实已被使用，因此通过取有限的y，可以得到ψ的精确解→ ∞. 从引理1提供的新观点来看，由于函数φ现在可以通过w计算，所以目标是找到y，使得w和1- ψ足够近了。换句话说，上面的讨论建议通过可计算的两障碍破产概率φ来近似破产概率ψ，这允许为破产概率建立引理1的版本。为了获得实际有用的结果，让我们对风险过程模型提出以下假设：假设1。假设在（1）中，映射h不依赖于z:h（z，θ，ξ）=h（θ，ξ）。此外，假设映射g满足g（z，θ，ξ）≤ g（z，θ，ξ）当z≤ z、 8 I.特卡切夫和A.阿巴特假设1可解释如下。

首先，假设由函数h描述的模型参数的演化与公司资本无关。其次，对于固定的参数值和固定的噪声实现，资本的当前价值越高，下一个时间价值就越高。此类假设得到了一系列模型的满足，尤其是示例1和2中讨论的模型。定理1。假设1成立。用ψ表示*（y）：=supθ∈ψ（y，θ）。那么对于任何（z，θ）∈ 对于所有的y>0，它认为（13）|ψ（z，θ）-(1 -φ（z，θ，y））|≤ ψ*（y）。证据从引理1可以得出|ψ（z，θ）-(1 -φ（z，θ，y））|≤ supθ∈Θsupz>yψ（z，θ），因此对于任何固定的θ，证明supz>yψ（z，θ）=ψ（y，θ）是足够的∈ Θ. 为了证明后一个等式，证明ψ（~z，θ）是足够的≤ ψ（z，θ）如果z≤~z对于所有θ∈ Θ：这是通过耦合技术实现的[Lin92]。考虑两点∈ R以至于≤~z和aθ∈ Θ. 让我们用（Z，θ）和（~Z，θ）表示（1）定义的两个过程，分别从（Z，θ）和（~Z，θ）开始。在命题陈述的假设下，它认为Zn（ω）≤对于anyn，Zn（ω）∈ 和任意固定ω∈ Ohm 因此，以下结论是正确的：（14）ω ∈ Ohm : infn∈N~Zn（ω）<0ω ∈ Ohm : infn∈NZn（ω）<0.最后，由于ψ（~z，θ）是（14）左手边的概率，而ψ（z，θ）是右手边的概率，因此ψ（~z，θ）≤ ψ（z，θ）。让我们来讨论定理1的含义。显然，要应用这个结果，我们需要关于ψ上界的信息*. 破产概率问题的文献对研究数量ψ的渐近行为表现出极大的兴趣*（y）对于较大的y值，因为只要资本足够大，它就提供了破产概率的上限。

然而，据我们所知，这些边界很少是紧的[FKZ11，Kor11]，因此，当资本不足够大时，它们可能实际上并不相关，尤其是在估算ψ（0，θ）时。注意，尽管ψ（z，θ）=1表示z<0，但通常ψ（0，θ）仍然可以比1小得多（cfr第3节）。这样的值可能很有趣，因为它描述了初始资本小到可以忽略不计的破产概率。然后，让我们强调我们的结果与破产概率渐近行为的结果之间的关系。虽然定理1要求知道ψ的一个明确上界*, 它进一步表明，如果我们对ψ（y，θ）感兴趣，那么这样的界不仅是有用的，而且它还可以用作（13）右边的破产问题解的近似界。如前所述，数量为1- φ（z，θ，y）可以用任何给定的精度来计算，它与期望值ψ（z，θ）相差量ψ*（y），如果y较大，则通常较小。因此，定理1给出了基于ψ的渐近界的新观点*.让我们在文献中强调一下ψ的界限*（y）对于风险过程的一般马尔科夫模型来说是未知的，即使是对于y的大值来说也是如此。特别是，在索赔变量的二阶矩不确定的情况下，即使是基本的Cramer-Lundberg模型（在Markov模型91的破产概率计算示例中给出），这样的边界也是未知的[Kor11]。在下一节中，我们将概述Cramer-Lundberg模型的经典结果和最新结果，并用所提出的新技术的结果对其进行基准测试，该新技术随后也将应用于示例2中的模型。第3.2.5节给出的计算示例进一步支持了这一讨论。

Cramer-Lundberg模型破产概率的渐近行为。让我们回忆一下，克莱默-伦德伯格模型是由实线上的随机游动给出的：Zn+1=Zn+ηn，θn≡ 常数，式中ηn=Gn-Cn是iid随机变量序列，G，C如例1所示。NPC[Mik09]（15）下这类模型的破产概率a:=Eη=EG-因此，EC>0可能与具有负漂移的随机游动的最大值的尾部概率有关，在这种特殊情况下，由下式给出：-Z[Mik09]。随机游动最大值的分布本身就是一个重要问题（参见[FKZ11，第5章]），并进一步对应于g/g/1队列中均衡等待时间的尾部概率[Cai02]。这个量的显式表达式只在有限的情况下出现，而大多数结果都是渐近的[BB08，Kor97]。回想一下，我们不仅对ψ（z）对z的渐近行为感兴趣→ ∞,但特别是（13）中需要的ψ的上界。让我们提到文献中的主要结果以及这个问题面临的挑战（更多详细信息见[BB08，FKZ11，Kor97，Mik09]）。对于大z，ψ（z）上界的推导强烈依赖于随机变量矩母函数的性质(-η） ，由m（t）=Ee给出-tη，特别是关于量λ=sup{t≥ 0:m（t）≤ 1} 。在以λ>0和m（λ）=1为特征的Cramer情形[Kor97]中，量λ被称为调节orLundberg系数，它认为（16）ψ*（z） =ψ（z）≤ E-λz，对于所有z≥ 0.另一方面，条件λ>0意味着m（t）是某些正t的整数，重尾分布不满足这些条件——其中包括对数正态分布、帕累托分布和列维分布，对于任何t>0，m（t）都不存在，因此λ=0。

这些分布通常用于排队论和风险理论中，在后一种情况下，用于表示较大的索赔额。虽然在重尾分布的情况下，ψ的渐近行为得到了很好的研究，但一般分布的非平凡显式上界在文献中并不常见，而且通常是保守的[11]。幸运的是，boundsonψ的保守性*对（13）的有效应用并无不利影响——唯一重要的特性是石灰→∞ψ*（y）=0。因此，我们将[Kor11]中的边界调整为Cramer-Lundberg模型的情况。定理2。对于Cramer-Lundberg模型（2），假设如下：（1）NPC，如（15）所示；（2） FC（x）<1，对于所有x>0；（3） E | C- G|γ<∞ 有一段时间≥ 2.由于模型中的θ是一个单点，我们不需要考虑破产概率ψ对θ的依赖性。出于同样的原因，它认为ψ*≡ ψ、 10 I.Tkachev和A.Abate下列界限适用于所有z，y>0:（17）|ψ（z）-(1 -φ（z，y））|≤ c·y1-γ.这里c=3max（c，c）aγ+sγ-1，其中s=max（s，s），是任何实数，使得e min（G- C、 （s）≥a、 s=2γ-1γ-1aE（G）- C） 。同样，C=γ（γ-1)2γ-3ECγ-2（G）- C） ，C=γE（s+C）γ-1C。证据定义随机游动S=（Sn）n∈Z的非同概率空间乘以（18）Sn+1=Sn- Gn+Cn，S=0。进一步让我们*:= 苏普∈NSnbe随机游动S的最大值。它立即从定义P（S）开始*> y） =ψ（y），对于任何y≥ 另一方面，在[Kor11]中已经证明，在定理的假设下，它认为E（S*)γ-1<c.由于*是非负的，通过马尔可夫不等式我们得到*> y）≤ c·y1-γ. 其余的从（13）开始。定理2需要一些注释。

关注报表中的假设，NPC是风险模型最常用的条件之一，相当于假设保险公司在一个时间段内的资本增量平均为正。如果换成克拉默伦伯格模型，它认为-EC<0，则ψ（z）=1表示初始资本z的所有值。此外，条件FC（x）<1表示所有x≥ 0表示分布在R上有一个无界支撑≥0.当这一点不满足时，它几乎肯定地认为CIS是有界的，这导致（16）中的边界更紧。我们还要提到，在定理2中的假设下，量c，c显然是有限的。考虑到a>0，sis的完整性也很明显。定理2陈述中的最后一个条件，即E | C-G|γ<∞ 有一段时间≥ 2.更有趣。首先，请注意，这种情况可以通过以下方式放宽：ECγ<∞, 有一段时间≥ 2.的确，如果a=EG-EC>0然后总是有性别歧视者k∈ R≥使（19）E min（k，G）-EC>0。对于这样一个k，让我们定义^G:=min（k，G）为溢价的新变量，并通过^Z确定相应的风险过程。显然，如果ECγ<∞ 然后E | C-^G|γ<∞因此^Z满足了定理2的最后一个条件。另一方面，通过在同一概率空间上耦合Zand^Z，我们得到了^Z≤ Z a.s.和ψ（Z）≤^ψ（z）表示所有z≥ 0，其中^ψ是风险过程^Z的破产概率。因此，如果放松假设E|C，边界（17）仍然成立- G|γ<∞ 有一段时间≥ 2，至ECγ<∞ 有一段时间≥ 2.

这可以被认为是第2条的主要要求：请注意，文献[Asm00，Mik09]中考虑的索赔规模的大多数分布，即使是那些非常重尾的分布，都有一个最终的二阶矩，因此满足了这一假设。为了进一步阐明这项工作中提出的整体技术，让我们在Cramer-Lundberg模型上给出破产问题的建议解决方案。假设索赔金额和保费Gbe给定随机变量，并假设EC<∞ a=E（G）- C） >0。程序如下：马尔可夫模型破产概率的计算111。选取精度等级“>02a。如果是有界支撑，则确定η=G的伦德伯格系数λ-C、 定义数量y=-λlog“2b.如果是无界支撑，则计算EG.如果EG=∞ 遵循截断程序，发现k>0（19）。选择y=2c”，其中c在定理2中计算为最小（k，G）3的Gor。根据是否支持Cis有界，将y作为[2a]中的定义或在[2b.]中；用精度为“4.定义φψ（z）：=1的方法确定φ（z，y）-φ（z，y）。根据定理1，它认为kψ-ψk≤ “同样值得澄清的是，双屏障破产概率的计算方法。如上所述，设η=G- c设Fη为其累积分布函数。那么φ（z，y）=1（y，∞)（z） +1[0，y]（z）hy（z），其中从（12）开始，hy:[0，y]→ R是经验方程h（z，y）=Fη（y）的解-z） +Zthy（t）dFη（t-z） ，在Fη允许密度的情况下，Fη是紧致区间[Atk97]上的第二类Fredholm积分方程，为（20）h（z，y）=Fη（y-z） +Zthy（t）fη（t-z） dt。数值方法可用于求解该方程。第3节给出了这个计算过程的一个例子。2.6.

一类利率模型破产概率的渐近性态。现在，让我们根据示例2中给出的模型定制上一节中的主要结果。所给出的边界直接通过相应的CramerLundberg模型导出，因此受到类似条件的约束。更准确地说，设（Z，I）为（3）-（4）给出的风险过程。这种模式的NPC是EG-EC>0[Cai02]，这与Cramer-Lundberg模型类似。[Cai02]中的功也表示ψ（z，i）≤^ψ（z）对于所有z，i≥ 0，其中后一种破产概率是在对应于（Z，I）的Cramer-Lundberg风险过程^Z上定义的，其特征是^Zn+1=^Zn+Gn- Cn，^Z=Z。因此，为了找到ψ的上界，我们可以利用^ψ的上界，因此第2.5节中给出的程序直接适用。最终界限的形式为kψ-ψk≤ “，式中（21）~ψ（z，i）=1-φ（z，i，y（“），其中y（“）是根据^ψ的边界选择的，如（16）或（17）所示。虽然（21）中的近似值可以尽可能精确，但它涉及到在一个现在是无界的域上计算两个势垒概率φ：这是因为兴趣变量取R的值≥0.由于求解无界集合上积分方程的数值方法仅在有限的情况下可用，这种近似在实践中可能没有用处。为了解决这个问题，我们可以用另一个再行为问题的解来近似ψ，而不是用双势垒破产概率来近似ψ，其中目标集定义为asBy，j={（z，i）：z>y或i>j}，且允许状态集与之前的A=R相同≥0×R≥0