一般离散时间马尔可夫模型破产概率的计算

对应值函数w（z，i；A，By，j）的表达式只需在紧集A上求解，j=[0，y]×[0，j]，专用数值方法[AKLP10]可用于以任何给定精度求解。定理1的结果适用于这种情况，如（22）ψ（z，i）-1+w（z，i；A，By，j）≤ 最大值ψ（y，0），ψ（0，j）,这导致在（22）的右边寻找边界。如上所述，ψ（y，0）≤^ψ（y）表示所有y≥ 0，后者的概率可以使用第2.5节中的结果来确定。因此，只剩下量ψ（0，j）有待研究。为了达到任何可能的精度，我们必须证明limj→∞ψ（0，j）=0。显然，如果FG（0）>0，情况并非如此，因为考虑第一步的破产事件，我们得到了（23）ψ（0，j）≥ P{G=0}P{C<0}=FG（0）（1）- FC（0））不考虑j的值。为了避免这种情况，我们假设FG（0）=0。现在让我们定义任意y>0。由于ψ是一个可达概率，它允许（8），所以：ψ（0，j）=Pψ（0，j）=E（0，j）[ψ（Z，I）]≤ supz<yψ*（z） ·P（0，j）{z<y}+supz≥yψ*（z） P（0，j）{z≥ y}≤ P（0，j）{Z<y}+ψ*（y）。还记得ψ吗*（y）=supi≥0ψ（y，i）=ψ（y，0）。此外，对于j>0和所有β∈ （0，1）：P（0，j）{Z<y}=P{G（1+j）- C<y}≤ PаG- C<-jβE | G- C | | |+P|j·G<y+jβE |G- C |）≤ P|G- C |>jβE | G- C |(c)+FGy+jβE | G- C|j≤jβ+FGyj+E | G- C | j1-β.因此，对于任何β∈ （0,1）和（z，i）∈ R×R≥0，它认为（24）ψ（z，i）-1+w（z，i；A，By，j）≤ψ（y）+jβ+FGyj+E | G- C | j1-β.因为FG（0）=0且FG是右连续的，所以我们有（25）limj→∞jβ+FGyj+E | G- C | j1-β= 0，因此（24）中的界是一致的。马尔可夫模型破产概率的计算132.7。讨论到目前为止，我们已经发展了一些技术来处理风险过程的离散时间马尔可夫模型上的破产问题。

更准确地说，在假设1下，定理1的结果允许通过一个可计算的两障碍破产概率来近似破产概率，并且在近似误差上有一个精确的界。这种界限反过来又与初始资本的大价值的破产概率的价值有关，因此通常可以根据需要使其尽可能小：第2.5节和第2.6节提供了更详细的示例。在一般离散时间马尔可夫模型不满足假设1的情况下，我们仍然能够分别提供有限期破产概率和有限期破产概率的递推和证明方程。对于双障碍破产问题也得到了类似的结果。回想一下，我们已经广泛使用了为可达性和可达避免问题而开发的方法，这些方法在引理1的证明以及定理1的证明中尤其重要。更值得一提的是，可达性问题可以用来研究比可达性本身更复杂的事件。也就是说，广泛的利益事件，如“公司的资本始终保持正值，并且在给定时刻高于阈值t>0”，或“一旦资本达到阈值t>0，至少在接下来的N个步骤中保持正值”，可以通过线性时态逻辑直接表达，例如[BK08，第4章]或[TA13b]。有趣的是，发现此类事件的概率可以进一步重新表述为一个基本的可达性问题，而不是一个稍微修改的模型[TMKA13，定理5]，这是一种被称为模型检查[BK08]的正式验证方法的著名结果之一。

因此，可达性问题获得的属性适用于更丰富的事件类别，表征了有限时间范围内的期望递归和有限时间范围内的点方程，以及后一种情况下的适当近似方法。可以说，这种技术允许对保险科学中更复杂的财产进行风险分析，而不是对基本的破产财产进行风险分析。此外，类似的方法也可以应用于需要决策的风险过程模型：例如投资风险资产，或重新投保索赔[DR09]。事实上，[TMKA13，推论3]为最大可达性和最小可达性提供了一个有限的时域递归，而[TMKA13，定理2，3]描述了点方程。在这样的环境下，很可能也可以得到类似引理1的结果，这将允许应用我们在这里开发的技术来确定风险过程的依赖模型。然而，这些发展超出了当前贡献的范围。3.案例研究本节介绍两个案例研究，重点是计算感兴趣的数量。3.1. 案例研究：指数尾。我们考虑了由Yang在[Yan99]中提出的Cramer-Lundberg模型的破产概率研究，其中收入保持不变（Gn）≡ G=1.3035，n） 根据广义逆高斯定律分布，密度fc（x）=1R≥0（x）2kx-2exp-十、-十、,14 I.特卡切夫和A.阿巴特≈ 0.139866是一个标准化常数。对于这种设置，在[Yan99]中显示，（26）ψ（z）≤ （1+0.1z）-0.1e-z、 由于这个界限对于较小的z值并不严格，我们应用我们的结果，以给定的精度“=0.011”来确定任意z的值ψ（z）≥ 0.该方法基于定理1中提供的界，因此我们首先确定y，使得ψ（y）≤ \".

由（26）可知，如果y=4.5，则ψ（y）≤ 0.0107. 因此，我们通过双势垒破产概率|ψ（z）=1表示的函数|ψ来近似ψ-φ（z，4.5），所以kψ-ψk≤ 0.0107.我们只需要计算区间[0,4.5]上φ的值，对于该区间，weemploy方程（12），在这种情况下，其形式为（27）φ（z，4.5）=FC（z）-3.1965）+4.5Zφ（t，4.5）fC（z+1.3035- t） dt，尽管如此∈ [0, 4.5]. 注意，（27）是第二类Fredholm积分方程。由于引理1的条件是满足的，这个方程允许一个唯一的解——或者，考虑一个作用于bB（[0,4.5]）asLg（z）=4.5Zg（t）fc（z+1.3035）的算子L- t） ds，它的范数等于kLk≤ 0.9989<1，这再次通过收缩映射定理[HL89，命题A.1]表明（27）有唯一解。FIE工具箱[AS08]用于数值求解具有选定误差的积分方程≤ 10-5.结果如图1中蓝色实线所示。为了验证获得的边界（取决于图1-（a）中的“–绿色虚线”），使用了图1-（a）中每个青色点2000个初始种子的蒙特卡罗模拟，每次运行2000次迭代。结果接近通过积分获得的（27）解，并进一步在“-上限内，这比图1-（b）的原始界限（26）保守得多。我们还考虑了（3）给出的模型，该模型具有相同的固定收入和索赔分配。如[WH08]中所述，利率选择为i.i.d.i=0.01b，其中B服从二项分布B（10，1/2），因此EI=0.05。显然，对于这种情况，界（26）也成立，因此我们可以再次在区间[0,4.5]上求解问题，以获得精度为“-”的解≤ 0.011，如图2所示。

验证也通过蒙特卡罗模拟进行，种子和迭代的样本如上所述——结果如图2-a.3.2所示。案例研究：厚尾巴。下面的案例研究表明，所提出的技术也适用于极重的尾部。我们考虑了一个Cramer-Lundberg模型，其增量η的分布=G- Cs由以下密度函数给出：（28）fη（t）=pπ（1+）-1).马尔可夫模型的破产概率计算150 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.500.050.10.150.20.25（a）带“-上界的解0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4 4 500.10.20.30.40.50.60.70.80.91（b）带[Yan99]上界的解图1.第3.1节破产概率问题的解（不包括利益效应）。蓝色（连续）线代表∧ψ，绿色（虚线）（a）中的行为概率1提供了“-上限-φ、 青色框对应于ψ的蒙特卡罗模拟结果。在（b）中，棕色（虚线）线显示了[Yan99]中获得的上限。人们可能会注意到E |η| 3-δ< ∞ 对于任何δ∈ （0,3]但E |η|=∞, 因此，这种分布是重尾分布。然而，由于Eη=1，NPS成立，因此我们可以应用第2.5节中给出的结果。首先，我们根据定理2求出c的值。为此，我们选择γ=2、sos=1.07和s=4，因为Eη=2。因此，s=max{s，s}=4，c=2，c=0.83，因此，c=5。由于我们得到了γ=2和c=5，为了获得（17）中“=0.1”的精度，我们选择y=50。回想一下，我们只需要找到z的φ（z，50）值∈ [0, 50]. 这是通过计算（20）的解得到的，这是第二类Fredholm方程。这里fη在（28）中给出，fη有一个闭合的I.Tkachev和a。

Abate0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.500.050.10.150.20.25（a）带“-上界的解0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4 4.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91（b）带[Yan99]上限的解图2.第3.1节破产概率问题的解（包括利息效应）。蓝色（连续）线代表- φ、 （a）中的绿色（虚线）提供了破产概率ψ的上限，青色框对应于ψ的蒙特卡罗模拟结果。在（b）中，棕色（虚线）显示了[Yan99]的上限。形式：Fη（x）=π-arctan（1+p2）- xp2）+arctan（1-p2+xp2）+arctanhp2（x）-1） 1+（x-1)2π.FIE工具箱用于数值求解积分方程，结果显示在图3中[0,5]中的参数值。与之前的案例研究类似的蒙特卡罗模拟已经运行，以验证结果。此外，得到的边界比文献[Kor11]中的原始边界保守得多。马尔可夫模型的破产概率计算170 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.050.10.150.20.25（a）带“-上界的解0 1 2 3 4 500.20.40.60.81（b）带上界的解[Kor11]图3.尾部概率问题的解。蓝色（连续）线是1的图- φ通过积分（20）得到，（a）中的绿色（虚线）线给出了破产概率ψ的“-上界，而青色框对应于用于验证结果的ψ的蒙特卡罗模拟结果。在（b）中，棕色（虚线）线显示了[11]中获得的上界结论本工作讨论了一般离散时间马尔可夫风险过程模型的破产概率计算问题。提出的方法强调了许多模型所共有的共同问题，并提出了克服这些问题的技术。

这些方法基于破产和两障碍破产问题之间的关系，并进一步利用文献中的渐近界。该方法的通用性使得以统一的方式处理各种复杂模型成为可能，从而允许考虑利息影响或风险投资的收益。18 I.Tkachev和A.为了阐明所开发结果的实际应用，这项工作提供了方法实施的实例，以及数值案例研究（通过蒙特卡罗模拟进一步验证）。这项工作的结果表明，对于具有可用渐近界的模型实例（如随机游动），破产概率问题的解可以以任何给定的精度近似表征和计算，全局有效（对于初始资本的任何值），并改进了文献中的结果（渐近界）。感谢作者感谢K.阿特金森教授在极其精确和快速的FIE工具箱[AS08]上的帮助。参考文献[AKLP10]A.阿巴特、J.-P.卡托恩、J.利杰罗斯和M.普兰迪尼。随机混合系统的近似模型检验。《欧洲控制杂志》，2010年12月16:624-641。[APLS08]A.阿巴特、M.普兰迪尼、J.利杰罗斯和S.萨斯特里。受控离散随机混合系统的概率可达性和安全性。Automatica，44（11）：2724–27342008。[AS08]K.E.Atkinson和L.F.Shampine。在Matlab中求解第二类Fredholm积分方程。ACM Trans。数学软件，34（4）：艺术。21, 20, 2008.[Asm00]S.阿斯穆森。破产概率，统计科学与应用概率高级系列第2卷。世界科学出版公司，新泽西州河边，2000年。[Atk97]K.E.阿特金森。第二类积分方程的数值解，第4卷。

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