一般离散时间马尔可夫模型破产概率的计算

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英文标题：
《Computation of ruin probabilities for general discrete-time Markov
  models》
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作者：
Ilya Tkachev and Alessandro Abate
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We study the ruin problem over a risk process described by a discrete-time Markov model. In contrast to previous studies that focused on the asymptotic behaviour of ruin probabilities for large values of the initial capital, we provide a new technique to compute the quantity of interest for any initial value, and with any given precision. Rather than focusing on a particular model for risk processes, we give a general characterization of the ruin probability by providing corresponding recursions and fixpoint equations. Since such equations for the ruin probability are ill-posed in the sense that they do not allow for unique solutions, we approximate the ruin probability by a two-barrier ruin probability, for which fixpoint equations are well-posed. We also show how good the introduced approximation is by providing an explicit bound on the error and by characterizing the cases when the error converges to zero. The presented technique and results are supported by two computational examples over models known in the literature, one of which is extremely heavy-tailed.
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中文摘要：
我们研究了一个由离散时间马尔可夫模型描述的风险过程上的破产问题。与以往的研究相比，我们提供了一种新的技术来计算任意初始值的利息量，并且具有任意给定的精度。我们不关注风险过程的特定模型，而是通过提供相应的递归和不动点方程，给出破产概率的一般特征。由于这类破产概率方程在不允许唯一解的意义上是不适定的，因此我们用一个两障碍破产概率来近似破产概率，其中不动点方程是适定的。我们还通过提供误差的显式界以及描述误差收敛到零的情况，展示了引入的近似是多么好。所提出的技术和结果得到了文献中已知模型的两个计算实例的支持，其中一个是非常重尾的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Computation_of_ruin_probabilities_for_general_discrete-time_Markov_models.pdf (315.88 KB)

2022-4-29 17:45:57 上传

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关键词：离散时间 破产概率 马尔可夫 Applications Quantitative

一般离散时间马尔可夫模型破产概率的计算。研究了离散时间马尔可夫模型描述的风险过程的破产问题。与以往的研究相比，我们提供了一种新的技术来计算任意初始值和任意给定精度下的利息量，这些研究侧重于大初始资本值下破产概率的渐近行为。我们不关注风险过程的特定模型，而是通过提供相应的递归和经验方程，给出破产概率的一般特征。由于这类破产概率方程在不允许唯一解的意义上是不适定的，因此我们用两个障碍破产概率来近似破产概率，其中的经验方程是适定的。我们还通过提供误差的显式边界以及描述误差收敛到零的情况来展示引入的近似是多么好。目前的技术和结果得到了文献中已知的两个模型计算示例的支持，其中一个是非常重尾的。关键词：破产概率；重尾索赔规模；误差界；arandom步行的最大值；马尔可夫过程；贝尔曼方程。1.引言破产问题是风险理论中最基本的问题之一，它研究代表保险公司资本演化的随机过程（简称风险过程）的长期行为。目标是估计风险过程的价值在某个时间变为负值的可能性[Asm00]。该问题的显式解决方案仅在有限的情况下可用，即使是风险过程的简单模型，如随机游走给出的Cramer-Lundberg模型[Mik09]。

由于这种局限性，文献中解决这个问题的通常方法是关注一个特定的模型，并通过推导其值的上界来描述其破坏概率[Cai02，CD04，DR09]。然而，这种界限的推导关键取决于索赔额的分布是否为重尾分布，并且大多数界限的质量只有在初始资本较大时才实际有用。本文主要研究由广义离散时间马尔可夫模型描述的风险过程的破产问题，它代表了一类相当丰富的模型研究。g、 在[Cai02]、[CD04]和[DR09]中。这一类还可以包含许多连续时间模型的破产问题，由于风险过程的结构本质上是以跳跃为特征的，因此可以等价地解决离散时间模型的破产问题[Mik09，P+08]。I.Tkachev在荷兰代尔夫特理工大学代尔夫特系统与控制中心工作。电子邮件：i。tkachev@tudelft.nl.A.阿巴特是英国牛津大学计算机科学系和荷兰代尔夫特理工大学代尔夫特系统与控制中心的成员。电子邮件：亚历山德罗。abate@cs.ox.ac.uk.2本文的贡献是双重的，涉及与破产问题有关的特征描述和计算方面。首先，我们考虑一个广义马尔科夫模型，该模型包括风险理论文献中已知的特殊情况。在这个框架中，我们应用[TA13a]中最近开发的形式验证[BK08]中的（理论和计算）方法，推导破产概率和相关的双屏障破产概率的经验方程，并进一步阐述其性质。

破产问题和两个barrierruin问题在形式验证[AKLP10，RCSL10]中分别称为可达性和可达避免问题（或训练可达性问题）。特别是，我们证明了破产概率的点方程有唯一解当且仅当解为常数时。其次，我们展示了如何利用破产概率的已知上界，以任意给定精度和初始资本的任意值，利用两个障碍问题来计算破产概率的值。这种方法的一个重要特点是，上述边界的紧密性不会影响近似的质量。该功能允许将我们的技术应用于以重塔利分布为特征的不良行为案例，而该方法的通用性允许以独特的方式处理复杂模型。工作结构如下：第2.1节描述了本文使用的符号和约定，第2.2节介绍了模型。第2.3节继续介绍风险过程的一般马尔可夫模型的破产概率问题、分析和解决方法。第二节。5将结果应用于Cramer-Lundberg模型（示例1），而第2节。6到一个有利率的模型（例2）。基于这些模型，第3节最后提供了两个案例研究（其中一个是非常重尾的），以显示所提出方法的计算可行性以及对文献结果的改进。2.理论结果2。1.符号和约定。为了提供RUIN概率的一般特征，我们引入了离散时间马尔科夫过程理论中的一些概念[Rev84]。

我们关注具有Borel状态空间的过程：如果拓扑空间E同胚于完全可分度量空间的Borel子集，则称其为Borel空间[HLL96]。E的Borelσ-代数用B（E）表示。Borel空间的例子有欧几里德空间Rn，它的任何Borel子集，特别是自然数集合N，或混合状态空间[AKLP10]。我们进一步提出了以下符号N:=N∪{0}和R≥0:= [0, ∞).让(Ohm, F、 P）有一些概率空间。E上的离散时间马尔可夫过程是随机变量X=（Xn）n的序列∈N、 其中Xn：(Ohm, F）→ （E，B（E））表示马尔可夫性质，即p（Xn+1∈ A | Fn）=P（Xn+1∈ A | Xn）代表所有A∈ B（E）和n∈ N.这里由F:={Fn}N∈Nwe表示x的自然过滤，即Fn:=σ{Xk，0≤ K≤ n} 。对于任何x∈ 我们表示Px（·）=P（·| X=X），并通过导出相应的期望值。最后，X的转移核是由P（X，a）：=Px（X）给出的E上的随机变量∈ A） 为了所有的x∈ E和A∈ B（E）。对于一般离散时间马尔可夫过程的全面介绍，尤其是对于测度Px的复杂构造，读者可以参考[Rev84，第2章]。马尔可夫模型破产概率的计算所有有界Borel可测函数的空间f:E→ R用bb（E）表示；它是一个范数为kf k:=supx的Banach空间∈E | f（x）|。对于bB（E）上的线性算子a，其诱导范数由kAk=supkf k给出≤1kA f k.当neverit认为kAk<1时，我们说算子A是收缩算子。例如，一个解析核P在bB（E）上诱导一个线性算子，定义如下：pf（x）：=Ex[f（x）]=ZEf（y）P（x，dy）。显然，kPk=1，因此它不是收缩。

这项工作的另一个相关算子是不变性算子，它是为每个集合A定义的∈ B（E）asIAf（x）=1A（x）pf（x），其中1A表示集合A的指示函数。操作员IAF的可能收缩性在下文中起着重要作用，并取决于集合A.2.2。风险过程的模型。在这项工作中，我们考虑由过程X=（Z，θ）描述的离散时间风险模型，该过程由实值剩余过程Z和过程θ组成，取一些Borel空间Θ中的值，该空间描述了参数的演化。在任何时候∈ n资本（例如，一家公司的资本）为Zn，而模型参数的值由θn给出。参数processθ可以表示利率、风险投资回报率、Z的历史值等数量（见下面的示例）。在不损失一般性的情况下[Kal97，命题8.6]，我们可以假设马尔可夫过程X=（Z，θ）以如下形式递归描述：（1）¨Zn+1=g（Zn，θn，ξn），Z=Z，θn+1=h（Zn，θn，ξn），θ=θ，其中ξ是一个i.d序列。在Borel空间Ξ中有值的随机变量ξn，函数g和h是可测的。（1）的状态空间是E=R×Θ，即样本空间Ohm = Ξ是Ξ上有限序列的空间，F是过程（ξn）n的自然过滤∈N.我们交替使用E或R×Θ以及X或（Z，θ），并遵循以下惯例：当关注过程的一般马尔可夫结构很重要时，我们使用第一个符号；当我们打算强调过程Z的作用时，我们采用后者。为了澄清符号，我们提供了两个取自文献的离散时间模型的示例，并以（1）的形式讨论了它们的表达。第一个模型没有参数，而第二个模型将利率作为其唯一的动力学参数。例1。

第一个例子是Cramer-Lundberg模型[Mik09]。在这个过程中，模型n是由剩余保费驱动的∈Nand声明C=（Cn）n∈N、 两者都由非负i.i.d.随机变量序列表示。我们分别表示GNA和Cnas FG和FC的累积分布函数。剩余过程的更新方程有以下形式：（2）Zn+1=Zn+Gn- Cn，其中Z=Z∈ R.由于模型中没有参数，我们将Θ={θ}定义为辅助单态空间。此外，我们选择了Ξ=rw和ξ=（G，C）。然后函数g和h由g（Z，θ，ξ）=Z+g给出- C和h（Z，θ，ξ）=θ。由于4 I.Tkachev和A.Abette，参数θ在Cramer-Lundberg模型中不起作用，在下文中，我们通常忽略它。例2。作为第二个例子，我们考虑一个考虑利益影响的模型[Cai02，WH08，YZ06]。盈余的动态如下：（3）Zn+1=（Zn+Gn）（1+In）-Cn，其中Z=Z∈ R、G和C如例1所示。过程I代表短期利率，由一系列非负随机变量给出，具有以下动力学[Cai02]：（4）In+1=αIn+Wn，其中I=I∈ R≥0，常数α∈ [0,1）和（Wn）n∈Nis是一系列非负性EI。i、 d.具有累积分布函数的随机变量，用FW表示。为了在（1）的框架内描述该模型，我们选择Θ=R≥0是短期利率的状态空间（模型中唯一具有动态性的参数），而Ξ=rw，ξ=（G，C，W）。然后g（Z，I，ξ）=（Z+g）（1+I）-C、 h（Z，I，ξ）=αI+W.2.3。破产概率作为可达性概率。给定（1）中的风险过程X=（Z，θ），破产概率[Asm00]定义为（5）ψ（Z，θ）=Pz，θinfn∈NZn<0,对应于在某一时刻，被保险公司的资本变为负值的概率。

如引言中所述，该公式可包含在随机过程形式验证领域的一类问题中，称为可达性问题[BK08]。这类问题定义如下。让我们∈ B（E）是被称为“目标集”的给定集。A的起始时间是一个随机变量τA：Ohm → N∪{∞}, 定义为τA=inf{n∈ N:Xn∈ A} 。与上述可达性问题对应的值函数表示第一次命中时间有限的概率：v（x；A）：=Px{τA<∞}.显然，如果我们选择A=R<0×Θ形式的目标集，则以下恒等式是：（6）ψ（z，θ）=v（z，θ；R<0×Θ），这表明破产概率是上述集合A的可达概率。因此，可以使用为可达性验证而开发的理论和计算技术来解决破产问题[APLS08，BK08，TA13a]。让我们回顾一下关于可达性值函数v（x；A）的一些事实（详情见[TA13a]）。首先，该问题允许两种可选特征：要么作为迭代的限制，要么作为一个点方程的解。专注于前一种方法∈ Nlet us用vn（x；A）表示：=Px（τA）≤ n） 有界视界可达性值函数。我们有（7）¨vn+1（x；A）=1A（x）+IAcvn（x；A），v（x；A）=1A（x），另一种解释是，对于固定x，序列（vn（x；A））n∈Nis随机变量τa相对于测度Px的累积分布函数。马尔可夫模型破产概率的计算和概率测度的连续性导致v（x；A）=limn→∞vn（x；A），其中E上的极限点是单调非递减的。

因此，v（x；a）是以下贝尔曼经验方程的最小非负解：（8）v（x；a）=1A（x）+IAcv（x；a），即对于任何v*这是（8）与v的解*≥ 0，它认为v（x；A）≤ 五、*（x；A）对于所有x∈ E.评论1。请注意，由于以下原因，上述两种特征都不允许显式表示可达性概率函数v（x；A）。首先，（8）中的贝尔曼经验方程总是允许一个平凡的解，即v（x；a）=1表示所有x∈ X，可以是非唯一的[TA13a]。第二，算子IAcin（7）一般不收缩，因此即使收敛是单调的，VN的收敛速度→ v作为n→ ∞ 这是未知的。我们已经讨论了等式（6）将破产概率的计算与可达性问题的计算联系起来。作为直接的结果，（7）中的递归和方程（8）适用于形式（1）中给出的任何风险模型的破产问题。作为文献中的例子，[Cai02，引理2.1]，[CD04，引理2.1]，[WH08，定理2.1]和[YZ06，第4.4节]中给出的有限时间破产概率的递归特征是（7）对应风险模型的特例。同样地，[Cai02，引理2.1]，[CD04，引理2.1]，[WH08，定理2.2]和[YZ06，第4.5节]中给出的点方程是（8）的特例。请注意，这些点方程解的非唯一性源于ψ≡ 1始终是一个解，而单位概率通常不是初始资本的常数函数。如前所述，计算这些问题期望解的替代迭代方法可能会遇到备注1.2.4中所述的收敛问题。可达性问题的求解和概率的一般计算。

破产概率问题和概率可达性问题之间的形式联系表明，对后一类问题的研究可以深入了解前者。为了解决备注1中讨论的技术问题，我们提出了一种研究可达性问题的新方法。为了解决（有限视界）可达性问题的贝尔曼方程解的可能非唯一性，我们引入了一个在正式验证领域内已知的相关问题：可达避免问题[RCSL10]。到达-避免问题可被视为双障碍问题的推广[Asm00，第XI.1节]。更准确地说，对于任意两组A，B∈ B（E）我们将到达避免概率定义为：w（x；A，B）：=PxτB<τAc，τB<∞.因此，w（x；a，B）是从初始条件x开始∈ E、 这个过程最终会到达B组，同时始终保持在A组内。作为一个例子，评估保险公司在破产前资本达到给定阈值y的概率的双障碍破产问题可以通过以下公式表示：φ（z，θ，y）：=w（z，θ；R≥0×Θ，R≥现在让我们回顾一下，人们如何描述和计算w（x；A，B）的一般值。与概率可达性的值函数一样，我们可以使用到达避免问题的有限时域值函数来描述有限时域值函数w。