遵循指数移动平均线的趋势：分析结果

（24）在静止极限t→ ∞ （我们记得，`t=t+t），式（23）表示平均固定日损益：hδP∞i=γβ1- λ1 - (1 - η)(1 -λ). （25）平均累积损益hPt ti可通过公式（23）中的贡献求和得到。在静止极限下→ ∞, 平均累积EP&L与t:hPt成正比，∞i=thδP∞i、 3.2。增量损益的方差增量损益的方差v，δP，isv，t≡ hr“ti”- hr\'ts\'ti=γ\'t-1Xj，k=1[E1-η] \'t，j[E1-η] \'t，khr“trjrki- hr“trjihr”trki.由于r是一个高斯向量，威克定理允许人们通过协方差矩阵来表示高斯变量的四阶相关性：hr¨trjrki=hr¨ti hrjrki+2hr¨trjihr¨trki=C¨t，¨tCj，k+2C¨t，jC¨t，k，其中v¨t=γC\'t，\'t（E1-ηCE+1-η） \'t，\'t+[（E1-ηC）\'t，\'t]. （26）代入式（5）yieldsv’t=γ1 + β(1 - q\'t-2)1.- PT-21- p+β（1）- q） （1）- pq）（p- q）p（1）- PT-2)1 - P-问题（1）- q\'t-2)1 - Q-（p\'t）-1.- q\'t-1） p- Q+β(1 - q） （p- q）1.- （pq）`t-11- pq-1.- q\'t-21- Q.（27）在特殊情况下η=λ，一个getsv’t=γ1- Q1 + β(1 - q\'t-2)(1 - q\'t-2)+β1 - Q1+q- q2（\'t-1)1+q1+（\'t- 1）（q）-2.- 1)+βq1- Q1.- q2（\'t-1)1+（\'t- 1） （q）-2.- 1),在平稳y极限t中→ ∞, 公式（27）减少了tov∞=γ1 - P1 +2β1 - pq+β（1+q）- 2pq）（1- pq）. （28）将策略的参数γ设置为γ=1- p=η（2）-η） （29）确保独立循环情况下（即β=0时）增量损益的单位方差。这种情况下，人们可以有效地比较跟随策略和被动（长）策略。当λ<< 1, η << 1和β<< 1，一个得到v∞≈ 1+βλ+η，而回归的平稳方差为σ∞= 1 + β.

换言之，修正项β被大因子λ+η增强。我们还可以考虑增量损益的变异函数，附录B中给出了稳态极限t下的精确公式→ ∞.有趣的是，根据策略的时间尺度η，增量损益的变异函数可以大于或小于收益的变异函数。值得注意的是，在独立收益的情况下，增量损益的变异函数等于1。考虑该策略的净风险调整损益hδP是有益的∞我-hT∞我√五、∞, 其中平均营业额∞我被包括在交易费用中。在附录A中，我们推导了日均营业额hTti及其固定极限hT的精确公式∞i、 对于λ<< 1, η << 式1，式1，式1∞我≈√πθ√η. 使用这个近似关系和等式的近似。（25,28）对于λ<< 1, η << 1和β<< 1，我们得到了δP∞我- hT∞我√五、∞≈β√2η -√πθ√η（λ+η）p（λ+η）+2β（λ+η）。（30）当没有交易成本（即θ=0）时，该函数在ηopt=λp1+2β/λ处最大化，如图4（实心曲线）所示。对于λ=0.01和β=0.1，最大值的位置在λ附近√3，而年化风险调整损益的最大水平0.8（由公式（30）给出）通常乘以√255）是系统交易的典型值。有趣的是，战略的最佳时间尺度不等于市场模型的时间尺度λ，但由于r曲线的自动相关性，它被因子p1+2β/λ增强。当包含交易成本时，最佳时间尺度ηoptis的明确表达太长。正如预期的那样，交易成本θ的增加会降低风险调整损益，但也会将最大值的位置转移到较小的η，以获得更平滑的信号，从而减少交易。这种行为如图4所示。

请注意，附录A中的一般公式也适用于非线性交易成本。有趣的是，最佳时间尺度取决于λ和β，通过β/λ的比例，这是一个统一的顺序。最后，只有当净风险调整损益为ηopt=λz，其中z是三次多项式θ′z+（c+θ′（4c+3））z+3θ′（1+2c）z的正根时，该策略才是可行的- （1+2c）（c）- θ′=0，它决定了式（30）的阶数的零点（这里，θ′=θp2/π和c=β/λ）。虽然可以写出精确解，但公式太长，无法进行进一步的理论分析。反过来，该公式可用于最佳时间尺度的数值计算。10-410-310-210-1.-0.200.20.40.60.81η年化损益（a）θ=0θ=0.05θ=0.1510-410-310-210-1.-0.200.20.40.60.81η年化损益（b）θ=0θ=0.05θ=0.15图4：经风险调整的净年化损益，√hδP∞我-hT∞我√五、∞, 作为策略时间的函数，对于β=0.1的市场，（a）长期相关性（λ=0.01）和（b）短期相关性（λ=0.05）。三条曲线对应不同的交易成本θ：0（纯蓝色）、0.05（大棚绿色）和0.15（虚线红色）。垂直黑线表示λ。正的，即hδP∞我≥ hT∞i、 从中可以得到一个简单的条件：交易成本θ≤pπ/2βλ+η。（31）不等式（31）可以被视为对最大交易成本θ、最小自相关水平β或策略的最大中尺度η的限制。3.3. 偏度和峰度原则上，人们可以明确地计算其他累积量矩，并获得累积损益的偏度和峰度。然而，这些表达式对于实际应用来说太长了。反过来，通用矩阵公式（21）允许对这些量进行快速数值计算。

图5显示了累积P&L，Pt，t的偏度（κ/κ3/2）和峰度（κ/κ），作为滞后时间t的函数。这两个量都显示了最大att≈ 1/η，即tr端跟随策略的时间尺度。换句话说，该策略导致P&L的自相关性在时间1/η之前显著，然后缓慢衰减。在fa-ct中，如果增量损益，δPt+1，δPt+t独立且分布相同，它们的斜率和峰度Pt，t将衰减为1/√t和1/t。我们强调δPTI的这种行为是由趋势跟踪策略本身引起的，与收益的自动相关性无关。这一事实证实了这一点，这是由以下事实所证实的事实所证实的：两个100 100 200 200 200 200 200 200 300 300 300 300 40000 300 300 40000.522.522.53t两个100 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 300 400 400 24668101200 200 200 200 200 200 300 300 300 300 300 300 300 400 400 400 400 48681012个峰态（b）300 300 300 300 300 300 300 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 200 200（b）200（b）200 200（b）200（b）200（b）1000（b）200（b 0 0 0 0 0 0 0 0（b）0 0 0 0 0 0 0，0 0 0 0 0 0，η=0，η=0，η=0，η0 0，η0 0 0 0 0 0，η=0 0 0，η=0 0，η0 0 0 0 0 0 0，η=0，η0 0 0 0 0 0 0 0 0=0 0 0 0 0），对于自相关收益率（β=0.1和λ=0.01）和独立收益率（β=0）。两条垂直虚线表示1/η和1/η，而水平虚线表示高斯分布的峰度（等于3）。偏度和峰度对于独立和ut o相关Returns的表现类似。3.4. （P&t为增量分布，P&t为增量分布，P&t为增量分布）-1)1-η来自等式（16）。因此，δP’tca的概率分布可以通过Fourier逆变换（19）确定。3.4.1。独立收益我们首先考虑独立收益（β=0）的情况，对于这种情况，方差矩阵ix是微不足道的：C=I。在这种情况下，矩阵MC=M（1，`t）只有两个非零特征值-1)1-η、 u±=±γs1- (1 -η） 2（\'t-1)1 - (1 -η） =±q1- (1 -η） 2（\'t-1） ，（32）式中。

（29）在上一次关系中使用。因此，增量损益的特征函数为φ（k）=（1+ku+）-1/2，其中m yieldsp（z）=K（|z |/u+）πu+，（33）的逆傅里叶变换，其中K（x）是第二类修正贝塞尔函数。对于大| z |，渐近行为isp（z）经验(-|z |/u++p2πu+| z|1+O（1/| z |）（|z|）→ ∞). 注意，其中μt和μt分别是斜率的增量（参见图5和图34）。在静止极限下→ ∞, 一个得到u+=1。图6比较了增量p&L的概率密度p（z）oδp¨t和高斯密度（2π）-1/2exp(-z/2）的单次收益率（单位方差）。虽然这两个分布的均值和方差是相同的，但它们的总体行为却截然不同。增量alp&L在0处达到峰值（事实上，K（z）在0处对数发散），而尾部衰减比回报慢得多。这种从阿加西密度到p（z）的转变是趋势跟踪策略的效果。3.4.2. 自相关收益对于自相关收益（β6=0），矩阵Xmc的对角化和概率密度p（z）的计算可以通过数值实现。如图6所示，收益率的小自相关（β=0.1）通过将平均hδPti从零移到小正值，并通过增加δPt（正尾和负尾）极值的概率，略微修改概率分布（33）。累积P&L的分布累积P&L的概率分布，Pt，t，可通过傅里叶逆变换（19）数值计算得出。图7显示了独立收益（β=0）和自相关收益（β=0.1和λ=0.01）的概率密度p（z）。

t=200点的起始周期被忽略，以实现稳定特性。与图6中增量损益的对称（或几乎对称）分布形成鲜明对比的是，累积损益的分布是强烈偏斜和不对称的，即使是独立收益，也与早期观察结果一致[12,13]。最可能的P&L为负值，而平均HPT、ti为非负值（β=0为0，β6=0为严格正值）。β6=0的正平均P&L是通过相对较大的概率遗忘较大的正系数来确定的。这一结果与之前的观察结果一致，即-3.-2.-1012300.511.522.5δPtpdf（a）δPt（β0=0）δPt（β0=0.1）rt-3.-2.-1 0 1 2 310-210-1100101δPtpdf（b）δPt（β0=0）δPt（β0=0.1）RT6图6：增量损益的概率分布，δP＠t（＠t=200 a，η=0.01），独立收益（蓝色虚线，β=0，等式（33））和自相关收益（红色实线，β=0.1，λ=0.01）：（a）线性标度，（b）半对数标度。绘制了回报率的高斯分布图以进行比较（黑色虚线）。垂直线表示两种情况下的平均值hδP'ti（请注意，对于独立回报，δP'的变化等于1，对于自动相关回报，δP'的变化等于1.01）。趋势跟随者通常会经历小的损失，等待可能带来可观收益的趋势[12]。我们再次强调，Pt的偏斜是由交易策略本身造成的，不考虑回报的ut o相关性。3.6. 分位数观察图7上的分布，可以清楚地观察到正尾和负尾的指数衰减，这与预期的交感行为一致（20）。重要的是，负P&L概率的衰减比正P&L概率的衰减快得多。这些极端事件可以用分位数表示。

为此，首先对密度p（z）进行积分，得到累积概率分布F（z），然后求解方程F（zq）=q，其中0<q<1决定了分布的q-量子化zqo。在第一个近似值中，可以忽略等式（20）中的幂律修正（通过设置ν±=0），以便f（z）≈ A.-|u-|经验(-z/u-) （z）→ -∞),1.- F（z）≈ A+u+exp(-z/u+（z）→ ∞ ) .累积损益的极端负值对应于极限q→ 方程F（zq）=q可近似解为szq≈ -|u-|自然对数A.-|u-|Q（q）→ 0). (35)-50 0 50 100 15000.010.020.030.04Pt，t0pdf（a）Pt，t0（β0=0）Pt，t0（β0=0.1）价格-50 0 50 100 15010-510-410-310-210-图7：累计损益的概率分布，Pt，t（t=30 0，t=200，η=0.01），独立收益率（蓝色虚线，β=0）和自相关收益率（红色实线，β=0.1，λ=0.01）：（a）线性标度，（b）半对数标度。价格变动的高斯分布，rt+1+…+绘制rt+t以进行比较（黑色虚线）。垂直线表示两种情况下的平均值hPt，ti。正如所料，小q分位数ZQI的行为基本上由最小特征值u决定-矩阵MC。反过来，损益的极值对应于极限q→ 1 f或whichzq≈ u+lnA+u+1- Q（q）→ 1). 因此，矩阵的特征值主要由大的分位数决定。矩阵xm（t，t）1的最小和最大特征值u±的行为-累积损益的ηC如图8所示。最大特征值u+随时间t增长，并在t长时间内缓慢接近一个恒定值。反过来，最小特征值为u-更快地降低并接近恒定值。

对于独立回报，我们在附录C中计算了共值u∞±:u∞+=pη（2）-η)η≈√√η, (37)u∞-= -pη（2）- η)2η(1 - η)(2 - η)≈ -√8η. （38）这些值在图8b中用水平虚线表示。可以看出这一点∞+比|u大8倍∞-|. 最重要的是，等式（38）转为510 15 20-4.-20246810tu±（a）u+u-0 500 1000 1500 2000-20020406080100tu±（b）u+u-图8：矩阵M（t，t）1的最大和最小特征值-ηC（t=200，η=0.01），用于独立收益（符号）和自动相关收益（直线，β=0.1，λ=0.01）。（a） 短期行为。黑色虚线表示无症状行为（39）。（b） 长期行为。水平黑色da sh虚线表示交感值u∞±来自等式。(37, 38).这是最小特征值u的精确近似值-即使是自动相关回报。换句话说，极端负损益取决于市场特征（此处为β和λ），主要由趋势跟踪策略（时间尺度η）决定。反过来，自相关收益的最大特征值u+可能比u更大∞+弗罗梅克。(37). 换句话说，由于回归的自相关性而出现的趋势增加了u+，从而提高了极端正EP和Ls的概率。相比之下-, 最大特征值u+对市场特征敏感。我们还分析了在短时间t的相反情况下，最大和最小特征值u±的行为。对于独立收益，我们计算[30]矩阵M（t，t）1的特征值-ηC，对于t=2,3,4和t→ ∞.这些显式结果表明了猜想的渐近关系u± ±√t+（t- 1） pη/2+O（η），（39），适用于小η和中等t值（见图8a）。在短时间内，小q分位数可以近似为ZQ≈ -√T1.-T- 1.√2t√η自然对数A.-√tq（q）→ 0).