G-一致价格体系与欧洲特遣队的买卖定价

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英文标题：
《G-consistent price system and bid-ask pricing for European contingent
  claims under Knightian uncertainty》
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作者：
Wei Chen
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The target of this paper is to consider model the risky asset price on the financial market under the Knightian uncertainty, and pricing the ask and bid prices of the uncertain risk. We use the nonlinear analysis tool, i.e., G-frame work [26], to construct the model of the risky asset price and bid-ask pricing for the European contingent claims under Knightian uncertain financial market. Firstly, we consider the basic risky asset price model on the uncertain financial market, which we construct here is the model with drift uncertain and volatility uncertain. We describe such model by using generalized G-Brownian motion and call it as G-asset price system. We present the uncertain risk premium which is uncertain and distributed with maximum distribution. We derive the closed form of bid-ask price of the European contingent claim against the underlying risky asset with G-asset price system as the discounted conditional G-expecation of the claim, and the bid and ask prices are the viscosity solutions to the nonlinear HJB equations.Furthermore, we consider the main part of this paper, i.e., consider the risky asset on the Knightian uncertain financial market with the price fluctuation shows as continuous trajectories. We propose the G-conditional full support condition by using uncertain capacity, and the risky asset price path satisfying the G-conditional full support condition could be approximated by its G-consistent asset price systems. We derive that the bid and ask prices of the European contingent claim against such risky asset under uncertain can be expressed by discounted of some conditional G-expectation of the claim. We give examples, such as G-Markovian processes and the geometric fractional G-Brownian motion [9], satisfying the G-conditional full support condition.
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中文摘要：
本文的目的是考虑在Knightian不确定性下金融市场上风险资产的价格模型，并对不确定性风险的买卖价格进行定价。我们使用非线性分析工具，即G-frame work[26]，构建了Knightian不确定金融市场下欧洲未定权益的风险资产价格和买卖定价模型。首先，我们考虑了不确定金融市场上的基本风险资产价格模型，我们构造了一个具有漂移不确定性和波动不确定性的模型。我们用广义G-布朗运动来描述这种模型，并称之为G-资产价格系统。我们给出了不确定的风险溢价，它是不确定的，并且以最大分布分布分布。利用G-资产价格系统作为标的风险资产的贴现条件G-支出，推导了欧洲未定权益的买卖价格的封闭形式，买卖价格是非线性HJB方程的粘性解。此外，我们还考虑了本文的主要部分，即考虑价格波动呈连续轨迹的Knightian不确定金融市场上的风险资产。我们利用不确定容量提出了G-条件完全支持条件，满足G-条件完全支持条件的风险资产价格路径可以用其G-相容的资产价格系统来近似。我们推导出，在不确定条件下，针对此类风险资产的欧洲未定权益的出价和要价可以通过对索赔的某些条件G-期望的折扣来表示。我们给出了满足G-条件全支撑条件的例子，如G-马尔可夫过程和几何分数G-布朗运动[9]。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：价格体系

奈特不确定性下欧洲未定权益的G-一致价格体系和买卖定价魏晨山东大学经济学院数量经济研究所2501999，济南，Chinaweichen@sdu.edu.cnAbstract本文的目标是考虑奈特不确定性下金融市场上的风险资产价格模型，并对不确定性风险的买卖价格进行定价。我们使用非线性分析工具，即G框架[27]，构建了Knightian不确定金融市场下欧洲未定权益的风险资产价格和买卖定价模型。首先，我们考虑不确定金融市场上的基本风险资产价格模型，我们在这里构建的模型是漂移不确定和波动不确定。我们用广义G-布朗运动来描述这种模型，并称之为G-资产价格系统。我们给出了不确定风险溢价，它是不确定的，并且以最大分布N（[u，u]，{0}）分布。在G-框架下，我们构造了G-鞅时间一致性动态定价机制，并给出了本文[8]的框架。我们利用G-资产价格系统导出了标的风险资产的欧式未定权益的买卖价格的封闭形式，作为权益的贴现条件G-支出，买卖价格是非线性HJB方程的粘性解。其次，我们考虑本文的主要部分，即考虑Knightian不确定金融市场上的风险资产，其价格波动显示为连续的轨迹。我们利用不确定容量提出了G-条件完全支持条件，满足G-条件完全支持条件的风险资产价格路径可以用与其一致的资产价格系统来近似。

我们推导出，在不确定条件下，针对此类风险资产的欧式未定权益的出价和要价可以用索赔的某些条件G-期望的折扣来表示。我们给出了满足G-条件全支撑条件的例子，如G-马尔可夫过程和几何分数G-布朗运动[9]。骑士式不确定性、G-资产价格系统、G-一致性资产价格系统、G-条件完全支持、不确定风险溢价、买卖价格、欧洲或有索赔要求：G10、G12、G13、D801简介始于2008年的全球经济危机恢复了一种关于风险和不确定性的古老哲学观念——骑士式不确定性。弗兰克·奈特（Frank Knight）在其1921年的著作《风险、不确定性和利润》（见[18]）中正式区分了风险和不确定性。正如奈特所见，一个不断变化的世界为企业带来了新的盈利机会，但也意味着我们对未来事件的了解不完善。因此，奈特认为，当一个结果可以被描述为从概率分布中抽取时，风险就存在了。另一方面，不确定性也适用于我们无法知道设定准确几率所需的所有信息的情况，即我们无法知道未来世界的概率分布。”奈特称之为“真正的不确定性”是“不易测量的”关于不确定性的研究还处于起步阶段。关于宏观经济不确定性的文献（见[5]、[4]、[7]、[10]、[12]、[13]、[16]、[32]和其中的参考文献）很多，这些文献是由不确定性冲击引起的，如战争、政治经济危机和恐怖袭击等。对于未来不确定的宏观经济，投资者具有不确定的主观信念，这使得他们的消费和投资组合选择决策不确定。

在灾难期间，资产的基本价值会随着时间的变化而下降。这反过来会产生随时间变化的风险溢价，从而导致资产价格波动和回报可预测性。现有的线性框架无法描述不确定未来、不确定风险溢价、不确定收益和不确定波动率下的资产价格。如何在不确定的未来对资产价格进行建模，并对不确定的风险进行定价成为一个有待解决的问题。在本文中，我们考虑使用Peng在[27]中提出的G框架，这是一个强大而漂亮的非线性分析工具，来构建框架，在Knightian不确定金融市场上对未来风险资产价格进行建模，并对不确定风险的买入价和卖出价进行定价。在本文的第一部分中，我们定义了G资产价格系统（见第3.1节），该系统描述了不确定条件下风险资产价格的不确定性漂移和不确定性波动。我们认为金融市场由价格波动（St）t的风险资产（股票）组成≥0由G-assetprice系统和bond（Pt）t建模≥0令人满意的DPT=rPtdt∈ [0，T]，P=1，（1）当T>0且r是短期利率时，我们假设它是恒定利率，不损失技术的普遍性。在这种金融市场上，风险资产的风险溢价是不确定的，我们称之为iTunestain风险溢价，不确定风险的价格也是不确定的（见第3.1节）。我们定义了隐含时间价值和不确定风险价值的定义。

利用G-框架技术，以G-资产价格体系为基础资产的欧式未定权益的条件G-期望，推导了欧式未定权益的买卖价格的封闭形式。为了用G-资产定价系统构建标的资产的期权定价框架，我们提出了G-Girsanov变换，定义了G-一致的动态定价机制，给出了欧洲未定权益的出价和要价表达式，作为贴现条件下的G-债权期望，买卖价格是非线性RHJB方程的粘性解，由此可以计算出欧式未定权益的上下价格。第二部分是本文的主要部分，我们考虑了资产价格（St）为t的不确定金融市场≥0在未来，用一种连续的轨迹表示，这种轨迹可以被G-资产价格系统近似，我们将这种G-资产价格系统定义为G-一致价格系统。对于具有连续资产定价路径的标的资产的欧洲未定权益，可能无法使用G-一致动态定价机制来定价上下价格。用S（t）表示风险价格路径，用π（t）表示投资组合过程，用pathRiemann和表示∑πS.Young Kondurar（[21]，[33]）定理指出，在某些类H¨older连续路径函数上存在Stieltjes积分：定理1（Young Kondurar定理））假设α和γ是价格路径（St）t的H¨older指数≥0和投资组合过程路径（πt）t≥分别为0和γ>1- α.

那么它的π和几乎肯定存在。在不确定性条件下，如果满足上述理论要求的投资组合过程和风险资产价格路径具有G-一致的价格系统，通过使用G-框架，我们证明了存在G-期望，使得欧洲或有索赔人针对此类风险资产的出价和要价具有封闭形式，这些形式表示为索赔的贴现条件预期。我们定义了不确定容量，通过它我们构造了G-条件全支撑条件。证明了满足G-条件全支撑条件的风险资产价格路径具有G-一致价格系统，并举例说明了G-马尔可夫过程和几何分数G-布朗运动（见[9]）具有满足G-条件全支撑条件的性质。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们给出了G框架的符号和预备知识。第三节介绍了不确定性未来金融市场上的风险资产价格模型，我们称之为G-资产价格系统，我们提出了G-鞅时间一致性动态定价机制，用于针对风险资产的欧洲未定权益和G-资产价格系统。在第四节中，我们考虑了不确定金融市场上的不确定风险资产价格连续路径模型，该模型满足G-条件完全支持条件。我们证明了这种不确定价格模型具有G-相容的价格系统，并且这种不确定风险资产的欧式未定权益的买卖价格可以表示为对该权益的某些条件G-期望的折扣。

我们给出了满足条件完全支持条件的过程的例子。2.预备课程Ohm 是一个给定的集合，设H是一个定义在H上的实值函数的线性空间Ohm 包含常数。空间H也被称为随机变量空间。定义1次线性期望^E是函数^E:H-→ R满足（i）单调性：^E[X]≥^E[Y]如果X≥ Y.（ii）常数保持：^E[c]=c代表c∈ R.（iii）次可加性：对于每个X，Y∈ H，^E[X+Y]≤^E[X]+^E[Y]。（iv）正同质性：λ的^E[λX]=λ的λ^E[X]≥ 0.三重(Ohm,a）次线性空间称为期望。在本节中，我们主要考虑以下类型的次线性期望空间(Ohm, H，^E）：如果X.X。，Xn∈ H然后φ（X.X，…，Xn）∈ H代表~n∈ Cb，Lip（Rn），其中Cb，Lip（Rn）表示满足|φ（x）的函数的线性空间- φ（y）|≤ C（1+| x | m+| y | m）|x- y |代表x，y∈ R、 有些C>0，m∈ N取决于φ。对于每个固定的p≥ 1，我们取Hp={X∈ H，^E[|X | p]=0}作为我们的零空间，并表示H/hpa作为商空间。我们将kXkp:=（^E[|X | p]）设为1/p，并将H/hp扩展到它的completionbHpunderk·kp。在k·kp下，次线性期望^E可以连续扩展到Banach空间（bHp，k·kp）。在不损失一般性的情况下，我们将Banach空间（bHp，k·kp）表示为LpG(Ohm,H，^E）。

对于G框架，我们参考[24]、[25]、[26]、[27]、[28]和[29]。在本文中，我们假设u、u、σ和σ是非负常数，因此u≤ u和σ≤ σ.定义2：让X和Xbe在次线性期望空间中成为两个随机变量(Ohm,H，^E），X和X被称为同分布的，用Xd=Xif^E[φ（X）]=^E[φ（X）]表示φ ∈ Cb，Lip（Rn）。次线性期望空间中的定义3(Ohm,H，^E），如果^E[φ（X，Y）]=^E[φ（X，Y）]|X=X，则称随机变量Y独立于另一个随机变量X。定义4（G-正态分布）次线性期望空间上的随机变量X(Ohm,H，^E）被称为G-正态分布的ifaX+b\'X=pa+bX，表示a，b≥ 0，其中“X”是X的独立副本。注1表示次线性空间上的随机变量X(Ohm,H，^E），字符XuX=^EX，uX=-^E[-X]，σX=^EX，σX=-^E[-十] 式中，[uX，uX]和[σX，σX]分别描述了X的均值和方差的不确定性。很容易检查，如果X是G-正态分布，那么uX=^EX=uX=-^E[-X]=0，我们将G-正态分布表示为N（{0}，[σ，σ]）。如果X是最大分布的，那么σX=^EX=σX=-^E[-十] =0，我们将最大分布（见[27]）表示为N（[u，u]，{0}）。定义5我们称之为（Xt）t∈次线性期望空间上的Ra-d维随机过程(Ohm,H，^E），如果每个t∈ R、 XT是H中的d维随机向量。定义6 Let（Xt）t∈兰特（Yt）t∈定义在次线性期望空间上的Rbe d维随机过程(Ohm,H，^E），对于每个t=（t，t，…，tn）∈ T，FXt[^]：=^E[^（Xt）]，φ ∈ Cl，Lip（Rn×d）称为Xt的有限维分布。X和Y被称为是相同分布的，即Xd=Y，ifFXt[~n]=FYt[~n]，T∈ T和φ ∈ Cl.Lip（Rn×d）式中T:={T=（T，T，…），。。

（田纳西州）N∈ N、 钛∈ R、 ti6=tj，0≤ i、 j≤ n、 i6=j}。定义7 A过程（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, 如果满足以下性质，则H，^E）称为G-布朗运动：（i）B（ω）=0；（ii）对于每个t，s>0，增量Bt+s- Bt是由N（{0}，[sσ，sσ]和（Bt，Bt，…，Btn）独立于每N的G-正态分布∈ N和t，t。，tn∈ （0，t]；定义8a过程（Xt）t∈次线性期望空间(Ohm,H，^E）被称为中心高斯过程，如果对于每个固定的t∈ R、 Xt是G-正态分布N（{0}，[σt，σt]），其中0≤ σt≤[27]中的σt.备注2 Peng构建了G框架，这是一个强大而漂亮的分析工具，用于在不确定性条件下对不确定性风险进行定价。在[29]中，Peng定义了非线性期望空间中的G-高斯过程，复值非线性期望空间下的q-布朗运动，并提出了一种新型的Feynman-Kac公式作为Schr¨odinger方程的解。在[9]中，定义了双边G-布朗运动和分数G-布朗运动。

分数G-布朗运动的性质是存在的，如次线性意义上的相似性和长距离依赖性，这些性质表现在现实金融市场的风险资产价格波动中。定义9 A过程（B（t））t∈R∈ Ohm 关于次线性期望空间(Ohm,H，^E）称为双面G-布朗运动，如果对于两个独立的G-布朗运动（B（1）t）t≥0和（B（2）t）t≥0B（t）=B（1）（t）t≥ 0B（2）(-t） t≤ 0（3）与科尔莫戈罗夫（见[19]和[20]）和曼德布罗特（见[22]）提供的分数布朗运动（fBm）相对应的不确定性连续过程族被定义为分数G-布朗运动（fGBm）（见[9]）：定义10∈ （0,1），中心G-高斯过程（BH（t））t∈次线性空间(Ohm,当（i）BH（0）=0时，H，^E）称为分数G-布朗运动，Hurst指数为H；（二）^E[BH（s）BH（t）]=σ（|t|2H+|s|2H）- |T- s | 2H），s，t∈ R+，-^E[-BH（s）BH（t）]=σ（|t|2H+|s|2H）- |T- s | 2H），s，t∈ R+，（4）我们将分数G-布朗运动表示为fGBm。我们可以很容易地检查（B（t））t∈Ris G-布朗运动，我们表示B（t）=B（t）。有关fGBm的随机积分，请参见[9]。3 G-资产价格系统和G-鞅时间一致性动态定价机制3。1不确定条件下的G资产价格模型金融资产价格的第一个连续时间随机模型出现在Bachelier[2]（1900）的论文中。他提议用布朗运动加上线性裂谷来模拟股票的价格。该模型的缺点是，资产价格可能会变为负值，而股票价格越高，相对回报率越低。Samuelson[30]（1965年）介绍了更真实的modelSt=Sexp（（u）-σ） +σBt），这是金融工程的基础。