G-一致价格体系与欧洲特遣队的买卖定价

Black and Scholes[6]（1973）通过连续复制交易，使用Samuelson模型，通过S=exp（rt）推导出了欧式看涨期权价格的显式公式。由于成功的期权定价理论，以及默顿[23]（1973）给出的相关最优投资问题的简单解，此类模型迅速流行起来。从那时起，实证研究（见[1]）产生了难以与独立且正态分布的资产收益假设相一致的统计证据。因此，研究人员试图建立资产价格波动模型，该模型足够灵活，能够应对布莱克-斯科尔斯模型的经验不足。特别是，在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型中，有大量工作被用来放松恒定波动性的假设，关于随机波动性模型的文献也越来越多，参见Ball和Roma[3]或Frey[11]的调查。奈特式的不确定性可能是影响投资者消费和投资组合选择的一个重要因素。因此，将其纳入资产定价模型可以揭示资产回报溢价的来源和价格的时间变化。在[8]中，我们考虑了子线性预期空间上的资产价格模型(Ohm,H，^E，F），它用不确定漂移和不确定波动率来模拟股票价格，即dSt=St（dbt+dbt）（5），其中bt+bt是广义G-布朗运动，bt描述不确定漂移并以n（[ut，ut]，{0}）分布，Btis G-布朗运动描述不确定波动率并以n（{0}，[σt，σt]）分布，fti是关于G-布朗运动bt的过滤。

漂移bt可以重写为bt=Ztutdt，其中ut是资产回报率（[8]）定义11（G-资产价格系统），如果资产价格过程位于次线性空间(Ohm,H，^E，F）满足（5），我们称（St，^E）为G资产价格系统。如果过程是资产价格，且（St，^E）是G-资产价格系统，我们将不确定风险溢价定义为定义12（不确定风险溢价），假设资产价格是G-资产价格系统（St，^E），我们定义资产和债券的回报率之差θt=ut- r、 （6）作为资产的不确定风险溢价。很容易证明以下命题（[8]）：命题1资产的不确定风险溢价，即G-资产价格系统，是不确定的，由N（[u）分布- r、 u- r] ，{0}），其中r是债券的利率。3.2 G资产价格体系下的欧洲未定权益定价考虑市场上拥有财富的投资者，他们可以随时决定自己的投资组合和消费∈ [0，T]。我们表示πtas是指在t时刻投资于股票的财富，C（t+h）-C（t）≥ 0表示在区间（t，t+h）内提取用于消费的金额，h>0。我们引入消费Ctas RCLL的累积金额，C（0）=0。我们假设他的所有决定只能基于当前路径信息Ohmt、 定义13自我融资超级战略（分别为子战略）是一个向量过程（Y，π，C）（分别为(-Y、 π，C），其中Y是财富过程，π是投资组合过程，C是累积消费过程，比如dyt=rYtdt+πtdBt+πtθtdt- dCt（分别为。- dYt=-rYtdt+πtdBt+πtθtdt- dCt）（7）其中C是一个递增的右连续过程，C=0。超级战略。

如果非负财富持有的约束满足，则称子策略为可行的≥ 0，t∈ [0，T]。我们考虑到期日为T的股票上的欧式未定权益ξ，这里是ξ∈LG(OhmT） 是非负的。我们给出了超边缘（或分边缘）策略的定义，以及索赔ξ的询问（或出价）价格。定义14（1）针对欧洲突发事件的超级边缘（或次级边缘）战略目标ξ是一种可行的自我融资超级战略（Y，π，C）（或次级战略）(-Y、 π，C），使得yt=ξ（分别。-YT=-ξ). 我们用H（ξ）（分别为H′表示(-ξ） ）针对ξ的超边缘（或次边缘）策略的类别，以及如果H（ξ）（或H′）(-ξ） ）是非空的，ξ被称为超边缘（分别为次边缘）。（2） 超边际索赔ξ在t时的要价X（t）定义为asX（t）=inf{X≥ 0 : （y，πt，Ct）∈ H（ξ），使得Yt=x}，且在分包索赔ξ的时间t时的投标价格x′（t）定义为asX′（t）=sup{x≥ 0 : (-y，πt，Ct）∈ H′(-ξ） 以至于-Yt=-x} 。在不确定性条件下，市场是不完整的，索赔的超边缘（或分边缘）策略也不是唯一的。对要价X（t）的定义意味着要价X（t）是买方将索赔扩大的最小风险量，那么它是针对买方索赔的所有超策略风险的一致度量。所有超战略的一致风险度量可以看作索赔的次线性期望，我们有索赔的买卖价格的以下表示。定理2 Letξ∈ LG(OhmT） 是一个非负的欧洲未定权益。存在一种超边缘（分别为次边缘）策略（X，π，C）∈ H（ξ）（分别为(-X′，π，C）∈ H′(-ξ） 与ξ相反，Xt（resp.X′t）是ask（resp。

投标）t.Let时的索赔价格（Hts:s）≥ t） 是在时间t开始的，并且满足时间=-Hts[rds+θsσsdBs]，Htt=1，（8），其中σ是关于fta和σt的适应过程∈ [σ，σ]（见[8]）。那么在时间t时，针对ξ的要价为xt=^E[HtTξ|Ohmt] 时间t时相对于ξ的投标价格为x′t=-^E[-HtTξ|Ohmt] 。证据见[8]。备注3（Hts:s）≥ t） 在时间t（8）和ht=exp时开始的过滤器是否满足要求{-[Ztrds+ZtθsσsdBs+Zt（θsσs）d<B>s]}（9），它是从0到t的变量，表示时间值和不确定风险值。3.3 G-Girsanov定理和G-鞅定价机制在本小节中，我们构造了G-资产价格系统下的G-鞅定价框架。需求量：=bt+bt- rt，（10）我们有下面的G-Girsanov定理（见[8]、[9]和[15]）定理3（G-Girsanov定理）假设（Bt）t≥0是G-布朗运动，btis分布在N（[ut，ut]，{0}）上(Ohm,H，^E，Ft），由（10）定义，存在次线性空间(Ohm,H，EG，Ft）使得在EG，和^E[Bt]=EG[~Bt]下的G-布朗运动，-^E[-Bt]=-例如[-~Bt]。（11） 对于t∈ [0，T]，我们将G-鞅定价机制定义为以下条件G-期望EGT，T:LG(Ohm（T）-→ LG(Ohmt） EGt，t[·]=EG[·|英尺]。EGt，T[·]是一个次线性期望，具有次可加性、正恒常保留、正齐性和查普曼规则（G-马尔可夫链）（见[8]）等性质，这意味着EGt，T[·]是一个时间一致的次线性定价机制（见[8]）。通过G-鞅分解定理[31]，我们可以得到以下定理（见[8]）定理4假设ξ=φ（ST）∈ LG(OhmT） 是非负欧式未定权益，andEGt，T[·]是G-鞅定价机制。

在t areua（t，St）=e时，针对目标ξ的要价和出价-r（T）-t） EGt，t[ξ]和ub（t，St）=-E-r（T）-t） EGt，t[-ξ] 分别为（12）。或有权益ξ的要价ua（t，x）和出价ub（t，x）是下列非线性HJB的粘性解（在[8]中证明）大士（t，x）+rxxua（t，x）+G（x）xxua（t，x））- rua（t，x）=0（t，x）∈ [0，T）×R，（13）ua（T，x）=φ（x）。浴缸（t，x）+rxxub（t，x）- G(-十、xxub（t，x））- 摩擦（t，x）=0（t，x）∈ [0，T）×R，（14）ub（T，x）=φ（x），其中次线性函数G（·）定义为以下G（α）=（σα）+- σα-), η,α ∈ R.（15）4 G-一致的价格体系和G-一致的买卖价格不确定性4。1 G-一致性价格系统我们考虑不确定金融市场上的风险资产价格，该市场表现为连续轨迹，例如，某些路径可能满足fGBm驱动的SDE（见[9]），或者是具有平均移动被积核的Gstochastic积分，等等。此类过程具有一些性质，例如，如果价格由具有赫斯特指数H的fGBm驱动∈ （0,1），当H=1/2时，价格过程是G-资产定价系统，当H>1/2时，价格过程具有长程依赖性。在本节中，我们考虑研究一类具有G-一致价格系统的价格过程。定义15假设在次线性空间上是一条连续的价格路径(Ohm,H，^E，（Ft）t≥0），其中FTI是对任何ε>0的过程St的过滤，如果存在G-资产价格体系（~St，~E），那么（1+ε）-1.≤■StSt≤ 1+ε，对于所有t∈ [0，T]，（16）我们称之为（~St，~E）ε-G-一致价格系统，并将连续价格过程称为Sthas G一致价格系统。表示R++=（0，∞), C[u，v]是R的集合-[u，v]和Cx[u，v]上的有值连续函数都是函数f（t）∈ C[u，v]，其中f（u）=x。

为了x∈ R++，我们表示C+x[u，v]是R的集合+-[u，v]上的值连续函数，从次线性期望空间的定义16开始(Ohm, H，^E，（Ft）t≥0），以∈ σ(Ohm) 我们定义了asc[A]=^E[IA]，（17）其中，IA是指标函数IA:=IA（x）=1，x∈ A0，x/∈ A.让我们定义：=stt对于t>t，让c（·ω）是c+[0，t]的容量-有值随机变量（St）t∈[0，T]，c（（St）T∈[0，T]：=^E[I（St）T∈[0，T]]。定义17（G-条件完全支持）连续R++-有值过程（St）t∈[0，T]满足条件完全支持（GCFS）如果∈ [0，T]，支持c（S |[T，T]| Ft）=c+St[T，T]。（18） 定义18（G-强条件完全支持（GSCFS））设τ为过滤的停止时间（Ft）t∈[0，T]。让我们定义：=stt对于t>t，让c（·ω）是c+[0，t]的容量-valuedrandom变量（St）t∈[0，T]，设cτ（·ω）为Fτ-C+[0，T]的条件容量-valuedrandom变量（Sτ+t）t∈[0，T]。我们说G-强条件完全支持条件成立，如果，对于每[0，T]-几乎所有ω的值停止时间τ和∈ {τ<T}，以下是正确的：对于每个路径f∈ C+Sτ（ω）[0，T-τ（ω）]，对于任何η>0，η-f周围的管具有正fτ-条件容量，即cτ（Bf，η（ω），ω）>0，其中Bf，η={g∈ C+Sτ（ω）[0，T]：sups∈[0，T-τ（ω）|f（s）- g（s）|<η}利用[14]中类似的论点（关于[14]p.26附录中引理2.9的证明），我们推导出以下引理1。g-条件充分支持条件（GCFS）暗示了g-强条件充分支持条件（GSCFS），因此它们是等价的。定理5 Let（St）t∈[0，T]是次线性空间上的自适应正价格过程(Ohm,H，^E，Ft）满足GCFS条件。对于所有ε>0的情况，存在G期望EG[·]和G-资产价格体系（St）t∈[t，t]，例如）在G期望空间中(Ohm,例如，Ft）以至于-~St|≤ ε、 尽管如此，t∈ [0，T]。证据

对于ε>0，我们定义了停止时间τ=0，τn+1=inf{t的增加顺序≥ τn:StSτn/∈ ((1 + ε)-1,1 + ε)} ∧ T.（19）对于n>1，我们设置=符号（Sτn）- Sτn-1） ，如果τn<T，0，如果τn=T。（20）定义以下随机游动，其中退休Xn=X（1+ε）∑ni=1Ri（21），适用于离散化过滤Fτn。与[14]（引理A.1.p.27）中的类似论点一样，我们得到了满足条件的GCF在{τn<T}上表示c（Rn+1=z | Fτn）>0，对于z=0，±1，n>0。（22）表示X∞作为X的终值，我们将以下从X开始的连续路径定义为St:=^E[X∞|Ft]，t∈ [0，T]。（23）对于σ>σ≥ 0，将次线性函数G（·，·）定义为以下G（η，α）=（μη）+- uη-) +(σα+- σα-), η、 α∈ R.（24）对于给定的ψ∈ Cb，lip（R），我们将u（t，x）表示为以下G方程的粘度解（见[27]）屠- G(徐，xxu）=0，（t，x）∈ (0,∞) ×R，（25）u（0，x）=φ（x）。对于ω∈ Ohm 考虑过程Bt（ω）：=（lnStS）（ω）=ωt，t∈ [0,∞), 我们定义例如[·]：H-→ RasEG[~n（~Bt）]=u（t，0），对于每个s，t≥ 0和t，tN∈ [0，t]例如[~n（~Bt，···，~BtN，~Bt+s-§Bt]：=EG[ψ（～Bt，·BtN）]，其中ψ（x，·xN）=EG[ν（x，·xN，·Bs）]。对于0<t<t<··<ti<ti+1<··<tN<+∞, 我们定义了关于Ohm蒂亚塞格[~n（~Bt，~Bt）-~Bt··，~Bti+1-~Bti，···，~BtN-~BtN-1） |Fti]：=ψ（~Bt，~Bt）-~Bt，···，~Bti-~Bti-1） 式中，ψ（x，·，xi）=EG[ψ（x，·，xi，＠Bti+1-~Bti，···，~BtN-~BtN-1).我们始终定义一个次线性期望值EGon H。在上述次线性期望下，相应的规范过程（~Bt）t≥0是广义G-布朗运动，（~St）是次线性空间上的G-资产价格系统(Ohm,H，例如，（Ft）t≥0). 我们把EG[·]称为G-expectationon(Ohm,H，例如[·]）。表示液化石油气(Ohm), P≥ 1作为标准kX kp=（例如[|X | p]）1/p下H的完成，同样，我们可以定义液化石油气(Ohmt） 。

次线性期望EG[·]可以连续地扩展到空间(Ohm,LG(Ohm)).对于Fix t∈ [0，T]，定义τ=max{τn:τn≤ t} τ=min{τn:τn>t}。我们有（1+ε）-1.≤StSτ，SτSτ≤ 1 + ε, T∈ [0，T]因此（1+ε）-2.≤SτSt≤ (1 + ε), T∈ [0，T]。来自建筑（23），代表n≥ 在{τn<T}上为0，我们有Sτn=Xn，Sτn=Xn。在{τn=T}上，我们有（1+ε）-1.≤~SτnSτn≤ (1 + ε), N≥ 0.因此，我们有StSt=EG[~Sτ| Ft]St=EG[~SτSτSτSτSt | Ft]，这意味着（1+ε）-3.≤■StSt≤ (1 + ε).从中我们完成了定理的证明。4.2在不确定的金融市场中，如果价格过程（St）没有∈风险资产的[0，T]是G-期望空间中满足GCFS条件的连续轨迹(Ohm,H，^E，Ft），我们修正了自我融资超喂（分别为次喂）策略（Y，θ，C）（分别为(-Y、 θ，C）asyt=Rt（Ys- θsSs）rds+Rtθsds-Ct（分别为。-Yt=Rt(-Y- θs）rds+Rtθsssds-Ct，（26）其中θt=πtSt，积分tθsdSsis在点态Riemann-stietjes意义下，Ct是一个右连续的、非减损的成本过程，C=0，即dYt=（Yt- θtSt）rdt+θtdSt- dCt。（分别为。- dYt=(-Yt- θtSt）rdt+θtdSt- dCt。（27）针对欧洲未定权益ξ的超边际（或分边际）策略是一种可行的自我融资超战略（Y，θ，C）（或分战略）(-Y、 θ，C），使YT=ξ（分别。-YT=-ξ). 我们用Hc（ξ）（分别为H′c）表示(-ξ） ）超边缘（分别为次边缘）策略的类别为ξ，如果Hc（ξ）（分别为H′c(-ξ） ）是非空的，ξ被称为超边缘（resp。

次边缘化）。定义19超边际索赔ξ时间t的要价Xc（t）定义为Xc（t）=inf{x≥ 0 : （Yt，θt，Ct）∈ Hc（ξ），使得Yt=x}，并且在分包索赔ξ的时间t时的投标价格x′c（t）定义为asX′c（t）=sup{x≥ 0 : (-y，θt，Ct）∈ H′c(-ξ） 以至于-Yt=-x} 。定理6 Let（St）t∈[0，T]做一个R++-次线性期望空间上的值连续过程(Ohm,H，^E，Ft）满足G-条件完全支持假设（GCFS）和非负欧式未定权益ξ=G（ST）∈ LG(OhmT） 。然后存在G-期望EG，使得在时间t时，欧洲目标G（ST）的买卖价格由xc（t）=e给出-r（T）-t） 例如[g（St）| Ft]X′c（t）=-E-r（T）-t） 例如[-分别为g（ST）| Ft]（28）。证据根据定理5ε>0，存在满足（1+ε）的ε-G-一致价格系统（~St，~E）-1.≤■StSt≤ 1 + ε.对于足够小的ε，我们将ε-G-一致价格系统的族表示为zε：={（~St，~E）：~Stis是G-资产价格，1- ε ≤■StSt≤ 1+ε，t∈ [0,T]。对于fixε，对于相应的ε-G一致价格体系（~St，~E），存在适应过程δt，1和δt，2，满足δt，1∈ [-ε、 ε]，δt，2∈ [-2ε，2ε]δt，1δt，26=0，a.s.（29）使得St=（1+δt，1）~St，dSt=2δt，2d ~St，T∈ [0，T]。

（30）在次线性期望空间上表示G-布朗运动(Ohm,H，~E，Ft）以N（{0}，[σt，σt]）分布，从过程的构造来看，在定理5中，过程S是一个G-assetprice过程d＠St=＠St（d＠bt+d＠bt），其中＠bt以N（[ut，ut]，{0}）分布(Ohm,H，~E，Ft）。通过G-Girsanov变换（[8]、[9]和[15]），存在一个G-期望空间(Ohm,H，例如，Ft）使bgt:=~Bt+~Bt-Zt1+δt，12δt，2rdt，t≥ 0（31）是一个G-布朗运动(Ohm,（例如，英尺）。定义流程Xtas如下Xt:=e-r（T）-t） 例如[g（ST）| Ft]，（32）我们有e-rtXt=EG[e-rTg（ST）|Ft]是一个G-鞅(Ohm,H，EG，Ft），由G-鞅表示定理[31]e-rtXt=EG[e-rTg（ST）]+ZtβsdBGt- Kt，（33）式中βt∈ LG[0，T]，Kt是一个连续的递增过程，K=0，{Kt}T∈[0，T]是一个Gmartingale。定义θt:=ertβt2δt，2St，Ct=rtersksds我们推导出dxt=rXtdt+2θtδt，2StdBGt- 这意味着xt=g（ST）+ZTt（Xs- θsSs）rds+ZTtθSDS- （CT）-Ct）。因此，我们证明（例如[e-r（T）-t） g（ST）| Ft]，θt，Ct）∈ Hc（ξ）是针对ξ=g（ST）的超边缘策略。对于给定的任何超边缘策略（\'Xt，\'θt，\'Ct）∈ Hc（ξ））针对索赔ξ=g（ST）\'Xt=g（ST）+ZTt（\'Xs-\'θsSs）rds+ZTt\'θSDS- （\'CT-“Ct）。根据（29）、（30）和G-Girsanov变换（31），上述方程可以改写为asd（e-rt¨Xt）=2e-rt′θtδt，2StdBGt- E-rtd-Cte-rt-Xt=e-rTg（圣）-中兴通讯-rt′θsδs，2SsdBGs+ZTte-rtd’CTG关于Ft的条件期望，注意成本函数’CTI是非负且非减损的过程，我们有‘Xt≥ E-r（T）-t） 例如[g（ST）|Ft]=Xt，这证明了Xc（t）=e-r（T）-t） 例如[g（ST）| Ft]。同样，我们可以证明X′c（t）=-E-r（T）-t） 例如[-克（圣）|英尺]。4.3示例1 G-马尔可夫过程表示^Et[·Ft]：=^E[·Ft]，我们考虑连续非负G-马尔可夫过程（St）t∈[0，T]英寸(Ohm,H，^E，Ft），定义为^E[φ（Ss）|Ft]=φ（St），s≥ Tφ ∈ Cb，Lip（R）。