Heston模型下美式期权定价的ADI方案

最近，在[16]中的赫斯顿模式l、[12]中的赫斯顿-赫尔-怀特模式和[11]中的赫斯顿-考克斯-英格索尔-罗斯模式下，欧洲选项的数字定价考虑了表1中的六个测试用例的全部或部分。案例A案例B案例C案例D案例E案例Fκ3 0.6067 2.5 0.5 0.3 1η0.12 0.0707 0.06 0.04 0.04 0.09σ0.04 0.2928 0.5 1 0.9 1ρ0.6（0）-0.7571（0）-0.1（0）-0.9（0）-0.5（0）-0.3（0）r 0.01 0.03 0.050.05 0.04 0.03T 1 0.25 10 15 5K 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100表1：美国经验表明，该模型的参数集是有效的，在v方向使用的空间网格点比在s方向使用的空间网格点少得多。因此，我们总是设置m=2m=2m。由于半离散Heston PDCP（2.3）的封闭形式解析解不在手边，我们在每种情况下都通过应用CN-IT方法或使用N=20 00时间步的Themmcs-IT方法来计算U（T）的参考解。在下文中，我们首先考虑n看跌期权。在表1的所有六种情况下，详细研究了六种方法的全局时间误差（5.1）。然后将文献中给出的美式看跌期权价格近似值与使用ADI-IT技术计算的近似值进行比较。接下来，对于所有情况A–F，显示获得的期权价格面和自由边界。

我们用一种更为奇特的美国式期权，即有上限的美国看跌期权的经验来结束本节。对于普通美式看跌期权，图1显示了Do-IT、CS-IT、MCS-IT、HV-IT方法以及BE-IT和C N-IT方法的全局时间误差BE(T2米，米）对t在所有情况下，对于20个步长10的序列，A–F的ρ=0-3.≤ T≤ 10，m=50。请注意，由于A=0，因此Do-IT和CS-IT的结果在本实验中是相同的。作为第一个主要观察结果，对于每种方法，在每种情况下，时间误差都保持在modera Te值以下，并且随着时间的推移，时间误差单调减小t减小。这表明每种方法的行为都是非条件稳定的，这是一个有利且非平凡的结果。关于实际的收敛行为，从图1可以看出，温度误差是在每种情况下，t都以C为界(t） p有一些中等的常数C，其中p≈ 1为BE-IT方法，p为≈ 2对于MCS-IT和HV-IT方法。因此，这三种方法的观测收敛阶p与它们的基本常微分方程时间离散化方案的经典（非有效）一致性阶一致。这构成了第二个积极而不平凡的结果。在CN-IT方法的所有情况下A-F，以及Do-IT和CS-IT方法的情况下A-C，我们在图1中观察到，对于t、 相比之下，根据他们的错误行为，人们可能会对小规模的t、 这种不良现象与初始（payoff）函数的非光滑性有关。这在文献中已经广为人知，作为一种补救措施，通常采用后向欧拉阻尼，也称为朗纳赫时步进。

根据这一阻尼程序，我们考虑使用t=0时t/2，然后从t=t使用正在考虑的方法。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图1：暂时性错误(T100，50）对。t表示表1中ρ=0的六种情况下的普通美式看跌期权，以及CN-IT中n=20 00 0的参考解。两种θ-IT方法：BE-IT（light x），CN-IT（dark x）。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。没有施加阻尼。10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例A10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图2：暂时性错误(T100，50）对。t表示表1中ρ=0的六种情况下的普通美式看跌期权，以及CN-IT中n=20 00 0的参考解。两种θ-IT方法：BE-IT（light x），CN-IT（dark x）。

四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。所有带数据的方法-两步t/2和B E-IT。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例图3：暂时性错误(T100，50）对。表1中s ix案例中的香草美式看跌期权，ρ6=0，以及MCS-IT的参考溶液，N=20000。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。带阻尼的Do-I T和CS-IT-两步带BE-IT的t/2。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图4：暂时性错误(T200（100）对。t表示表1中六种情况下的香草美式看跌期权，ρ6=0，以及MCS-IT的参考溶液，N=20000。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。带阻尼的Do-I T和CS-IT-两步用它吧。图e 2中显示了所有六种方法在所有六种情况下的结果。

显然，CN-IT、Do-IT和CS-IT方法的不受欢迎现象得到了缓解，而且每种方法它们的时间误差现在几乎与MCS-IT和HV-IT方法相同。仔细检查图2中的cas e C，发现所有方法的收敛顺序都略小于2，即约为1.7（除了BE-IT，它只有顺序1）。从图中看不出2号和1.7号合并指令之间的差异，我们也不完全清楚观察的重要性。一个可能的解释可能在于，在这种情况下，期权定价函数的到期时间较短，且相应的非光滑性。我们注意到，通过使用[26]中的可变时间步长策略，cas e C中的低阶并没有得到改善。在随后的实验中，我们将重点介绍ADI-IT方法。在这里，用CS-Do和上面的阻尼方法。因此，我们考虑：o使用θ=和阻尼的Do-IT方法o使用θ=和阻尼的CS-IT方法o使用θ=的MCS-IT方法o使用θ=的HV-IT方法=+√3.图3显示了这四种方法的全局时间误差(T100比50t在所有情况下A–F，现在相关系数ρ6=0。该图表明，非零相关ADI-IT方法也显示出无条件稳定的行为。对于CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法，时间误差由C限定(t） p与p≈ 2，除非再次出现CWP≈ 1.7. Do-IT方法通常具有与后三种方法几乎相同的时间误差。进一步的研究表明，如果不施加阻尼，发生这种情况的时间步长区域正是那些具有较大时间误差的时间步长区域。一旦t变得非常小，然后这种方法的一阶收敛行为开始出现，如预期的那样。

我们注意到，在案例A、C中，图中未观察到这一点；这是给你的t<10-我们获得了对网格方向的时间依赖性，以及对网格方向的时间依赖性。图4显示了要获取的错误(T20（100）对t、 与图3相比，我们发现M的大幅增加对时间误差的影响最轻微。这表明四种ADI-IT方法的收敛行为在所谓的stiff意义上是有效的，这构成了有效时间离散化方法的一个关键特性。所有方法的实现都是在Matlab中完成的，其中所有矩阵都定义为s parse。作为CPU时间的指示，CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法在一个具有4 GB内存的Intel Core Duo T7250 2.00 GHz处理器上，如果m=50、100、150，则每个时间步长分别需要约0.003、0.01和0.02秒。对于Do-IT方法，这些时间大约减少了一半。接下来，我们通过将本文中的美式期权定价方法的结果与文献中已经给出的近似值进行比较，来验证本文中的美式期权定价方法。MCS-IT方法被选为ADI-IT类的代表。为了测试赫斯顿模型中美式看跌期权的数值估值，许多作者考虑了参数集κ=5，η=0.16，σ=0.9，ρ=0.1，r=0.1，T=0.25，K=10，（5.2），以及现货资产价格和s=s给出的方差∈ {8,9,10,11,12}和v=v∈ {0.0625, 0.25}.我们通过FD椎间盘重分类（m=50、100、150）和应用MCS-IT方法（N=25、50、75个时间步）分别近似相关（未知）的确切期权价格。

Nextspline插值用于计算有效网格点（s，v）=（s，v）处的近似值。我们的结果在表2（V=0.0625）和表3（V=0.25）的上半部分给出。在下半部分，两个表显示了Zvan、Forsyth&Vetzal[39，表2]、Ikonen&Toivanen[26，表1]、Persson&Vo n Sydow[31，表2，3]、Oosterlee[29，表5.2]、Clarke&Parrott[6]和Vellekoop&Nieuwenhuis[35，表4]获得的近似值。后者采用基于树的方法。[26]中的参考价格采用IT拆分方法中的二阶L-稳定龙格-库塔（RK）方案计算。表2和表3显示，我们的期权价格与文献中通过不同的离散化技术获得的价格非常一致。9.9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0000 1.1080.5316 0.22610.0907[35]越南盾1000 48 71 1.9968 1.1076 0.5202 0.2134 0.0815表2：参数集（5.2）的香草美式看跌期权价格，S∈ {8,9,10,11,12}，V=0.0625。上半部分：使用MCS-IT方法进行近似，θ=。

下半部分：文献中的近似值。10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 243[6]CP 2.0733 1.3290 0.7992 0.45360.2502表3：参数集（5.2）的香草美式看跌期权价格，S∈ {8,9,10,11,12}，V=0.25。上半部分：使用MCS-IT方法进行近似，θ=。下半部分：文献中的近似值。对于参数集（5.2），满足Feller条件。违反Feller的测试集以及给出美式看跌期权参考价格的测试集不包括在上述参考中。我们选择了Fang和Oosterlee[9]最近在Heston模型下百慕大期权的数值定价中考虑的参数集，因为Feller条件不成立：κ=1.15，η=0.0348，σ=0.39，ρ=-0.64，r=0.04，T=0.25，K=100，（5.3），现货资产价格和方差由s=s给出∈ {90100110}和v=v=0.0348。表4的上半部分显示了相关的B e rmudan看跌期权价格，该价格由[9，表5]中的CoS方法估计。这里N代表锻炼日期的数量。如果N增加，那么百慕大群岛的价格将趋向于美国的价格。表4的下半部分显示了我们对美式看跌期权价格的近似值，使用固定m=150的FD离散化，并使用N=20、40、60时间步的MCS-IT方法。

显然，通过这两种方法获得的价格非常一致，尤其是对于大t N的价格。请注意，表4下半部分中的值也可以被视为具有N个行使日期的伯默登看跌期权价格的近似值。时间步长t等于两个连续运动日期之间的完整周期。通过减少这一时间步长，可以获得百慕大价格的更精确近似值。mmN 90 100 110[9]FO 20 9.9784 3.2047 0.927440 9.9916 3.2073 0.928160 9.9958 3.2079 0.9280MCS-IT 300 150 20 9.9984 3.2121 0.9301300 150 40 10.0015 3.2125 0.9304300 150 10.0039 3.2126 0.9305表4：参数集（5.3），S∈ {90100110}，V=0.0348。上半部分：百慕大香草看跌期权价格的近似值[9]。下半部分：使用带θ的MCS-IT方法近似香草美式看跌期权价格。为了便于将来参考，我们在表5中给出了表1中所有六种情况下的普通美式看跌期权价格的近似值∈ {90100110}点方差V=0.05。这些都是使用m=25 0的FD离散化和θ=和N=125的MCS-IT方法计算的。完整的选项价格界面如图5所示。案例90 100 110A 16.9245 11.9442 8.2270B 16.0470 12.4326 9.8746C 10.4054 3.9235 1.1784D 10.9554 8.6273 7.4999E 12.8442 9.8116 8.4312F 1 8.9325 15.6696 13.2838表5：表1中所有类别的香草美式看跌期权价格近似值，ρ6=0和∈ {90100110}，V=0.05。接下来，图6显示了v值的选择≈ 0.002,0.01,0.05,0.1,0.24（t，s）-平面中自由边界的相应部分。

在本文提出的ADI-IT方法中，通过在每个时间点t=Tn确定空间网格点的两个子集（si，vj）的辅助向量λ的对应分量是否为正，直接获得了精确区域和连续区域。等于零。图6中每条曲线下方的部分代表运动区域，而延续区域上方的部分代表运动区域。最后，作为一种更具异国情调的期权，我们考虑了上限美式看跌期权。这是一种美国式期权，标的资产价格上限为B<K。如果资产价格低于B上限，则期权将自动行使，且金额为K-B支付给持有者。当B、v>0、0<t时，期权价值函数满足Heston P DCP（1.3）≤ T，φ由（1.2）给出。边界条件（2.1a）变成（B，v，t）=K- B.为了数值求解有上限美式看跌期权的Heston PDCP，我们采用了与本文相同的方法，第2节给出了空间离散化，第4节定义了时间离散化ADI-IT方法。只需要两个小的修改：se tξmin=sinh-1.B- 斯莱夫特在s方向的非努形网格中，将SlefTo修改为maxK、 e-rTK，B. ROI在s=B时自然被截断。作为一个例子，我们考虑了C和E情况下的非零相关性和C ap B=80。图7的左侧显示了这两种情况下有上限的美式看跌期权价格。在图的右侧，颞盘重定时错误是(T显示了四种ADI-IT方法的100,50）。