Heston模型下美式期权定价的ADI方案

对于混合导数u/sv我们考虑基于中心9点模板的标准FD离散化，该模板通过在s方向和v方向连续应用以下中心FD方案形成：Us（si，vj，t）≈-si+1是的(si+si+1）用户界面-1，j+si+1- 硅硅si+1ui，j+硅si+1(si+si+1）ui+1，j，Uv（si，vj，t）≈-vj+1vj(vj+vj+1）用户界面，j-1+vj+1- vjvjvj+1ui，j+vjvj+1(vj+vj+1）用户界面，j+1。可以很容易地验证，（1.1）中的混合导数项在退化边界y和两个Neumann边界处消失，因此被三次处理。我们注意到，通过上述简单的第一个或第二个变换，很容易证明得到的半离散Heston矩阵A是这样的：-如果相关系数ρ=0，A始终是M-矩阵。在有关金融期权定价的文献中，这类条件已被用于数值方法的有利性质。总的来说，-当ρ6=0和混合导数的标准FD离散化（如上文）应用时，A不是anM矩阵。在这种情况下，对混合竞争模型进行了更高级的离散化，参见[24,25,26]。然而，在本文中，我们将遵循上述标准选择。对于期权价值函数u的n精确近似值，有利于平滑走向K处的支付函数（1.2），因为它在第一个导数中是不连续的。根据Li，我们将网格点sinearest处的Payoff函数的值替换为其单元平均值，参见[33]：hZsi+1/2si-1/2φ（s）ds带si-1/2=（si）-1+si），si+1/2=（si+si+1），h=si+1/2- 硅-1/2.通过空间离散化，在空间网格点（s，v）处近似计算可选值u（s，v，t）∈ G

这些近似形成了向量U（t）的项，它是半离散PDCP的解，U′（t）≥ AU（t）+g，U（t）≥ U、 （U（t）- U） T（U′（T）- AU（t）- g） =0（0<t≤ T）。（2.3）在这里，不等式是按组成部分解释的。系统（2.3）的大小等于M=M（M+1），A是给定的实M×M矩阵，ua和g分别是由初始条件和边界条件确定的实M×1向量。此外，t代表转置。数值求解（1.3）的下一个主要步骤是（2.3）的时间离散化。3时间离散化：θ-方法在上一节对Heston PDCP（1.3）进行空间离散化之后，我们现在考虑对获得的半离散PDCP（2.3）进行时间离散化。时间离散化的一种常用方案是参数为θ的θ-方法∈ [1]，见e。g、 [7,21,24,25,26]。选择θ=和θ=1分别代表著名的Crank–Nicolson（CN）和Backward一些作者通过应用显式时间步方案分别处理v=0边界。但这会产生一种不实用的离散化，需要过多的时间步长才能保持稳定性。有关M矩阵的定义，请参见示例[2]。欧拉（BE）方法。在序数微分方程组（ODE）的数值解中，这些方法的经典一致性阶数分别等于2和1，并具有良好的线性稳定性，参见[14]。让我表示M×M单位矩阵，让t=t/N，带整数N≥ 1是一个给定的时间步长，时间网格点tn=n·t整数0≤ N≤ N然后，将θ-方法应用于半离散Heston PDCP（2.3）定义近似值≈ n=1，2，…，的连续U（tn），N by（I）- θtA）Un≥ （I+（1）- θ)tA）Un-1+ t g，（3.1a）Un≥ U、 （联合国）- U） T（（I）- θtA）Un- （I+（1）- θ)tA）Un-1.- t g）=0。

（3.1b）对于每个给定的n，完全圆盘网PDCP（3.1）c构成所谓的线性互补问题（LCP）。通过引入辅助向量λn，它可以清楚地重写为（I）- θtA）Un=（I+（1-θ)tA）Un-1+ t g+tλn，（3.2a）λn≥ 0，联合国≥ U、 （联合国）- U） Tλn=0。（3.2b）如果第i分量λn，iofλnis等于零，则相应的空间网格点（s，v）∈ 假定Gis在时间tn处于连续区域，在其他区域处于连续区域。本文考虑LCP（3.2）1的数值解≤ N≤ N通过采用Ikonen和Toivanen[23,26]提出的一种剥离技术：- θtA）\'Un=（I+（1）- θ)tA）包-1+ t g+t′λn，（3.3a）小面包-联合国- t（bλn）-\'\'λn）=0，bλn≥ 0，小面包≥ U、 （包子）- U） Tbλn=0，（3.3b），其中bu=U。向量r′λ在每个时间步开始时给出。这里取[23,26]中的基本选择：\'λn=bλn-1bλ为零向量。（3.4）我们将上述技术称为Ikonen–Toivanen（IT）拆分，并调用（3.3）θ-IT方法。特殊情况是CN-IT方法和BE-IT方法，分别由θ=和θ=1给出。利润分割法受到了计算流体力学中类似技术的启发[10]。由（3.3）定义的矢量UNADBλ与（3.2）定义的Unandλ近似。这些向量分两个阶段计算。线性方程组的第一阶段（3.3）由近似解确定。请注意，这个系统可以被视为是通过将经典θ-方法应用于常微分方程系统而获得的。在第二阶段，“Unand”λnare更新为unnadbλnthrough（3.3b）。可以很容易地验证这些更新是由简单明确的公式BUN=max给出的联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.

（3.5）此处取分量e中两个向量的最大值。以下有用的定理涉及LCP（3.2）与其近似版本（3.3）之间的差异，如果θ=1，则通过其拆分获得。对于任意给定的对角矩阵D∈ RM×M带有正的诊断条目，每当x，y时，标度内积由hx，yiD=yTDx给出∈ RMand让k·kd同时表示诱导向量和矩阵范数。我们有定理3.1，考虑θ=1的过程（3.2）和（3.3）。假设存在一个正对角矩阵D，使得da+ATD为负半定义（3.6），并假设存在一个独立于t>0，使得kλkD+NXn=2kλn- λn-1kD≤ ν. （3.7）然后最大值1≤N≤恩坤-邦德≤ ν t（3.8）t=t/N，整数N≥ 1.根据假设（3.6）和伯曼和普莱蒙斯[2，Chs.6，10]的证明（i），首先是Q=i- tA是一个P-矩阵，且（3.1）总是具有唯一解。By（3.2a），QUn=Un-1+ t g+tλn.By（3.3b），\'Un=bUn- t（bλn）-把它插入（3.3a）yieldsQbUn=bUn-1+ t g+t′λn+tq（bλn）-λn）。定义Vn=Un-小面包那么，w的R=Q-1，QVn=Vn-1+ t（λn）-\'\'λn）- tq（bλn）-\'\'λn），Vn=RVn-1+ tr（λn）-\'\'λn）- t（bλn）-λn）。定义=t（λn）-bλn）。在写入bλn时-\'\'λn=bλn- λn+λn-\'\'λn以下是vn- Wn=RVn-1+ ts（λn）-\'\'λn），其中S=R- I.插入“λnleads to vn”的选项（3.4）- Wn=RVn-1+SWn-1+ ts（λn）- λn-1） ，（3.9），我们把λ=0。（ii）条件（3.2b）和（3.3b）暗示了向量Vn、WnthatVn、iWn、i的组成部分≤ 对于所有i.（3.10），考虑四种情况：如果λn，i=0和bλn，i=0，那么Wn，i=0。如果λn，i>0和bλn，i=0，那么Wn，i>0和Vn，i=U0，i-小面包，我≤ 如果λn，i=0，bλn，i>0，那么Wn，i<0，Vn，i=Un，i- U0，我≥ 如果λn，i>0，bλn，i>0，那么Vn，i=U0，i- U0，i=0。如果一个方阵的所有主子阵都是正的，则称其为P-矩阵，参见。

[2, 21].（iii）规范的定义xyD=qkxkD+kykdx，y∈ 诱导矩阵范数表示相同。到（3.10），我们已经VnWnD=kVnkD+kWnkD≤ kVnkD+kWnkD- 2hVn，WniD=kVn- WnkD。使用（3.9）可以得到VnWnD≤罗素越南-1Wn-1.D+tks（λn）- λn-1） kD。（3.11）考虑Φ（z）给出的2×2矩阵值有理函数Φ=1.-zz1-z0 0为了z∈ C.那么(（助教）=罗素.对于Φ（z）的谱范数，很容易证明kΦ（z）k=λmax[Φ（z）*Φ（z）]=1+|z | 1- z |，哪个yieldskΦ（z）k≤ 1当且仅当RZ≤ 接下来，矩阵A上的条件（3.6）是等价的toRe hAx，xiD≤ 0每当x∈ 厘米（3.13），其中hx，yiD=y*任意给定向量x，y的Dx∈ 厘米鉴于（3.12）和（3.13），我们可以调用冯·诺依曼（von Neumann）著名定理的matr ix值版本，参见例[14，第V.7节]。这直接导致了tokΦ(tA）kD≤ 1.由（3.11）可知：VnWnD≤越南-1Wn-1.D+tkλn- λn-1kD≤ . . . ≤ tnXj=1kλj- λj-1kD≤ ν t、 这就完成了证据。定理3.1提供了一个有用的结果，即由（3.3）生成的序列{bUn}ge是O(t） 如果θ=1，则接近由（3.2）定义的序列{Un}。请注意，时间步长没有限制t、 矩阵条件（3.6）或等效条件（3.13）是众所周知的。在数字符号文献中，它们常被称为a的标度对数2-范数小于或等于零。最近，Hout&Volders[18]在Heston PDE的案例中调查了这种情况。尽管这里研究的FD离散化与这里考虑的有点不同，但有趣的是，关于（3.13）的一个积极结果被证明[18]适用于任意相关系数ρ∈ [-1，1]和自然缩放矩阵D。

将这个（非平凡的）结果推广到目前的半离散化将作为未来研究的主题。根据（3.2）定义的λ，条件（3.7）类似于Ikonen和Toivanen[26]的条件，但这些作者处理的是最大范数。理论和数值证据表明，存在一个中等常数ν，该常数在空间网格和时间步长中均匀有效，因此（3.7）被填满。定理3.1与[26，Thm.1]密切相关。后一个定理提供了Un最大范数的上界-bUnifθ=。然而，不幸的是，这个结果的推导并不清楚，因为[26，引理2]证明中的最后一句话一般不成立。此外，对时间步长的限制被认为对实际应用来说往往过于严格。对于最大范数的重要情况，定理3.1的类比并不明显。请注意，我们的证明在本质上依赖于内部产品规范的使用。然而，在下面的数值实验中，我们将始终处理最大范数。定理3.1可以沿着上述相同的证明线推广到任何给定的参数值θ∈ 如果[6]条件被[1]替换tA+γIkD≤ γ与γ=（1）- θ)-2.这通常被称为圆条件它比（3.6）强得多。特别地，它意味着k塔克≤ 2γ，它在时间步长上产生了一个上限，这在实践中往往过于严重。然而，在下面的数值实验中，我们将考虑θ=1和θ=4的θ-IT方法（3.3）。时间离散化：ADI模式在数值求解多维问题时，空间离散化会迅速导致非常大的半离散PDCP系统。然后，应用θ-IT方法呈现需要求解的具有大带宽的非常大的线性s系统。

这在计算上可能非常复杂。一个很好的可能性是采用定制的多重网格方法，如[26]中所述。在本文中，我们建议将ADI时间离散化方案与IT拆分方法结合起来求解（2.3）。在（3.3）中，θ-方法因此被替换为ADI格式。我们将考虑ADI类型的四种不同方案：道格拉斯方案（Do）、克雷格-斯奈德方案（CS）、修改后的克雷格-斯奈德方案（MCS）和亨多弗-维韦尔方案（HV）。最近，这四种方案在Heston模型[16]以及三维Heston-Hull-White和Heston-Cox-Ingersoll-Ross模型下的欧式香草和屏障选项的数值定价中进行了大量研究，分别见[12]和[11]。研究发现，尤其是MCS和HV方案，只要选择适当的参数，其效率、稳定性和鲁棒性都很高。在Heston模型下，首次对适用于美式期权定价的ADI方案进行了简短的数值研究[13]。在本文中，我们将大大扩展在loc中获得的有希望的初步结果。如上所述，当考虑ADI型方案时，半离散矩阵A被分成几个有利部分。在赫斯顿模型的情况下，我们有A=A+A+A。这里的矩阵是A的一部分，它源于混合导数m和A的FD离散化，由A的部分给出，分别对应于s方向和v方向上所有空间导数的FD离散化，并进一步在m（1.1）的ru项的相等部分中包含A。请注意，矩阵A和A基本上是三对角的，只要相关系数ρ不为零，矩阵A就是非零的。设θ>0为给定实参数。允许t=t/N，带整数N≥ 1并设置tn=nT

以下四种方法是将上述ADI s模式与利润分割阶段（3.3b）或等效阶段（3.5）相结合给出的。对于n=1，2，…，每种方法都定义了（2.3）的解向量U（tn）的连续近似值，N我们称之为ADI-IT方法。去做：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=Y，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.1）CS-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.2）MCS-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+θt A+(- θ)助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.3）HV-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj- Y（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.4）如第3节所述，选择（3.4）在每个时间步开始时给出的向量¨λnis。Do-IT方法可以被视为θ-IT方法的自然分析：在正式设置a=a=0和a=a时，一个从（4.1）中恢复（3.3）。CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法构成了对Do-IT方法的不同扩展。事实上，他们的前两行与Do IT完全相同。

它们每一时间步所需的计算工作量大约是前者的两倍。注意，如果A=0，那么CS-IT方法将简化为Do-IT方法。对于每种ADI-IT方法，ODE系统U′（t）=AU（t）+gis的基本ADI方案由第一部分定义Un给出，其中省略了距离第一行和第二行的距离-1和“Unby Un”-分别为1和Un。因此，上述ADI技术从欧洲风格到美国风格的改编非常简单。在基本的ADI格式中，矩阵Ais总是以显式方式处理，而矩阵A和AAR则以隐式方式处理。四种ADI方法（4.1），（4.2），（4.3），（4.4）中的每一种的应用都要求用两个矩阵（I-θ泰姬陵）对于j=1,2。由于这两个矩阵都是三对角的，所以可以通过预先计算一次它们的LU分解，然后在所有时间步中使用它们来非常高效地求解。因此，每个ADI-IT方法的每时间步计算成本直接与空间gr id点M的数量成比例，即与欧式选项的情况相同。请注意，每个方法的第二部分——更新（3.5）——的计算成本可以忽略不计。当Ais为非零时，基本ADI方案在非有效意义上的一致性顺序始终是Do方案的一；假设θ=时，CS方案为2，对于任何给定θ，MCS和HV方案为2。在文献中，最近对ADI格式的无条件冯·诺依曼稳定性进行了大量研究，将其应用于具有混合空间导数项的多维对流扩散方程，参见[8,17,19,20,27,28]。

这里证明了正结果，保证了各种对流扩散问题类在eachADI格式参数θ的尖锐下界下的无条件稳定性。o基于方法θ，我们选择方法θ的稳定性：o基于方法θ=+√3.目前，难以对离散PDCP的ADI-IT方法进行严格的理论稳定性和收敛性分析。在下一节中，我们将进行一次广泛的数字调查。我们将研究上述四种方法，并将其应用于各种具有代表性、具有挑战性的赫斯顿测试案例。5个θ-IT和ADI-IT方法的数值实验通过BE确定全局时间离散误差(Tm、 m）=max{Ul（T）-bUN，l |：（si，vj）∈ ROI}。（5.1）这里U（T）表示半离散Heston PDCP（2.3）在时间T的精确解，andROI=（K，K）×（0，1）是一个自然关注区域。上面的索引l使得向量的第l分量与空间网格点（si，vj）相对应。很明显，（5.1）代表了治疗的最高标准。在这一节中，我们用数值方法研究了全局时间误差的实际行为在第4节末尾选择的四种ADI-IT方法的t。除此之外，还简要考虑了第3节中的BE-IT和CN-IT方法。对于数值实验，我们选择表1中列出的六种参数集。分别为38例、38例、38例。她的情况总是令人满意的。案例d、e、F都源于[1]。她的Felle r条件总是被严重违反，此外，成熟期相对较长。