Heston模型下美式期权定价的ADI方案

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英文标题：
《ADI schemes for pricing American options under the Heston model》
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作者：
Tinne Haentjens and Karel in \'t Hout
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper a simple, effective adaptation of Alternating Direction Implicit (ADI) time discretization schemes is proposed for the numerical pricing of American-style options under the Heston model via a partial differential complementarity problem. The stability and convergence of the new methods are extensively investigated in actual, challenging applications. In addition a relevant theoretical result is proved.
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中文摘要：
本文提出了一种简单、有效的交替方向隐式（ADI）时间离散化方法，通过偏微分互补问题求解赫斯顿模型下美式期权的数值定价问题。新方法的稳定性和收敛性在实际的、具有挑战性的应用中得到了广泛的研究。此外，还证明了相关的理论结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> ADI_schemes_for_pricing_American_options_under_the_Heston_model.pdf (1.48 MB)

2022-4-29 18:17:34 上传

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关键词：美式期权 期权定价 Est ADI sto

Heston模型下美国期权定价的ADI方案Tinne Haentjens*还有Karel J.in\'t Hout*2018年10月31日摘要本文提出了一种简单有效的交替方向隐式（ADI）时间离散化方案，通过部分微分互补问题，对Heston模型下的美式期权进行数值定价。新方法的稳定性和收敛性在实际的、具有挑战性的应用中得到了广泛的研究。此外，还证明了相关的理论结果。关键词：交替方向隐式方案，美式期权定价，赫斯顿模型，线性完全性问题，Ikonen–Toivanen分裂。1引言本文研究美式期权的数值估值。我们考虑了著名的交替方向隐式（ADI）时间离散格式的适应性。通过多维偏微分方程（PDE），这些分割方案在欧式期权的数值定价中被证明是高效、稳定和稳健的。然而，一项关于他们对美式选择潜力的研究仍处于起步阶段。在本文中，我们提出并分析了ADI方案对这类重要方案的有效调整。对于潜在的ass et价格过程，流行的Hestonstochastic波动率模型[15]被认为是红色的。假设u（s，v，t）是赫斯顿模型下普通美式看跌期权的公允价值，前提是在给定到期时间之前的时间单位，标的资产价格等于s≥ 0及其方差等于v≥ 0.应用于函数u的赫斯顿空间微分算子A用Au=sv表示Us+ρσsvUsv+σvUv+rsUs+κ（η）- v）U五、- ru（s>0，v>0）。

（1.1）这里的参数κ>0是平均回归率，η>0是长期平均值，σ>0是方差的波动率，ρ∈ [-1，1]是两个基本布朗运动之间的相关性，r是风险中性利率。我们注意到，在文献中，有时会假设所谓的Feller条件2κη>σ已满，但在本文中，我们将不进行此类假设。设K，T>0为美式看跌期权的给定履约价格和到期时间，并用φ（s）=max（K）表示支付函数- s、 0）（s）≥ 0). （1.2）众所周知，期权价值函数满足以下所谓的部分差异补足问题（PDCP）：UT≥ Au，u≥ φ、 （u）- φ)UT- Au= 0, (1.3)*安特卫普大学数学和计算机科学系，米德尔海姆兰1号，B-2020安特卫普，比利时。电子邮件：{tinne.haentjens，karel.inthout}@uantwerpen。是对于s>0，v>0，0<t的（s，v，t）有效点态≤ THeston PDCP（1.3）补充了初始和边界条件。初始条件为u（s，v，0）=φ（s）（对于s≥ 0，v≥ 0).以下第2节给出了边界条件。（1.3）中的三个条件自然地导致（s，v，t）-空间的分解：连续区域是所有点（s，v，t）的集合，其中等式u/t=持有Au（以及持有期权）；行使区域是所有点（s、v、t）的集合，其中等式u=φ成立（并且行使该选项）。这两个区域的联合边界称为自由边界或运动边界。选择值函数u和自由边界在封闭形式下都是未知的。

此外，尽管目前似乎没有严格的证据可用，但函数u有望克服自由边界上缺乏光滑性的问题，如Black-Scholes情况。美国式期权价格的Heston PDCP的数值解已经被文献中的许多作者考虑过。我们在此简要概述主要贡献。Clarke&Parrott[7]将有限差分格式应用于（1.3）的空间离散，然后应用θ-方法进行时间离散。这就产生了一个完全离散的线性互补问题（LCP），需要在每个时间步中解决。结果表明，对于Heston LCP而言，常用的投影SOR方法（参见[33,37]）通常太慢，作者在[7]中提出了一种多重网格方法。它基于Brandt&Cryer[4]的投影全近似方案（PFAS）。Oosterlee[29]对Heston LCP的PFAS方法进行了详细的傅立叶分析，并得出结论，尤其是交替线平滑器是稳健的。对于时间离散，在[29]中使用了二阶后向微分公式（BDF2）。Toivanen&Oosterlee[34]提出了一种适用于LCP的投影alg-ebraic多重网格方法，并表明该方法比Heston LCP的几何多重网格更快。Zvan、Forsyth&Vetzal[39]将美式期权定价问题视为一个非线性HestonPDE，其中通过惩罚方法纳入了提前行使约束。在空间离散、有限元/体积格式和时间离散后，通过θ-方法，他们得到了一个非线性代数方程组，该方程组通过预处理CGSTAB迭代的近似WTON方法进行数值求解。

p enalty方法显示，随着p enalty参数趋于一致，Heston LCP也会减小。Ikonen和Toivanen[24]提出了半离散化Heston PDCP时间离散化的分裂方法。所考虑的方法可以被视为众所周知的分步法或普通微分方程组的局部一维（LOD）方法的类似物。特别地，对称Strang型分裂适用于半离散Heston PDCP。这导致每个时间步有五个LCP，每个LCP都有一个三对角矩阵。然后，这些简单的LCP由[5]中介绍的高效Brennan–Schwartz算法精确求解，该算法用于（一维）Bla ck–Scholes模型下的Amer ic期权定价。我们注意到，由于[24]中的方法基于LOD方法，因此必须特别注意处理PDCP边界条件，否则可能会出现降阶。此外，Brennan–Schwartz算法仅适用于对期权价格的空间离散性和自由边界（形状）的限制性假设。Villeneuve&Za ne tte[36]与[24]有点相关，之前对原始的Peaceman–Rachford-ADI方案[30]进行了两次修改，以适应Black–Scholes模型下两项资产上的美式期权定价的半离散化PDCP。这些作者首先进行坐标变换，从而得出一个基本上是标准二维拉普拉斯算子的算子。相应地，从[36]到Hestonmodel的方法的通用性并不明确。Ikonen和Toivanen[26]提出了一种新的分裂技术，适用于空间和时间离散后得到的Heston LCPOB。

他们的想法最初是在[23]的Black-Scholes模型中提出的，其目的是引入一个辅助变量，以便在基本的时间离散化方案和ear-ly运动约束的实施之间实现解耦。这种方法的每个时间步的计算量由相关线性系统的解控制，作者采用多重网格。更新早期演习cons traint的计算成本可以忽略不计。考虑的时间离散格式有向后Euler、Crank–Nicolson和BDF2，以及二阶L-稳定Runge–Kutta方法。[25,26]表明，这种拆分方法性能良好且效率高。Persson&Von Sydow[31]考虑了基于有限差分和BDF2方法的HestonPDCP的定制自适应时空离散化，并应用了[26]中的分裂技术，其中线性系统的求解使用了预处理GMRES迭代。本文的主要目的是通过引用[26]中的分裂思想，将ADI时间离散化方案有效地应用于美国式期权的半离散化d Heston PDCP。我们将新获得的方法称为ADI-IT方法。ADI-IT方法的计算工作量由相关线性系统的求解方法决定，如[26]所示。但是，与[26]相反，这些线性系统现在只涉及固定的、小宽度的矩阵。因此，通过使用LU分解，可以以高效的方式精确且轻松地解决这些问题。在我们的注释[13]中，已经简要介绍了这种方法。在本论文中，我们将进行全面的研究。

论文的最后一部分如下。第2节描述了通过非均匀笛卡尔网格上的有限差分模式对Heston运算器（1.1）进行离散化，从而得出Heston PDCP（1.3）的半离散版本。在第3节中，我们首先考虑使用公共θ-方法进行时间离散。对于由此产生的HestonLCP，Ikonen和Toivanen[26]提出并讨论了分裂技术。我们证明了关于有分裂和无分裂数值解的封闭性的一个有用定理。接下来，第4节定义了ADI时间离散化方案对半离散Heston PDCP的适应性。考虑了四种已知的ADI方案：道格拉斯方案、克雷格-斯奈德方案、修改后的克雷格-斯奈德方案和亨德斯多夫-维沃方案。第5节对获得的ADI-IT方法进行了广泛的数值研究。我们在各种具有代表性的、具有挑战性的测试案例中详细研究了它们的实际稳定性和收敛行为——到期时间长短、零相关性和非零相关性、Feller条件成立和违反的情况、普通美式看跌期权和有上限美式看跌期权。此外，将ADI-IT方法得到的近似值与上述文献中已知的近似值进行比较，并以图形方式显示所有测试案例的计算期权价格面和自由边界。第6节给出了结论。2空间离散化数值求解Heston PDCP（1.3）的第一步是对Heston算子（1.1）进行离散化。对于空间变量s resp。v域被限制为有界的set[0，Smax]resp。[0，Vmax]对于固定值Smax，Vmax非常大。

我们处理Dirichlet和Neumann类型的边界条件，由考虑中的特殊选项决定，或者在退化边界的情况下不处理任何条件。对于普通美式看跌期权，以下边界条件在文献中很常见在s方向上：u（0，v，t）=K（2.1a）Us（Smax，v，t）=0。（2.1b）o在v方向：Uv（s，Vmax，t）=0。（2.2）注意v方向上Heston算符（1.1）的简并特性，即所有二阶导数项消失，算符变为v的对流占优算符↓ 0.相关地，在v=0时，假设Heston PDCP（1.3）已满。对于（1.1）的离散化，在[0，Smax]×[0，Vmax]上选择合适的笛卡尔网格，非均匀网格0=s<s<…<sm=Smax和0=v<v<vm=vmaxins-和v-方向。使用非均匀网格，而不是均匀网格，可以显著提高效率，参见[12]。此外，当应用下面定义的非均匀网格时，对Smax和Vmax取较大的值在计算上比较便宜在s方向：让整数m≥ 1和参数d>0，并让等距点ξmin=ξ<ξ<…<ξm=ξmaxbe与ξmin=s inh一起给出-1.-斯莱夫特,ξint=Sright- Sleftd，ξmax=ξint+sinh-1.Smax- 斯莱特.注意，ξmin<0<ξint<ξmax。然后我们定义网格0=s<s<…<sm=sm穿过变压器i=а（ξi）（0≤ 我≤ m） 式中φ（ξ）=Sleft+dsinh（ξ）（对于ξmin≤ ξ<0），Sleft+dξ（对于0≤ ξ ≤ ξint），Sright+dsinh（ξ- ξint）（对于ξint<ξ≤ ξmax）。上述网格在给定的固定间隔内有相对多的点[Sleft，Sright] [0，Smax]。该区间特别适用于应用中的感兴趣区域，且包含走向K。因此，由于初始函数（1.2）在K处具有不连续导数，因此数值困难得到缓解。

s型网格外部不均匀[Sleft，Sright]，内部均匀。o在v方向：让整数m≥ 参数d>0，且等距离点ψ<ψ<…<ψmbe由ψj=j·ψ (0 ≤ J≤ m） 与ψ=msinh-1.Vmaxd.然后我们定义网格0=v<v<…<vm=Vmaxbyvj=dsinh（ψj）（0≤ J≤ m） 。该非均匀网格在导入退化边界v=0的相邻罩中有相对多的点。允许ξ = ξ- ξ. 可以很容易地验证，上面定义的s和v网格是平滑的，因为存在实常数C、C、C′、C′、C′、C′、C′>0，因此网格宽度si=si- 硅-1和vj=vj- vj-1满足感ξ ≤ 硅≤ Cξ和|si+1- |≤ C(ξ） （均匀分布在i，m），C′中ψ ≤ vj≤ C′ψ与|vj+1- vj|≤ C′(ψ） （均以j，m表示）。在第5节中，我们的最大值=5，而在第5节中，我们的最大值=20，在第5节中，我们选择的是数值型参数, E-rTK，Sright=K，Smax=14K，Vmax=5。Smax、Vmax的上述值可能被视为较大。它们是试探性地确定的，以保证在我们所有的实验中，空间域限制在有界集中引起的误差可以忽略不计。如前所述，在考虑非均匀网格的情况下，增加上界Smax、Vmaxis对整体效率无害。选择区间[Sleft，Sright]时，除了包含走向K外，预计所有实际值v，t的运动边界点都将包含在其中。进一步研究可能比上述更好的参数值可能是有趣的，下一步讨论的是非均匀化的空间导数。鉴于上述边界条件，相关的空间网格为g={（si，vj）：1≤ 我≤ m、 0≤ J≤ m} 。写ui，j=u（si，vj，t）。

我们采用以下著名的有限差分（FD）方案，在Heston算符（1.1）中对对流和扩散项进行离散在s方向：对流的正演格式Us（si，vj，t）≈ui+1，j- ui，jsi+1，分化的核心方案Us（si，vj，t）≈是的(si+si+1）用户界面-1，j-硅si+1ui，j+si+1(si+si+1）ui+1，j.o在v方向：对流的正向方案Uv（si，vj，t）≈ui，j+1- ui，jvj+1Vj≤ η、 对流的反向格式Uv（si，vj，t）≈ui，j- ui，j-1.vjvj>η时，扩散的中心方案Uv（si，vj，t）≈vj(vj+vj+1）用户界面，j-1.-vjvj+1ui，j+vj+1(vj+vj+1）用户界面，j+1。对于任意网格，对流的前向和后向FD格式以及扩散的中心FD格式都有一个t阶截断误差（只要u通常是可微分的）。对于本文中的光滑网格，中心格式的截断误差为二阶。需要特别注意在重要退化边界以及具有Neumann条件的边界处的FD讨论在s方向：s=Smax处的Neumann条件（2.1b）直接呈现出初始导数u/s、 使用中心格式，结合线性外推，在Smax之外的虚拟网格点处获得所需的近似值，二阶导数u/sis近似值在v方向：v=v轴处的Neumann条件（2.2）与上述（2.1b）类似。在退化边界v=0时，我们近似u/v.远期FD方案。接下来，（1.1）中的术语涉及u/如果v=0，则v为零，因此处理起来很简单。如果标的资产价格和方差过程是相关的，那么如果ρ6=0，那么Heston算子（1.1）将包含一个混合变量。