公共采购市场中的指数定律和幂律

对于具有强相互作用粒子的系统，我们利用了Tsallis熵。从广义系统开始，我们最大化了Thessannon熵[30]s=-PNn=1p（cn）log（p（cn））带约束PNn=1p（cn）=1，PNn=1p（cn）mcn=M/Cyielding the Lagrangian L:cision。对于C来说，这可能过于简单，因为至少赢得一次采购的公司数量是一些优化问题的解决方案。C的价值是有限的公司数量和进入PP市场的成本造成的经济摩擦的结果。p-3Ladislav Kristoufek1,2，Jiri Skuhrovec1L=-NXn=1p（cn）log（p（cn））- λNXn=1p（cn）- 1.-κNXn=1p（cn）mcn-司仪！（1） 给定sp（cn）=e时，关于p（cn）的lw的最大化-κcn+λ-1，其中κ和λ是关于约束的拉格朗日乘数，或在经济方面，是关于给定约束的灵敏度。有趣的是，κ描述了企业平均收入变化的敏感性。因此，广义系统熵的最大化产生麦克斯韦-玻尔兹曼（指数）分布，温度的倒数作为拉格朗日乘数κ。考虑到非广义系统，我们最大化了Tsallis的熵[31,32]Sq=（1）-PNn=1p（cn）q）/（q）-1） 式中，q是一个熵指数，具有相同的约束条件，拉格朗日指数L=1-PNn=1p（cn）qq- 1.- λNXn=1p（cn）- 1.-κNXn=1p（cn）mcn-司仪！（2） 这里，Lw相对于p（cn）的最大化产生p（cn）=Q-1qλ+κcn-Q-1，其中κ和λ是关于限制的拉格朗日乘数。因此，在非扩张系统中，熵的最大化产生帕累托（幂律）分布。这确实是我们观察到的参与企业的总收入，这一过程可以很好地描述为来自具有强相互作用粒子的非扩展系统。

在同一条路径中，这可以显示为订约当局和他们的总开支的分布，我们也发现了幂律分布。请注意，q>0是非扩展性的度量，q越远，系统的非扩展性就越大。问→ 1，Thessannon的熵被恢复（一个广泛的系统），由此产生的分布也与LinEq呈指数分布。1.以一种非常相似的方式，我们可以处理投标人数量分布问题。我们有W个投标书和K个不同的竞争企业价值观。设WK为多个投标者，其中K=1，所以pkk=1wk=W。有BK投标人参与投标的概率为pk=wk/W，并且显然认为pkk=1pk=1和pk≥ 0代表所有人。在单个标书PKK=1pkbk=F/W上增加对投标人平均值的限制，这源于对定义为asPKk=1wkbk=F的所有合同的投标公司总数的限制，我们可以再次构造拉格朗日形式L，最大化香农的四分之一丙基=-NXn=1pklog pk- λKXk=1pk- 1.-k1pk=k1pk-FW！，（3） 产生概率分布函数pk=e-κbk-1+λ，即麦克斯韦-玻尔兹曼分布，这确实是我们的数据集中观察到的投标人数量。因此，合同的投标公司数量似乎来自于广泛的系统，参与者之间没有或只有微弱的互动。为了进一步扩展物理学中的广义系统和非广义系统与我们特定的社会经济问题之间的类比，将物理系统中的粒子视为市场参与者上市并竞争公共采购。由于我们很难描述每个企业的行为，因此只能分析总体行为。

市场参与者（粒子）可以独立行动（或弱相互作用）或强相互作用，这分别与物理扩展系统和非扩展系统平行。该分析还可以扩展到市场中的潜在摩擦（粒子碰撞），这会进一步增加熵并使系统偏离平衡。因此，当市场参与者不合作（或只是弱合作）和/或没有进入市场的障碍时，可以将市场情况视为广泛系统，正如我们所示，这将导致麦克斯韦-玻尔兹曼收入和支出分配。相反，当市场参与者合作和/或市场中存在障碍和摩擦时，市场情况可以被视为非扩展系统，我们已经证明，这会产生支出和收入的帕累托分布。这甚至导致了一种政策含义——收入或支出的分配越接近麦克斯韦-玻尔兹曼分布，整个体系就越透明和竞争，反之，收入和支出的分配越接近帕累托分布，整个体系就越不透明和竞争。此外，更接近广泛的系统特征要求采购过程更加透明，互动参与者（代理人）之间的合作更少，市场摩擦（壁垒）更少。消除或至少抑制这些不足将导致总收入和支出的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，这是广泛系统的特征。

尽管这样的政策建议看起来很明显，但由于它是基于完善的统计分析得出的，因此相当有力。公共采购市场中的p-4指数定律和幂律为了考虑投标人数量的结果，我们认为这个过程类似于物理学中的一个广泛系统。从经济角度来看，竞争采购的公司似乎在投标水平上不合作，这导致了投标人数量的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。因此，从“理想情况”中推动总收入的因素似乎更多地是客户与供应商的合作，而不是供应商与供应商的合作。这确实是一个相当令人不安的结果，表明捷克共和国采购过程中存在潜在的腐败，这当然是非法的，应该是对当局的警告。然而，这种结果可能有不同的原因。收入和支出都存在帕累托分布的事实表明，分配形式可能是从订约当局继承给供应商的。由于缔约当局通常具有政治影响力和相互关联性，它们之间显然存在着强大的互动，导致了幂律分布。因此，如果我们找到支出的麦克斯韦-玻尔兹曼分布和收入的帕累托分布，政策影响会更大。

与此相关的是，具体文件的数量可能也会使解释复杂化。总之，我们已经证明，公共采购市场可以用统计物理学中标准使用的工具进行分析，这些工具不仅可以得到指数定律和幂律等技术上有趣的结果，甚至还可以引导我们得出具体的政策含义（尽管应该谨慎对待）。这些基本结果可用于公共采购相关流程的进一步分析和建模。请注意，这里的分析还远未完成，还有其他问题需要在未来进行分析——投标人数量与合同最终价格之间的关系、中标合同数量与合同最终价格之间的关系、企业相对于特定承包机构的集中度，以及其他问题。事实上，根据数据的可用性，这里展示的房产是否也适用于其他国家，这将是一个有趣的问题。* * *作者感谢捷克共和国拨款机构（拨款编号P402/11/0948和402/09/0965）、捷克共和国技术机构（拨款编号TD010133）、查尔斯大学拨款机构（拨款编号118310）和SVV 265 504项目的财政支持。参考文献[1]帕累托诉洛桑大学经济政治课程教授案（日内瓦德罗兹），1896年。[2] 曼德布罗特B.，计量经济学，29（1961）517。[3] 斯兰尼娜·F.，物理评论E，69（2004）046102。[4] 科埃霍R.，里士满P.，巴里J.和哈茨勒S.，Physica A，387（2008）3847。[5] Fiaschi D.和Marsili M.，经济行为与组织杂志，81（1）（2012）243。[6] 青山H.，吉川H.，伊藤美H.和藤瓦里。，《经济互动与协调杂志》，5（1）（2010）27。[7] 班圭圭。

和Blumenfeld Lieberthal E.，Physica A，384（2007）613。[8] 科尔多瓦J.，城市经济学杂志，63（2008）177。[9] Levy M.，美国经济评论，99（2009）1672。[10] Giesen K.，Zimmermann A.和Suedekum J.，城市经济学杂志，68（2）（2010）129。[11] Stanley M.，Buldyrev S.，Havlin S.，Mantegna R.，塞林格M.和Stanley H.，经济通讯，49（1995）453。[12] 塞林格M.和斯坦利H.《自然》杂志，379（1996）804。[13] 藤原Y.，Physica A，337（2004）219。[14] Adamic L.和Huberman B.，声门测量学，3（2002）143。[15] Mantegna R.和Stanley H.，自然杂志，376（1995）46。[16] Gabaix X.，Gopikrishnan P.，Plerou V.和StanleyH。，《自然》，423（2003）267。[17] Gabaix X.，Gopikrishnan P.，Plerou V.和StanleyH。，《经济学季刊》，121（2006）461。[18] de Souza J.，Moyano L.和Duarte Queiros S.，欧洲物理杂志B，50（2006）165。[19] Saavedra S.，Duch J.和Uzzi B.，公共科学图书馆一号，6（2011）e26705。[20] Preis T.，Moat H.S.，Stanley H.E.和主教。R.，自然科学报告，2（2012）350。[21]维斯皮格纳尼A.，科学，325（5939）（2009）425。[22]Farmer J.D.和Geanakoplos J.，经济年鉴，1（1）（2008）1。[23]Gabaix X.，NBER工作文件系列，14299（2008）1。[24]Lux T.，基尔工作文件，1425（2008）1。[25]经合组织，《2011年政府概览》（经合组织出版）2011年。[26]欧盟指令2004/18——采购——公共工程、公共供应和公共服务合同。[27]Pareto V.和Page A，《政治经济学手册》（凯利）1971年。[28]Preis T.，Schneider J.J.和Stanley H.E.，PNAS，108（19）（2011）7674。[29]Stephens M.A.，美国统计协会杂志，69（347）（1974）730。[30]香农·C·E.，贝尔系统技术期刊，27（3）（1948）379。[31]哈弗达J。

和查瓦特·F.，基伯内蒂卡，3（1967）30。[32]Tsallis C.，统计物理杂志，52（1988）479。p-5Ladislav Kristoufek1,2，Jiri Skuhrovec1Fig。1：投标人数量的分布函数。cdf（左）和pdf（右）的明显指数标度用β表示≈ 0.27. 由于投标人数量等于1时，cdf必须等于1，因此该截距基于固定截距。图2：供应商总收入的分布函数。收入是标准化的，所以它们以一些标准偏差的形式显示出来。幂律fit基于高于单个标准差的标准化收入。α=1.236的幂指数几乎完全适用于右尾（左）。Zipf定律图（右）支持该参数，γ=0.789。图3：订约当局总开支的分布函数。支出是标准化的，因此可以用许多标准差来表示。幂律函数基于高于单一标准偏差的标准化支出，其方式与收入相同。α=0.993的幂律指数几乎完美地适用于右尾，甚至适用于较低的支出值（左）。该参数在Zipf定律图（右）中得到支持，γ=0.977。p-6