行为投资者的连续时间投资组合优化

设α>0，然后 ∈ （0,1），然后考虑u-: [ 0, +∞) →[0, +∞) 由u给出-（x） ，exp{αsgn（x- 1） |对数（x）|} 11(0,+∞)（x） 对于任何x≥0.显然，这种效用函数满足了-(+∞) = +∞ 对于每一个δ>0，其相关的失真是参数δα>0和 ∈ (0 , 1).下面是定理3的推论。2现在是直接的，它告诉我们，在特定情况下，损失的失真是与u相关的失真-对于某些参数δ>0，可达到的一个必要条件是δ≤ 1.推论3.6（必要条件II）。让你-(+∞) = +∞ δ>0。假设投资者对损失的概率权重为w-= wδ。然后，在假设下。1,2.2,2.4和2.5，只有当δ≤ 1.例如，存在γ∈ [0,1]、C>0和C≥ 0使你-（十）≤ Cxγ+c相当大的x.第6页/收益有限的行为投资者的投资组合优化因此，当参数δ严格大于1时，根据前面的结果，我们知道（2.2）中的上确界永远不会达到。对于一些相当典型的效用函数，δ=1也适用同样的结论（见上文备注5）。本节的其余部分将致力于论证δ<1的条件不仅“几乎是必要的”，而且还足以确保在u-在下面假设3.7。每δ∈ （0，1），有一些ξ>1，比如limx→+∞U-xξδu-（x） =0。（3.3）作为推论3的几乎倒数。我们有以下几点。定理3.8（充分条件）。假设你-和wδ如推论3所述。6和w-（十）≥ 所有x的wδ（x）∈ [0, 1].

在假设2.1、2.3至2.5和3.7下，如果δ∈ （0，1），则存在一个最优策略。因此，Coro llary3。6和定理3.8表明[u-（1/x）]-1就最优投资组合的存在性而言，可被视为畸变函数的阈值。在这一点之下，在δ<1的意义上，可达到性ho lds。除此之外，当δ>1时（或者，在某些情况下，当δ=1时，als o），它不会。最后，我们给出了一个结果，它允许我们将假设3联系起来。7.著名的渐近弹性概念（由Cvitani'c和Karatzas[6]以及Kramkovand Schachermayer[10]在经典数学文献中介绍）。引理3.9。假设你-(+∞) = +∞, 让z-: [ 0, +∞) → [ 0, +∞) u的bethe变换-由z给出-（x） ，log（u）-（ex）），适用于所有x≥ 0.如果存在γ>0和x>0，则z-（λx）≤ λγz-（x） 总而言之λ≥ 1和x≥ x、 （3.4）然后假设3。备注3.10。进一步补充函数z-在（x+∞), 为了一些x≥ 0.可以很容易地验证，在这种情况下，条件（3.4）相当于E+（z-) , lim supx→+∞x（z）-)′（x） z-（x） <+∞,其中AE+（z-) 是z的渐近弹性-在+∞. 我们参考了Kramkov和Schachermayer[10]中的Le mma 6.3，同时提请注意，这里的证明只使用了z的连续性、单调性和连续可微性-, 不是它的凹面。例3.11。（i） 假设你-持续可区分且AE+（u-) <+∞. 此外，如果存在常数C>0，γ>0，那么u-（十）≥cxγ对所有足够大的x都成立，那么u-满足假设3.7。的确，x（z）-)′（x） z-（十）≤x（z）-)′（x） 对数（C）+γx=（z）-)′（x） （log（C）/x）+γ第7/15页针对收益有限的行为投资者的投资组合优化对于每一个足够大的x，因此AE+（z-) ≤γ-lim-supx→+∞（z）-)′（x） 。但是，正如Kramkov和Schachermayer[10，p。

946]，检查lim supx是很简单的→+∞（z）-)′（x） =AE+（u）-), 这是由假设确定的，因此是引理。9给出了我们声称的结果。特别是，这意味着参数α>0（不一定小于1）的幂效用函数具有渐近弹性等式α，验证了假设3。7.（ii）让我们看看例句3的实用性。参数α>0和 ∈ （0,1）、对数效用和对数效用定义为u（x），对数（1+log（1+x））表示所有x≥ 0.它们的变换z，zand z，分别等于z（x）=αx,z（x）=log（log（1+ex）），z（x）=log（log（1+log（1+ex）），对于所有x≥ 0.可以检查这些函数是严格凹的，因此AE+（zi）≤ 尽管我∈ {1,2,3}（参见Kramkov和Schachermayer[10，引理6.1]）。（iii）假设你-(+∞) = +∞, 而且（美国）-)′存在并以x的速度趋于0→ +∞, i、 e.，（u）-)′（十）≤ C/[x log（x）]对于一些C>0和足够大的x。那么假设3.7已经完成。的确，x（z）-)′（x） z-（x） =x ex（u）-)′（ex）u-（ex）log（u）-（前）≤铜-（ex）log（u）-（前）-----→十、→+∞0.4结论和进一步工作在这项工作中，我们分析了连续时间完整金融市场中的CPT最优投资组合问题。我们只关注了投资者对收益的效用在上有界的情况，并找到了最优解存在的必要条件。正如预期的那样，所获得的条件既涉及效用，也涉及损失的失真，而损失的增益并不重要。还导出了可达到性的充分条件，表明我们的必要条件构成了存在的门槛。关于我们的假设。7，这可能在一开始看起来有些特殊，它被证明与一个广为人知的概念有关，如渐近弹性。此外，它还满足于一大类功能，包括一些文献中最流行的功能。

将这些结果推广到无界u+是进一步研究的目标。A证明和辅助结果我们可以并将假定-(1) = 1. 实际上，让y>0为（唯一）值，这样u-（y） =1。定义u±（x），u±（xy）。请注意，假设2.5和3.7继续适用于“u”±和V*U-（x） =V*“u”-（x/y），所以下面的所有结果都是从案例u扩展而来的-（1） 一般情况下=1。第8页/GainsLemma a.1中效用有限的行为投资者的投资组合优化。在假设2.5下，只存在问题（2.2）的最优投资组合φT: φ ∈ ψ（x）o<u+(+∞) . （A.1）证据。省略。定理3.2的证明。证据是相反的。让我们假设我们有lim infx→0+w-（x） u-（1/x）=0。然后，使用假设2。1和2.2，可以找到两个严格正实数序列{an；n∈ N} 和{bn；N∈ N} ，分别严格减少和严格增加→+∞an=0和limn→+∞bn=+∞, 其项满足P{ρ≤ bn}=1- 阿南德w-（an）u-（1/an）<1/n.现在，每n∈ N、 我们定义了事件An，{ρ≤ bn}，以及正的和σ（ρ）-可测的随机变量Xn，bn2 Q（An）An。很明显，limn→+∞Q（An）=limn→+∞（An（xp）=1+soV+bn2 Q（An）w+（P（An））-----→N→+∞u+(+∞) .接下来，让我们来看看Yn，bn-2x2 Q（Acn）Acn（注意，对于所有n，Q（Acn）>0∈ N） 也就是σ（ρ）-可测。自从limn→+∞bn=+∞, 对于任何n，都有一个bn>2x的整数nsucht≥ n、 此外，鉴于limn→+∞bn-2x2bn=1/2，一定有一些∈ N所以bn-2x2bn<1的所有n≥ n、 将这些因素与不等式Q（Acn）=EQ结合起来ρ11Acn≥ bnP（Acn）与u的单调性-产量，每n≥ {n，V}-（Yn）=u-bn- 2x2 Q（Acn）W-（P（Acn））≤ U-P（Acn）W-（P（Acn））<n。因此，设置Zn=Xn-伊恩∈ N、 很明显，Znisσ（ρ）-可测，并且EQ[Zn]=xby构造。

此外，每n≥ n、 我们有-（Z）-n） =V-（Yn）+∞ 和EQ[|Zn |]=bn- x<+∞, 因此，ZN可以从初始资本x获得。最后，我们得到了lim infn→+∞钒（锌）≥u+(+∞) - 0，所以由Lemma。1.我们可以得出结论。引理A.2。以下三种说法是等价的，（i）假设3。7适用于每个δ∈ （0，1），存在一个实数ζ>1和一个递减函数G:（0+∞) → [1, +∞) 这样，对于每λ>0，u-xζ≤ [λu-（x） ]1/δ，（A.2）对于所有x≥ G（λ）和（iii）对于每个δ∈ （0，1），存在>1使得limx→+∞[z]-（十）- δz-（x）]=+∞, z在哪里-是u的变换-在Lemma3中定义。9.第9/15页收益率有限的行为投资者的投资组合优化。（一）=> （ii）是三元的，因此我们同意相反的含义。让δ∈ （0,1）是固定的，并考虑λ>0的任意性。假设limx→+∞[u]-（xξ）]δu-（x） =0，存在一些L，L（λ）≥ 1.让你-xξ< [λu-（x） ]1/δ用于allx≥ L.下一步定义，对于每个λ>0，非空集λ，nL≥ 1:u-xξ< [λu-（x） ]1/δ适用于所有x≥ Lo的下限为1，因此它允许一个内界。然后让G:（0+∞) →R是G（λ），inf Sλ对任何λ>0给出的函数。显然，通过构造，G≥ 1.此外，可以很容易地检查，对于每个λ>0和所有x≥ G（λ），不等式u-xξ≤ [λu-（x） [1/δ是正确的。最后，它证明了G确实是λ的递减函数。为此，设0<λ≤ λ. 那么，为了所有的x≥ G（λ）≥ 1.我们有你-（xa）≤ [λu-（x） ]1/δ≤[λu-（x） [1/δ，因此G（λ）属于Sλ。因此，我们必须有，由内模定义，G（λ）≥ G（λ）。第（一）部分<=> （iii）简单明了。引理A.3。假设你-(+∞) = +∞, 让f:[0+∞) → [ 0, +∞) 是一个连续的严格递增函数，同时满足f（0）=0和f(+∞) =+∞.

那么-（P{f（X）>t}）≤U-（f）-1（t））Z+∞W-（P{u-（十） 对于任何t>0和任何正随机变量X.Proof。该证明类似于Rásonyi和Rodrigues[16]中引理3.12的证明，只是做了一些细微的修改。推论A.4。假设你-(+∞) = +∞, 让δ>0是任意的。如果wδ是与效用u相关的失真-（带参数δ），那么对于anys>0，我们有p{Xs>t}≤（u）-)-1.“你-t1/sR+∞wδ（P{u-（十） >y}）dy#1/δ-1（A.4）对于所有t>0和所有正随机变量X.引理A.5。假设你-(+∞) = +∞ 和δ∈ (0, 1). 假设满足假设3.7，并假设递减函数G:（0+∞) → [1, +∞) 实数ζ>1是引理A.2给出的。那么，对于每η∈ （1，ζ），存在一个常数C>0，对于所有正随机变量X，我们有ep[Xη]≤ C+hG[Vδ（X）]-1.iη（u）-)-1.δ（V）]-1/δ, （A.5）带Vδ（X），R+∞wδ（P{u-（十） >y}）dy.第10页/收益率有限的行为投资者的投资组合优化。固定δ∈ （0,1）和η∈ （1，ζ），设X为正随机变量。如果X=0 P-a.s.，那么EP[Xη]=0和Vδ-（十） =0，因此不等式（A.5）对于任何C>0都可以满足。现在假设P{X>0}>0，而Vδ（X）>0。使用推论。4，EP[Xη]=Z∞P{Xη>t}dt≤ 1+Z+∞U-1.“你t1/ηVδ（X）#1/δ-1dt，（A.6）对于任何正随机变量X，我们应用引理。2.获得，对于所有x≥ G（1/Vδ（X）），（u-)-1.U-（x） Vδ（x）1/δ!≥ xζ，其中我们还利用了以下事实（u-)-1正在严格增加。另一方面，它又源于u和-和（u）-)-1这（u）-)-1.“你-t1/ηVδ（X）#1/δ≥ （u）-)-1.Vδ（X）1/δ!尽管如此，t≥ 1.

因此，前面的事实和变量x=t1/ηyieldZ的变化+∞U-1.“你t1/ηVδ（X）#1/δ-1dt≤Z[G（1/Vδ（X））]η（u-)-1.Vδ（X）1/δ!#-1dt+ηZ+∞G（1/Vδ（X））U-1.hu（x）Vδ（x）i1/δ-1x1-ηdx≤汞δ（V）]-1.iη- 1（u）-)-1.δ（V）]-1/δ+ ηZ+∞x1+ζ-ηdx，（A.7），我们注意到第二个积分是有限的，因为ζ- η > 0.因此，将（A.7）插入（A.6），设置C，1+ηR+∞x1+ζ-ηdx∈ (1, +∞)并注意到δ（V）]-1.iη- 1.≤汞δ（V）]-1.iη允许我们最终减少声称的不平等。定理3.8的证明。本质上，我们将遵循Rásonyi和Rodrigues[16]中定理4.7的证明，同时借鉴Reichlin[18]的一些关键思想。我们从最大化序列开始φ（n）；N∈ N ψ（x），即一系列可接受的交易策略φ（n），使得limn→+∞五、πφ（n）T= 五、*（x） 。第11页/收益效用有限的行为投资者的投资组合优化此后，我们将用第n个投资组合φ（n）的最终财富xn表示。我们显然有infn∈NV（Xn）>-∞. 此外，我们得到了支持∈NV+（X+n）<+∞根据命题3.1，因此也是如此∈内华达州-十、-N≤ 苏普∈内华达州+X+n- infn∈NV（Xn）<+∞.注意到-≥ wδ意味着hg[Vδ（Xn）]-1.iη（u）-)-1.[Vδ（Xn）]-1/δ≤汞[V]-（Xn）]-1.iη（u）-)-1.[V]-（Xn）]-1/δ,每n∈ N、 然后从莱玛开始。那是什么∈棉结（十）-n） η< + ∞,对于某些η>1的情况。接下来，EQ[X+n]=X+EQ[X-n] ，假设。3和H"older不等式允许我们得到这个结果∈NEP[|Xn |τ]<+∞ 每τ∈ （0,1）（详细信息请参见Rásonyi和Rodrigues[16]中的证据4.7）。从这一点，现在可以立即得出结论，家庭{PXn；n∈ N} ，其中pxndnote随机变量xnw相对于P的定律是紧的。

因此，根据Prokhorov的理论，我们可以提取弱收敛子序列PXnkw-→ ω表示ω的概率测度。现在让qPρ表示ρ相对于P的分位数函数，它在一组勒贝格测度为0时是唯一的。然后，根据我们的假设2.1，σ（ρ）-可测r和OM变量U，FPρ（ρ）在区间（0，1）上服从于P a均匀分布，而且ρ=qPρ（U）P-a.s。。那么让我们设定X*, qν（1）- U），这显然是一个σ（ρ）可测量的随机变量。此外，因为- U在P下均匀分布在（0，1）上，我们得出结论*有概率定律ν，因此XnkD-→ 十、*.从早上起∈NV±（X±n）<+∞, 正如Rásonyi和Rodrigues[16]中定理4.7的第（i）部分所示，V±（X±*) < +∞.简单地说，我们有0≤ w+Pu+X+nk> Y≤ 11[0，M]（y）表示所有k∈ N和y≥ 所以法图引理意味着V（X）*) ≥ 五、*（x） 。还需要检查等式[X]*] ≤ x、 这将使用Reichlin的论点[18，命题4.1的证明，第16页]来完成。然而，我们注意到，在我们的论文中，财富被允许变为负值，这一事实需要进行一些修正。立即得到等式[X]*] equalsEP[ρX*] = EPqPρ（U）qν（1）- U）=ZqPρ（x）qν（1）- x） dx。我们记得随机变量ρ相对于概率测度P，qPρ的唯一分位数函数（最多一组勒贝格测度为零）：（0，1）→ R、 是FPρ的广义逆，也就是说，它是FPρ的逆qPρ（p）-≤ P≤ FPρqPρ（p）对于任何p级∈ （0，1），其中FPρ（x-) , 林斯↑xFPρ（s）=P{ρ<x}。类似地，在Borelσ-代数B（R）上给定一个概率定律ν，其分位数函数qν是由Fν（x）给出的分布函数的广义逆，ν（(-∞, 对于任何x∈ R

读者可参考F"ollmerand Schied[7，附录A.3]对分位数函数及其性质和相关结果进行深入研究。第12页/收益效用有限的行为投资者的投资组合优化此外，qPρ在（0，1）上为正a.e.，因为ρ>0 a.s.，并且∈ N} 在分布中收敛到X*意味着分位数函数SNQPXNK的序列；K∈ 在（0,1）上没有接近qνa.e。因此，由于正部分函数是递增且连续的，我们可以将Fatou引理与Hardy Littlewood不等式（例如，我们参考了F"ollmer和Schied[7，定理A.24]）中的一个结合起来，得到zqpρ（x）[qν（1- x） ]+dx≤ 林因夫→+∞ZqPρ（x）hqPXnk（1）- x） i+dx=lim infk→+∞ZqPρ（x）qPX+nk（1）- x） dx≤ 林因夫→+∞EPρX+nk,其中等式是a.e.x的hqpxnk（x）i+=qPX+nk（x）的一个微不足道的结果∈ (0, 1). 另一方面，它是从第二个耐寒的小木屋品质ρX-nk≤ZqPρ（x）qPX-nk（x）dx，每k∈ N.但是a.e.正函数的家族N qpρqPX-nk；K∈ Nois在（0，1）上一致可积。实际上，我们可以选择一些η′>1，使得η′<η，以及η/η′>1的soH"older不等式，对于所有k∈ N、 ZhqPρ（x）qPX-nk（x）iη′dx≤ EPqPρ（U）η η′η-η′η′-ηEPhqPX-nk（U）ηiη′η=C EP十、-nkηη′η≤ C苏普∈棉结十、-Nηη′η< +∞,对于一些C>0，我们使用每个随机变量qPX-nk（U）的分布与X相同-nk，我们调用假设2。3.因此，由德拉瓦莱普辛的引理得出如下结论。负部分函数也在减小，即sohqPXnk（x）i-= qPX-nk（1）- x） a.e.x∈ （0,1）和任何k∈ N.此外，它也是一个连续函数，因此是limkqPX-nk（x）=[qν（1）- x） ]-a.e.x∈ (0, 1).

因此，这些因素与一致可积性相结合，给出了thatlimk→+∞ZqPρ（x）qPX-nk（x）dx=ZqPρ（x）[qν（1）- x） ]-dx。因此，它源于每个Xnk的可接受性，源于对lim inf的收益-非加性具有有限效用的行为投资者的superPage 13/投资组合优化，以及源于前面的不等式X=lim infk→+∞EP[ρXnk]≥ZqPρ（x）[qν（1- x） ]+dx- 林克→+∞ZqPρ（x）qPX-nk（x）dx=ZqPρ（x）[qν（1）- x） ]+dx-ZqPρ（x）[qν（1- x） ]-dx=EQ[X*] ,如你所愿。最后，检查X*属于toL（Q），因为eq[|X*|] = 等式[X]*] + 2情商十、-*≤ x+2 limk∈NZqPρ（x）qPX-nk（x）dx<+∞,因此，根据假设2。4，X*允许复制投资组合*来自initialcapital EQ[X*] ≤ x、 更重要的是，有了初始资本，xone也有V（φ）*（T）≥五、*（x） ，那么φ*这是一个最佳策略。引理3.9的证明。固定δ∈ （0,1）任意选择∈1, δ-1/γ. 然后，每x≥ x、 我们有z（x）- δz（x）≥ z（x）[1- δ γ]. 自从z(+∞) = +∞δγ<1，我们得到lim infx→+∞[z（x）- δz（x）]=+∞, 最后，我们使用L e mmaA。2来推断假设3.7是正确的。参考文献[1]K.J.Arrow，风险承担情况下选择理论的替代方法，计量经济学19（1951），第4期，404–437。[2] K.J.Arrow，《风险承担理论论文》，北荷兰出版公司。，1970年[3]K.J.Arrow，在预期效用最大化中使用无界效用函数：响应，夸脱。J.经济。88（1974），第1号，第136-138页。[4] A.B.Berkelar，R.Kouwenberg和T.Post，《损失规避下的最优投资组合选择》，第。经济。统计学家。86（2004），第4973-987号。[5] G.Carlier和R.-A.Dana，当管理者具有不变定律的效用时，对连续索赔的最佳需求，数学。《金融21》（2011）第2期，第169-201页。[6] J.Cv itani'c和I.Karatzas，《交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法》，数学。