行为投资者的连续时间投资组合优化

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英文标题：
《Continuous-Time Portfolio Optimisation for a Behavioural Investor with
  Bounded Utility on Gains》
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作者：
Mikl\\\'os R\\\'asonyi and Andrea Meireles Rodrigues
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper examines an optimal investment problem in a continuous-time (essentially) complete financial market with a finite horizon. We deal with an investor who behaves consistently with principles of Cumulative Prospect Theory, and whose utility function on gains is bounded above. The well-posedness of the optimisation problem is trivial, and a necessary condition for the existence of an optimal trading strategy is derived. This condition requires that the investor\'s probability distortion function on losses does not tend to 0 near 0 faster than a given rate, which is determined by the utility function. Under additional assumptions, we show that this condition is indeed the borderline for attainability, in the sense that for slower convergence of the distortion function there does exist an optimal portfolio.
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中文摘要：
本文研究了连续时间（本质上）完全金融市场中的一个最优投资问题。我们与一位投资者打交道，这位投资者的行为与累积前景理论的原则一致，其收益效用函数的上限在上。优化问题的适定性是微不足道的，并且导出了最优交易策略存在的一个必要条件。这一条件要求投资者的损失概率失真函数不会比效用函数确定的给定速率快0到0。在其他假设下，我们证明了这个条件确实是可达到性的边界，在这个意义上，对于畸变函数的较慢收敛，确实存在一个最优投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Continuous-Time_Portfolio_Optimisation_for_a_Behavioural_Investor_with_Bounded_U.pdf (292.53 KB)

2022-4-29 18:27:21 上传

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关键词：投资组合优化 行为投资 投资组合 连续时间 投资者

收益效用有限的行为投资者的连续时间投资组合优化*Miklós Rásonyi+Andrea M.Rodrigues2013年9月1日摘要本文研究了连续时间（基本上）完整金融市场中具有有限期限的最优投资问题。我们处理的是一个投资者，其行为符合累积预期理论的原则，其收益效用函数在上面有界。优化问题的适定性是微不足道的，并且导出了最优交易策略存在的必要条件。这个条件要求投资者的概率失真函数onloss不倾向于比给定的速率快0到0，该速率由效用函数确定。在其他假设下，我们证明了这个条件确实是可达到性的边界，在失真函数收敛较慢的意义上，确实存在一个最优组合。关键词：行为金融；有界效用；Choquet积分；连续时间模型；市场完整性；非凹效用；最优投资组合；概率失真。2010年，麻省理工学院J9155中学；60H30；93E20。1简介和总结最优投资问题是金融数学中的一个经典问题，在冯·诺依曼和摩根斯坦[21]提出的预期效用理论（简称EUT）框架下进行了广泛研究。这个理论*作者希望感谢一位匿名推荐人仔细阅读了他们的剧本和有价值的建议。2013年8月，在波恩豪斯多夫研究所举办的“市场动态与均衡建模”研讨会上，本文的第一个版本最终完成。M.Rásonyi感谢主办方的盛情邀请和学院的热情款待。上午

罗德里格斯感谢FCT-葡萄牙科学和技术基金会（葡萄牙科学和技术基金会）通过国家拨款SFRH/BD/69360/2010给予的财政支持。+MTA Alfréd Rényi数学研究所，匈牙利布达佩斯，以及英国苏格兰爱丁堡爱丁堡大学数学学院通讯作者。英国苏格兰爱丁堡爱丁堡大学数学学院。。电子邮件地址：Miklos。Rasonyi@ed.ac.uk还有A.S.梅雷莱斯-Rodrigues@sms.ed.ac.uk.Portfolio对收益效用有限的行为投资者的优化表明，任何理性投资者的偏好都可以用所谓的效用函数（通常假定为凹函数和递增函数）进行数值表示。多年来，随着EUT的一些基本原理受到实证研究的质疑，出现了几种替代理论，其中包括卡尼曼和特维斯基[9]以及特维斯基和卡尼曼[20]提出的累积前景理论（CPT）。在这个框架内，效用函数不再是全球性的凹函数，它仍然被认为是随着财富的增加而严格增加的。这是因为投资者虽然通常对收益避险，但在遭受损失时却发现他们开始寻求风险。还假设存在参考点定义收益和损失，EUT中不存在特征。最后，根据CPT，经济代理人发现很难全面客观地评估概率比。相反，它们是主观的、系统性的错误估计概率（例如，小概率的事件往往会被过重），这是用扭曲概率度量的函数建模的。因此，行为主体要最大化的目标函数涉及一个非线性Choquet积分。

这带来了新的、数学上复杂的挑战，解决EUT投资组合问题的最常见方法，如动态规划或凸对偶方法的使用，已不再适用。有关连续时间模型中累积spect理论的文献如下。Berkelaar、Kouwenberg和Post[4]、Car lier和Dana[5]以及Reichlin[18]考虑了定义在正实轴上的效用（我们进一步指出，在第一篇论文中，没有考虑概率扭曲，这大大简化了问题）。关于整个实线案例的唯一研究是金和周[8]以及拉索尼和罗德里格斯[16]。Jin和Zhou[8]在某些情况下给出了明确的解决方案，但假设（见本文假设4.1）既不容易验证，也不具有经济解释性。如Rás onyi和Rodrigues[16]所示，在类幂失真和效用函数的情况下，存在着最优化者，并且对参数有必要和充分的条件。然而，公用事业公司增长速度慢于电力功能的情况仍然存在。在本文中，我们在有界以上效用函数的设置中解决了这个问题。正如文献中广泛指出的那样，门格尔[12]的论文（其英文译本见[13]）似乎是第一篇评估效用函数有界性假设的必要性，以避免圣彼得堡式悖论的论文。尽管这引发了相当多的争论，但几位作者后来提出并提出了更多关于考虑有界效用的论点（仅举几个例子，如Arrow[1,2,3]、Markowitz[11]和Savage[19]）。我们指的是Muravie v andRogers[14]，他提出了一个强有力的论点，反对无界公用事业（他们将其归因于Kenneth Arrow）。

因此，在本文中，我们将自己局限于效用在上面有界的情况。正如下面的备注5所示，我们不能强迫效用在下面有界，因为这与乐观主义者的存在相矛盾。第二节介绍了模型，形式化了CPT的原理，并严格说明了优化问题。第3节讨论了适定性和存在性的问题，第4节得出结论。为了便于解释，所有的辅助结果和证明都汇编在附录A中。第2页/行为投资者的投资组合优化，在收益符号和设置上具有有限的效用2。1市场让我们考虑一个连续时间且无摩擦的金融市场，交易区间[0，T]，其中T∈ (0, +∞) 是一个固定的非随机视界。像往常一样，我们从一个完全概率空间开始(Ohm, F，P）。我们进一步假设，信息随时间的演化是由过滤模拟的，F={Ft；0≤ T≤ T}，满足右连续性和饱和性的一般条件。最后，为了方便起见，我们假设σ-代数FisP是平凡的，并且als o表示F=FT。接下来，我们假设一个任意的d∈ N、 引入一个d维cádlág，适应过程S={St；0≤ T≤ T}。为了我∈ {1，…，d}，site代表某一风险资产i在时间t的价格。除了这些d riskysecurities之外，我们假设市场包含一个无风险资产St≡ 1对于任何t∈ [0，T]。因此，我们将直接与折扣价格合作。让我们做以下技术假设。假设2.1。

存在一个度量Q(Ohm, F），相当于P（Weq~ P） ，使得（折扣的）价格过程S是一个Q-局部鞅。此外，设置ρ，dQ/dP（q相对于P的Radon-Nikodym导数），P下ρu的累积分布函数（CDF）是连续的，用FPρ表示。假设2.2。ρ相对于P的本质上确界是有限的。假设2.3。ρ和1/ρ都属于W，其中W被定义为满足EP[|Y|p]<+∞ 对于allp>0。我们记得，时间区间[0，T]上的投资组合（或交易策略）是一个S-可积的Rd值随机过程{φT；0≤ T≤ T}。每一次我∈{1，…，d}，φIt表示时间t在第i项资产中的头寸。我们假设交易是自我融资的，因此在时间t，对于所有时间t，投资组合的（贴现）价值∏φ∈ [0，T]由∏φT=x+RtφsdSs给出，其中xis是投资者的初始资本。投资组合的集合用Φ（x）表示。为了排除套利机会，我们必须将自己限制在子集ψ（x）内 容许策略的Φ（x）。在几个可能的容许性标准中，文献中经常采用的一个标准是，投资组合的财富过程应在某个常数（可能取决于投资组合）下一致有界。然而，在本文中，正如inRásonyi和Ro drigues[16]所述，出于其中给出的原因，我们假设可容许策略是那些其（贴现）财富过程是Q下的鞅（而不仅仅是局部鞅）的策略。最后，我们定义了一个满足等式[|B |]的标量值随机变量B+∞,代表一个基准。

此后，我们还将基本上假设市场是完整的。特别地，S是半鞅。我们记得ρ的累积分布函数，关于概率测度P，由FPρ（x）=P（ρ）给出≤ x） ，对于每个实数x，我们进一步注意到FQρ也是连续的~ P.第3页/收益假设2.4中收益效用有限的行为投资者的投资组合优化。L（Q）中的随机变量B和所有σ（ρ）-可测随机变量（即，相对于测度Q可积）是可复制的，也就是说，它们中的每一个都等于某个可容许组合φ的终值∈ ψ（x）。2.2投资者我们考虑一个具有给定初始资本x的小型CPT投资者∈ R.首先，假设代理人有一个参考点，由上文介绍的可重复权利要求B表示，根据该参考点对支付进行评估。因此，在终端时间T和场景ω的情况下∈ Ohm , 据说，如果X（ω）>B（ω）（分别是X（ω）<B（ω）），投资者会获得收益（分别是损失）。第二，对非效用的偏好→ R、 给定byu（x），u+x+[ 0,+∞)（十）- U-十、-(-∞,0）（x），x∈ R、 （2.1）如果严格递增的连续函数u±：[0+∞) → [ 0, +∞),满足u±（0）=0。请注意，没有对函数的可微性或凹性进行任何假设。此外，很明显，函数u±的极限（可能是有限的）为x→ +∞. 在下面的内容中，表示“u”(+∞) , 利克斯→+∞将使用u±（x）。假设2.5（收益效用有限）。收益效用的上限为M，u+(+∞) < +∞.例2.6。

（i） 参数α>0的指数效用是由u（x），1给出的函数- E-全x的αxf≥ 0.（ii）参数为α的电力设施∈ R\\{0}是函数u:[0+∞) →[0, +∞) 定义为u（x），xα表示α>0，u（x），1-（1+x）α表示α<0。当且仅当α<0时，u在上面有界是平凡的。（iii）对数效用是由u（x）、log（1+x）forevery x定义的函数≥ 0.CPT的第三个也是最显著的特征是，投资者对实际概率有一种失真的感知，这是由两个严格递增的连续概率失真函数w±：[0，1]建模的→ [0,1]（分别按收益和损失计算），w±（0）=0，w±（1）=1。如果在零的某个右邻域中的所有x，我们有w，那么经济体就被称为超重（分别为轻量化）小概率损失-（十）≥ x（分别为w-（十）≤ x） 。对于小概率增益，可以给出一个完整的定义。例2.7。（i） 参数β>0时的功率失真是w（x），xβ对每x给出的函数∈ [0, 1].（ii）变形定义为w（x），ex p{-β [- 日志（x）]} 11（0,1）（x）表示所有x∈ [0,1]，带参数 ∈ （0,1）和β>0是Prelec[15]首次提出的。这里是x+，max{x，0}和x-, - min{x，0}，对于任意实数x.第4页/收益率有限的行为投资者的投资组合优化2。3最优投资问题具有CPT偏好的行为投资者的连续时间投资组合选择问题包括选择一个最优投资策略，即最大化某个预期扭曲支付函数的策略。定义2.8（行为最优投资问题）。行为最优投资组合问题的数学公式是：最大化五、φT- B= 五+h∏φT- 毕+- 五、-h∏φT- 毕-（2.2）φ以上∈ ψ（x），其中v±h∏φT- Bi±,Z+∞w±Pu±h∏φT- Bi±> Y迪。

（2.3）设置V*（x） ，supnVφT- B: φ ∈ ψ（x）o，我们说φ*∈ 如果VΠφ*T- B= 五、*（x） 。备注2.9。人们可能想知道为什么存在最优φ*当ε-最优策略φε（即，在所有策略上ε-接近上游的策略）的存在是自动的，对于所有ε>0的情况，都是相关的。这至少有两个密切相关的原因。首先，不存在最优φ的n-存在性*通常意味着乐观主义者φ1/n；N∈ N表现出狂野、极端的行为（例如，它们汇聚到一起，如拉索尼和斯特特纳[17]的例子7.3）。这样的策略在实践上是不可行的，在经济上是违反直觉的。第二，φ的存在性*通常情况下，goes与一些紧性性质（本文中的紧性定律）结合在一起。这种性质对于任何潜在的数值过程的收敛来说都是必要的，以找到最优（或至少是ε-最优）策略。从今以后，为了简单起见，我们假设B=0。我们可以在不损失一般性的情况下这样做，因为B可以通过假设2复制。4.3适格性和可实现性适格性在我们目前的环境中是微不足道的。提议3.1。在假设下2。5，V*（十）≤ u+(+∞) < +∞.最优解决方案可能仍然不存在。我们现在必须研究这个有限上确界是否*（x） 实际上是一个最大值，也就是说，无论优化问题是否可以实现。以下结果给出了第一个重要答案。定理3.2（必要条件I）。在假设下。1、2.2、2.4和2.5，对于问题（2.2）只存在iflim infx的最优投资组合→0+w-（x） u-十、> 0.（3.1）注意VφT- B很可能是-∞ 当然∈ ψ（x）。第5页/在GainsRemark 3.3上针对效用有限的行为投资者的投资组合优化。

（i） 特别是，定理3.2暗示，如果-(+∞) < +∞同样，优化问题也无法实现。尽管许多作者支持这样的观点-, 参见Muravie v和Rogers[14]，对于本节的其余部分，我们将只考虑以下情况：-没有边界。（ii）考虑具体情况，其中-而w-是幂函数，参数分别为α>0和β>0，只有当α≥ β、 因此，我们得到了Rásonyi andRodrigues[16]中命题3.7的类似物。此外，定理3.2证明中的细微修改表明，当α=β，因此limx→0+w-（x） u-（1/x）=1，最优投资组合的存在性仍然不成立。（iii）从上述结果中可以得出的另一个有趣的结论是，在附加条件下-,投资者必须扭曲损失的概率，否则就没有最优投资组合。这补充了金周[8]的定理3.2（该定理指出损失的概率分布是（2.2）的适定性的必要条件，当+(+∞) = +∞), 但对于一个有限的效用。例如，具有对数效用和Prelec扭曲损失的投资者不承认最优交易策略。最优策略的存在要求w-（x） 不能太快地降到零，但必须比[u]慢地接近零-（1/x）]-1，作为x→ 0+. 受到m3理论的启发。2.我们引入以下概念。定义3.4（相关畸变）。给定一个实数δ>0和自性函数u-: [ 0, +∞) → [0, +∞) 和你-(+∞) = +∞, 让我们来定义函数wδ：[0,1]→ [0,1]以下面的方式，wδ（x），uδ-（1） [u]-（1/x）]-δ（0,1）（x），x∈ [0, 1] . （3.2）我们称wδ为与u相关的畸变-参数δ。例3.5。