价格敏感下证券组合清算问题的光滑解

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英文标题：
《Smooth solutions to portfolio liquidation problems under price-sensitive
  market impact》
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作者：
Paulwin Graewe, Ulrich Horst, Eric S\\\'er\\\'e
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider the stochastic control problem of a financial trader that needs to unwind a large asset portfolio within a short period of time. The trader can simultaneously submit active orders to a primary market and passive orders to a dark pool. Our framework is flexible enough to allow for price-dependent impact functions describing the trading costs in the primary market and price-dependent adverse selection costs associated with dark pool trading. We prove that the value function can be characterized in terms of the unique smooth solution to a PDE with singular terminal value, establish its explicit asymptotic behavior at the terminal time, and give the optimal trading strategy in feedback form.
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中文摘要：
我们考虑一个金融交易者的随机控制问题，该交易者需要在短时间内解除一个大型资产组合。交易员可以同时向一级市场提交主动订单，向暗池提交被动订单。我们的框架足够灵活，允许使用价格相关的影响函数来描述一级市场的交易成本，以及与暗池交易相关的价格相关的逆向选择成本。我们证明了价值函数可以用奇异终值偏微分方程的唯一光滑解来刻画，建立了其在终值时刻的显式渐近行为，并给出了反馈形式的最优交易策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Smooth_solutions_to_portfolio_liquidation_problems_under_price-sensitive_market_impact.pdf (346.46 KB)

2022-4-29 18:32:09 上传

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关键词：Optimization Quantitative SIMULTANEOUS QUANTITATIV agent-based

在价格敏感的市场影响下顺利解决投资组合清算问题*Paulwin Graewe+Ulrich HorstEric S\'er\'e§2018年10月31日摘要我们考虑金融交易者的随机控制问题，该交易者需要在短时间内解除一个大型资产组合。交易者可以同时向一级市场提交主动指令，向暗池提交被动指令。我们的框架足够灵活，允许使用价格相关的影响函数来描述初级市场中的交易成本，以及与暗池交易相关的价格相关的逆向选择成本。我们证明了价值函数可以用奇异终值偏微分方程的唯一光滑解来刻画，建立了其在终值时刻的显式渐近行为，并给出了反馈形式的最优交易策略。AMS学科分类：小学93E20；次要35Q93、91G80关键词：随机最优控制、投资组合清算、单一终值1简介传统金融市场模型假设资产价格遵循外生随机过程，所有交易都可以在不影响市场价格的情况下结算。这一假设适用于小投资者，他们的交易量只占每日平均交易量的一小部分。不过，对于在短时间内持有大量股票的机构投资者来说，这并不总是合适的。近年来，最优清算问题的分析在数学金融和随机控制文献中受到了相当大的关注。

从Almgren&Chriss[2]的论文开始，许多作者在不同的市场机制和价格影响函数下建立了最优清算策略的存在性和唯一性结果，*我们感谢各机构的研讨会参与者提出宝贵的意见和建议。感谢CRC 649经济风险和d-fine GmbH提供的财务支持。本手稿的部分内容是在霍斯特访问波恩豪斯多夫数学研究所和比勒菲尔德大学跨学科研究中心时撰写的；感谢您的盛情款待。我们感谢两位匿名审稿人仔细阅读了手稿以及他们的许多建议，这些建议大大提高了手稿的质量。+洪堡大学数学系——位于德国柏林林登6路D-10099号祖柏林，graewe@math.hu-柏林。德洪堡大学数学系和商业与经济学院-位于德国柏林，Unterden Linden 6，D-10099，horst@math.hu-柏林。巴黎多芬大学，巴黎理工大学研究所，法国巴黎，巴黎，塞雷梅德，UMR 7534，75016，sere@ceremade.dauphine.frincluding [4, 5, 8, 12–15, 19–21, 31, 32]. 投资组合清算模型中随机优化问题的一个主要特征是清算约束引起的价值函数的奇异终端条件。在阿尔姆格伦和克里斯[2]最初的价格影响模型中，这种奇点已经存在，但还没有立即显现出来。

在均值-方差框架下，以算术布朗运动作为基准价格过程，目标函数是确定性的，优化问题本质上是一个经典的变分问题，其中终端状态约束不会导致进一步的困难。然而，如inForsyth等人[12]所述，当考虑几何布朗运动作为基础价格过程时，最优执行策略变得对价格敏感。一个是真正的随机控制问题，在确定值函数和应用验证参数时，奇点成为一个挑战。最近，随机控制文献中提出了几种克服这一挑战的方法。Forsyth等人[12]最终通过惩罚开放位置，从根本上解决了控制问题。Ankirch-ner&Kruse[5]将aMarkovian清算问题的值函数描述为Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。他们的验证论证使用了连续时间模型的离散近似值。Ankirchner等人[4]、Graewe等人[14]和Horst等人[16]考虑非马尔可夫清算问题，其中成本函数由一般适应因子过程驱动，HJB方程求解BSDE或BSDE，这取决于因子过程的动力学。在所有三种情况下，HJB方程解的存在性都是通过分析BS（P）DEs序列的极限来建立的，随着终端值的增加，而验证参数使用的是广义It^o-Kunita公式[14]，分别为：。，退化BSPDES和前后向随机微分方程之间的联系[16]。Schied[31]利用Dawson–Watanabe超过程解决了一类一般的马尔可夫清算问题。这种方法避免使用HJB方程。

相反，它基于超级过程的对数拉普拉斯函数使用概率验证参数，这要求候选值函数具有清晰的上下边界。本文证明了一类马尔可夫证券组合清算问题s-光滑解的存在性。虽然HJB方程弱可微解的存在性可以从[14]中得到证明，最优清算策略的存在性可以从[4,14]中得到证明，但随机投资组合流动性问题的光滑解在以前的文献中尚未建立。如[31]中所述，关键是要知道值函数在终端时间的精确渐近行为。渐近性使我们能够用具有有限终值但奇异非线性的偏微分方程来描述HJB方程，因为在合适的函数空间中，可以使用标准的定点参数证明唯一光滑解的存在性。正如[14,15,21]中所述，我们允许同时向主会场提交主动命令，即以最佳可用价格立即执行的命令，以及被动命令，即未来执行的命令，并将其提交到一个暗池中。暗池是另一种交易场所，允许投资者通过提交不受公众视线影响的流动性来降低市场影响和交易成本。不过，交易执行情况并不确定，因为只有在匹配流动性可用的情况下，交易才会结算。主动订单产生市场影响成本，而被动订单产生逆向选择（或“滑移”）成本。在我们的影响模型中，逆向选择和风险成本是由多维时间同质扩散过程驱动的。

我们认为多维差异过程描述了基本面或基准股价过程的联合动态，以及驱动可用流动性随时间变化的随机因素过程。假设所有成本项的顺序相同，p>1允许我们将价值函数表示为v（t，y）| x | p的标准分离ANSATZ，其中y是因子过程的状态，x是投资组合的位置。我们在最后时刻建立了v的精确先验估计。这与[31]类似，避免了[4,14,16]中应用的s-tochastic惩罚方法。对于确定性成本系数，v的渐近性可以从Seidman&Yong[33]等给出具有终端状态约束的多维线性系统的最小Lp范数控制的渐近性来推断。据我们所知，文献中没有关于草甘膦茎的相应结果。我们的先验估计使我们能够证明HJB方程在成本系数连续和多项式增长条件下多项式增长的连续粘性解的唯一性。该证明使用了抛物线型偏微分方程的比较结果，其终端值可能是有限的。作为一个副产品，我们得到，如果系数本质上是有界的，则[4]中的随机HJB方程的最小非负解确实是其奇点B的唯一非负解。我们的主要贡献是证明了HJ B方程在额外的光滑性和有界性条件下关于代价系数的经典解的存在性。p是基于先验估计的。

它们为我们提供了精确的终端时间解的渐近性，从而使我们能够将求解v的奇异终端值的PDE问题简化为求解具有有限终端值但退化非线性的PDE问题。利用K rylov的广义It^o公式，我们证明了经典解是由价值函数定义的，并且最优交易策略可以以闭合形式给出。本文的其余部分组织如下。随机控制问题在第2节中给出。第3节建立了一个先验估计和一个连续粘性解唯一性的比较原理。第4节证明了HJB方程经典解的存在唯一性。验证论证在第5节中进行。最后，我们在第6节中展示了我们的唯一性结果如何扩展到[4]中分析的非马尔可夫酶。符号惯例。我们用C（Rd）表示有界连续函数的空间。函数在u∈ Cpoly（[0，T]×Rd）是连续的，对于某些C>0和n≥ 1，| u（t，y）|≤ C（1+| y | n），（t，y）∈ [0，T]×Rd.（1.1）空间C1,2loc（[0，T]×Rd）表示连续（可能无界）函数u（T，y）的类及其在T中的一阶导数和在y中的一阶和二阶导数。Forgenericα∈ （0，1）和赋范向量空间E，Ck+α（[0，T]；E）中的函数具有k阶的α-H-连续导数u p。通过Wq，loc（Rd），我们表示所有函数的通常Sobolev空间，这些函数是局部Lq可积的，以及它们的弱一阶和二阶导数[1，定义1.62]。抛物线形式的W1,2q，loc（（0，T）×Rd）是所有函数u（T，y）的空间，这些函数是局部Lq可积的，以及它们在T中的弱一阶导数和在y中的弱一阶导数和二阶导数。

只要符号T-在函数空间的定义中，我们指的是当T-替换为任何s<T，例如Cpoly（[0，T-] ×Rd）={u:[0，T）×Rd→ R:u |[0，s]×路∈ Cpoly（[0，s]×Rd）用于所有s∈ [0，T）}关于随机环境中最小能量问题的文献（见[18]和本文的参考文献T）似乎关注的是可控性，这在目前的一维环境中是微不足道的。和w1,2q，loc（（0，T-) ×Rd）={u：（0，T）×Rd→ R:u |（0，s）×路∈ W1,2q，loc（（0，s）×Rd）适用于所有s∈ （0，T）}。适应Rd值过程集（Zt）t∈[0，T]满足E[RT|Zt|qdt]<∞ 用qf（0，T；Rd）表示；连续路径满足E[supt]的过程子集∈[0，T]| Zt | q]<∞由LqF表示(Ohm; C（[0，T]；Rd））。如果没有其他指示，则k·k表示上范数。对于任意β>0，我们偶尔会写β√· 而不是（·）1/β。所有的方程式都要在a.s.的意义上理解。2问题表述、假设和主要结果我们考虑了投资者在给定时间间隔[0，T]内需要关闭（大量）股票头寸的随机优化问题。继Horst&Naujokat[15]和Kratz&Sch¨oneborn[21]之后，投资者可以在一级交易所以绝对连续的方式进行交易，同时将被动大宗订单放入一个暗池。被动序的执行由泊松过程（Nt）t的跳跃时间来建模∈[0，T]具有恒定强度θ≥ 0.泊松过程N和N维标准布朗运动（Wt）t∈[0，T]是在随机基础上定义的(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件。在下面的内容中，我们使用N和W的独立性。在考虑交易成本的因素过程中，我们考虑了d维度的影响，ys=y+Zstb（Yt，yr）dr+Zstσ（Yt，yr）dWr，t≤ s≤ T

（2.1）假设2.1。我们假设系数b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×nare-Lipschitz连续。上述假设保证了（2.1）中存在唯一的强解（Yt，ys）∈[t，t]，初始状态（t，y）∈ [0，T]×Rd.此外，参见[27，定理3.35]，映射（s，T，y）7→Yt，a.s.连续且每n≥ 2存在Cn>0，因此以下动量估计符合约定Yt，ys=y为0≤ s≤ t:E[sups]∈[0，T]| Yt，ys | n]≤ Cn（1+|y |n），（t，y）∈ [0，T]×Rd.（2.2）这个矩估计特别保证了Vitali的收敛定理，它的函数形式为（T，y）7→ EZTtf（s，Yt，ys）ds, （2.3）带f∈ Cpoly（[0，T]×Rd），再次属于Cpoly（[0，T]×Rd）。2.1任意初始时间T的随机控制问题∈ [0，T）和初始位置x∈ R、 我们用A（t，x）表示所有允许的清算策略集（ξ，π）。这里，ξ=（ξs）s∈[t，t]描述了代理在一级市场的交易率，而π=（πs）s∈[t，t]描述了提交给暗池的被动命令。如果ξ是渐进可测的，且π是可预测的，从而得到的投资组合过程xξ，πs=x，则一对策略（ξ，π）是可容许的-Zstξrdr-Zstπrdrn，t≤ s≤ T、 满足Txξ，πT=0。（2.4）与可接受清算策略（ξ，π）相关的成本由成本函数lj（t，y，x；ξ，π）：=E建模ZTtη（Yt，ys）|ξs | p+θγ（Yt，ys）|πs | p+λ（Yt，ys）| Xξ，πs |pds.非负运行成本的第一项sc（y，x，ξ，π）：=η（y）|ξ| p+θγ（y）|π| p+λ（y）| x |描述了初级交易所的临时价格影响；第二个术语d描述了与暗池交易相关的逆向选择成本（详见[15,19]），而第三个术语惩罚了缓慢清算。

后者可解释为未平仓风险价值的p次方（详情见[5,13]）。对于每个初始状态（t，y，x），定义了随机控制问题的值函数∈[0，T）×Rd×R asV（T，y，x）：=inf（ξ，π）∈A（t，x）J（t，y，x；ξ，π）。（2.5）假设2.2。我们假设p>1，并将β：=1/（p-1) > 0. 我们进一步假设成本系数满足以下条件：（i）系数η，γ，λ，1/η：Rd→ [0, ∞) 它们是连续的。（ii）系数η，λ，1/η是多项式增长的，即对于某些n≥ 1和C>0，η（y）+λ（y）+1/η（y）≤ C（1+| y | n），y∈ Rd.（2.6）示例2.3。我们对要素过程的假设使我们能够同时捕获交易成本的几个关键决定因素。对于算术布朗运动模型DYT=udt+σdWtas以及公式DYT=f（ν）的均值回复过程，这些假设都是满足的- Yt）dt+dwt对于有界Lipschitz连续函数f，（对数）价格过程Yma可以驱动市场风险因子λ，而Yma可以描述随机订单簿高度（随机流动性），从而驱动η。假设2.4。为了说明我们的主要结果（定理2.9），我们需要以下附加假设：与[31]不同，我们不排除指数1<p<2，这对应于根形临时价格影响。Almgren等人[3]给出了p=8/5的经验证据。（A1）σ*是一致正的定义。（A2）b和σ是有界的。（A3）η、1/η和λ是有界的。特别是η≥ 对于某些常数κ>0。（A4）η是两次连续可微的，Lη是有界的。重新标记2.5。条件（A1）和（A2）特别规定：{D（u）=∈\\Q≥1Wq，loc（Rd）：u，Lu∈ C（Rd）}L:D（L） C（道路）→ C（Rd）是C（Rd）中算子L的扇形实现，因此L在C（Rd）中生成一个分析半群，参见[25，推论3.1.9]。