不确定性、竞争与监管下的投资

如果Q（t）=0，则代理通过决定以概率pi进行投资来协调∈ （0，1）对于i=1，2，则在时间t进行一轮博弈意味着概率（1）- p） （1）- p） 在没有至少一个投资者的情况下退出。然而，紧接着会出现另一种协调情况，游戏将以相同的参数重复。Fudenberg和Tirole[6]在确定性案例中解决了这个问题，Thijssen等人[15]最近在随机环境中解决了这个问题。我们通过以下方式将其扩展到带有调节器的模型。它包括延长时间t∈ R+到（t，k，l）∈ R+×N*×N*. 过滤F通过Ft，i，j=Ft，k，l增加 对于任意t<tand任意（i，j）6=（k，l），状态过程扩展到Y（t，k，l）：=Yt。因此，当两个代理都希望在同一时间t投资时，我们通过冻结实时t并在自然时间k不确定地重复一个游戏来延长时间线。一旦游戏问题解决，监管机构就会在自然时间l=1进行干预。如果没有参与者被接受，即如果选择了α。游戏将在l=2时重播，以此类推。这个模型需要评论。乍一看，一个自然的假设是让监管机构对每种药物或同时对两种药物进行一次性干预。例如，如果监管机构要求参赛者参赛，可以假设比赛已经结束，或者在被拒绝的经纪人采取任何其他行动之前，推迟了比赛。上述时间延长和以下定义2.2不符合本规则。然而，它可以通过即将推出的推论1和命题4与监管机构的独特干预有关，见第3.1节末尾的备注4。当前模型的动机在于演示细节。在定义2中。1，它允许泛型表达式13，并避免将Ri（t，y）直接条件化到试剂i的位置。

因此，表达式13可以直接处理和修改，以表示比暗示至少一名玩家系统进入的情况更现实的情况，如下一节所示。本模型还考虑了第4.1节和第4.2节的相关具体情况。通过使用Fudenberg和Tirole[6]的框架，目前的模型也显示了作为理想情况的局限性。定义2.2。一号特工的策略∈ {1，2}被定义为一对F-适应过程（Gi（t，k，l），pi（t，k，l））取[0，1]中的值，使得（i）过程Gi（t，k，l）的类型为Gi（t，k，l）（Yt）=Git（Yt）=1{t≥τ（^y）}与τ（^y）：=inf{t≥0:Yt≥ ^y}。（ii）过程pi（t，k，l）的类型为pi（t，k，l）=pi（t）=pi（Yt）。减少的策略集是由几个事实驱动的。由于过程Y是马尔可夫的，我们可以在不损失一般性的情况下关注马尔可夫子博弈完美均衡策略。Gi（t，k）过程是一个非递减的c`adl`ag过程，指的是在t之前agenti锻炼的累积概率。当agenti没有立即行使投资选择权，并且锻炼取决于τ（^Y）形式的特定停止时间时，如跟随策略，它的使用将保持不变。过程pi（t，k，l）表示在第k轮，在l之后，在坐标游戏中运动的概率- 1当α=α时，否认调节器。它应该是静止的，不依赖于游戏的前几轮，因为没有给出额外的信息。对于这两个过程，信息由F给出，因此在时间t时减少到y。更多细节可在Thijssen等人[15]中找到。3最优行为和纳什均衡3。1协调游戏的条件可以立即提供关于支付的第一个声明。inGrasselli等人[7]给出了一个正式的证明，最初的论点是在《掷弹兵》中提出的[8,9]。提案3（提案。

1, [9]). 这里有一个独特的点∈ （0，YF）使S（y）<L（y）<F（y）表示y<YL，S（y）<L（y）=F（y）表示y=YL，S（y）<F（y）<L（y）表示YL<y<YF，S（y）=F（y）=L（y）表示y≥ YF。（14） 修正t和y=y。在解除管制的情况下，根据0<YL<YF<+∞. 在我们的框架内，歧视似乎也适用。考虑以下情况。假设Q（t）=0，t=τ<τ：代理一希望以领导者的身份开始投资项目，代理二允许，即（p（t），p（t））=（1，0）。通过查找13，代理一收到概率为q+q的L（y）和概率为q+q的0。然而，正如协调博弈中注意到的，如果代理一在（t，1，1）被拒绝投资，他可以尝试（t，1，2）等等，直到他得到L（y）。因此，如果q<1，则试剂可以像从未拾取α一样，参见下面的备注4。设置受连续时间法的限制，命题3适用于标准情况。如果τ<τ，则情况相同。推论1。让我们≥ 0和y>0。然后对于i=1，2（d），如果y<YL，则剂i将作用推迟到τ（YL）；（e） 如果y>YF，代理i立即练习，即τi=t证明。（d） 根据14，如果τ6=τ，13验证（qS+qi）L（y）<（qS+qi）F（y）的预期收益，并且没有激励代理i，i=1,2。（e） 由于S（y）=F（y）=L（y）和τF=t，这两个代理都以概率（p（t），p（t））=（1，1）的方式起作用。由于q<1，他们根据需要提交请求，并以概率（1）接收S（y）- q） Pl∈Nql=1。推论1没有描述在τ（YL）或y=YF时采取的行动。我们正在研究YL≤ Y≤ YF。这是通过考虑协调游戏来实现的。根据上述证明的推理，定义13允许给出游戏的预期收益。

让我们定义一下：=1.- q（qL+qF+qSS），1- q（qL+qF+qSS）. （15） 请注意，由于q+q+qs=1，Siare由max{L，F，S}限定- q、 练习推迟练习（S（y），S（y））（L（y），F（y））推迟（F（y），L（y））重复表1：在（t，k，L）的协调游戏。提议4。对于任何q<1的情况，如果YL<y<YF，那么代理将进行表1给出的协调博弈。因此，我们可以假设q=0，而不丧失一般性。证据如果在游戏的第k轮结算后α=α，时间从（t，k，l）到（t，1，l+1），游戏重复。因此，根据第13条，游戏采用表1中固定l的形式，并以概率1解决- q、 或者取消并以概率q重复。如果（p，p）是t处博弈的给定策略，并且（E（p，p），E（p，p））是表1中博弈中代理1和代理2的预期收益，那么代理iat时间t isEi（p，p）（1）的总预期收益- q） Xl码∈Nql=Ei（p，p）。（16） 因此，游戏不受q<1的影响，q<1可以接受任何比1低的值。在不丧失普遍性的情况下，我们可以取q=0，并将博弈简化为监管机构的一次干预，即l≤ 1.当τ6=τ时，监管机构接受代理人i投资需求的概率为QI+qS，见推论1。对于四重奏{q，q，q，qS}和四重奏{0，q/（1），报酬和策略是完全等价的- q） ，q/（1）- q） ，qS/（1）- q） 哦。然后，概率qc被设置为零。备注4。第2.5节的延长时间模型暗示了对游戏问题的强烈限制：推论1和命题4在τ和τ处至少有一个玩家出现。因此，对抗有三种结果，可以进行以下解释。在目前的竞争模型中，只有当两个代理人试图同时进入投资机会时，监管机构才会进行干预。

然后，他在三个备选方案中做出决定：让一个、另一个或两个代理人进入机会。监管机构的决定是明确的，因此可以将该程序与导言中提到的格林纳迪亚[8]的原始程序联系起来，另见第4.1节。根据备注4，我们从现在开始解决q=0。现在我们来看表1的解决方案。3.2溶液在常规情况下，我们将这里的分析减少到0<q的情况≤ q<1- q、 我们现在可以假设max（p，p）>0。（17） 现在我们引入p（y）：=（L（y）- F（y））/（L（y）- S（y））和两个函数spi（y）：=p（y）qip（y）+qS=L（y）- F（y）L（y）- Sj（y），i6=j∈ {1, 2}. （18） Pistrongly的价值观歧视了游戏的问题。自从q≥ q、 如果YL≤ Y≤ YF，然后S（y）≥ S（y）根据该间隔上的14和P（y）≥ P（y）。引理3.1。函数在[YL，YF]上递增。证据取d（y）：=L（y）- F（y）和d（y）：=S（y）- F（y），我们得到pi（y）=qid（y）d（y）+γi（d（y）- d（y））和π（y）=qiγi（d（y）d（y）- d（y）d（y））（d（y）+γi（d（y）- d（y）））式中γi:=qS/qi≤ 1和我∈ {1, 2}. 因此，我们对量g（y）的符号感兴趣：=d（y）d（y）- d（y）d（y），它很快会导致=yYFβ-1.（D）- D） （β+β- 2.-δKD）+δKD（D）- D） 。由于β>1，（y/YF）β-1年增长。自0年以来≤ YF，必须验证（δK）/D≥(β + 1/β - 2.- （δK）/D），这自然是任何β的情况，以获得g在区间上是非负的。现在我们将省略对称情况，并假设YL<y<YF为P（y）<P（y）。对于i=1，2，重新调用qi>0。当i=1，2时，Pi（YF）=1/（qi+qS）>1。因此，根据Emma 3.1，存在YL<Y<Y<yf，使得F（Y）=qL（Y）+qF（Y）+qSS（Y）=S（Y），F（Y）=qL（Y）+qF（Y）+qSS（Y）=S（Y）。（19） 提议5。假设YL<y<YF。

表1的解有三种类型：（a）如果YL<y<y，博弈有三个纳什均衡，由两个纯策略（1,0）和（1,0）以及一个混合策略（P（y），P（y））给出。（b） 如果≤ 1<Y，博弈有一个由策略（1，0）给出的纳什均衡。（c） 如果≤ y<YF，博弈有一个由策略（1，1）给出的纳什均衡。证据对于YL<y<y，我们有P<P<1。修正任意常数策略（p，p）∈ [0, 1].考虑到A-预期报酬，代理一在游戏结束时收到L（y），概率为A:=pXk∈N*(1 - p） k-1(1 - p） k=p（1）- p） p+p- pp.（20）对称地，他接收F（y），代理二接收L（y），概率A:=p（1）- p） p+p- as（p）和（y）的概率- 第（22）页代理一的游戏预期收益由（p，p）：=aL（y）+aF（y）+aSS（y）=（a+aSq）L（y）+（a+aSq）F（y）+aSqSS（y）给出。（23）对剂2给出了类似的表达式。现在Fix p.由于Eis是两个变量的连续函数，最大值23取决于Ep（p，p）=p（L（y）- F（y）+p（S（y）- L（y））（p（1）- p） +p）。（24）然后我们可以看到24的符号是（p）的符号- P） 。对agenttwo的类似区分意味着P.（A）如果YL<y<y，那么根据18和19，Pi<1表示i=1，2。出现了三种情况：（i）如果p>p，最佳的PI为0。然后到24时，E不依赖于p，对于任何对（0，p）和管脚（p，1），情况都是稳定的。（ii）如果p=p，Eis常数和Pc可以取任何值。如果p<p，则根据对称性p应取值1，从而得出情况（i）。如果p=p，Eis常数，或者p=p，或者我们落在（i）或（iii）情况下。因此，唯一可能的平衡是（P，P）。（iii）如果p<p，Eis随着pand agent 1的增加而增加，则概率p=1>p。因此，当E0时，Eb会优化，Eb与p无关。总之，如果p∈ （P，1）或如果P=0。

否则，如果p≤ P、 我们又回到第（一）或（二）种情况。这里的平衡是（p，0）和p∈ （P，1），以及平凡的情况（0，0）。回顾约束17，我们去掉了case（0，0）。回到游戏的问题，当kgoes进入（t，k，1）时，上述计算会出现三种情况。其中两个是纯协调平衡，类型为（a，a）=（1，0）或（0，1），可以通过纯协调策略（p，p）=（a，a）产生，只在一轮中解决游戏。thirdone是由（p，p）：=（p，p）给出的混合平衡。（b） 根据19，S（Y）=F（Y）。遵循引理3.1，一号特工更喜欢成为y的领导者≥ Yand更喜欢监管机构的干预，而不是跟随者的立场，即S（y）≥ F（y）。因此p=1。对于代理二来说，推迟意味着接受F（y）>F（y），锻炼意味着监管干预。因为y<y，qF（y）+qL（y）+qSS（y）<F（y），而延迟是他的最佳选择：p=0。这意味着在（Y，Y）上，平衡策略是（p，p）=（1，0）。（c） 在区间[Y，YF]上，（b）的推理仍然适用于主体1，p=1。如果Y≥ Y、 p=1。给，1≤ P（y）≤ P（y）和这两个代理人通过让监管者干预而不是跟随者获得更大的预期回报。当两个代理都运动时，平衡就存在了。有两个原因迫使我们在（1，0）和（0，1）的情况下选择（P，P）策略。首先，它是唯一一个自然扩展对称情况的例子。其次，这是唯一的平衡。根据20,21和22，（a，a，aS）考虑区间（a）、（a，a，aS）中的（P，P）=1.- p2- p、 一,- p2- p、 p2- P, （25）如果我们将25与23相加，我们得到各代理人的报酬不依赖于（q，q，qS）：E（P，P）=E（P，P）=1- p2- p（L（y）+F（y））+a2- pS（y）。（26）在qS>0的情况下，它们等于F。

正如格拉塞利等人[7]所指出的，我们检索到了福登堡和蒂罗尔[6]租金均衡原则的数学表达式：代理人在玩游戏和做追随者之间是独立的，领导的时间价值随着先发制人而消失。此外，不对称q≥ 在监管机构做出决定后，QD不影响支付和游戏最终结果的概率与解除监管情况下的概率相同，见格拉塞利等人[7]。00.20.40.60.810.40.6 0.6 0.8 1.2 1.4 1.4 1.6 1.8（a）（b）（c）图1:p（y）（蓝色）和p（y）（红色）的（q，q，qS）=（0.5,0.2,0.3）。区域（a）、（b）和（c）在[YL，YF]=[0.37，1.83]上用Y=0.53和Y=0.72的线隔开。区域（d）位于图表的左侧，区域（e）位于图表的右侧。在（K，ν，η，u，σ，r，D，D）=（10,0.01,0.2,0.04,0.3,0.03,1,0.35）处设置的参数。3.2.1终点和总体策略我们必须研究区域（D）与（a）和（c）与（e）的连接。Thijssen等人[15]讨论了技术问题。引理3.2。假设y=YL。然后两个代理都有1/2的概率成为领导者或跟随者，并接收L（YL）=F（YL）。证据[0，YL]与[YL，Y]的连接是一个微妙的点。在YL点的左边，没有代理人可以投资。因此，我们将对两种代理使用策略Gi（YL）。通过这个过程的正确连续性，两个代理都将在YL点以概率1行使。每个代理接收Ri（y），其值L（y）=F（y）的概率为q+qS，S（y）的概率为qS:E（y）=E（y）=（q+q）F（y）+qSS（y）。（27）然而，在点YL的右侧，当y收敛到YL时，对于i=1，2，Picon收敛到0。因此，（p，p）对（0，0）也是如此。我们无法将Giτ（YL）（YL）与（p（YL），p（YL））=（0，0）进行协调，并将比较支付。一个简短的计算提供了灵活性↓YLa（y）a（y）=1和limy↓YLas（y）=0。（28）因此在点YL处，（a（YL），a（YL），aS（YL））=（1/2，1/2，0）。

很明显，第二种选择对两个代理都更有利。备注5。从监管干预不会影响博弈结果的事实来看，（d）和（a）之间的行为是连续的，从两个代理人之间的区别来看：在YL点，同时投资是不可能的，而在这一点，概率（y）是连续的且为零。因此，药物在药物周围的局部行为与Grasselli等人[7]中给出的类似。综上所述，观察图1，混合策略是正确连续的。让我们通过在下面的定理中总结之前的结果来完成这两个代理的战略互动。正如我们将在下一节中看到的奇异情况，它扩展了[7]中的定理4。定理3.3。考虑第2节中提出的战略经济形势，其中min{q，q，qS}>0且q=0。（29）然后存在一个马尔可夫子博弈完美均衡，策略取决于收益水平，如下所示：（i）如果y<YL，两个代理都等待收益水平上升并达到YL。（ii）在y=YL时，没有同时进行的练习，每个代理都有相同的概率合并为领导者，而另一个代理则成为追随者，并等待利润水平达到YF。（iii）如果YL<y<y，每个代理人都会选择一种混合策略，其中包括运用概率Pi（y）进行投资的期权。他们的预期收益是相等的，监管机构干预头寸结算。（iv）如果是≤ y<y，一号特工行使他的选择权，二号特工成为跟随者，等待y到达YF。（v） 如果≤ y<YF，两位经纪人都表达了立即投资的愿望，监管机构打电话给他们。

如果一个代理人被选为领导者，另一个则成为追随者，等待Yreach YF。（vi）如果YF≥ y、 两个代理人的行为如（v）所示，但如果一个跟随者出现，他会在另一个代理人之后立即进行投资。下面是一些评论。首先，我们要强调的是，监管机构理论上会对任何情况进行干预≥ 伊尔。然而，正如本节开头所解释的，当代理不同时行动时，它的干预在连续时间内变得几乎不相关。它的影响不可避免地会在比赛结束后结算最终报酬，但它对代理人策略的影响可以归结为时间间隔（YL，Y）。在Y点，两个代理的最优行为都有很强的不连续性。对于Y<Y，代理二使用的混合策略倾向于系统投资的纯策略。然而在这一点上，第二个代理推迟投资并成为跟随者。这是因为代理一在成为跟随者或让监管机构决定我们现在就来。他突然毫不犹豫地寻求领导人的职位，在他的行为中制造了一个中断。同样的情况也发生在Y的代理二身上，在后者的策略中造成了另一个中断。4个单一案例拟议的框架以一种自然的方式涵盖了文献中遇到的两种主要竞争情况，即古诺竞争和斯塔克伯格竞争。通过引入监管干预的微小变化，也可以代表斯塔克伯格领导优势的现状。最后，我们的环境允许研究一种新的、较弱的优势，我们称之为弱斯塔克伯格领导力。4.1古诺和斯塔克伯格竞争古诺双寡头是指双方同时调整数量的情况。这是格拉塞利等人的框架。