多重风险约束下的套期保值

，αn）等于存在Q-超马氏体（Mt）nt=0和P-超马氏体（Nkt）kt=0，k的最大值∈ {1，…，n}，满足Nk=α和Nkk≥ l（Mk- Sk）。证据用f表示所有（（Mt）nt=0，（Nkt）kt=0，k∈ 满足命题中条件的{1，…，n}）和相关M的数值的byeV（α，…，αn）。如果（（Mt）nt=0，（Nkt）k=1，··，nt=0，··，k）∈fMEU，那么αk=Nk≥ EP[Nkk]≥ EP[l（Mk- Sk）]。因此（Mk）nk=0∈ MEU，这意味着ev（α，…，αn）≥ V（α，…，αn）。相反地，假设Q-超鞅（Mk）nk=0∈ MEU，我们构造过程（Nkt）kt=0，使得Nk=α，Nkt=E[l（Mk- Sk）| Ft]代表t∈ {1，…，k}。条件EP[l（Mk- Sk）]≤ αk证明（Nkt）kt=0是P-超鞅。因此，逆不等式ev（α，…，αn）≤ V（α，…，αn）也成立。对于动态解，我们将介绍值函数过程Vkfork∈ {1，…，n}。请注意，值函数vkw不是V的实值界族（α，···，αn），而是将一个随机变量族作为参数，该随机变量族描述了预期短缺上连续界的演化。对于Fk可测随机变量Nk+1，Nn，让Vk（Nk+1，…，Nn）成为所有Mk的必要组成部分∈ fk使得存在一个Q-超马氏体（Mt）nt=kw和EP[l（Mt- St）| Fk]≤ NTF或任何t∈ {k+1，…，n}。我们用MEU，k（Nk+1，…，Nn）表示从k开始的所有这类Q-超鞅的集合。根据约定，设Vn=-∞ MEU，n包含所有可测量的随机变量集。

我们特别有-1（Nn）=essinfMn∈Fn{EQ[Mn|Fn-1] ：EP[l（Mn）- Sn）|Fn-1] ≤ Nn}=EQ[Sn|Fn-1] +essinfM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l（M）|Fn-1] ≤ Nn}。事实上，如果-1，Mn）是Q-超鞅，使得EP[l（Mn- Sn）|Fn-1] ≤Nn，然后（等式[Mn | Fn-1] ，Mn）也是一个满足此条件的Q-鞅-1.≥ 等式[Mn | Fn-1].与命题5类似，我们可以证明Vk（Nk+1，…，Nn）等于Mk的必要界∈ 因此，存在一个Q-超马氏体（Mt）nt=k和一系列P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，···，（Nnt）nt=k，如Ntk=N和Ntt≥ l（Mt）- St）对于任何t∈ {k+1，…，n}。引理1。设（Mt）nt=k，（Mt）nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn），那么就存在一个permartingale（Mt）nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn）使得Mk=Mk∧ 证据。根据定义，EP[l（Mt- St）| Fk]≤ N和EP[l（Mt- St）| Fk]≤ Ntforany t∈ {k+1，…，n}。设A为集合{Mk≥ Mk}，这是Fk可测量的。无论如何∈ {k，…，n}，设Mt=1lAMt+1lAcMt。自从∈ Fk，（Mt）nt=kis aQ supermartingale。此外，Mk=min（Mk，Mk）和p[l（Mt- St）| Fk]=1lAEP[l（Mt）- St）| Fk]+1拉塞普[l（Mt）- St）| Fk]≤ Nt，因此（Mt）Nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn）。下面的结果以向后和递归的形式描述了值函数过程。定理1。Vk（Nk+1，…，Nn）等于所有Mk的基本值∈ 这样就存在Mk+1∈ Fk+1和满足下列条件的P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，··，（Nnt）nt=k族：等式[Mk+1 | Fk]=Mk，Nik=nifori∈ {k+1，…，n}，Nk+1k+1≥ l（Mk+1- Sk+1），Mk+1≥ Vk+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1）。（8） 证据。根据定义，该定理适用于k=n- 1.在以下情况下，我们处理案例k∈ {0，…，n- 2} 通过归纳法。用byeVk（Nk+1，…，Nn）表示定理中定义的本质。

设Mk+1为Fk+1-可测随机变量，（Nk+1t）k+1t=k，···，（Nnt）nt=kbe P-超鞅，验证（8）中的条件。请注意，第四个条件以及基本的内确界性质意味着（例如[7，V.18]）随机变量序列（M（M）k+1）M的存在∈Nin MEU，k+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1）使MK+1≥ infm∈纳米（米）k+1。此外，前面的引理表明序列（M（M）k+1）M∈NCA可以在不丧失普遍性的情况下减少。通过与命题5类似的论证，存在Q-超鞅（M（M）t）nt=k+1和p-超鞅（Nk+2，（M）t）k+2t=k+1，··，（Nn，（M）t）nt=k+1这样的thatNi，（M）k+1=Nik+1和Ni，（M）i≥ l（M（M）i- 对我来说∈ {k+1，…，n}。我们将每个（Ni，（m）t）it=k+1推广到t=k上的P-超鞅，i取Ni，（m）k=Ni，i∈ {k+2，…，n}。对于任意M，设M（M）k=EQ[M（M）k+1 | Fk]∈注意，Q-超马氏体（M（M）t）nt=k和P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，（Nk+2，（M）t）k+2t=k，（Nn，（m）t）nt=k验证表征Vk（Nk+1，…，Nn）的条件。因此Vk（Nk+1，…，Nn）≤ M（M）K对于任何M∈ N、 这意味着vk（Nk+1，…，Nn）≤ infm∈NEQ[M（M）k+1 | Fk]≤ 等式[Mk+1 | Ft]，其中第二个不等式来自关系式Mk+1≥ infm∈NM（m）k+1和序列（m（m）k+1）m∈Nis正在下降。因此我们得到了VK（Nk+1，…，Nn）≤eVk（yk+1，…，yn）。相反，设（Mt）nt=kbe a Q-超鞅和（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=kbe P-supermartingales使得Nik=nian和Nii≥ l（米）- Si）对于任何我∈{k+1，…，n}。在不丧失一般性的情况下，我们假设Mk=EQ[Mk+1 | Fk]。（8）中的条件对于Mk+1，（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=keexcept最后一个。请注意，对于任何∈ {k+1。

，n}，条件Nii≥ l（米）-Si）impliesNik+1≥ EP[Nii | Fk+1]≥ EP[l（Mi- Si）|Fk+1]，其中第一个不等式来自（Nit）it=kis是P-超鞅这一事实。因此，Mk+1≥ Vk+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1），这导致了逆不等式。在只涉及Fk+1-可测随机变量的情况下，可以简化上一定理中的上鞅条件。特别地，我们考虑实值界的情况。推论1。Vk（αk+1，…，αn）等于所有条件期望EQ[M | Fk]，M∈ Fk+1存在满足以下条件的Fk+1-可测随机变量Nk+2，···，NN：EP[Ni | Fk]=αifor i∈ {k+2，…，n}，EP[l（M）- Sk+1）| Fk]≤ αk+1，M≥ Vk+1（Nk+2，…，Nn）。（9） 证据。表示byeVk（αk+1，…，αn）为推论中定义的基本极限。我们从Fk+1-可测随机变量M，Nk+2开始，满足（9）中的条件。设Mk+1=M和Mk=EQ[M | Fk]。当构造P-超鞅（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=kwith Nik=αifori∈ {k+1，…，n}，Nk+1k+1=l（M- Sk+1）和Nik+1=Nifor i∈ {k+2，…，n}。因此，Vk（αk+1，…，αn）≤eVk（αk+1，…，αn）。请注意，如果用“EP[Ni | Fk]代替（9）中的第一个条件，则基本元素k（αk+1，…，αn）保持不变≤ 如果我∈ {k+2，…，n}”，因为函数Vk+1相对于每个坐标递减。LetMk+1∈ Fk+1和（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=k满足（8）中的条件。我们选择M=Mk+1和Ni=Nik+1作为我的选择∈ {k+2，…，n}。到（8），米≥Vk+1（Nk+2，…，Nn）和EP[Ni | Fk]≤ Nik=αi。此外，由于Nk+1k+1≥l（Mk+1- Sk+1），一个有αk+1=Nk+1k≥ EP[Nk+1k+1 | Fk]≥ EP[l（M- |Fk+1241]。HenceeVk（αk+1，…，αn）≤ Vk（αk+1。

3.2时间一致性约束对于时间一致性约束，我们考虑每个付款日的损失函数，给定前一时间步的市场信息。约束是通过使用条件期望编写的。此设置中的动态规划结构相对简单，因为它只涉及两个连续的日期。回想一下，MT是所有Q-超马氏体（Mk）nk=0和ep[l（Mk）的集合- Sk）|Fk-1] ≤ αk对于k=1，n、 以一种动态的方式，用MT C表示，k所有Q-超鞅（MT）nt=k验证条件ep[l（MT）的集合- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k+1，n、 注意，MT C是所有可积Fn可测随机变量的集合，MT C，0与MT C一致。定义值函数过程（Vk）0≤K≤n以如下方式反向：Vn=-∞, 对k来说呢∈ {1，…，n}，letVk-1=ess infM∈Fk{EQ[M|Fk-1] ：M≥ Vk和EP[l（M- Sk）|Fk-1] ≤ αk}（10）命题6。对于任何k∈ {0，…，n}，Vk=ess infMk∈C山，kMk。证据k=n的情况很简单。在下文中，我们假设质量Vk=ess infMk∈C山，kMkhas已被证实。让Mk-1.作为MT C、k中的一个元素-1.然后存在一个Q-超鞅（Mt）nt=k-1这样的话[l（Mt- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k，n、 这意味着Mk∈ MT C，k.因此Mk≥ Vkby是归纳假说。结合条件EP[l（Mk-Sk）|Fk-1] ，我们通过定义（10）获得Vk-1.≤ 等式[Mk | Fk-1] ≤ Mk-1.因此Vk-1.≤ ess inf MT C，k-1.对于逆不等式，设M∈ 因此≥ Vkand EP[l（M-Sk）|Fk-1] ≤ αk.根据归纳假设和类似于toLemma 1的一个论点，存在一个（M（M）t）nt=kof Q-超马氏体族∈ N使得ep[l（M（M）t- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k+1，n、 和Fk可测序列（M（M）k）M∈Nis与M≥ infm∈纳米（米）k每米∈ N、 letfM（m）k=最大值（m（m）k，m），fM（m）k-1=EQ[fM（m）k | Fk-1] 和Fm（m）t=t的m（m）t∈ {k+1，…，n}。

然后（fM（m）t）nt=k-1是一个Q-超级艺术家。此外，EP[l（fM（m）t- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k，n、 这意味着fm（m）k-1.∈ C，k山-1.因此，C，k-1.≤fM（m）k-1=EQ[M（M）k∨ M | Fk-1] 对任何人来说∈ N.当m到达单位时，通过取极限，我们得到了信息MT C，k-1.≤ EQ[M | Fk-1] 由M≥ infm∈因为m是任意的，所以C，k-1.≤ Vk-1.结果由此证明。根据前面的命题，我们可以使用价值函数（10）的递推公式来计算最小初始资本Vby。在损失函数l上附加正则条件，我们可以得到一个更明确的结果，如下所示。提议7。设l为满足假设2的损失函数，设I：(-∞, 0) → R是l的反函数。另外，假设对于anyk∈ {1，…，n}，αk>limx→+∞存在一个严格负的随机变量Yk-1.∈ Fk-1这样的话[l（I）（Yk-1Zk/Zk-1))] < +∞ 式中，Zk=EP[dQdP | Fk]。（11） 然后值函数Vt满足Vt=bVta。s、 对于t=0，N- 1其中BVN给出-1=等式[Sn+I（λn-1Zn/Zn-1） |Fn-1] 式中λn-1.∈ Fn-1是Ep[l（I）（λn）的解-1Zn/Zn-1） ）|Fn-1] =αn，（12）对于k<n，bVk-1=EQ[bVk | Fk-1] +情商nSk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1） o+Fk-1.EP[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，其中λk-1.∈ Fk-这是PHL的解决方案I（λk）-1Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i=αk.（13）证明。第一步。λ的存在性。对于任何k∈ {1，…，n}，设∧k-1是严格负向Fk的集合-1-可测随机变量Y，例如EphI（Y-Zk/Zk）-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i≤ 利用支配收敛定理，得到了αk>limx的条件→+∞l（x）和假设（11）意味着∧k族-它不是空的。设λk-1是这个家庭的专业母亲。注意∧k-1通过采用一定数量的随机变量，它是稳定的。因此λk-1可以写成∧k中递减序列的极限-1.

函数I和l的连续性以及单调收敛定理表明λk-1属于∧k家族的家族-1.这仍然是为了显示平等（13）。如果等式不成立，那么对于足够小的ε>0，ω的集合Aε∈ Ohm 就这样I（（λk）-1.- ε） Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i（ω）≤ α是一个严格的积极措施。这意味着λk-1.- ε1lAε也位于∧k中-1，这导致了矛盾。第二步。Vn的代表性-1.根据提案6，Vn-1=等式[Sn | Fn-1] +ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l（M）|Fn-1] ≤ αn}取M=I（λn-1Zn/Zn-1） ，我们看到-1.≤bVn-1.另一方面，对于每个严格负的随机变量λ∈ Fn-1，l（M）≥ L*（λZn/Zn）-1） +λMZn/Zn-1我在哪里*（u） =infv{l（v）- uv}是l的勒让德变换。注意，一个人有（l*)= 一、索文-1.- 等式[Sn | Fn-1]≥ ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l*（λZn/Zn）-1） +λMZn/Zn-1 | Fn-1] ≤ αn}=ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l*（λZn/Zn）-1） |Fn-1] +λEQ[M | Fn-1] ≤ αn}=αn- EP[l*（λZn/Zn）-1） |Fn-1] λ=αn- EP[l（I）（λZn/Zn）-1） ）|Fn-1] λ+EQ[I（λZn/Zn）-1） |Fn-1] ，其中最后一个等式来自关系l*（y） =l（I（y））- 易（y）。取λ为（12）的解，我们发现Vn-1.≥bVn-1，这证明了Vn的理想代表性-1.第三步。一般情况。现在我们通过对k的归纳来证明一般情况。假设我们已经建立了等式Vk=bVk。根据命题6和归纳假设，Vk-1=ess infM∈Fk{EQ[M|Fk-1] ：M≥bVk，EP[l（M- Sk）|Fk-1] ≤ αk}。我们选择fm:=bVk+Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+EP[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，从下方以BVK和满足EP[l（fM）为界- Sk）|Fk-1] ≤ αk。

事实上，很明显，这个不等式在集合{EP[l（bVk））上成立- Sk）|Fk-1] ≤ αk}。此外，在集合{EP[l（bVk））上- Sk）|Fk-1] >αk}，一个hasfM- Sk=bVk- Sk+（Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1） ）+，soEP[l（fM- Sk）|Fk-1] =EP[l（I）（λk）-1Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] 这意味着EP[l（fM- Sk）|Fk-1] ≤ αkon这个集合由λk的定义确定-1.HenceVk-1.≤ EQ[fM | Fk-1] =bVk-1.相反的不等式bvk-1.≤ Vk-1在集合{EP[l（bVk）上是直接的-Sk）|Fk-1] ≤ αk}。仍然需要在集合{EP[l（bVk））上建立不等式-Sk）|Fk-1] >αk}。我们有一个变量changeVk-1.- EQ[bVk | Fk-1] =ess inf{EQ[M|Fk-1] ：M≥ 0，EP[l（M+bVk- Sk）|Fk-1] ≤ αk}，≥ ess infM∈Fk，M≥0{EQ[M|Fk-1] ：EP[l*λZkZk-1.+ λ（M+bVk）- Sk）ZkZk-1.Fk-1] ≤ αk}=ess infM∈Fk，M≥0{EQ[M|Fk-1] ：EP[l*λZkZk-1.|Fk-1] +λEQ[M+bVk- Sk | Fk-1] ≤ αk}=ess infM∈Fk，M≥0nEQ[M | Fk-1] ：EQ[M | Fk-1] ≥αk- EP[l（I）（λZkZk）-1） ）|Fk-1] λ+EQ[Sk-bVk+IλZkZk-1.Fk-1] 或任何严格负λ∈ Fk-1.在集合{EP[l（bVk）上- Sk）|Fk-1] >αk}，上面的最后一个约束可以用eq[M|Fk]代替-1] ≥αk- EP[l（I）（λZk/Zk）-1) ∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] λ+EQ[Sk-bVk+I（λZk/Zk）-1)+ |Fk-1].现在我们选择λ作为（13）的解，以获得以下约束q[M | Fk-1] ≥ 情商[Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+ |Fk-1].因此在集合{EP[l（bVk）上- Sk）|Fk-1] >αk}，我们有vk-1.- EQ[bVk | Fk-1] ≥ 情商[Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+|Fk-1] ，这意味着不平等-1.≤ Vk-由此证明了定理1。在P=Q的风险中性情况下，我们可以放松假设2，只在假设1下得到类似的结果。提议8。我们假设P=Q，对于任何k∈ {1，…，n}，αk>limx→+∞l（x）1。价值函数满足Vt=bVta。s、 对于t=0，N- 1.bvn-1=E[Sn | Fn-1] +l-1（αn）bVk-1=E[bVk | Fk-1] +EnSk-bVk+λko+Fk-1.E[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，k<n，其中λk∈ Fk-这就是海尔的解决方案λk∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i=αk.（14）2。

如果损失函数l（x）=x-, 当所有k的αk>0时，则值函数满足Vt=bVta。s、 对于t=0，N- 1.bvn-1=E[Sn | Fn-1] - α-nbVk-1=max{E[bVk|Fk-1] ，E[bVk∨ Sk- αk | Fk-1]}.证据1.Vn的公式-1直接来自詹森的不平等。我们用归纳法证明了一般情况。假设我们已经建立了等式Vk=bVk。证明Vk的公式-1，我们首先按照命题7证明中的步骤1来证明λk的存在性。接下来，letM=bVk+nSk-bVk+λko+E[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk.很明显，M≥ Vk。此外，E[l（M- Sk）|Fk-1] =E[l（bVk）- Sk+nSk-bVk+λko+A）|Fk-1] =1AE[l（λ）∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] +1AcE[l（bVk- Sk）|Fk-1]≤ αk，其中我们表示A:={E[l（bVk- Sk）|Fk-1] >αk}∈ Fk-1.这证明了Vk-1.≤bVk-1.相反的不等式只需要在集合A上显示。如命题7的顶部，我们有，Vk-1.-E[bVk | Fk-1] =ess infM∈Fk，M≥0{E[M|Fk-1] ：E[l（M+bVk）-Sk）|Fk-1] ≤ αk}。设M为满足约束条件的任意随机变量。然后，通过凸性，0≤ E[l（λk）∨ （bVk）- （Sk）- l（M+bVk）- Sk）|Fk-1]≤ E[l（λk）∨ （bVk）- Sk））（λk∨ （bVk）- （Sk）- M-bVk+Sk）| Fk-1] =E[1λk≥bVk-Skl（λk）（λk）- M-bVk+Sk）- 1λk<bVk-Skl（bVk- Sk）M | Fk-1] =l（λk）E[（λk）-bVk+Sk）+- M | Fk-1] - E[（l（bVk- （Sk）- l（λk））+M |Fk-1] 式中，l（x）表示在x点属于凸函数l的次微分的任何数字，定义如下：l（x）：={y:l（x）- l（x）≥ y（x）- 十）x} 。自从我≥ 0，这意味着l（λk）E[（λk-bVk+Sk）+- M | Fk-1] ≥ 根据命题的假设，在集合{0∈ l（λk）}，l（λk）<α和λk可能不是方程（14）的解。因此，l（λk）<0几乎可以肯定，andE[（λk）]-bVk+Sk）+- M | Fk-1] ≤ 0在A上，完成证明。2.Vn的公式-1第1部分的后续内容。当E[（Vk-（Sk）-|Fk-1] ≤ αk，E[Vk | Fk-1] ≥ E[Vk∨ Sk- αk | Fk-1] ，公式成立。假设E[（Vk- （Sk）-|Fk-1] >αk。

首先我们观察到λk<0a.s.，否则在λk≥ 0，l（λk）∨（Vk）-Sk））=0，条件透视不能等于αk。因此，Eh{Sk+λk}∨ VkFk-1i=E[Sk | Fk-1] +E[λk∨ （Vk）- Sk）|Fk-1] =E[Sk | Fk-1] +E[（λk）∨ （Vk）- Sk）+Fk-1] - E[（λk）∨ （Vk）- （Sk）-|Fk-1] =E[Sk | Fk-1] +E[（Vk- Sk）+Fk-1] - E[l（λk）∨ （Vk）- Sk）|Fk-1] =E[Vk∨ Sk | Fk-1] - αk.3.3回望式约束回望约束包括整个期间损失函数的最大值。所以动态规划结构考虑了这个变量。回想一下，MLBDE注意到了所有Q-超鞅（Mk）nk=0和ep[maxk=1，…，n{l（Mk）的集合- （Sk）- αk}]≤ 0.定义Vk（Nk，Zk），其中（Nk，Zk）是一对Fk可测量的随机变量，是所有Mk的基本组成部分∈ 因此存在一个Qsupermartingale（Mt）nt=k和一个P-supermartingale（nt）nt=kverifyingmaxZk，maxt∈{k+1，…，n}{l（Mt- （圣）- αt}≤ Nn。（15） 我们表示所有这些Q-超鞅（Mt）nt=kby MLB，k（Nk，Zk）的集合。按照惯例，letVn（Nn，Zn）=(+∞)1l{Zn>Nn}+(-∞)1l{Zn≤Nn}。提案9。V（0，-∞) = inf（Mk）nk=0∈MLBM。证据设（Mk）nk=0和（nk）nk=0分别是用（N，Z）=（0，-∞). Thenmaxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}≤ Nn。因此0=N≥ EP[Nn]≥ EP[maxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}]。因此（Mk）nk=0∈ MLB。因此（0，-∞) ≥ inf（Mk）nk=0∈MLBM。相反地，在MLB中给定一个Q-超马氏体（Mk）nk=0，我们可以选择n=maxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}和Nk=EP[Nn | Fk]，k∈ {1，…，n- 1} N=0来构造一个Psupermartingale（Nk）Nk=0用（N，Z）=（0）来验证条件（15），-∞).因此我≥ V（0，-∞). 结果得到了验证。提议10。Vk（Nk，Zk）等于所有等式[M | Fk]，M]的基本值∈ Fk+1存在一个随机变量N∈ Fk+1满意（EP[N | Fk]=Nk，M≥ Vk+1N、 最大（Zk，l（M）- Sk+1）- αk+1）.（16） 证据。