多重风险约束下的套期保值

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英文标题：
《Hedging under multiple risk constraints》
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作者：
Ying Jiao, Olivier Klopfenstein and Peter Tankov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Motivated by the asset-liability management of a nuclear power plant operator, we consider the problem of finding the least expensive portfolio, which outperforms a given set of stochastic benchmarks. For a specified loss function, the expected shortfall with respect to each of the benchmarks weighted by this loss function must remain bounded by a given threshold. We consider different alternative formulations of this problem in a complete market setting, establish the relationship between these formulations, present a general resolution methodology via dynamic programming in a non-Markovian context and give explicit solutions in special cases.
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中文摘要：
受核电站运营商资产负债管理的启发，我们考虑了寻找性能优于给定随机基准集的最便宜投资组合的问题。对于指定的损失函数，与该损失函数加权的每个基准相关的预期差额必须保持在给定阈值的范围内。我们在一个完整的市场环境中考虑这个问题的不同替代公式，建立这些公式之间的关系，在非马尔可夫环境下通过动态规划提出一种通用的解决方法，并在特殊情况下给出显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Hedging_under_multiple_risk_constraints.pdf (495.75 KB)

2022-5-4 23:15:04 上传

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关键词：套期保值 formulations Quantitative relationship Applications

多重风险约束下的套期保值*应焦伊斯法，克劳德·伯纳德大学——里昂·艾英。jiao@univ-里昂1。弗罗利维尔·克洛芬施泰因德夫R&Dolivier。klopfenstein@edf.frPeterTankovLPMA，巴黎迪德罗大学-巴黎7tankov@math.univ-巴黎狄德罗。Frabstract受核电站运营商资产负债管理的启发，我们考虑了寻找成本最低的投资组合的问题，该投资组合的表现优于给定的一组随机基准。对于特定损失函数，与该损失函数加权的每个基准相关的预期差额必须保持在一个平均阈值的范围内。我们在一个完整的市场环境中考虑这个问题的不同替代公式，建立这些公式之间的关系，在非马尔可夫环境下通过动态规划提出一般解决方法，并在特殊情况下给出明确的解决方案。关键词：多重风险约束，预期损失，资产负债管理，斯奈尔包络，动态规划。1简介在各种经济环境下，机构持有资产以弥补未来负债。当局要求银行和保险公司持有监管资本，以承担风险。由于长寿风险和养老金计划的结构，养老基金面临随机的未来负债，这可能涉及可变年金类型的特征。在覆盖未来负债或基准的情况下管理资产组合的问题，尤其是在养老金计划的背景下，通常被称为资产负债管理（ALM）[15,6,14]。*这项工作的部分资金来自法国电力公司。我们感谢玛丽·伯恩哈特对本文初步版本的宝贵意见。本研究的主要动机是核电站操作员的ALM问题。

在一些国家，法律要求运营核电站的能源公司持有退役资金，以支付未来净化和拆除核电站的费用，以及放射性废物的处理和长期储存费用。在法国，这项义务是由法国法律引入的o2006年6月28日关于放射性物质和废物可持续管理的第2006-739号决议。根据这项法律，法国民用核工业的三个主要参与者（EDF、AREVA和CEA）必须持有专门用于未来核退役费用的资产组合[5]。这些专用资产的价值必须足以弥补未来负债的减值。贴现率由运营商决定，但法律规定，“贴现率不得超过对冲投资组合的回报率，如高度信任所示，并以充分的安全性和流动性进行管理”。因此，计算尽可能高的贴现率相当于找到最便宜的投资组合，该投资组合涵盖了高度自信的未来负债。法律没有以精确的方式定义“高度信任”等概念，但很明显，由于未来负债具有相当大的不确定性，因此应使用某种概率风险度量标准，如短缺概率或价值风险。在其他情况下，监管机构规定，应使用特定的概率标准来衡量因无法覆盖债务而产生的潜在损失。新巴塞尔协议框架使用风险价值来确定银行的监管资本。根据欧洲偿付能力II指令，保险公司需要评估一年内偿付其债务所需的资本金额，概率为99。5%.

因此，在这样的框架下，公司必须持有足够的资产，以限制在概率损失度量意义上的随机未来基准的损失。受这些问题的启发，在本文中，我们考虑了无经济代理人的问题，该代理人在未来某一特定日期有随机应付债务，并在每个付款日期施加了预期短缺约束。我们考虑了两个相关问题：如何找到最便宜的投资组合，以满足每个日期的约束（对冲负债），以及如何确定不同日期的概率约束之间的关系。对于后一个问题，我们提出了三种不同的公式：在欧式约束下，对每个日期的预期短缺施加界限，以t=0计算；在时间一致性约束下，每一个付款日对下一个期间的差额施加一个界限；最后，在回溯式约束中，对所有日期的最大短余波的期望施加界限。文献[9,10]中介绍并研究了在概率约束下对单个随机负债进行套期保值的问题，主要是在完全市场连续时间环境下，在Black-Scholes模型中获得了显式解。在[1]中使用随机控制和粘性解将其推广到马尔可夫环境，然后在[2,3]中推广到其他类别的随机目标问题。相关文献涉及在给定日期[12,4]或未来所有日期[8]的确定性基准表现出色的额外约束下的投资组合管理。

然而，在一组确定的未来日期对冲多个随机基准的问题在文献中很少受到关注。在本文中，出于对责任约束必须在预先指定的给定日期进行验证的实际担忧，我们将自己置于离散时间设置中。为了找到最便宜的套期保值投资组合，我们采用了经典的完整市场框架，该框架允许我们将问题重新表述为找到满足一组随机约束的最小离散时间超鞅。这可以被视为斯奈尔包络的经典概念的延伸，这一概念产生于一个包含美国内容的主张的过度边缘化问题——见[11，第6.5节]。市场完整性假设意味着，在我们的背景下，未来负债的随机性主要取决于“可对冲”风险因素，如市场风险、利率风险、通货膨胀等，而不是监管框架中的变化等不可预测的随机事件。在市场完整性假设下，很容易找到一种几乎可以肯定地对冲所有未来负债的策略。我们问题的主要困难在于，约束条件是由预期损失函数给出的，因此本质上是概率的。此外，我们关注的是一般离散时间过程，其中马尔可夫性质不再成立。我们的主要贡献是研究不同日期的概率约束之间的相互作用，并在一般情况下通过动态规划描述解决方案。我们考虑了三种不同的风险约束，分别涉及所有责任支付日期的预期损失、动态的时间一致性条件损失和最大损失情景。

对于我们使用的三种约束样式中的每一种，我们都得到了一个最便宜的对冲组合的草书公式。然后为特定损失函数开发了显式示例。我们的论文结构如下。在第二节中，我们根据三种不同的约束类型介绍了多目标套期保值问题的三种不同公式。第3节介绍了解决方案的非马尔可夫动态规划方法。第4节提供了两个付款日期的显式示例，第5节包含了当时维度情况下的一些显式结果。最后，技术引理在附录中得到了验证。2完整市场环境中的替代问题公式我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 P，G:=（Gt）0≤T≤T） ，其中Gis是一个微不足道的σ场，GT=F。在这个空间上，我们考虑一个无风险资产（Xt）为0的金融市场模型≤T≤风险资产（Xit）i=1，。。。，d0≤T≤T.假设风险集合与过滤G相适应。在不丧失一般性的情况下，我们将无风险资产视为一个恒定的过程：Xt≡ 1.我们假设存在一类可接受的投资组合策略，此时不需要精确。为了保证不存在套利和完整性，我们做出以下假设：存在一个可能性Q等价于P，使得所有可容许的自融资投资组合都是Q-超鞅，对于任何Q-超鞅（Mt）0≤T≤T、 存在一个可接受的投资组合（Vt）0≤T≤T、 哪一个满足Vt=MTT∈ [0，T]。给定确定性矩的有限序列0=t<t<·t<tn≤ 我们研究的是一个经济代理人的问题，他可能会支付一系列的费用，在日期t，tn，其中对于每个i，Pi是Gti可测量和满足的等式[|Pi |]<∞.

例如，这可以模拟与可变年金保险合同或长期投资项目相关的现金流。代理人的投资组合，其价值由EVT表示，有效地用于支付，因此满足eVti=eVti-- 圆周率。我们假设代理对损失有一定的容忍度，这意味着VTI的负面部分-- p必须在某种概率意义上有界（在本节中更精确）。为了处理自我融资的投资组合，我们引入了累积现金流增加的投资组合：Vt=eVt+Xi≥1:ti≤tPias以及基准流程st=Xi≥1:ti≤tPi。（1） 因此，代理人有兴趣找到最便宜的投资组合流程（Vt）0≤T≤t在某个概率意义上，在日期t，tn，基准过程（St）0≤T≤T.根据我们的市场完整性假设，这相当于发现Q-超鞅（Mt）0≤T≤Twith the smallestimatial value，在datest的概率意义上支配基准，引入离散过滤F=（Fk）k=0,1，。。。，由Fk=Gtk定义。对于aG supermartingale（Mt）0≤T≤T、 离散时间过程（Nk）k=0,1，。。。，nde finedby Nk=Mtkis a F-超鞅，反之，从F-超鞅可以很容易地构造一个G-超鞅M，它与N个日期t，因此，我们的问题可以在离散时间设置中重新表述为，找到一个离散时间Q-超鞅M，关于具有最小初始值的过滤F，例如fork=1，n、 MK在概率意义上主导离散时间基准测试K（我们对离散时间基准测试和连续时间基准测试使用相同的字母）。在我们的多期套期保值问题中引入风险容忍度有很多自然的方法。

在本文中，在[10]之后，我们考虑对预期短缺施加一个边界，由损失函数l:R加权→ R.在本文中，我们始终假设lis满足以下条件。假设1。函数l:R→ R是凸的，递减的，从下面有界。上述假设可以很自然地描述损失函数。典型的示例将是一个“调用”函数。特别是当l（x）=(-x） +，我们承担损失的积极部分，并且当责任被对冲时不会受到惩罚。在某些情况下，我们需要更强的假设才能得到明确的结果。以下假设2允许我们包括广泛使用的实用功能。例如，当l（x）=e-二甲苯- 1 p>0，则假设2满足。假设2。函数l:R→ R是严格凸的，严格递减的，从下面有界，属于C类。此外，导数l（x）满足Inada的条件limx→-∞l（x）=-∞ 还有limx→+∞l（x）=0。接下来，我们将描述问题的三个不同约束条件，如下所示。欧式风格约束（EU）找到Msuch的最小值，即存在一个Q-超马尔廷格尔（Mk）nk=0withEP[l（Mk- Sk）]≤ αk对于k=1，n、 （2）我们用MEU表示满足（2）的所有Q-超鞅的集合。时间一致性约束（tc）求Msuch的最小值，即存在一个Q-超鞅（Mk）nk=0withEP[l（Mk- Sk）|Fk-1] ≤ αk，a.s.对于k=1，n、 （3）我们用MT C表示满足（3）的所有Q-超鞅的集合。时间一致性约束作为“美国式”保证有一个有趣的解释。提议1。设M为F-适应过程。然后条件ep[l（Mk- Sk）|Fk-1] ≤ αk，a.s.k=1，··，n（4）等价于：对于所有F-停止时间τ和σ，取{0，1，…，n}中的值，使得τ≤ σ、 EP“σXi=τ+1{l（Mi- Si）- αi}#≤ 0.（5）证据。

设Xk=Pki=1l（Mi- Si）- αi，k=0，1，n、 条件（4）等价于过程X是P-超鞅这一事实。方程式（5）则遵循杜布定理。相反地，假设（5）成立，并且∈ FKK∈ {0,1，…，n- 1}. 取σ=k+1和τ=k1A+（k+1）1Ac，我们从（5）得到EP[（Xk+1）- Xk）| 1A]≤ 由于A和k是任意的，这证明了X的超鞅性质。回望式约束（LB）找到Msuch的最小值，即存在一个Q-超鞅（Mk）nk=0，其中EP[maxk=1，…，n{l（Mk- （Sk）- αk}]≤ 0.（6）我们用MLB表示满足（6）的所有Q-超鞅的集合。对于给定的边界族（α，···，αn），我们用VEU（α，···，αn）、VT C（α，···，αn）和VLB（α，··，αn）（或VEU，VT和VLB）表示，当（Mk）nk=0的最大值分别属于MEU，MT和MLB。下面的命题表明VEU≤ 职业训练局≤ VLB。提议2。以下内容适用：MLB C山 MEU。证据很明显，C山 MEU。包含MLB MT C遵循时间一致性约束的替代表示法（5）。当n=1时，三种约束类型重合。此外，valuefunction在某些特定情况下具有显式形式。提议3。设n=1，假设α>limx→+∞l（x）1。假设假设2成立，并假设存在y<0和ep[l（I（yZ））]∞, 其中Z=dQdP。vtc（α）=VLB（α）=EQ[S]+EQ[I（λ*Z） ]中，I是landλ的反函数*是ep[l（I）（λ）的唯一解*Z） ）]=α。假设P=Q，那么VEU（α）=vtc（α）=VLB（α）=E[S]+l-1（α），其中l-1（α）：=inf{x∈ R | l（x）≤ α}.证据第一部分是一个特殊的命题案例，将在下面展示。

这个结果也非常类似于经典的凹效用最大化问题的解决方案，对于这个问题，我们请读者参考[13，定理2.0]。第二部分是利用詹森不等式得到的。下面的命题是命题3第二种情况的自然推广，描述了三值函数包含的另一种情况。然而，对于n，我们需要一个额外的假设（7）≥ 2.提议4。假设P=Q，αk>limx→+∞l（x）代表k∈ {1，…，n}andE[Sn+l-1（αn）|Fk]≥ Sk+l-1（αk）（7）对于任何k∈ {1，…，n}，其中-1（α）：=inf{x∈ R | l（x）≤ α}. 那么，VEU（α，…，αn）=vtc（α，…，αn）=VLB（α，…，αn）=E[Sn]+l-1（αn）。假设（7）由以下假设暗示：过程（Sk+l）-1（αk））nk=0是一个子鞅过程S是次鞅，αk≥ α0≤ K≤ N- 1.证据。从命题3中，通过去除除终端约束之外的所有约束，我们得到veu（α，…，αn）≥ E[Sn]+l-1（αn）。为了显示逆不等式，letMk=E[Sn+l-1（αn）|Fk]。根据假设（7），Mk≥ Sk+l-1（αk），这意味着∈ MLB。因此，VLB（α，…，αn）≤ M=E[Sn]+l-1（αn）。通过动态规划应用命题2.3解决方案完成了证明。在本节中，我们解决了三类约束的优化问题。主要方法包括使用动态规划原理，在每个付款日期验证约束条件。3.1欧式约束我们从欧式约束开始，欧式约束由一系列期望约束组成。用V（α，…，αn）表示Mw的最大值，其中（Mk）nk=0∈ MEU。下面的结果通过使用P-超鞅族来刻画V（α，…，αn），每个P-超鞅族对应一个期望约束。提议5。V（α。