多重风险约束下的套期保值

用byeVk（Nk，Zk）表示定理中定义的本质。LetM和N是验证（16）的随机变量。通过一个类似于toLemma 1的参数，存在一个递减的随机变量序列（M（M）k+1）M∈Nin MLB，k+1（N，max）Zk，l（M- Sk+1）- αk+1），使M≥ infm∈纳米（米）k+1。此外，还存在Q-超鞅（M（M）t）nt=k+1和P-超鞅（N（M）t）nt=k+1verifyingmaxZk，l（M）- Sk+1）- αk+1，最大∈{k+2，…，n}（l（M（M）t- （圣）- αt）≤ N（m）N（17）和N（m）k+1=N。设m（m）k=EQ[m（m）k+1 | Fk]和N（m）k=Nk。过程（M（M）t）nt=kand（N（M）t）nt=kare分别是满足条件（15）的Q和P超鞅。因此，M（M）k≥ Vk（Nk，Zk）表示任何m∈ N、 什么是情商[M | Fk]≥ Vk（Nk，Zk）。SoeVk（Nk，Zk）≥ Vk（Nk，Zk）。相反，设（Mt）nt=kand（nt）nt=kbe分别为Q-超鞅和p-超鞅，它们验证了条件（15）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Mk=EQ[Mk+1 | Fk]，并且（Nt）Nt=kis是P-鞅。注意麦克斯Zk，maxt∈{k+1，…，n}（l（Mt- （圣）- αt）也可以写为max最大值（Zk，l）（Mk+1- Sk+1）- αk+1），最大∈{k+2，…，n}（l（Mt- （圣）- αt）.根据Vk+1、Mk+1的定义≥ Vk+1（Nk+1，最大值）Zk，l（Mk+1- Sk+1）- αk+1），这表明Mk+1和Nk+1验证了（16）中的条件。因此Mk=EQ[Mk+1 | Fk]≥eVk（Nk，Zk）。由于（Mt）nt=kis是任意的，我们得到了Vk（Nk，Zk）≥eVk（Nk，Zk）。4 n=2的显式示例在本节中，我们在三种类型的约束条件下应用上一节中获得的动态规划结果，并给出两个时间步设置下最小套期保值组合值的显式形式。4.1欧式风格约束在以下情况下，我们假设函数l满足假设2。我们得到了推论1，V（α）=ess infM∈F{EQ[M|F]s.t。

EP[l（M- S） | F]≤ α} 根据命题7，V（α）=EQ[S|F]+EQ[I（c（α）Z/Z）|F]，（18）其中c（α）是F-可测的随机变量，使得ep[l（I（c（α）Z/Z））|F]=α。andZ=dQdP；Z=EP[dQdP | F]。然后，我们再次使用（9）来计算V（α，α）的值，该值与等式[M]，M]的基本值一致∈ f如E[l（M- S） ]≤ α存在N∈ 验证E[N]=α和M≥ V（N）。即V（α，α）=infM∈F{EQ[M]：EP[l（M）- S） ]≤ α、 EP[V]-1（M）]≤ α}. （19） 4.1.1指数效用情形考虑损失函数，其中l（x）=e-二甲苯- 1，p>0。直接计算得到l（x）=-体育课-px，I（x）=-扑通一声(-x/p）和l（I（x））=-x/p- 1.因此，c（α）=-p（1+α），由此我们推导出v（α）=EQ[S | F]-对数（α+1）p-pEP[Z/Zlog（Z/Z）|F]。（20） 比亚迪=-pEP[Z/Zlog（Z/Z）|F]。从（20）开始我们就有了-1（x）=l（x- 等式[S | F]- D） 。因此，V（α，α）是期望值EQ[M]=EP[ZM]的上限，其中M∈ Fsuch thatEP[l（M- S） ]≤ α和E[l（M- 等式[S | F]- D） ]≤ α. （21）我们将使用拉格朗日乘子法（带有库恩-塔克条件）来研究这个问题。如果我∈ 根据约束条件（21）对等式[M]的上限进行F化，然后验证一阶条件Z- pλe-p（M）-（S）- pue-p（M）-等式[S | F]-D） =0，其中λ和u分别为方程的正解Zp（λ+uexp（p（EQ[S | F]- （S+D）= 1+α和βZp（λexp（S）- 等式[S | F]+D）+u）= 1 + α.我们引入符号X=exp（p（EQ[S | F]- 将上述方程改写为qhλ+uXi=p（1+α）和EQhXλ+uXi=p（1+α），通过线性组合得到λp（1+α）+up（1+α）=1（22）。此外，两个方程的商表明λ/u验证了以下方程（前提是u6=0）f（t）1- tf（t）=1+α1+α，其中f（t）=EQ[（t+X）-1]. 注意这一点→0+f（t）1- tf（t）=EQ[X-1] ，limt→+∞f（t）1- tf（t）=EQ[X]-1.假设等式[X]-1] >1+α1+α>EQ[X]-（21）中的两个约束条件是饱和的。

我们可以使用数值方法来计算λ/u的值，然后使用关系式（22）来确定λ和u的解释值If1+α1+α≤ 等式[X]-1，则只有（21）中的第一个约束是饱和的，应取u=0。在这种情况下，一阶条件变为- pλe-p（M）-S） =0，其中λ=（p（1+α））-1.因此，一个hasM=S-plog（（1+α）Z）。因此我们得到v（α，α）=EQ[S]-plog（1+α）-政治公众人物[Zlog Z]。oIf1+α1+α≥ 等式[X]-1] ，则只有（21）中的第二个约束是饱和的，其中一个约束的λ=0。在这种情况下，一阶条件变为- pue-p（M）-等式[S | F]-D） =0，其中u=（p（1+α））-1.因此，一个结果sm=EQ[S | F]+D-plog（（1+α）Z）=EQ[S | F]-pEP[Z/Zlog（Z/Z）| F]-plog（（1+α）Z）。最后，我们得到v（α，α）=EQ[S]-plog（1+α）-pEP[Zlog Z].4.2时间一致性约束Vis的计算与（18）在欧洲的情况相同：V=V（α）。根据命题6，V=infM∈F{EQ[M]：EP[l（M）- S） ]≤ α、 五-1（米）≤ α}. （23）4.2.1（20）中的指数效用，与欧洲情况一样，V=EQ[S | F]-log（α+1）p+D。根据命题7，可以使用以下算法找到vm：o计算EP[l（V- S） [o]如果EP[l（V- S） ]≤ α那么第1天的约束是不具有约束力的，解由V=EQ[V]给出如果EP[l（V- S） ]>α那么第1天的约束是有约束力的，我们按照如下步骤进行：–计算λ∈ R通过解方程ep[l（I（λZ）∨ （五）- S） ）]=α解由V=EQ[V]+EQ[{S]给出- V+I（λZ）}+].4.3由命题10约束的回溯风格，V（y，Z）=infM∈F等式[M | F]：EP[max（z，l（M- （S）- α） |F]<y所以值函数V（0，-∞) 与欧洲和美国的情况一致。

然后我们在初始时间asV（0，-∞) = infM∈F{EQ[M]：N∈ F:EP[N]=0，M≥ V（N，l（M）-（S）-α)}.然而，对于lookback样式约束，更难获得明确的结果（19）ou（23）。4.4风险中性情况正如我们已经提到的，在这三种情况下，增值税时间t=1的价值函数是一致的。在风险中性的情况下，P=Q，我们有Z=Z=1，soV（α）=E[S | F]+l-1(α).对于t=0时的初始值，我们得到以下结果：o欧式风格约束：VEU=infM∈F{E[M]：E[l（M）- S） ]≤ α、 E[l（M）- E[S|F]）]≤ α} o美式约束：VT C=infM∈F{E[M]：E[l（M）- S） ]≤ α、 l（M）- E[S|F]）≤ α} o回望样式约束：VLB=infM∈F{E[M]：E[max{l（M）- （S）- α、 l（M）- E[S|F]）- α}] ≤ 0}.在风险中性的情况下，结果在假设1而不是假设2下成立。我们特别感兴趣的是损失函数l（x）=(-x） +由于附录中的引理2，在获得明确结果的情况下（对于时间一致性约束，结果如下，取β=0和Y=E[S | F]- α） ：VEU=maxE[S]- α、 E[S]- α、 E[（S）∨ E[S|F]）]- α- α,VT C=最大值E[S]- α、 E[S]∨ （E[S|F]- α)] - α,VLB=E[maxs- α、 （E[S|F]- α)].4.5数值说明在一个数值例子中，我们比较了在三种概率约束下对冲两个目标的成本。在图1中，我们考虑了风险中性的情况，其中P=Q，损失函数由l（x）给出(-x） +。模型如下：S=SeσZ-σ和S=SeσZ-σ，其中S=100，σ=0.2和Zand-Zare标准正态随机变量，相关系数ρ=50%。我们将第一个日期的损失容限定为α=5，并将三种不同的约束类型的套期保值价值vf绘制为第二个日期α的损失容限的函数。毫不奇怪，这三条曲线都在降低w.r.t.约束水平α。

此外，在我们考虑的三个约束中，Europeanconstraint对应于最低的套期保值成本，lookback Constraint对应于最高的套期保值成本，这与命题2是一致的。最后，几乎确定套期保值的成本高于三个概率约束。图1：用三种不同风格的概率约束对冲两个目标的成本。在这种情况下，几乎可以肯定的是，对冲这两个约束的成本相当于107.966。5个明确的例子对于多目标套期保值问题，通常很难使用递归公式得到明确的解决方案。在本节中，我们首先提出一个假设，在该假设中，预期损失可以得到显式解，然后扩展我们的框架来讨论条件风险价值。我们的第一个结果处理了在风险中性概率下作为调用函数给出的预期损失约束。提议11。设l（x）=(-x） +。假设P=Q，α，αn≥ 0，并且过程（Sk）nk=0是非递减的。那么，VEU=maxk∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}（24）证明。对于任何k∈ {1，··，n}，我们有veu=inf（Mk）nk=0∈MEU{M:E[（Sk- Mk）+]≤ αk，k=1，n}≥ infM∈Fk{E[M]：E[（Sk- M）+]≤ αk}=E[Sk]- αk，因此，VEU≥ 马克斯∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}另一方面，詹森不等式产生E[（Sk- Mk）+]≤ E[（Sk- Mn）+]，soVEU≤ inf（Mk）nk=0∈MEU{M:E[（Sk- Mn）+]≤ αk，k=1，n} =infM∈Fn{E[M]：E[（Sk- M）+]≤ αk，k=1，n} 。自（St）0≤T≤nis非递减，然后（24）在附录中接引理3。到目前为止，我们已经考虑了（有条件的）预期损失所带来的风险约束。在文献和实践中，风险约束通常通过使用风险度量来描述。现在，让我们将我们的框架扩展到覆盖以条件风险价值表示的损失约束。

我们再次假设P=Q，并用mcvara表示所有超鞅（Mk）nk=0的集合，使得CVaRλ[（Sk- Mk）+]≤ αk对于任何k∈ {1，…，n}，其中CVaRλ是由CVaRλ（X）=sup!P{E!P[X]：d!≤1.- λ} ，（25）其中X∈ 表示损失。众所周知，满足yCvarλ（X）=VaRλ（X）+1- λE[（X- VaRλ（X））+]和Cvarλ（X）=infz∈R1.- λE[（X- z） +]+z.上述最小值已达到，因此可以写入cVarλ（X）=minz∈R1.- λE[（X- z） +]+z. （26）此外，当X具有连续分布时，简化公式cvarλ（X）=E[X | X>VaRλ（X）]成立。我们定义CVAR:=inf（Mk）nk=0∈MCVaRM（27）让我们从一些简单的观察开始：o从（25）可以立即推断CVaRλ（X）≥ E[X]，这意味着（见命题11的证明）vcvar≥ 马克斯∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}。（28）o对于n=1，选择M*= s- α达到（24）中的最佳值。但在这种情况下，CVaRλ[（S- M） +]=α，这意味着也达到了上面的下限：VCVaR=E[S]- α.o 因为在我们的例子中，损失总是正的，所以等式（26）可以简化为asCVaRλ（（S- M） +）=minz≥01.- λE[（S- M- z） +]+z.下面的表述将问题（27）简化为在预期损失约束下的Hedging问题。提议12。VCVaR=inf0≤Z≤αG（z，…，zn），其中0≤ Z≤ α是zk的缩写∈ [0，αk]，k∈ {1…n}和G（z，…，zn）=inf（Mk）nk=0上鞅{M:1- λE[（Sk-Mk-zk）+]+zk≤ αk，k=1。n} 证据。对于每一个z，zn fixed，集合McVar包含一组超级鞅（Mk）nk=0令人满意1-λE[（Sk- Mk- zk）+]+zk≤ αk，k∈ {1…n}，这表明vcvar≤ inf0≤\'z≤ αG（z，…，zn）。另一方面，对于任何ε>0，存在满足CVaRλ[（Sk）的F-超马氏体（Mk）nk=0- Mk）+]≤ αk，k∈ {1，…，n}这样m<ε+vcvar既然达到了（24）中的最大值，我们也可以找到z，例如：1-λE[（Sk- Mk- zk）+]+zk≤ αk，k∈ {1 . . .

n} 。但这意味着vcvar+ε>inf0≤\'z≤ αG（z，…，zn），这就完成了证明，因为ε是任意的。当问题（27）的解是完全明确的时，我们给出一个特殊的例子来结束这一部分。提议13。如果（Sk）- αk）nk=1是一个递增过程，然后vcvar=E[Sn]- αn.证据。如果这个过程（Sk- zk）nk=1正通过命题11增加，G（z，…，zn）=maxk∈{1，··，n}{E[Sk]- (1 - λ） αk- λzk}=E[Sn]- (1 - λ） αn- λzn。现在观察g（α，…，αn）=E[Sn]- αn.结合（28），证明是完整的。附录引理2。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，X，Y∈ F和α，β≥ 0.那么，V=infM∈F{E[M]：E[（X）- M） +]≤ α、 E[（Y- M） +]≤ β} =max{E[X- α] ，E[Y- β] ，E[X∨ Y- α - β]}.andV=infM∈F{E[M]：E[max（（X）- M）+- α、 （Y）- M）+- β)] ≤ 0}=E[（X）- α) ∨ （Y）- β)].证据第一部分。通过只考虑这两个约束中的一个，我们得到了≥ max{E[X- α] ，E[Y- β]}.此外，（X- M） ++（Y）- M）+≥ 十、∨ Y- 曼德索夫≥ E[X∨ Y- α - β].为了完成证据，我们需要找到M*它满足了约束，实现了平等。首先假设e[X∨ Y- α - β] ≥ E[X- α] et E[X∨ Y- α - β]≥ E[Y]- β].这相当于脚趾[（X- Y）+]≥ α和E[（Y- 十） +]≥ β.在这种情况下，我们可以*= 十、∨ Y- α（X）- Y）+E[（X- Y）+]- β（Y）- 十） +E[（Y）- 十） +]IfE[X- α] ≥ E[X∨ Y- α - β] 和E[X- α] ≥ E[Y]- β] 我们要*= 十、∧ Y- α+E[（X- Y）+]。如果最后- β] ≥ E[X∨ Y- α - β] 和E[Y]- β] ≥ E[X- α] ，然后我们可以*= 十、∧ Y- β+E[（Y- 十） +]。第二部分。因为M=（X- α) ∨ （Y）- β） 满足约束条件，V≤E[（X）- α) ∨ （Y）- β)]. 另一方面，V=infM∈F{E[M]：E[max（（X）- M）+- α、 （Y）- M）+- β)] ≤ 0}≥ infM∈F{E[M]：E[max（X- M- α、 Y- M- β)] ≤ 0}=infM∈F{E[M]：E[max（X- α、 Y- β)] ≤ M}=E[（X）- α) ∨ （Y）- β)].我们现在考虑n是任意的但目标是有序的情况。引理3。让(Ohm, F、 P）是概率空间，Z。

，锌∈ F和Z≤ Z≤· · · ≤ 兹纳。s、 α，αn≥ 0.那么，infM∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n} =maxk=1，。。。，n{E[Zk]- αk}证明。1.假设存在k∈ {1，···，n}这样e[Zk]- αk≥ E[Zk+1]- αk+1（29）然后是约束E[（Zk- M）+]≤ αkimplies E[（Zk+1- M）+]≤ αk+1自[（Zk+1]-M） +]≤ E[（Zk-M） +]+E[Zk+1-[Zk]≤ αk+αk+1-αk=αk+1。然后我们可以移除约束E[（Zk+1-M）+]≤ αk+1，无需修改值函数。对于满足（29）的所有其他指标，重复相同的论点，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设，E[Z]- α<··<E[Zn]- αn.（30）然后我们需要证明∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n} =E[Zn]- αn.2。除去最后一个约束之外的所有约束，很容易看出这一点∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n}≥ E[Zn]- αn.为了完成证明，只需找到满足约束条件的M，即E[M]=E[Zn]- αn.3。如果E[Zn- Z]≥ αn，我们让*= max{i:E[Zn- [Zi]≥ αn}和m:=wZk*+ (1 - w） Zk*+1，w=E[Zk*+1] - E[Zn]+αnE[Zk*+1] - E[Zk*]∈ [0, 1].否则，让k*= 0和m:=Z- C、 C=αn- E[Zn- Z] 。通过构造，E[M]=E[Zn]- α与自M≤ Zn，也就是E[（Zn-M） +]=αn.要检查其他约束，请观察如果k≤ K*然后≥ 兹卡。s、 所以E[（Zk- M） +]=0。另一方面，如果k>k*然后≤ 兹卡。s、 所以由（30）E[（Zk- M）+]=E[Zk]- E[M]=E[Zk]- 参考文献[1]B.Bouchard，R.Elie和n.Touzi，可控损失的随机目标问题，暹罗控制与优化杂志，48（2009），第3123-3150页。[2] B.Bouchard，L.Moreau和M.Nutz，《受控损失随机目标博弈》，应用概率年鉴，即将出版。[3] B.Bouchard和T.N.Vu，P&L匹配问题的随机目标方法，运筹学数学，37（2012），第526-558页。[4] 博伊尔和W。

田，带约束的投资组合管理，数学金融，17（2007），第319-343页。[5] 法国公共审计公司（Cour de Comptes），法国电力公司。公共报告，2012年1月。[6] J.Detemple和M.Rindisbacher，《容忍有限短缺的动态资产负债管理》，保险：数学与经济学，43（2008），第281-294页。[7] J.L.杜布，《测量理论》，第143卷《数学研究生教材》，斯普林格·维拉格，纽约，1994年。[8] N.El Karoui，M.Jeanblanc和V.Lacoste，《美国资本担保下的最优投资组合管理》，经济动态与控制杂志，29（2005），第449-468页。[9] H.F–ollmer和P.Leucert，《分位数对冲，金融与随机》，3（1999），第251-273页。[10] H.F–ollmer和P.Leuert，《有效对冲：成本与短缺风险，金融与随机》，4（2000），第117-146页。[11] H.F¨ollmer和A.Schied，《随机金融》，德格鲁伊特，柏林，2002年。[12] A.Gundel和S.Weber，《不完全市场下风险有限的鲁棒效用最大化，随机过程及其应用》，117（2007），第1663-1688页。[13] D.Kramkov和W.Schachermayer，《不完全市场中效用函数的渐近弹性和最优投资》，应用概率年鉴，9（1999），第904-950页。[14] L.Martellini和V.Milhau，《基金比率约束下的动态分配决策》，养老金经济与金融杂志，11（2012），第549页。[15] J.H.Van Binsbergen和M.W.Brandt，《资产负债管理中的最优资产配置》，技术代表，国家经济研究局，2007年。