最小二乘蒙特卡罗回归后期估计的快速收敛性

已经讨论了一些例子，这些例子有助于更好地理解现在回归和以后回归的区别。概述了两种估计器的估计方法，并规定了每种估计器的回归误差。结果表明，在以后的回归中，所涉及的回归是非标准的，因为回归误差与近似误差相对应，近似误差在极限内消失。相比之下，regression Now估计的回归误差包含一个近似值和一个投影误差。虽然近似误差在极限范围内消失，但投影误差并未消除。这导致了“现在回归”和“以后回归”估计的收敛速度不同。目前的文献讨论了非参数环境下回归Now估计的收敛速度。本文证明了后回归的问题描述不是非参数的。这使得在用Sieve解决的非参数问题中，放宽了通常必要的条件。此外，还指出，非参数问题规格也可能适用于回归Now估计，这同样允许较弱的条件。基于分段线性函数构造了一个特定的基础，并且可以构造回归后收敛，从而使其收敛速度比更常用的回归估计更快。致谢作者感谢第七届单身金融协会世界大会、2012年Netspar养老金日和2013年AFMATH大会与会者的宝贵意见。此外，作者还要感谢Tobias Herwig、Deepak Pandey和Christian Brünger的讨论和评论。附录A引理3.1的证明。

我们有NElatK（N）TElatK（N）-IK（N）\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'F=K（N）Xj=1K（N）X`=1~ANNXn=1elatj（AT（zn））elat`（AT（zn））-E)Phelatj（AT（zn））elat`（AT（zn））i！因此，E<<P>>>>NElatK（N）>>TElatK（N）-IK（N）\'\'\'\'\'\'\'\'\'F,=NK（N）Xj=1K（N）X`=1Var)Phelatj（AT（Z））elat`（AT（Z））i≤NK（N）Xj=1K（N）X`=1EP·elaj（AT（Z））ela`（AT（Z））,=o（1）。现在，（3.3）后面是马尔可夫不等式。因为IK（N）是单位矩阵，我们有：λminuNElatK（N）\'\'TElatK（N）\'-1=λminuNElatK（N）`TElatK（N）-IK（N）¨。现在的结果来自这样一个事实：矩阵的最小特征值在其Frobenius范数上是有界的，因此（3.3）意味着（3.4）。引理3.2的证明。用经验误差的标准表示法——^αlatK-αlatK■对于最小二乘估计，可以得出^αlatK-αlatK'=uElatK'TElatK'-1拉塔克。BK（N）=u（1/N）elatik（N）\'\'TElatK（N）\'cal error^αlatK（N）-αlatK（N）=B-1K（N）奈拉特（N）`TaK（N）T.然后^α拉特（N）-αlatK（N）`T^αlatK（N）-αlatK（N）\'=NaK（N）T\'TElatK（N）B-1K（N）B-1K（N）Eltak（N）`TaK（N）T≤N-λmax-B-1K（N）、aK（N）T’TElatK（N）eltak（N）’TaK（N）T（A.1），其中λmax（A）表示矩阵A的最大特征值。注意，通过假设3.2NEP·aK（N）T’≤NsEP·aK（N）T（AT（Z））,sEPelatK（N）,TelatK（N）,，（A.2），其中我们使用了柯西-施瓦兹不等式。

使用假设3.1和条件（3.2），我们从（A.2）E ~P·aK（N）T\'TElatK（N）eltak（N）\'TaK（N）T,=o─K（N）得到-γlat×。根据马尔可夫不等式，它遵循nak（N）T'TElatK（N）eltak（N）'TaK（N）T=o'P'K（N）-γlat×。自λmaxB-1K（N）\'=、λmin、BK（N）、-方程式（3.4）表示λmaxB-1K（N）\'）=O﹪P（1）。把所有的东西放在一起，我们得到（A.1）确实是oPK（N）-γlat×。引理3.4的证明。用经验误差的标准表示法——^αnowK-αnowK■对于最小二乘估计，它的结论是^αnowK-αnowKcEnowKcTEnowK'-1、EnowK、T（aK0，T+p0，T）。BK（N）=u（1/N）EnowK（N）\'TEnowK（N）^经验误差αnowK（N）-αnowK（N）=B-1K（N）N、EnowK（N）、Tp0、t+aK（N）0、t'。那么——^αnowK（N）-αnowK（N）×T^αnowK（N）-αnowK（N）×N=NaK（N）0，t+p0，t\'TEnowK（N）B-1K（N）B-1K（N）EnowK（N）、TaK（N）0，t+p0，t'≤N-λmax-B-1K（N）、aK（N）0，t+p0，t’TEnowK（N）（EnowK（N））TaK（N）0，t+p0，t'，其中λmax（A）表示矩阵A的最大特征值。根据假设3.4，我们有一个∧P·aK（N）0，t+p0，t’TEnowK（N）（EnowK（N））TaK（N）0，t+p0，t'184;=NE'P·aK（N）0，t（At（Z））+p0，t（At''。（A.3）现在，请注意EPhp0，t（AT（Z））、enowK（N）、TenowK（N）i=EPhEPhp0，t（AT（Z））、enowK（N）、TenowK（N）’AT（Z）ii=EPhE Php0，t（AT（Z））、t（AT（Z）ienowK（N）、TenowK（N）i=σK（N）。此外，sinceE~P[p0，t（AT（Z））|AT（Z）]=0和sinceaK（N）0，t=P∞`=K（N）+1α现在是\'enow\'（At（Z）），这意味着EP[aK（N）0，t（At（Z））| At（Z）]=aK（N）0，t（At（Z）），我们得到了PhaK（N）0，t（At（Z））p0，t（At（Z）），enowK（N），TenowK（N）i=EPhE P.p0，t（At（Z））| At（Z）·aK（N）0，t（At（Z）），eno（N）wki=0。因此，（A.3）=NEP·aK（N）0，t（At（Z））enowK（N）、TenowK（N）,+σK（N）N≤在这里我们使用了柯西-施瓦兹不等式。利用假设3.3和（3.7），我们得到了（A.3）iso-K（N）-γ现在是+O（K（N）/N）。剩下的步骤现在与定理3的证明相同。1.引理的证明4.1。让我们来看看密度。

n分钟∈Df（u）>0且m:=maxu∈Df（u）<∞. 我们分别估算了系数α0k和α1kbygT（ck）/pk和gt（ck）/C1k。通过一阶泰勒展开式，用拉格朗日形式的余项，即gT（u）=gT（ck）+gT（ck）（u）表示-ck）+gT（ξ）（u）-ck），ξ∈[u，ck]，我们得到了pkα0k=kep<gT（AT（Z））1k（AT（Z））=KZbk+1bkugT（ck）+gT（ck）（u）-ck）+gT（ξ）（u）-k）f（u）du=gT（ck）+KZbk+1bkgT（ξ）（u）-ck）f（u）du和c1kα1k=C1kEPlbgT（AT（Z））（AT（Z）-ck）1k（AT（Z））·=C1kZbk+1bkugT（ck）+gT（ck）（u）-ck）+gT（ξ）（u）-ck）¨（u）-ck）f（u）du=gT（ck）+C1kZbk+1bkgT（ξ）（u）-ck）f（u）du。以下界限将有助于证明M的其余部分≤（bk+1）-（bk）≤K m.（A.4）它们来源于这样一个事实：定义1/K=Rbk+1bkf（u）段和微不足道的不等式m（bk+1）-（bk）≤Rbk+1bkf（u）du≤ M（bk+1）-bk）。

Moreovermax1≤K≤KC1k=min1≤K≤kep[1k（AT（Z））（AT（Z）-ck）]≤m（bk+1）-（bk）≤12（K M）M，（A.5），其中第二个不等式来自（A.4），第一个不等式来自事实P[1k（AT（Z））（AT（Z）-ck）]=Zbk+1bk（u-ck）f（u）du≥mZbk+1bk（u-ck）du=m[（bk+1-（ck）-（bk）-ck）]≥m（bk+1）-bk），因为（bk+1）-（ck）-（bk）-ck）作为ck的函数，在ck=（bk+1+bk）/2时最小化。对于近似误差的第四个时刻，我们现在用B:=supu获得∈D’gT（u）’E’Ph’gT（在（Z）处）-gKT（AT（Z））、i=EP“~AgT（AT（Z））-KXk=1（α0ke0k（AT（Z））+α1ke1k（AT（Z））#=EP“~AKXk=1gT（在（Z））处）-α0kpK-α1kC1k（AT（Z）-ck）`k（AT（Z））#=EP“KXk=1gT（在（Z）处）-α0kpK-α1kC1k（AT（Z）-ck）`k（AT（Z））#=KXk=1Zbk+1bkugT（u）-gT（ck）-总督察（ck）（u）-（ck）-KZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv-C1kuZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv¨（u）-ck）f（u）du≤27KXk=1uZbk+1bkugT（ξ）（u）-ck）f（u）du+Zbk+1bkuKZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv¨f（u）du+Zbk+1bk~AC1kuZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv¨（u）-ck）！f（u）du¨=27KXk=1uZbk+1bkgT（ξ）（u）-ck）f（u）du+KZbk+1bkuZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv¨f（u）du+C1kZbkbkuZbk+1bkgT（ξ）（v）-ck）f（v）dv¨（u）-ck）f（u）du¨≤KuKBmax1≤K≤K（bk+1-bk）+KKBumax1≤K≤K（bk+1-bk）¨+Kmax1≤K≤K、C1k、Bumax1≤K≤K（bk+1-bk）¨最大值1≤K≤K（bk+1-bk）¨≤·B·mK+KMKm·B·KMKm=OuK，我们使用了gT（ck）+gT（ck）（u-ck）对应于t（u）在ck周围的一阶泰勒展开式。第一个不等式来源于Loève\'scr-不等式，第三个不等式来源于（A.4）和（A.5）。引理4.1紧随其后。引理4.2的证明。LetmandMas在引理4.1的证明中。让bk和bk+1进入[a，a]，bk<bk+1，然后让ck进入∈[bk，bk+1]。然后是ZBK+1bk（u-ck）f（u）du≤ MZbk+1bk（u-ck）du≤ M（bk+1）-bk）。此外，从引理4.1的证明可知，zbk+1bk（u-ck）f（u）du≥m（bk+1）-bk）。因此RBK+1bk（美国）-ck）f（u）duRbk+1bk（u）-ck）f（u）du'≤M（bk+1）-bk）×m（bk+1）-bk）=C（bk+1-bk），其中C:=M/（M/12）。利用（A.4）中的左手不等式，我们得到RBK+1bk（u-ck）f（u）duRbk+1bk（u）-ck）f（u）du'≤C·M·K。参考文献Belomestny，D.（2011年）。

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