最小二乘蒙特卡罗回归后期估计的快速收敛性

现在，我们将介绍Thereess Later方法，并讨论与Regress now方法的差异。回想一下，我们假设x=gT（AT（Z））是从dd[0，T]toR\'映射的已知（可测量）函数，以及从r`toR\'映射的已知Borel可测量函数。下面的例子将说明标准的含义。也可将其与第2.1节中的对应项进行比较。例2.6。（欧洲电话与回归后）莱茨比一维和考虑anEuropean电话。然后x=（Z（T）-K） +，这里是执行价。那么，Xdoes只依赖于nz（T）。因此，我们可以对每个函数f取（f）=f（T）∈D[0，T]，因此`=1。此外，gT由gT（x）=（x）给出-K）+。例2.7。（欧洲篮子选项，稍后进行回归）考虑D维EuroATf=Pdi=1fiTf∈D[0，T]，因此`=1。与示例2.3比较，其中我们得到了d。此外，gT再次由gT（x）=（x）给出-K）+K为执行价。例2.8。（后面带有回归的亚洲期权）这与示例2.1相对应。为了读者的方便，并将其与示例2.4进行对比，我们在这里重复。LetZbe一维andX=“RTZ（u）du”-K×+，即执行价。然后就只能在RTZ（u）du上花费。因此，对于每个函数f，AT（f）=RTf（u）du∈D[0，T]，因此`=1。与示例2.4进行比较，其中s=2。同样，我们有gT（x）=（x-K）+。例2.9。（轻度路径依赖选项，稍后回归）如例2.5所示。对于每一个函数f，n（f）=（f（u），f（T∈D[0，T]，因此`=2。回想一下，在例2.5中，我们有s=1。以上示例说明了应用于后回归方法的符号。它们还表明，现在倒退和以后倒退之间可能存在根本性的区别。正如引言中已经提到的，与以后的回归相比，现在回归中要近似的函数在性质上可能有所不同。

回想一下，在现在的回归中，未知函数g0，t（At（Z））是近似的，而在后来的回归中，已知函数gt（At（Z））是最初感兴趣的。虽然现在倒退和以后倒退的最终目标都是不同的。如例2.7、2.8、2.9及其“立即回归”对应项所示，在相同的问题设置下，待近似函数的维数可能在“立即回归”和“稍后回归”之间有所不同。待逼近函数的维数可能是选择现在回归和以后回归的一个决策标准。在第3节中，我们研究了两种估计量的收敛速度，并为使用回归后的估计量提供了有力的论据。假设支付函数的平方可积性，这意味着∈L-R`，B（R`），帕特（Z）。因此，根据与第2.1节相同的论点，X=gT（AT（Z））=∞Xk=1αlatkelatk（AT（Z）），其中(c)elaka∞k=1是L~R`，B（R`），PAT（Z）的可数正交基。请注意，与“立即回归”方法相比，byconstruction的投影误差为零。αlatk=EPhX elak（AT（Z））i给出的系数αlatkare。在回归方法中，我们使用筛子和近似值=∞Xk=1αLatkeLatkB通过一定数量的回归系数，即gKT=KXk=1αlatkelatk=αlatK\'TelatK，其中αlatK=（αlat，…，αlatK）TandelatK=（elat，…，elatK）T.定义通常由aKT得出的近似误差Aktas:=gT-gKTwe获得表达式x=gKT（AT（Z））+aKT（AT（Z）），（2.2），如前所述，该表达式不包含投影误差。还要注意的是，EP英镑gKT（AT（Z））aKT（AT（Z））·=0。需要再次强调的是，近似误差收敛到零→∞inL。对于回归，现在使用给定（模拟）sampleNx、ATz等的筛子，xN，ATzNgKTprojection“导致^gKT=^αlatK^TelatK，αlatK=uElatK^-1 LatK\'TX，X=（X，…，xN）TElatKN×KnthelatKATznn=，N

注意，^αlatk对应于通常的最小二乘估计量，它是从时间T的K个基函数的x回归中得到的。3使用筛子后回归的收敛速度在本节中，我们推导了使用筛子后回归的收敛速度，并对使用筛子后回归的收敛速度进行了评论。我们从回归估计量的分析开始。我们的证明方法遵循Newey（1997）。它的陈述部分遵循汉森诺恩的观点。我们在Newey（1997）的假设3中举例说明了这一点。d=（不要与我们在这里用于Z维度的d相混淆）的假设如下所示，在回归之后，有γ>0，α板条。t、 好的∈D’gT（x）-gKT（x）\'\'\'\'\'\'=supx∈燃气轮机（x）-αlatK\'TelatK（x）\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'=O（K-γlat）（3.1）作为K→∞, 其中D是gT的域。请注意，条件（3.1）独立于概率度量P。从非参数的角度来看，这是完全有意义的，因为如果它是满的，收敛率知道P，因为它是模拟中使用的度量，并且由用户控制。因此，（3.1）要求Gtis有界或非紧，除非Gtis在LatK的跨度内。在美国期权定价的背景下，Stentoft（2004）通过明确忽略分布的远内和远外尾部来规避这个问题。尽管这在美式期权的背景下是一个合理的假设，但在其他应用领域，在整个领域获得结果肯定是受欢迎的。如我们所知，引脚3.1。有γ板条>0，α板条。t、 rEPhgT（在（Z）处）-（αlatK）TelatK（AT（Z））、i=sZR``gT（u）-（αlatK）TelatK（u）、dPAT（Z）（u）=sZR`aKT（u）dPAT（Z）（u）=O K-γlat×。请注意，假设3.1并不要求GT是有界的，也不要求它的域是isO-K-右侧的γlatc项与P无关。

如果条件（3.2）和假设3.1和3.2成立，我们有^αlatK（N）-αlatK（N）`T^αlatK（N）-αlatK（N）\'=oPK（N）-γlat×。到弗罗贝尼乌斯范数中的单位矩阵。引理3.2考虑了估计系数估计误差的收敛性。现在我们给出上述定理的证明。定理3.1的证明。首先，请注意假设3.1意味着P·ugT（在（Z）处）-αlatK'TelatK（AT（Z））,≤好的-Cauchy-Schwarz和thatE-Phelatk（AT（Z））gT（AT（Z））的γlat*（3.5）-（αlatK）TelatK（AT（Z））\'i=0，k=1，。。。，K因此，E~P·gT（AT（Z））-^gK（N）T（AT（Z））,=E)P·ugT（AT（Z））-αlatK（N）\'\'TelatK（N）（AT（Z））,+E!P·μαlatK（N）\'\'TelatK（N）（AT（Z））-^gK（N）T（AT（Z））,≤ 好的（N）-γlatc+^αlatK（N）-αlatK（N）`T^αlatK（N）-αlatK（N）\'=O~K（N）-γlat、+oPK（N）-γlat■=OP（K（N）-γlat），（3.6），其中不等式来自（3.5），第二等式来自引理3.2。一个近似误差e~P·ugT（AT（Z））-αlatK（N）`TelatK（N）（AT（Z））,，以及一个估计误差P·αlatK（N）`TelatK（N）（AT（Z））-^gK（N）T（AT（Z））,。值得再次强调的是，对于以后的回归，两者都完全由近似误差的速度和k（N）的增长率驱动。估计误差完全由近似误差的速度和k（N）的增长率驱动，这是因为方程（2.2）描述了一个非标准回归问题。事实上，随着噪声项方差的增加，即aT（aT（Z））收敛到零。我们将在本节末尾对此进行进一步评论。现在让我们用筛子讨论回归的收敛速度。我们在上面讨论过，在非参数环境中，GTAT是由较弱的人提出的。现在使用筛子的情况（略有）不同。这是我们感兴趣的，没有给出。

尽管g0，tdepends仅在（Z）处，将ZUP生成的信息扩展到时间t，但评估某些属性的问题可能相当复杂，因此人们倾向于将该问题视为非参数问题，即使已知。在这种情况下，收敛速度和获得这些速度所需的条件可以从Newey（1997）的定理1中获得。g0，我们在上面用筛子做了回归分析。条款3.1和条件（3.2）。假设3.3。现在有γ>0，αnowk。t、 rEPhg0，t（在（Z）处）-（αnowK）TenowK（At（Z））、i=sZRs、g0、t（u）-（αnowK）TenowK（u）、dPAt（Z）（u）=sZRsaK0，t（u）dPAt（Z）（u）=O-现在。我们还假设假设3.4。（（X，At（Z）），（XN，At（ZN））是i.i.d.和Ph值p0，t（At（Z））、|At（Z）i=σ。介绍网络)hnow:N×N→R by＠hnow（N，K）：=NE＠P·enowK（At（Z））、TenowK（At（Z））,。我们现在可以陈述定理3.2。让假设3.3和3.4得到满足。此外，假设有一个序列K:N→（hnow，N）→0作为N→∞. （3.7）然后是P·g0，t（At（Z））-^gK（N）0，t（At（Z））,=OPuK（N）N+K（N）-现在。（3.8）结果与Newey（1997）中的定理1一致，但需要较弱的假设；（2004）作为收敛速度，K（N）/N+K（N）-现在，在（3.8）中，γ并不独立于P。注意，在回归估计的收敛速度中出现了termK（N）/N。该项不出现在回归后期估计的收敛速度中。我们将在本节末尾进一步解释这种差异。定理3.2的证明基于以下两个引理。第一个引理与引理3.1非常相似。它的证明遵循引理3.1的证明，因此省略。第二个引理与后来回归的引理不同，它解释了为什么我们得到了termK（N）/Nin方程（3.8）。其证据见附录。引理3.3。

如果条件（3.7）和假设3.4成立，我们有“N”EnowK（N）、TEnowK（N）-IK（N）\'\'\'\'\'\'\'\'\'F=oP（1），其中| | | | | | | |又是弗罗贝尼乌斯规范。此外，λminuN~EnowK（N）、TEnowK（N）~P→其中λmin（A）再次表示矩阵A的最小特征值。引理3.4。如果条件（3.7）和假设3.3和3.4成立，我们有αnowK（N）-αnowK（N）×T^αnowK（N）-αnowK（N）、=OPuK（N）N¨+OP¨K（N）-现在。现在我们给出上述定理的证明。定理3.2的证明。与定理3.1的证明类似，首先观察假设3.3简化了P·g0，t（At（Z））-αnowK、TenowK（At（Z））,≤好的-γnow（3.9）作者：柯西-施瓦兹。此外，EPhenowk（At（Z））g0，t（At（Z））-αnowK、TenowK（At（Z））i=0，k=1，。。。，K因此，E~P·g0，t（At（Z））-^gK（N）0，t（At（Z））,=E ~P·αnowK（N）、TenowK（N）（At（Z））-^gK（N）0，t（At（Z））,+E)P·g0，t（At（Z））-（αnowK（N））TelatK（N）（At（Z））,≤^αnowK（n）-αnowK（n）×T^αnowK（n）-αnowK（N）、+O（N）-γnow=OPuK（N）N¨+O¨K（N）-γ现在是（3.10），其中不等式来自（3.9），第二等式来自引理3.4。至于后来的回归（3.10）中的第一个等式说明，现在的回归也会受到两个误差的影响：近似误差EP·g0，t（At（Z））-（αnowK（N））TelatK（N）（At（Z））,，以及一个估计误差eP·αnowK（N）、TenowK（N）（At（Z））-^gK（N）0，t（At（Z））,。注意，对于以后的回归，近似误差也由近似误差的速度和k（N）的增长率驱动。然而，还要注意与后面的回归相比的差异：估计误差是由k（N）和近似误差的比率驱动的。这种差异也可以从以下方程式中看出，其中我们省略了上标now和lat（αK）-αK）=（ETKEK）-1ETK（X）-EKαK）=（ETKEK）-1ETK（（X）-Eα）+（Eα-EKαK）=（ETKEK）-1ETK（p+aK），其中是一个包含所有基函数的有限维矩阵，α是后面的真应力。

然而，现在的回归不等于零。此外，无论是现在回归还是以后回归，近似误差的方差都收敛到零。然而，从附录A中引理3.4的证明中可以看出，正是投影误差导致了现在回归中的估计误差。由于后回归的均方误差中没有termK（N）/Nin，因此后回归估计可能比后回归估计收敛得更快。我们故意在这里“潜在地”陈述，因为最终收敛速度取决于γnowγ在确定γnow和γlat中的重要作用。然而，很明显，回归NowN-1g0，tapproximation错误消失，剩下rateN-1.相反，如果条件（3.2）充满K（N），则在回归后期∝n对于某些0<a<1，则回归的收敛速度随后等于n-aγlat.我们可以看到，对于a和γlatitis的正确组合，可能实现比n更快的收敛速度-1.第4节将提供一个示例。最后，我们评论了一个事实，即所讨论的收敛速度与稍微不同的问题有关。现在回归估计的收敛速度指的是对条件期望函数g0，t的收敛速度。相反，所讨论的后回归估计的收敛速度指的是对支付函数x的收敛速度。正如在《后回归》第2.2节中所讨论的，我们通过将条件期望算子应用于估计的支付函数^gK（N）T来实现对条件期望函数的近似。因此，只要回归后估值器的条件期望与条件期望x的条件期望之比，即g0，t（At（Z））由回归后的估计量对X的收敛性表示。

更明确地说，我们有eP·g0，t（At（Z））-E)Ph^gK（N）T（AT（Z））\'Fti,=E)P·E)PhX-在（184）英尺≤ EP·EP·X-^gK（N）T（AT（Z））\'Ft,-^gK（N）T（AT（Z））,，其中第一个不等式来自条件期望的Jensen不等式，最后一个等式使用期望的投影定律。4个正交分段线性函数如Sieves在这一节中，我们证明了回归的均方收敛速度比n快-1.为了在一个非常简单的设置中提出这项索赔，并避免与我们的索赔无关的技术问题，我们考虑一个紧凑的间隔。收敛性这里我们考虑一个由分段线性函数组成的基，对于这个基，为了建立收敛速度，构造和分析都很简单。此外，重要的是，建议的基础是通过正交构造，并且可以轻松设置。此外，定理3.1的结果可以显式地计算分段线性函数，因为导出的γLat适用于一大类函数。现在，我们用分段线性函数作为筛选，概述了回归后的估计。LetD=[a，a] R注意到G T（在（Z）处）的支撑。基于非重叠线性函数构造了一个正交基函数（D，B（D），~PAT（Z））。我们需要以下假设来构建我们的基本功能消费4.1。gT（AT（Z））有一个密度w.r.t.勒贝格测度，它是D上的一个正连续函数。然后，域被切分为kintervals，[bk，bk+1），k=，…，k+1，这样pr（bk≤ 在（Z）<bk+1）=1/K时，k=，。。。，K.假设4.1确保作为截断参数Kgrows，间隔可以任意小，并覆盖每个概率1/K。定义K非重叠指示器功能LATK（u）：=（1如果u∈[bk，bk+1）0 otherwisefork=，…，K。通过构造，指示函数是正交的。

在每个区间上，现在定义了两个基函数：elat0k（u）：=C0klatk（u）elat1k（u）：=C1klatk（u）（u）-ck），其中选择C0k、C1k和ck，使得E0k（AT（Z））和1j（AT（Z））是正交的k、 j.因此，C0k=pK，C1k=1/qEP.latk（AT（Z））（AT（Z）-ck）·和ck=kep[latk（AT（Z））AT（Z）]。通过构造，我们得到以下正交性结果Phelat0k（AT（Z））elat0j（AT（Z））i=δk jPhelat1k（AT（Z））elat1j（AT（Z））i=δk jPhelat0k（AT（Z））elat1j（AT（Z））i=0，其中δk j表示Kronecker三角洲。假设4.2。GT在（a，a）上是两次连续可微的，并且存在aB<∞苏普∈（a，a）‘gT（u）’≤引理4.1。如果假设4.1和4.2成立，确定性近似误差为K→∞;rEPhgT（在（Z）处）-gKT（AT（Z））、i=O（K-4).证据见附录A。因此，假设3.1满足γlat=4。对于方程（3.2）我们获得的方程（3.2）我们获得的方程（3.2）我们获得的方程（3.2）我们获得的（3.2）我们获得的（3.2）我们获得的（3.2）我们获得的（N，K（N，K（N）N）N（N，K（N）N）N（N）K（N）N）N）N（N）N）N（N）N）N（N）K（N）N）K（N）N）N）N）N（N（N）X）X（N）X（N）X）X（N）X）X（N）X）的=1（N）K）K（N）j）K（N）j）X=1（N）X=1（N）K（N）的=1（N）的（N）的（N）的（N）的=1）的）的）的=1（N（N）的（N）的（N）的（N）的在（Z）处+2K（N）1latk（在（Z）处）C1k（在（Z）处）-ck）+C1klatk（AT（Z））（AT（Z）-ck）i=NK（N）Xk=1K（N）+2K（N）+C1kEPhlatk（AT（Z））（AT（Z）-ck）i'≤3k（N）N+K（N）Nmaxk在（Z）处，在（Z）处-ck）·EP￥latk（AT（Z））（AT（Z）-ck）℃. （4.1）假设4.1确保每个任意间隔上有足够的变化，使得（4.1）中的分离器大于零。此外，它确保方程（4.1）最后一行中的最后一项不会比方程（4.1）最后一行中的第一项增长更快。此外，还可以确定具体的增长率。引理4.2。如果假设4.1得到满足，则以下结果保持SMAX1≤K≤K（N）EP.latk（AT（Z））（AT（Z）-ck）·EP￥latk（AT（Z））（AT（Z）-ck）℃≤O（K（N））。证据

参见附录A。因此，通过结合引理4.2和方程式（4.1）~hlat（N，K（N））≤OuK（N）N。~hlat（N，K（N））的充分条件→0 asN→ ∞这是K（N）∝ Na，定理3.1中的<1/2条件（3.2）成立。现在，定理3.1是适用的，并给出了均方P·gT（AT（Z））中的收敛率-^gK（N）T（AT（Z））,=O＠P（K（N）-4). （4.2）图1：用K到30回归后期收敛图。我们立即看到叉子（N）∝ Na和Choosing仅略小于1/2 weN-2.N的蒙特卡罗速率-1.我们现在来看看回归后的估计器，它使用正交分段线性函数作为特定基础随机变量的筛选。布朗运动我们认为布朗运动W（T）是函数gt（W（T））的基础，函数gt（W（T））满足方程（4.2）的必要条件。我们考虑w（T）Kbk，bk+1，k=，KK|w|D=|zPWT∈D~nw=exp-wTp2πt然后，再次选择k（N）∝ 只有略小于1/2的Na产生的均方误差在概率上几乎以N的速率收敛-2.图1给出了K到30和N=100 K2时X=tanh（W（10））的收敛性。01.我们看到，我们已经可以在有限样本中实现快速收敛。图2给出了支付函数的均方误差，其中基函数的数量固定为k=5，只有样本量增长到10。这个例子说明，如果只增加样本量，均方误差不会进一步收敛。随着采样误差的增加，基函数的数量也在增加。图2:K=5固定的回归后期收敛图。5结论本文对回归后的估计量进行了讨论，并与目前比较流行的回归后的估计量进行了比较。两种估计器都参考LSMC解决方案。通过几个例子，阐明了“立即回归”和“以后回归”估计器的功能。