最小二乘蒙特卡罗回归后期估计的快速收敛性

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英文标题：
《Fast Convergence of Regress-Later Estimates in Least Squares Monte Carlo》
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作者：
Eric Beutner, Janina Schweizer, Antoon Pelsser
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Many problems in financial engineering involve the estimation of unknown conditional expectations across a time interval. Often Least Squares Monte Carlo techniques are used for the estimation. One method that can be combined with Least Squares Monte Carlo is the \"Regress-Later\" method. Unlike conventional methods where the value function is regressed on a set of basis functions valued at the beginning of the interval, the \"Regress-Later\" method regresses the value function on a set of basis functions valued at the end of the interval. The conditional expectation across the interval is then computed exactly for each basis function. We provide sufficient conditions under which we derive the convergence rate of Regress-Later estimators. Importantly, our results hold on non-compact sets. We show that the Regress-Later method is capable of converging significantly faster than conventional methods and provide an explicit example. Achieving faster convergence speed provides a strong motivation for using Regress-Later methods in estimating conditional expectations across time.
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中文摘要：
金融工程中的许多问题都涉及在一段时间间隔内对未知条件预期的估计。通常使用最小二乘蒙特卡罗技术进行估计。一种可以与最小二乘蒙特卡罗法相结合的方法是“稍后回归”法。与传统方法不同，传统方法是在区间开始时对一组基函数进行回归，而“后回归”方法是在区间结束时对一组基函数进行回归。然后为每个基函数精确计算整个区间的条件期望。我们给出了充分条件，在此条件下我们得到了回归后估计的收敛速度。重要的是，我们的结果适用于非紧集。我们证明了回归后的方法能够比传统方法更快地收敛，并提供了一个明确的例子。实现更快的收敛速度为使用后回归方法估计跨时间的条件期望提供了强大的动力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Fast_Convergence_of_Regress-Later_Estimates_in_Least_Squares_Monte_Carlo.pdf (334.69 KB)

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关键词：最小二乘 蒙特卡罗 蒙特卡 Expectations Conventional

Monte CarloEric BeutnerMaastricht University和Toon Pelssermarastricht University&Netspar&Kleynen ConsultantsJanina SchweizerMaastricht University&Netspare的回归后期估计快速收敛。beutner@maastrichtuniversity.nlMaastricht荷兰马斯特里赫特6200号邮政信箱616号，大学数量经济系和金融系。pelsser@maastrichtuniversity.nlj.schweizer@马斯特里赫特大学。nlarXiv:1309.5274v2[q-fin.CP]2014年4月3日摘要金融工程中的许多问题都涉及对一段时间间隔内未知条件预期的估计。通常使用最小二乘蒙特卡罗技术进行估算。一种可以与最小二乘蒙特卡罗法相结合的方法是“稍后回归”法。与传统方法不同，传统方法是在区间开始时对一组基函数进行回归，而“以后回归”方法是在区间结束时对一组基函数进行回归。然后为每个基函数精确计算整个区间的条件期望。我们提供了充分的条件，在此条件下，我们可以证明回归后期估计的收敛速度。重要的是，我们的结果适用于非紧集。我们证明了回归后的方法能够比传统方法更快地收敛，并提供了一个明确的例子。更快的收敛速度为使用后回归方法估计跨时间的条件期望提供了强大的动力。关键词：最小二乘蒙特卡罗，序列估计，最小二乘回归1简介最小二乘蒙特卡罗（LSMC）技术广泛应用于金融领域，用于估计一段时间内的条件预期。

在LSMC下，利用模拟数据中固有的横截面信息，通过对模拟数据进行最小二乘回归，获得条件期望的近似函数。例如Carriere（1996年）、Broadie和Glasserman（1997年）、Longstaffand Schwartz（2001年）、Tsitsiklis和Van Roy（2001年）、Clement等人（2002年）、Stentoft（2004年）、Glasserman和Yu（2004年）、Egloff等人（2007年）、Belomestny（2011年）、Gerhold（2011年）和Zanger（2013年），他们讨论了LSMC的方法，并将其应用于美国/百慕大期权定价；另见Broadie和Glasserman（1997），他们将基于模拟的方法和动态规划算法应用于美式期权定价。这些论文的共同点是：时间点的值函数>早期时间点的tagainst基函数。Glasserman和Yu（2002）将这种估计条件预期的方法称为“立即回归”。在这里，我们将使用现在回归的表达式。在同一篇论文中，Glasserman和Yu（2002）介绍了另一种方法，他们称之为“以后回归”（在本文中，我们称之为“以后回归”）。在以后的回归中，一个时间点上的值函数是通过LSMC技术用基函数来近似的，这些基函数相对于时间t上可用的信息是可测量的。此外，还选择了回归分析中的基函数，以便精确计算条件期望。然后，通过计算近似函数中包含的基函数，导出timeTvalue函数的条件期望。在这篇文章中，我们将展示回归后的方法与回归现在的技术有根本的不同。但在我们简要回顾一下最近对文学的贡献之前。现在就倒退。

他们比较了系数估计的性质，考虑到估计系数的终止性和较低的协方差矩阵；另见更广泛和更好的估计系数。结果取决于基函数上更严格的条件，因为这些条件是实现鞅性质所必需的。然而，对于许多金融应用来说，可以合理地预期，这种预期涉及到对倒向随机微分方程的估计。他们考虑了后回归算法，并将其与Glasserman和Yu（2002）提出的鞅基函数相结合。他们的实证案例研究表明，与传统的LSMC相比，使用鞅基函数的Regress Later算法在较低的计算量下实现了更好的数值逼近。在这里，我们将进一步阐明回归提供的优势，正如Glasserman和Yu（2002年）、Broadie和Cao（2008年）以及Bender和Steiner（2012年）首次尝试推导回归估计的收敛速度所观察到的那样，我们限制了我们自己的回归与现在的回归有根本不同。首先，因为稍后的回归可以并且确实会使均方误差的收敛速度快于n-1.参见第3节。这是样本量。我们将给出一个例子，其中-1永远不会比n更快收敛-1.我们为两个事实提供解释，即边界-1后者是因为“以后回归”是一个非标准回归问题，因为噪声项的方差收敛到零。

第二，我们要解释的是，与文献中用于回归后估计的典型假设相比，推导回归后估计的收敛速度所需的条件要弱得多；一个例外是赞格（2013）最近的工作。这与以下事实有关：对于文献中现在的回归，而对于以后的回归估计，我们应该明确使用参数假设。因此，我们将很容易地获得nonwe上的值函数的近似值。我们还将给出几个例子，这些例子表明，与以后的回归相比，现在回归中要近似的函数在性质上可能有所不同。此外，我们还解释了在推导假设的收敛速度时应用的非参数假设允许我们通过RegressNow估计在整条实线上逼近值函数，而不仅仅是在紧致区域上。并区分其现在的回归和以后的回归应用。第3节在允许在非紧区间上逼近值函数的条件下，导出了回归后估计的渐近收敛速度。此外，类似的条件也适用于现在回归估计，同时给出了这些条件何时适用于现在回归技术的动机。在本节结束时，我们解释了现在回归和后来回归估计的不同收敛速度。第4节介绍了一种基于分段线性函数的正交基，并推导了用该基进行回归的显式收敛速度。第5节结束。附录中给出了所有辅助结果的证明。2.现在回归和以后回归的数学模型如引言中所述，现在回归和以后回归是基于模拟的技术，用于估计条件期望。

它们通常与系列或筛网结合；有关系列和筛估计的概述，请参阅Chen（2007）。在本节中，我们将描述整个过程中使用的数学模型，并解释该模型中的RegressionNow和Regression Later方法。我们从数学模型开始。LetZ={Z（t），≤ T≤ T}be ad dimensionalstochastic process with d∈定义在一些经过过滤的概率空间上(Ohm,F，{Ft}0≤T≤T、 ~P）。我们表示由zby{Ft}0生成的过滤≤T≤T.在第2.1小节之前，测量为选择Pp提供了一些概率Pcal模型。zgiven-byt的路径z（·，ω）→ Z（t，ω），t∈假设[0，T]位于由[0，T]toRd映射而成的函数空间dd[0，T]中，我们认为它是一个随机函数。如果d=1，我们只写了[0，T]和r。我们假设payoffXisFT是可测的，并且对于样本空间中的每个ωOhm或有索赔的支付函数（ω）可以写成gt（AT（Z（·ω）），其中是一个已知的（可测量的）函数映射，从DD[0，T]到GT，GT是一个已知的Borel可测量函数，它精确地反映了基础过程随机路径的许多特征。这是为了我们以后的目的，我们在这里用一个例子来说明。例2.1。（亚式期权）莱茨贝一维andX=（RTZ（u）du-K） +，这里是执行价。那就只能依靠RTZ（u）du了。因此，AT（f）=RTf（u）duforevery函数f∈D[0，T]，因此`=1。在整条路上。第2.1节和第2.2节给出了进一步的例子，强调了符号背后的想法。在相关文献中，限制对平方可积随机变量的关注已成为标准；（参见Stentoft，2004年；Bergstrom，1985年；Madan and Milne，1994年；Longstaffand Schwartz，2001年）。

我们在这里也这么做，那就是我们假设∈ 其中B（R`）表示R`上的Borelσ-代数，~PAT（Z）表示映射在（Z）上产生的R`上的概率测度。回想一下，L~R`，B（R`），PAT（Z）是一个Hilbert空间，其内积为Zr`h（u）h（u）dPAT（Z）（u）=EP[h（AT（Z））h（AT（Z））]和normsZR`h（u）h（u）dPAT（Z）（u）=qEP[h（AT（AT（Z））]。EPX | Ft | PP=QQEQ[D（t，t）X | Ft]，其中D（t，t）是时段t的贴现因子，对应于时段X。作为eP[X | Ft]重要性的另一个例子，以P=P为例，其中pePX | FtL-X可测量的w.r.t.∑-场Ft。在第3节和第4节中，我们将使用并将其保留为未指定值。现在使用筛子进行回归和以后使用筛子进行回归是两种不同的基于模拟的方法，用于获得X的时间值的近似值。我们将在以下小节中概述这两种方法。2.1立即回归我们首先描述目前比较流行的立即回归方法。为了描述现在无息方法，我们假设感兴趣的量EP[X | Ft]可以写成g0，t在（Z），=EP[X | Ft]，0≤t<t，其中是从dd[0，t]tors和g0得到的已知（可测）函数映射，是从rstor得到的未知Borel可测函数。这里，Dd[0，t]是Dd[0，t]对区间[0，t]的限制。备注2.1。符号G0，t（At（Z））用于强调函数G0，是基于模拟的模型，因为模拟由建模者控制。下面我们举几个例子来说明符号和概念。在这些例子中，我们采用P=qt来强调条件预期的定价方面，为了方便起见，我们假设贴现系数等于1。ZX=ZT-K+KEQ[X | Ft]仅取决于z（t）。因此，我们可以对每个函数f取（f）=f（t）∈ D[0，t]，因此s=1。例2.3。

（带回归的欧式篮子期权）考虑X型的ad维欧式篮子期权=Pdi=1Zi（T）-K×+，即执行价。一般来说，q[X | Ft]取决于Z（t）=（Z（t），Zd（t）），而不仅仅是onPdi=1Zi（t）。对于每个函数f，则at（f）=f（t）∈Dd[0，t]，因此s=d。我们给出一个例子来说明我们的主张。考虑两个资产Z（t）和Z（t），t=0,1,2，它们在Q下独立，Q（Z（0）=10）=1；Q（Z（1）=12）=Q（Z（1）=6）=0.5；Q（Z（2）=14 | Z（1）=12）=Q（Z（2）=8 | Z（1）=12）=0.5，Q（Z（2）=6 | Z（1）=6）=1，Q（Z（0）=10）=1；Q（Z（1）=12）=Q（Z（1）=6）=0.5；Q（Z（2）=14 | Z（1）=12）=Q（Z（2）=8 | Z（1）=12）=0.5；Q（Z（2）=9 | Z（1）=6）=Q（Z（2）=1 | Z（1）=6）=0.5。TakeX=（Z（2）+Z（2）-K） +K=10。我们对条件期望attimet=1感兴趣，即EQ[X | F]。对于Z（1）+Z（1）=18的情况，我们得到以下结果：q[X | Z（1）=12，Z（1）=6]=6.25和等式[X | Z（1）=6，Z（1）=12]=7。我们立即看到，知道sumZ（1）+Z（1）不足以确定时间t=1时的条件期望，因为对于Z（1）+Z（1）=18，条件期望可以是6.25或7。例2.4。（带现在回归的亚式期权）LetZbe一维andX=-RTZ（u）du-K×+，这又是执行价。那么eq[X | Ft]只依赖于rtz（u）duandZ（t）。因此，对于每个函数f，At（f）=Rtf（u）du，f（t）∈D[0，t]，因此s=2。例2.5。（带立即回归的轻度路径依赖选项）LetZbe一维，letXbe是Z（u），u<T，和Z（T）的函数，即对于某些函数，X=gT（Z（u），Z（T）），并假设期望等式[X | Ft]仅取决于Z（T）fort<u。然后，对于每个函数，f=f（T）∈D[0，t]，因此s=1。以上示例说明了Regress Now模型使用的符号。

我们将这些现在的例子与第2.2小节中的回归后的例子进行对比。在下文中，我们将描述使用筛子方法进行的立即回归如何估计0，t。描述相当详细，因为我们将在第3节中使用它来解释立即回归和稍后回归的不同收敛率。回想一下，e~P[X | Ft]也是平方可积的ximplies的平方可积性。因此，我们还有g0，t∈L-Rs，B（Rs），PAt（Z）。由于空间l-Rs，B（Rs），~PAt（Z）是可分的，g0可以用一个可数正交基表示∞k=1g0，t=∞Xk=1αnowkenowk；例如，参见Bogachev（2007，推论4.2.2和推论4.3.4）。因为0，t（At（Z））是X的投影，所以系数用αnowk=EP[X enowk（At（Z））]表示。因此，我们有g0，t（At（Z））=∞Xk=1αnowkenowk（At（Z））；（2.1）和往常一样，我们定义了投影误差p0，t（AT（Z））乘以p0，t（AT（Z））：=X-g0，t（At（Z）），这意味着众所周知的表示x=g0，t（At（Z））+p0，t（At（Z））。还要注意，通过构造g0，t（At（Z））和p0，t（At（Z））是正交的，即P＠g0，t（At（Z））p0，t（At（Z））=0。现在回归法试图通过方程（2.1）中的表示来估计未知函数g0，方法是通过生成P下的数据。然而，方程（2.1）涉及通过有限维表示来估计模型的解，随着样本量的增加，不可压缩性增加，从而在极限内产生真实结果。方程式（2.1）这意味着我们用筛子近似g0，tbygK0，t:=KXk=1αnowkenowk=、αnowK、TenowK，其中αnowK=（α，…，αK）t，enowK=、enow，enowK、T和tDenotes转座。

因此，上标表示转置，应该很容易将其与终端timeT区分开来。这会导致近似误差aK0，t为g0，t为aK0，t:=g0，t-注意，通过构造，我们有ePhgK0，t（At（Z））aK0，t（At（Z））i=0。通过定义近似误差AK0，t收敛为零→ ∞inL。此外，我们现在可以写exasx=gK0，t（At（Z））+aK0，t（At（Z））+p0，t（At（Z））。从上一个等式中，我们可以清楚地看到，与gk0，t（At（Z））之间的差异来自两个来源：近似误差和投影误差。现在，给定一个（模拟的）Sizende样本，用“…（x，At（z）），”，（xN，At（zN））、用“样本投影”^gK0估计gK0是很自然的，t=arg-ming∈HKNNXn=1~xn-g（At（zn）），其中HK:=(c)g:Rs→R | g=PKk=1αkenowk，αk∈Ra。因此，我们有^gK0，t=^αnowKcTenowK，和^αnowK=^EnowKcTenowK'-1~EnowK、TX，其中x=（x，…，xN）TandEnowKis anN×Kmatrix，n=，…，n=nowk（At（zn）），N.注意，^αnowk对应于通常的最小二乘估计量，该估计量来自于对时间t时的K个基函数的X的回归。2.2以后的回归在上一节中，我们讨论了现在的回归方法。随后进行回归，以近似感兴趣的数量，即eP[X | Ft]，≤ t<t.近似计算条件期望的时间是精确的。然后，给定X通基函数的线性表示，对这些基函数应用运算符P[·Ft]。该方法利用了期望算子的线性特性。注意，如果支付函数存在可以在条件期望下轻松计算的基函数，则两步方法是有利的。对于P=qthis意味着基函数价格的闭式解必须是现成的。我们在第4节中介绍了一个非常简单但有效的基函数。