随机矩阵在资产波动相关性中的应用

（24）G是一个N×T矩阵，包含（9）中定义的标准化波动率bσi，T的时间序列。为了消除市场模式的影响，这是所有资产的一个共同因素，我们构建了以下回归，bσi，t=αi+βiMt+εi，t，（25），其中αi和βi是股票的特定常数，剩余εi为hεii=0，hεiMi=0。使用上述回归的估计残差来构造相应的相关矩阵C、其特征值λi和特征向量vi。首先，我们发现与之前的市场模式相关的特征值之一为零。我们还观察到，经过适当的重标度后，MarCenkopasur分布下的特征值λi非常接近其原始值λi。为了看到这一点，我们回忆起特征值之和λiis N，即Pλi=N。之前，对于原始相关矩阵C，除最大特征值λN外的特征值之和为（N）- λN）。现在，如果我们均匀地重新缩放新的特征值，使得它们的值为（N）- λN），我们发现∧i（N- λN）/N相当接近λi。我们也可以从原始时间序列的有效方差变化中看到这种重新缩放。我们在附录B中对此进行了详细说明。在去除共同市场因素后，我们发现vi的特征向量分布合理地符合高斯分布。我们在图8中展示了几个特征向量的分布。请注意，本征向量被标准化，使得vTivi=N。在该图中，粗黑线是方差为1的高斯分布。B.行业组和收益特征向量的比较在本节中，我们将波动率相关矩阵的相关特征向量中包含的信息与收益相关矩阵的相关特征向量中包含的信息进行比较。

主要结论是，与相应的收益特征向量相比，本应携带关于市场的真实信息的波动特征向量中，很少有由行业团体主导。这一结果与观察到的结果一致，即在实验室中，工业重量向量的挥发度为Ig。9：（在线彩色）左列显示了收益相关矩阵四个最大特征值的权重向量（27）的分量，不包括市场模式。左栏包含波动率相关矩阵四个最大特征值的权重向量。通过比较IGenvectors 423，我们可以很快观察到，波动率特征向量并不是由单一行业组主导的，无论回报率特征向量如何。我们还指出了在这些特征向量中贡献最大的行业群体。作为回报，特征向量和GICS行业组如下：426-公用事业，425-银行，424-能源，423-房地产。对于波动性特征向量，最大的行业组为：426-房地产，425-公用事业，424-半导体和半导体设备，423-消费者服务。在市场上，要使投资组合的波动风险多样化要困难得多。我们首先在特征向量中估计GICS行业群体的贡献。

然后，我们感谢塞缪尔·巴斯克斯向我们指出了这一点。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●返回对数（λ~i）对数（Ii）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.20 2.00 20.00.0005.005.05（a）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●挥发度（λ~i）对数（Ii）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●.005.05.5 50.0005.005.05（b）图。

10：（在线彩色）面板（a）显示了返回特征向量的行业权重向量（27）的反向参与比，作为对数图中∧离子的函数。垂直虚线显示了特征值λ的位置，在右边有20个特征值。RMT边界外特征值的线性回归参与比的斜率为1.52，如图中的实线所示。面板（b）显示了波动性特征向量的权重向量的逆参与比，作为∧离子对数图的函数。同样，垂直线显示了超过该位置的20个最大特征值。在这种情况下，我们可以看到，与收益相关矩阵相比，只有少数最大特征值具有较大的反向参与率，并且由少数行业集团主导。通过比较行业贡献的反向参与率，我们观察到，相对较少的波动特征向量从特定行业群体获得主导贡献。使用标准化收益的时间序列（3），我们计算相关矩阵（5）。我们遵循第三节中描述的程序。我们发现，收益相关矩阵的75%特征值属于RMT的分析界限。市场的运动掩盖了其组成部分之间的若干相关性[13、14、27]。因此，为了在特征向量中看到行业群的存在，我们使用（25）中讨论的技术消除了市场模式的影响。在经过清理的波动率和收益特征向量中，我们计算了不同行业组的贡献，如下所示。我们使用四位数代码系统对GICS行业集团中的427家公司进行分类。24组通过分类实现。每组都有公司，其中1,2，g=24。每个集团（即na）的公司数量从4家到42家不等。

现在，我们可以定义一个g×N投影矩阵P，它估计每个行业在特征向量中所占的比例[13,14]。投影矩阵中的条目为，Pai=1/naif库存i属于a0组，否则。（26）在P中，a行是一个权重为1/1的向量，所有a组中的公司都是这样。我们还定义了每个特征向量的一个向量u共轭，它的组成部分是后者的四分之一，即ui，j=~vi，j。请注意，在去除市场模式的影响后，~vire表示相关矩阵的特征向量。投影矩阵作用于向量ui，并给出g维权向量ρi：ρi=γiP ui。（27）这里γ是归一化常数，使得Pga=1ρi，a=1。理想情况下，对于市场模式vN，ρn的所有成分应为1/g。在图9中，我们比较了收益率和波动率相关矩阵的四个权重向量。现在我们可以简单地使用逆参与比Ii，Ii=gXa=1ρi，a，（28）的权重向量ρias作为一个单一行业在相应特征向量vi中占主导地位的指标。如果一个投资行业由单一行业主导，那么在权重向量中，所有元素都将为零，不包括一个。在这种情况下，反向参与率为1。然而，如果所有行业团体在一个投资组合中的贡献相等，则反向参与率将为1/g。在图10（a）和图10（b）中，我们在对数图上绘制了收益率和波动率相关矩阵的权重向量的反向参与率。x轴是特征值λi，我们从标准化收益率和波动率时间序列中去除市场模式的影响后得到。灰色区域表示在这两种情况下由RMTlimits（13）限定的区域。在[13,14]中，作者研究了1000只股票的回报相关矩阵，并观察到与20个最大特征相关的特征向量在一年的时间尺度上几乎是稳定的。

然而，当一个人移动到更小的特征值时，特征向量随着时间变得越来越不稳定。在图10（a）和图10（b）中，我们绘制了垂直虚线来指示位置，超过该位置，二十个最大特征值将下降。现在，我们集中研究这二十个最大的特征向量。回报率和波动率特征向量的行业权重结构明显不同。如图10（a）所示，在收益相关矩阵的情况下，最大特征值具有较大的反向参与率，且仅由少数行业团体主导。事实上，在RMT界限之外，逆参与比似乎遵循幂律，作为指数为1.52的特征值的函数。在RMT范围内，反向参与比为1/g。这表明所有行业群体都随机参与这些特征向量。相应地，在图10（b）中波动率相关矩阵的情况下，与收益率相关矩阵相比，反向参与率较小的特征向量数量相当大。为了便于比较，让我们设定一个基准值，即反向参与比I=1/12。这是一个假设权重向量的反向参与率，因此它包含来自一半行业组的相等贡献，而不包含来自其他行业组的贡献。在20个最大波动率特征向量中，有16个特征向量的反向参与率低于该基准值。对于返回特征向量，这个数字只有两个。我们还注意到，对于收益率和波动率相关矩阵的一些最小特征向量，逆参与比较大。

与[9]一致，我们观察到这些特征向量是“本地化”的，并且从特定行业组的少数股票中获得了大量贡献。上述观察结果表明，波动率相关矩阵的特征向量不像回报率相关矩阵那样包含关于行业组的信息。然而，我们消除市场模式影响的方法很有可能是不充分的，而且由于市场仍然隐藏着关于挥发性投资行业中行业群体的信息，因此产生了强烈的非线性影响。为了证实剩余时间序列εiin（25）确实独立于市场模式M，我们可以使用一个称为广义峰度的量[2]。其思想是首先将残差εi和市场模式M转换为bεi=F-1i（εi）和cm=F-1M（M），使得每个bεiandcM的分布是单位方差的高斯分布。如果ε和M是独立的，那么bε和M也是独立的。为了检验线性模型背后的这个假设，我们可以研究广义峰度，κi=hbεicMi-hbεiihcMi- 2hbεicMi（29），如果（25）成功，如果消除市场模式的影响，则该值应非常小。我们可以进一步定义以下度量Ek=NNXi=1κi（30），作为这方面任何模型的优点。对于波动性特征向量，该指标的值为Kv=0.082，对于回报特征向量，该指标的值为Kr=0.115。这两个值都相当小，表明模型（25）确实成功地消除了市场模式的影响。事实上，Kv<kri表明，与回报率相比，该模型更适用于波动性！本节的结果强烈表明，根据行业组对波动率相关矩阵的最大特征向量进行解释是不够的。我们认为，这可以归因于以下两个原因。

首先，排除波动率相关矩阵中最大的两个或三个特征向量，其他特征向量在时间上可能非常不稳定。另一种可能性可能是，波动性将市场的不安全因素与行业群体区分开来。更好地理解波动率相关矩阵最大特征向量的时间演化和信息含量，必将在波动率风险管理中有重要的应用。在这种情况下，应用聚类分析[28–31]中的工具，并进一步研究[13,14,32–35]沿线特征向量的时间演化将是有趣的。六、 结果的稳健性在本节中，我们对我们的结果进行了一些稳健性诊断分析。在我们的程序中，我们通过将427个单独的收益时间序列建模为GARCH（1,1）过程来估计波动性时间序列。总的来说，池中有3×427个估计参数。我们探索了参数数量的不同区域。首先，我们考虑所有427时间序列的一个GARCH（1,1）模型t、 σt=α+αrt-1+βσt-1.（31）这里是时间t和这是从学生的t分布中抽取的随机变量。系数α、α和β是需要估计的参数。该估计采用标准最大似然估计程序，联合对数似然函数L定义如下，L=NXi=1Li（α，α，β| ri）。（32）这里，Li（α，α，β| ri）代表股票i的单个收益时间序列ri，t的对数似然函数。进行此练习的动机来自观察，即对于N=427，收益相关矩阵的最大特征值约为193。这意味着共轭特征向量，即市场本身，是强相关的。因此，我们可以假设一个通用的GARCH模型控制着市场。我们确实发现，所有估计参数都具有统计学意义。

重复第三节、第五节中的计算，我们发现，尽管数值有微小变化，但主要结果在质量上是相同的。我们的第二个实验是，我们将每个时间序列建模为一个更广义的ARMA（pi，qi）GARCH（1,1）过程[17]，而不是像第二节那样在GARCH（1,1）中拟合返回时间序列。这个模型由byri给出，t=φi+piXj=1φijri，t-j+ait+qiXk=1θikai，t-k、 ai，t=σi，ti、 t，（33）σi，t=αi+αiai，t-1+βiσi，t-1.第一个方程是ARMA（pi，qi）平均方程，另外两个方程是GARCH（1,1）波动方程。φij是自回归系数，θij是移动平均参数。αi，αi和βi是标准的garch（1,1）参数。我们首先通过将时间序列建模为基于BIC度量的ARMA过程，找到了piand QI的“最佳”值[36,37]。有了这些最优订单，我们同时拟合模型（33）并估计所有自由参数[24]。正如预期的那样，我们发现，尽管数值存在微小差异，但第三节、第四节和第五节中的主要结果仍然完整。七、本文研究了波动率相关矩阵的特征值和特征向量的性质。通过将价格波动建模为GARCH（1,1）过程，我们估计了标准普尔500指数中427只股票的波动时间序列。估计波动率的经验分布符合对数正态分布。利用这些波动性时间序列，我们构造了波动性相关矩阵，并研究了其特征值的分布。通过在解析表达式中拟合经验累积概率分布，我们发现约40%的特征值属于Marcenko Pastur分布（12）。然而，在同一时间段内，回报相关矩阵约75%的特征值在RMT的分析范围内。

我们还发现，波动率相关矩阵的最大特征值为237，而收益率相关矩阵的最大特征值为193。这表明，与价格波动的相关性相比，跨市场资产波动的相关性相对更强。为了进一步确定在MarCenkopasur分布下的波动特征值是纯噪声，我们在第四节研究了特征值之间的短期和长期相关性。由于波动率相关矩阵是一个实对称矩阵，我们将特征值的统计特性与GOE的分析结果进行了比较。我们发现，对于展开参数的最佳值，GOE的最近邻间距分布、次近邻间距分布和数方差在理论结果中表现良好。这些结果强烈表明，波动率相关矩阵中约40%的特征值不包含市场相关信息。在V A节中，我们研究了与特征值相关的特征向量在RMT范围内的分布。我们发现，与高斯分布相比，特征向量分布在零附近具有明显的峰值。我们将这种行为归因于整个市场的强烈相关性。一旦市场模式从波动性时间序列中移除，我们发现特征向量确实具有接近高斯分布的分布。在V B节中，我们研究了RMT分布之外的本征向量的性质。这些特征向量应该携带有关市场的真实信息。与收益相关矩阵[3,8]类似，我们发现最大的特征向量是市场模式。收益相关矩阵的最大特征向量在时间上相对稳定，且仅由少数行业群体控制[13,14]。