随机矩阵在资产波动相关性中的应用

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英文标题：
《Random Matrix Application to Correlations Among Volatility of Assets》
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作者：
Ajay Singh and Dinghai Xu
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper, we apply tools from the random matrix theory (RMT) to estimates of correlations across volatility of various assets in the S&P 500. The volatility inputs are estimated by modeling price fluctuations as GARCH(1,1) process. The corresponding correlation matrix is constructed. It is found that the distribution of a significant number of eigenvalues of the volatility correlation matrix matches with the analytical result from the RMT. Furthermore, the empirical estimates of short and long-range correlations among eigenvalues, which are within the RMT bounds, match with the analytical results for Gaussian Orthogonal ensemble (GOE) of the RMT. To understand the information content of the largest eigenvectors, we estimate the contribution of GICS industry groups in each eigenvector. In comparison with eigenvectors of correlation matrix for price fluctuations, only few of the largest eigenvectors of volatility correlation matrix are dominated by a single industry group. We also study correlations among `volatility return\' and get similar results.
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中文摘要：
在本文中，我们应用随机矩阵理论（RMT）中的工具来估计标准普尔500指数中各种资产的波动性之间的相关性。通过将价格波动建模为GARCH（1,1）过程来估计波动性输入。构造了相应的相关矩阵。研究发现，波动率相关矩阵的大量特征值的分布与RMT的分析结果相匹配。此外，在RMT范围内的特征值之间的短期和长期相关性的经验估计与RMT的高斯正交系综（GOE）的分析结果相匹配。为了了解最大特征向量的信息含量，我们估计了GICS行业组在每个特征向量中的贡献。与价格波动相关矩阵的特征向量相比，波动相关矩阵的最大特征向量中只有少数由单个行业组主导。我们还研究了“波动率-收益率”之间的相关性，得到了类似的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Random_Matrix_Application_to_Correlations_Among_Volatility_of_Assets.pdf (514.41 KB)

2022-5-5 01:44:37 上传

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关键词：相关性 correlations Eigenvectors Quantitative Applications

随机矩阵在资产波动性相关性中的应用Jay SinghPerimeter理论物理研究所，加拿大安大略省滑铁卢N2L 2Y5*丁海旭加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学经济学系N2L 3G1本文应用随机矩阵理论（RMT）中的工具，对标准普尔500指数中各种资产的波动性进行相关性估计。通过将价格波动建模为GARCH（1,1）过程来估计波动性输入。构造了相应的相关矩阵。研究发现，波动率相关矩阵的大量特征值的分布与RMT的分析结果相匹配。此外，在RMT范围内的特征值之间的短程和长程相关性的经验估计与RMT的高斯正交系综（GOE）的分析结果相匹配。为了了解最大特征向量的信息内容，我们估计了GICS行业群体在每个特征向量中的贡献。与价格波动相关矩阵的特征向量相比，波动相关矩阵的最大特征向量中只有少数由单个行业组控制。我们还研究了“波动率-收益率”之间的相关性，得到了类似的结果。一、引言资产收益的波动性是金融研究中最重要的因素之一。自Black-Scholes和自回归条件异方差（ARCH/GARCH）等经典模型诞生以来，对波动率的时变行为的分析在过去几年中受到了越来越多的关注。与资产价格不同，市场的波动是最晚的。换句话说，它不是直接观察到的，因此，一些估计是必要的，以使波动性时间序列“可见”进行分析。

有几种众所周知的衡量波动性的方法。大体上，我们可以将这些方法分为以下三类。第一种是经典的基于参数模型的方法，称为估计效用。特别是，波动率是使用ARCH/GARCH、随机波动率模型等模型生成的。第二种类型被称为隐含波动率，由期权定价公式支持，例如Black-Scholes。在最后一类中，波动率是由高频交易数据（即已实现波动率）非参数构造而成。所有这三种波动性指标都广泛用于金融行业。在本文中，我们希望将传统的波动率分析扩展到多元环境中。在这幅图中，波动率相关性自然被引入。请注意，不同资产的股价波动之间的相关性非常重要，因为它们直接用于马科维茨投资组合理论中的风险管理[1,2]。然而，在实践中，在估计相关性的最终产品中嵌入了不同的噪声源，例如由于*asingh@perimeterinstitute.calimitingLaloux等人在他们的开创性工作[3]中指出，时间域、估算程序效率低下导致的估算误差、模型构建过程中的测量误差等表明，价格波动相关矩阵中的累积噪声可以通过使用随机矩阵理论（RMT）中的工具来解释[4–6]。特别是，他们发现经验相关矩阵的特征值分布（不包括一些最大的特征值）非常适合RMT的Marcenko Pastur分布[4–7]。在[8,9]中，进一步证明了该相关矩阵的性质类似于高斯正交系综（GOE）。

这些结果强烈表明，在马尔森科-帕斯托分布下的相关矩阵的特征值不包含关于金融市场的真实信息。因此，我们应该系统地从相关性中过滤掉这些噪声，以便更准确地估计未来的投资组合风险（参见[10]和其中的参考文献）。不同资产波动率之间的相关性在投资组合选择、期权定价和某些多元计量经济模型中有助于预测价格和波动率[11,12]。例如，在Black-Scholes模型中，仅暴露于织女星风险的期权组合π的方差由[11]Var（π）=Xi，j，k，lwiwl∧ij∧lkCjk给出。（1） 这里是投资组合中的权重，Cijis是基础资产隐含波动率的相关矩阵，Vega矩阵∧ij定义为∧ij=圆周率νj，（2）其中，Pi是期权i的价格，而νjis是期权j下资产的隐含可用性。在波动性套利策略中，通常使用“波动性回报”之间的相关性，即波动性的变化。由于波动率相关矩阵Cijin（1）或波动率收益率之间的相关性通常是估计的，因此它们包含系统误差和随机误差。因此，为了更好地预测风险，我们当然需要估计并去除这些相关矩阵中的噪声。在风险管理和波动性套利策略中使用波动性相关矩阵还有另一个重要方面。一旦得到波动率相关矩阵，人们可以问几个关于特征值和特征向量的有趣问题。在资产或衍生品的风险管理和套利策略中，人们试图利用尽可能多的市场信息。

例如，价格波动相关矩阵的特征向量表明，股票市场中最相关的结构（在较长时间内也保持稳定）是行业部门【9、13、14】。在这种情况下，通过选择与所有相关特征向量正交的投资组合向量，可以显著降低投资组合风险。现在，在波动率相关矩阵的情况下，人们自然会问，它的特征向量是否携带有关市场的新信息，以及它们在时间上是否稳定。如果是，那么如何利用这一点来更好地估计风险和改善波动性风险策略？在本文中，我们将RMT工具应用于波动率相关矩阵。我们使用了一个经过充分研究的计量经济学模型GARCH（1，1），来估计资产波动性的时间演化[15–17]。在GARCH（1，1）过程中，波动性被衡量为价格波动的标准偏差。在计量经济学文献中，我们确实意识到有相当复杂的模型可用于测量每日波动性。然而，已经观察到，如果人们不关心波动性对价格波动的不对称反应，即杠杆效应[18]，GARCH（1,1）在很大程度上不会被任何其他模型超越[19,20]。因此，GARCH（1,1）至少被视为分析的起点。我们将多变量模型和其他波动性指标的使用留给未来的工作。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们讨论了本研究中使用的数据，以及如何对价格波动进行建模以生成波动性时间序列。利用波动率时间序列，我们构造了相关矩阵，并计算了第三组的特征值。

然后，通过用解析表达式拟合特征值的累积概率分布，我们找到了符合RMT的Marcenko Pastur分布的最佳特征值数。一旦我们知道哪些特征值可能是纯噪声，我们就会进行进一步的测试，以确保它们是独立的。我们在第四节中研究了这些特征值的统计性质。计算了最近邻间距分布、次最近邻间距分布和展开特征值的数量方差。前两个量测试特征值之间的短期相关性，后一个量评估长期相关性。我们发现这些量与RMT的GOE分析结果非常一致。在第五节中，我们研究了特征向量统计，发现最大特征值对应的特征向量是“市场模式”。由于市场模式的特征值是资产总数的顺序，因此市场与资产的波动性之间具有很强的相关性。正如我们在第V A节中所讨论的，市场模式也会影响马尔森科牧场分布下的特征向量。我们进一步计算了GICS产业群在本征向量中的分布，本征向量应携带真实信息。价格波动的相关矩阵在马尔岑科Pastur分布之外，在时间上相对稳定，并由特定行业群体主导[13,14,21]。然而，在波动率相关矩阵的情况下，只有少数最大的特征向量由特定行业主导。在第六节中，我们通过与GARCH（1,1）相比，对参数数量较少和较多的时间序列进行建模，来讨论我们结果的稳健性。

最后在第七节中，我们总结了我们的研究结果，并讨论了未来的发展方向。在附录C中，我们提到了将theRMT应用于波动率回报相关矩阵的结果。二、波动率和相关性矩阵的估计在本文中，我们使用标准普尔500指数中427只股票在2009年7月1日至2013年6月28日期间的每日收盘价[22]。我们用N表示股票总数（N=427），用T表示价格波动的时间序列长度（T=1005）。省略的公司是在这段时间内离开或加入标准普尔500指数的公司。请注意，我们的数据属于包含2008-09年经济危机余震的时间段。据观察，市场在波动期通常具有很强的相关性[23]。因此，与[3,9]中的分析相比，收益率和波动率相关矩阵的更多特征值倾向于偏离标准RMT结果。为了对每个时间序列进行建模，我们首先通过ri定义时间t时库存i的回报率，t=log（Pi，t+1/Pi，t），其中Pi是库存i的价格∈ {1，2，…，N}∈ {1,2，…，T}。我们可以规范化收益率时间序列，使其具有单位方差和零均值，值得一提的是，本文讨论了三种类型的相关矩阵：收益率相关矩阵定义（5），波动率相关矩阵（11）和波动率收益率相关矩阵（C2）。对于少数时间序列，我们观察到它们要么是非平稳的，要么GARCH（1,1）不是估计波动率的好模型。因此，本文也不考虑这些时间序列。以N×T矩阵git的形式写入，使得git=ri，T- 其中，ri=hri，ti和σi=qh（ri，t- “-ri）i.（4）在我们的符号中，尖括号表示时间序列的平均值，除非明确说明。

现在，价格波动的相关矩阵可以写成asc=TGGT。（5） 为了方便起见，我们将C称为返回相关矩阵。此外，我们通过对收益率ri建模，使用单变量GARCH（1,1）过程来估计波动性时间序列。一般来说，在GARCH框架中，条件均值ri和条件方差σi，tat t，给定信息，都是时间的函数：\'ri，t=hri，t|Itie，（6）σi，t=h（ri，t- |ri，t|Itie。（7） 这里，hie表示集合中的平均值，它是关于时间t之前价格的信息。本文使用标准的GARCH（1,1）结构。在对条件平均值和条件波动率进行建模的过程中，有两个方程，ri，t=σi，ti、 t，σi，t=αi+αiri，t-1+βiσi，t-1、（8）在哪里i、 这是从高斯分布中提取的随机元素。存量系数αi、αi和βi使用标准计量经济学软件包进行估算[24]。使用这些参数，我们可以根据（8）顺序估计波动性时间序列σi。正如一般观察到的，我们发现波动率的分布非常接近对数正态分布。在图1中，我们绘制了对数（σi，t）的分布，它很好地符合美国的平均分布-4.099±.001，标准偏差0.379±.001。我们可以再次标准化波动性时间序列，使其具有零均值和单位方差：bσi，t=σi，t- “∑isi。（9） 这里值得一提的是，在将数据输入GARCH结构之前，进行单位根检验以验证平稳性条件。对数σtP（对数σt）-5.5-4.5-3.5-2.50.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2图。1：（彩色在线）显示了日波动率对数的概率密度分布，即对数（σi，t）。波动性时间序列是通过将标准普尔500指数中427只股票的价格波动建模为单变量GARCH（1,1）过程生成的。

数据集的偏度为0.19，峰度为3.01。红线是平均值的高斯函数-4.097±.001，标准偏差0.378±.001。波动性时间序列σi，t:\'σi=hσi，ti和si=qh（σi，t- “∑i）i.（10）bσi，t分布中的正尾很好地符合幂律系数4.5，这接近5分钟间隔内高频回报的绝对偏差的5.4[2]。现在，我们可以安排标准化波动率bσi，tas N×T矩阵的时间序列，然后波动率相关矩阵由c=TGGT给出。（11） 使用波动率相关矩阵，可以计算特征值λi和共轭特征向量vi。现在在下一节中，我们将从RMT中找到密度分布中的最佳特征值数。三、 RMT和特征值分布在本节中，我们将波动率相关矩阵（11）的特征值分布与RMT的分析结果进行比较。注意，相关矩阵没有（N- 1） /2个独立分量和一个长度T>N的时间序列用于估计相关矩阵。然而，如果时间序列是不相关的，则相关性的经验估计需要有限长度的时间序列。在RMT的上下文中，假设我们有N个长度为T的不相关时间序列，随机元素取自具有零均值和标准偏差s的高斯分布。我们可以将这些时间序列安排在N×T矩阵R中。对于这些时间序列，我们可以计算相关矩阵，即Wishart矩阵RRT/T，以及其特征值的分布。在极限N→ ∞ 和T→ ∞, 由于Q=T/N是固定的，特征值的分布就变成了众所周知的Marcenko Pastur分布[4,25]：PRM（λ）=Q2πsp（λ+- λ)(λ -λ-)λ、 （12）式中λ±=s1+Q±√Q. （13） 其中λ表示特征值，λ-≤ λ ≤ λ+.

λ±值均大于零，且仅当Q→ 1，零和λ之间的间隙-消失了，我们恢复了维格纳半圆定律。对于有限的T和N，两端λ±处的突然剪切效应被快速衰减的尾巴所取代。注意，当随机、不相关时间序列的元素具有高斯分布时，（12）是精确的。如果从L’evy稳定范围外的幂律分布中提取随机元素，本征分布仍然与（12）[5，9]一致。由于波动率时间序列大致服从对数正态分布，我们用对数正态分布的随机元素显式构造了长度为T的时间序列。我们发现（12）与这些人工时间序列的相关矩阵的特征值分布一致。此外，随着时间序列之间的相关性被引入，一些特征值开始移出整体分布（12）[7]。这些特征值携带有关市场的真实信息。在这种情况下，有效标准偏差sin（12）与其时间序列的原始值不同。我们可以用“噪声”来表示大部分分布，因为它不代表任何信息状态。然而，该制度之外的特征值对应于真正的相关性，相关特征向量代表市场的相关部分。在下一节中，我们将展示相关矩阵的某些特征值是如何形成大部分分布的，这些特征值与RMT的解析表达式（12）非常吻合。据观察，即使时间序列具有良好的相关性，也可能出现类似（12）的分布。因此，我们在第四节中对Marcenko Pastur分布下的特征值进行了进一步检查，并将结果与GOE的解析表达式进行了比较。A.