这是幂律分布吗？经济收缩的例子

这表明了幂律的一些优势（在有利于这种分布的关系中为2:1），但同样，数据的数量太少。Barro和Jin[19]考虑的第二个范围是x<0.32。我做了一个逐点的顺序比较，考虑到这个上界和他们按惯例选择的下界（x=0.1），但下界也越来越大，越来越小，直到幂律中包含的最小值（x=0.053）。图3显示了从D31,40到D31270的逐点比较。该图表明，在获取少量数据时，无法区分这两种分布，但更大的样本（与更广泛的范围相关）有利于幂律。对于D31270，gPd III型和t型功率定律之间的似然比为7.8×10-4，这使我们能够巧妙地拒绝gPd类型III，转而支持幂律。4结果TasePolar在收缩中发现了明确的幂律，导致人均GDP损失5.53%至50%。该范围包括263个事件，即样本中691个收缩中的38%（61%较小，1%较大）。图4显示了损失的拟合和经验PDF≥ 5.53%. 为了对图4进行上下文分析，图5给出了完整的分布。最佳指数^τ为1.77。忽略相关性，估计该值位于范围（1.61,1.94）内，概率为0.9（这是一个贝叶斯概率区间；从频率角度来看，90%的置信区间为（1.60,1.94）），但相关性可能会使该范围变大。除了应用构成TASEPOLAR主干的测试（第3.2节），参考。

[19] 也进行了测试，并在幂律中被明确拒绝（除了上端的少数数据，其中数据不允许区分两种分布，但幂律不太可能）。5讨论5。1.它是幂律吗？TASEPOLAR（第一部分，第3.2.1节）确定了一系列符合幂律的相对人均GDP合同值。TASEPOLAR的设计方式几乎确保了没有其他功能能够更好地处理该范围内的数据。当我们接近尺寸1时，图4上端的向下弯曲是不可避免的，对应于系统的完整破坏。如第2.1节所述，在小值下偏离幂律也是不可避免的，因为否则，概率为1时，反比的大小将为0。可能的回答是，幂律范围仅涵盖一个数量级（fr从5.53%到50%），并且在图4：GDP收缩规模分布的完整分布中，该范围似乎很小。对数标度上的概率密度函数（PD F）表示270个国家级人均GDP合同的相对大小，代表至少5.53%的损失。幂律给出了从5.53%到0.5%的最佳损耗（垂直虚线）。这些点对应于经验PDF，用对数组合表示。连续线是最佳幂律。误差条预计将包含可能性为2/3的经验观测（第3.3.1节）。然而，有几个理由认为这个幂律是有意义的：（1）尽管相对较短的范围，图4中的紧概率区间几乎没有偏离直线的余地。（2） 没有明显的方法将所选范围包含在包含图中完整数据集的简单函数中。

5.塔斯波尔法案第二部分（第3.2.2节）中考虑的幂律替代方案被彻底否决。（3） 尽管图5中的幂律范围在完全分布的情况下显得相对较小，但这是误导性的，因为幂律以下的范围包括数据分辨率所允许的接近零的值（即对数标度上的负值），这决定了它的长度；就事件数量而言，相对较大的比例（38%）属于幂律范围。（4） 幂律范围在经济上很重要，因为它涵盖了几乎所有的萧条（除了上端的一些极端事件），如果我们经常使用10%的阈值来定义压力。这一阈值意味着，从定义上讲，抑郁规模的分布不能超过一个数量级；然而，我们的结果指出，幂律是描述它们的最佳函数，也可以用来描述小于这个最小值一半的较小收缩。图5：扩大的GDP收缩规模分布。采用对数分类法，对样本中691个国家的人均GDP变动的相对大小进行对数对数对数对数标度的经验PDF。垂直虚线表示TasePolari定义为幂律的分布部分（第3.2.1节），它为图4设定了下限。虚线表示由第3.2.2节中应用的标准得出的较不保守的下限。幂律以下的范围包括接近零的值（即。

在对数刻度上为负数）为a，由数据的分辨率允许，这决定了该范围的长度。5.2幂律的数据处理方法在这项研究中，我开发了一种识别和拟合幂律分布的方法，并将其应用于相关的GDP收缩。早期为数不多的将幂律应用于GDP收缩的尝试使用了更简单的方法。大多数情况下，通过目视检查各种类型的测井曲线图，可以识别幂律，但这有严重的局限性[15]。Ormerod和Moun fild[11]可能是第一个研究经济收缩规模幂律假设的人（测量方式与我们的略有不同），但他们的结果没有定论。这些作者对数据进行了线性组合，并通过回归和对经验值与发现值的曲线图进行目视检查，探索了幂律的充分性。观察到情况不佳，他们删除了一些最大的数据，并指出plo t有所改善。然而，线性组合幂律会在回归和目视检查中产生很大的偏差[34]。尤其难以从这些作者获得的情节中提取信息，这些情节由几个点主导，而其他点形成一团云。此外，还使用了全套收缩，将0设为下限。幂律（带τ）≥ 1） 不能扩展到零（第2.1节）；一个延伸到零的图是否提醒了幂律在很大程度上取决于binning细节（如参考文献[35]在不同的上下文中所示）。尽管考虑到几年前的技术水平，这些局限性很难克服，但奥默罗德和穆恩菲尔德的分析作为初步探索和为进一步研究指明方向至关重要。类似评论适用于参考文献[12]。参考文献。

[9] 收缩的经验直方图也显示出与幂律的一些大致相似性，但没有进行其他测试。处理幂律的更复杂方法已在不同的上下文中发展。其中有几个，比如TASEPOLAR，测试几种可能[xmin，xmax]的幂律，以便选择一种。然而，以前的大多数方法都设计为只查找xmin，通常假设为xmax→ ∞, 如上所示，这是不现实的。TASEPOLAR基于作者之前在不同背景下开发的顺序逐点拟合优度测试和模型比较方法（见参考文献[31，第136页]）。在这项工作中，使用斯奈德科检验，对每个j，对幂律和不同分布（负指数l）的拟合优度进行了f或D1，j的检验，并将结果绘制为j的函数。该图允许确定每个假设不能被拒绝的范围，并选择覆盖更大范围的假设。在作者的帮助下，Bartumeus等人[36]还应用了一个连续的逐点模型比较，使用了Kaike的信息标准[29]（AIC）和修正，并分别进行了一个连续的良好性测试，该测试继Clauset等人[15]之后，基于Kolmogorov-Smirnov统计量。克劳斯等人[15]在假设幂律的情况下，将从D1获得的KS统计量最小化，并将其选为Xmin。此外，他们还通过比较从经验数据中获得的最小KS与从一组合成数据集中获得的最小KS，来测试其优度。这些数据集是基于具有最佳τ和xmin的幂律数据的假设生成的，而x<xmin的值是通过bootstrap生成的。Clauset等人[15]是一种常见的ist方法，与Handcock和Jones[37]贝叶斯方法有关。

后来的作者使用贝叶斯信息准则（BIC，见第2.2节）来比较和测试一组与不同的xmin对应的亚类，假设x为幂律≥ xMin和原始样本中每个值x<xMinound的附加参数。然而，克劳斯等人指出，这种方法高估了幂律范围的大小，因为它高估了描述分布另一部分所需的参数数量，因为BIC标准会惩罚不需要的参数。德鲁卡和科拉尔[16]注意到克劳塞特等人的方法存在一些问题，介绍了一些问题；此外，他们还将其扩展到估计xmax。因此，区分TASEPOLAR的主要特征是：（1）除了xmin之外，估计的xmaxis，出于根本原因（第2.1节；然而，参考文献[16]共享了该特征）；（2） 它基于泰勒级数展开，通过选择一个包含最少可能假设的假设，解决了幂律应与之进行比较的假设问题；（3） 尽管它也适应了频繁者的标准，但它有一个阿巴斯式的主干，允许分配概率，而不是依赖频繁者测试，后者要求任意选择，不分配概率；（4）它避免了固有的偏见，例如AIC中隐含的偏见（显然，这高估了参数的数量；第2.2节）或在r ef的假设选择下应用BIC时产生的偏见。[37].然而，塔斯波尔仍有改进的空间。首先，它没有给出应该假设为f或x的分布的系统性公式≤ xmin在xmin的幂律假设下≤ 十、≤ xmax（对x来说都不是≥ xmax，但这似乎不那么重要）。

其次，它通过似然比近似贝叶斯因子，但也可以在合理选择参数的先验概率后直接计算贝叶斯因子。5.3幂律分布灾难事件的幂律模型的解释和后果在复杂的系统环境中大量存在。由于一些共同特征，许多模型的动力学被解释为一种称为自组织临界性（SOC）的单一现象的不同实例[4]。灾难性事件中的幂律通常归因于SOC，尽管这并不总是正确的[4,38]。因此，文献[5,6,7,8,9]中的C经济模型肯定预测了本文中发现的结果，但我们不知道他们是否出于正确的原因这样做。这些模型很简单，但被认为可能有用，因为如果满足一些基本要求，SOC模型的结果几乎与它们的细节无关[4]。SO C的一个基本组成部分是以链式反应的形式从单元tounit传播明确的扰动[4]。一些经典研究将经济衰退解释为破产链以各种方式从一家公司传播到另一家公司[39]，这种链引起了新的兴趣[40,41]。然而，与直接发生在宏观经济变量层面的效应相比，我们不知道这种微观传递有多重要。此外，试图确定破产链[42]的尝试导致了经验的结果，即似乎不符合幂律，尽管这可能是因为并非所有的传播模式都能被追踪，而且该研究仅包括一年，而破产链可以持续更长的时间[4 3]。另一个基本要素是负面反馈。

连锁反应过后，传染应立即变得更加困难，但随后，企业应逐步恢复其脆弱性。这是有道理的，因为在稳定时期，企业可以多样化，进入多种运作方式，其中一些在动荡时期是不可行的。这些企业会因为各种原因变得脆弱，例如高度专业化、高杠杆（明斯基[44]机制）、或预算紧张（尤其是因为越来越过时的产品或生产人员，为创造性破坏的狂风奠定了基础[4 5]）。三分之一是时间尺度分离。与企业变得脆弱所需的时间相比，连锁反应应该是短暂的。特别是，一旦反应已经开始，就不应该有什么机会对诞生（或从破产中恢复）的公司产生连锁反应。对连锁反应持续数年的观察[43]意味着这不能被认为是理所当然的。只有对上述各项进行更深入的调查，才能确定图4中的幂律是否源于SOC。除公司外，产品也可能是链式反应的单位[8,9]：这种假设有经验支持[46]。无论是否为SOC，很明显，波动不仅通过内部渠道传播，也通过市场外部渠道传播。值得注意的是，数据集中一些最大的控制行动与两次世界大战和其他冲突有关[20]。经济波动的粒度理论[47]与本文的结果是一致的。这种方法表明，规模不变的波动是构成经济的各个部分（如企业或个人收入）规模不变的结果。

每一块都容易受到冲击的影响，冲击对整个经济的重要性在一定程度上取决于块的大小。SOC可以被视为这种机制的一个特定实例，一个特殊性是，在SOC系统中，尺度不变结构不仅是尺度不变函数的原因，也是其结果，即系统的两个方面之间存在反馈[48]。除了SOC，还有其他机制可以将规模不变性引入经济结构[49、50、51]，然后可以将其转化为该理论提出的规模不变性。裁判。[5 2,12]建议也可以被视为颗粒理论实例的特定模型。其他可能的解释不那么动态，更具统计性质。在某些情况下，混合分布会导致幂律[53]。因此，在现阶段，我们不能放弃图4中的幂律与不同国家混合的事实以及它们的时间序列的非平稳性有关。然而，混合物产生功率定律的条件并不为人所知（作者在其他地方研究了一系列广泛的案例，但其中一个案例导致τ）≈ 1).在这篇论文中，无论是什么样的非计划经济事件，它们都可以被认为是灾难性的结果。然而，从这一观察结果跳到这样一个结论，即此类事件与复杂系统的本质密切相关，无法改变其分布，这是不合理的。之前的森林研究提供了关于这一点的见解。

技术创新、商业周期和市场经济中的自组织临界性。欧罗皮斯。莱特。，97:68005, 2012.[10] X.加巴克斯。经济学和经济学中的幂律。阿努。牧师。经济。，1:255–293, 2009.[11] P.奥梅罗德和C.蒙菲尔德。资本主义经济中衰退持续时间和幅度的幂律分布：尺度分解。Physica A，293:573–582201。[12] 奥梅罗德。信息级联与资本主义经济中经济衰退的分布。Physica A，341:556–5682004。[13] M.P.H.Stumpf和M.A.Porter。关于幂律的关键真理。《科学》335:665–6662012。[14] 布坎南先生。经济物理学为我们做过什么？自然物理。，9:317, 2013.[15] A.克劳塞特、C.R.沙利齐和M.E.J.纽曼。经验数据中的幂律分布。暹罗版本。，51:661–7 03, 2009.[16] A.德鲁卡和A.科拉尔。非截断和截断幂律分布的拟合和拟合优度检验。地球物理学报。，61:1351–1394, 2013.[17] Y·李、L·A·N·阿马拉尔、D·坎宁、M·迈耶和H·E·斯坦利。复杂组织成长动力中的普遍特征。菲斯。牧师。莱特。，81:3275–3278, 1998.[18] D.坎宁、L.A.N.阿马拉尔、Y.李、M.迈耶和H.E.斯坦利。衡量GDP增长率的波动性。经济部。莱特。，60:335–341, 1998.[19] R·J·巴罗和T·金。宏观经济灾害的规模分布。《经济学人》，79:15671589，2011。[20] R·J·巴罗和J·F·乌鲁阿。罕见的宏观经济灾难。阿努。牧师。经济。，4:83–1 09,2012.[21]S.普约。沙漠化和电力法。景观生态。，26:305309, 2011.[22]S.普约。多样性：在中立和结构之间。Oikos，112:392–4052006。[23]S.S.威尔克斯。检验复合YPO论文的似然比的大样本分布。安。数学统计，9:60-621938。[24]E.T.杰恩斯。概率论：科学的逻辑。