这是幂律分布吗？经济收缩的例子

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英文标题：
《Is it a power law distribution? The case of economic contractions》
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作者：
Salvador Pueyo
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  One of the first steps to understand and forecast economic downturns is identifying their frequency distribution, but it remains uncertain. This problem is common in phenomena displaying power-law-like distributions. Power laws play a central role in complex systems theory; therefore, the current limitations in the identification of this distribution in empirical data are a major obstacle to pursue the insights that the complexity approach offers in many fields. This paper addresses this issue by introducing a reliable methodology with a solid theoretical foundation, the Taylor Series-Based Power Law Range Identification Method. When applied to time series from 39 countries, this method reveals a well-defined power law in the relative per capita GDP contractions that span from 5.53% to 50%, comprising 263 events. However, this observation does not suffice to attribute recessions to some specific mechanism, such as self-organized criticality. The paper highlights a set of points requiring more study so as to discriminate among models compatible with the power law, as needed to develop sound tools for the management of recessions.
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中文摘要：
理解和预测经济衰退的第一步是确定它们的频率分布，但它仍然不确定。这个问题在类似幂律分布的现象中很常见。幂律在复杂系统理论中起着核心作用；因此，目前在经验数据中识别这种分布的局限性是追求复杂性方法在许多领域提供的见解的主要障碍。本文通过介绍一种具有坚实理论基础的可靠方法，即基于泰勒级数的幂律范围识别方法，来解决这个问题。当应用于39个国家的时间序列时，该方法揭示了相对人均GDP收缩的明确幂律，其范围从5.53%到50%，包括263个事件。然而，这种观察不足以将衰退归因于某些特定机制，例如自组织临界性。本文强调了一系列需要进一步研究的问题，以便区分符合幂律的模型，这是开发管理衰退的合理工具所必需的。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Is_it_a_power_law_distribution?_The_case_of_economic_contractions.pdf (330.13 KB)

2022-5-5 02:08:53 上传

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关键词：distribution Applications Quantitative Mathematical epidemiology

这是幂律分布吗？经济紧缩的例子是萨尔瓦多·普约*加泰罗尼亚气候研究所（IC3），C/Doctor Trueta 20308005巴塞罗那，加泰罗尼亚，西班牙摘要理解和预测经济衰退的第一步是确定其频率分布，但仍不确定。这个问题在类似幂律分布的现象中很常见。幂律在复杂系统理论中起着核心作用；因此，目前在经验数据中识别这种分布的局限性是追求复杂性方法在许多领域所能提供的见解的主要障碍。本文通过介绍一种具有坚实理论基础的可靠方法，即基于泰勒级数的幂律范围识别方法来解决这个问题。当应用于39个国家的时间序列时，该方法揭示了相对人均GDP收缩的幂律，其范围从5.53%到50%，包括263个事件。然而，这一发现并不支持将衰退归因于某些特定机制，如自组织临界性。这篇论文强调了一系列需要更多研究的要点，以便区分与幂律兼容的模型，以开发管理衰退的合理工具。关键词：经济物理学；经济危机；经济萧条；帕累托分布；贝叶斯假设检验；自组织临界性。1引言均衡是主流经济模型的基本假设。当政治重点是管理本质上的非均衡现象，而经济衰退时，这样的模型并不是最佳工具。

因此，与复杂系统理论相关的非平衡模型越来越受到关注，尤其是属于经济物理学新领域的非平衡模型[1,2,3]。复杂系统研究最关注的一个特性是尺度不变性，通常是某个关键变量x的m表示幂律分布f（x）=（τ）- 1x-τ+1min- 十、-τ+1max）x-τ, (1)*电子邮件：spueyo@ic3.catwheref是概率密度函数（PDF），指数τ是常数，xmin，Xmax是分布的上下限（出于根本原因，幂律仅适用于某些有限范围；第2.1节）。在显示幂律或类似幂律分布的变量中，有许多不同类型的灾难性事件[4]，如地震、滑坡、风暴、森林火灾和一些流行病；有大量关于机制模型的文献试图解释这一事实[4]。尽管理论上认为类似的模型将适用于经济衰退[5,6,7,8,9]以及其他经济变量中的幂律证据[10]，但测试GDP收缩规模是否遵循幂律的尝试却出人意料地罕见，而且全盛时期也没有得出明确的答案。第一步是由Ormerod和Moun fild[11]进行的探索性分析，结果不确定，相关分析见参考文献。[12,9]不要给出明确的结果（在第5.2节中讨论）。在涉及每个领域的此类分布的文献中，难以得出强有力的结论是普遍的。关于幂律的整个研究计划最近受到了质疑[13]。

这对复杂系统理论和经济物理学来说是一个严峻的挑战：最近对经济物理学对经济学的贡献进行的评估[14]指出，物理学家最重要的是帮助建立了金融市场的经验事实，并强调了自相似性和幂律的一些假定实例。然而，对这一挑战也有一些回应。同样在最近，对于更合理地处理候选幂律[15,16]也没有什么贡献，这可能最终导致一种有充分依据的数据分析标准方法。目前的贡献为这一方向提供了进一步的进展。本文的第一个目标是提出一种可靠的幂律数据处理方法，该方法基于概率论：基于泰勒级数的幂律范围识别方法（TASEPOLAR）。第二种方法是使用TASEPOLAR来阐明相对G DP收缩是否呈现幂律分布。在得出积极结果后，本文最后讨论了可能的原因和影响。与裁判类似。[11,12,9]这篇论文考虑了整个过程中的收缩事件。这与参考文献不同。[17,18]，它处理了年复一年的变化，发现了一种不同于幂律的分布。Barro和Jin[19]以及Barro和Urs\'ua[20]（我使用whostata）也研究了完整事件。然而，他们并没有研究收缩尺寸x中幂律的可能性，而是在y=x/（1）中- x） 。

这相当于假设x的分布完全不同，如第3.3.3节所示，这不符合数据和幂律。2理论：基于泰勒级数的幂律范围识别方法（TASEPOLAR）2.1基本特征至少有两个问题使统计推断在处理幂律时尤其具有挑战性。首先，它的性质与高斯分布的性质截然不同，高斯分布是教科书统计学的核心。第二，事实是，出于基本原因[2 1]，幂律适用于有限的界限xmin，Xmax，而且这些通常与样本中可能的最小值和最大值不一致，即等式（1）仅适用于频率分布的一部分。例如，在我们的案例中，这是意料之中的。如果公式（1）适用于GDP的所有下降≥ 0，将有一个有限的概率密度f或一个相对大小x→ 0（除非τ<1），即不存在任何波动。因此，DF应适用于较小的值。另一方面，我们不能有xmax→ ∞ 因为一个国家损失的GDP不能超过100%。有时可以使用xmax→ ∞作为τ>2时的近似值，但根据我们的估计，该条件不完全满足。对于τ≤ 2.xmax→ ∞ 这意味着一个有限的期望[21]。因此，对于较大的值，PDF必须向下倾斜。让我们取N个数据{x}的样本，并按降序对它们进行排序，xi≥ xi+1从1到1- 1.我们将Dijto称为数据子集，这样xi≥ 十、≥ xj。TASEPOLAR测试不同子集的幂律，以选择最佳范围[xmin，xmax]。除此之外，这也是一些其他方法所允许的模式（第5.2节）。塔塞波拉之所以得名，其主要的独特之处在于，它选择了一种与幂律相比较的方法。

连续函数和可微函数可以分解成泰勒级数。如果我们选择一个足够小的范围，任何这样的函数都可以通过一条直线来实现。因此，对于大多数频率分布，如果我们取ln（x）vs ln（f（x）），很可能在足够小的范围内得到幂律：ln（f（x））≈ ln（a）- τln（x）。如果范围e稍大，我们可能需要在泰勒级数中添加第二项：ln（f（x））≈ ln（a）- τln（x）- ψ[ln（x）]。（2） 此函数相当于截断的对数正态分布[22]，其中u=-(τ -1） /2ψ和σ=1/√2ψ.TASEPOLAR选择泰勒级数展开中没有第二项证据的范围。因此，它对截尾幂律和截尾对数正态进行了一系列比较。通过似然比对这两种分布进行比较：λij=f（Dij | Hp，^τij，xmax=xi，xmin=xj）f（Dij | Hl，^τij，^ψij，xmax=xi，xmin=xj），（3）其中Hp是截断幂律的假设，Hl是截断对数正态的假设，τij，ψij是由dijassumingax=xind=xj得到的τ，ψ的最大似然估计。第2.2节讨论了似然比的解释。TASEPOLAR选择一个范围[i，j]，该范围在满足给定λm的λij>λm的情况下尽可能大。这可以自动完成。然而，为了仔细检查数据是否表现良好，我使用了一种半自动、有监督的方法，包括两个逐步序列（详见第3.2节）。在这项研究中，我选择λm=0.99。请注意，由于两个假设之间的唯一区别是截断对数正态分布允许我们在最大化可能性时调整一个额外参数（即它们是嵌套假设），λ≤ 1.对于任何实际遵循幂律的大型数据集，发现λ值在0.99和1之间的概率为≈ 0.11 [23].

因此，当依次增加（或减少）i（或j）时，如果幂律假设正确（即，如果ψ=0），λij跟随随机游动，以接近0.11的频率访问区域λij>λm。如果ψ6=0，则会出现一种趋势，将λ推离该区域很远。除了选择一个符合幂律的范围外，我们还希望确保该区域不只是被截断（或不受约束）的对数正态分布的一部分，因为它太小，无法检测到ψ的影响。我们将通过获取一个更大的区域，并测试它是否由一个未编码的对数正态分布组成。这涉及两个选择。首先，更大区域的规模。在本研究中，除了从Xmin到xmax的范围外，还考虑了所有小于Xmin的值（在测试lo-gnormal时，请参见第3.2.2节，排除大于xmax的值的原因）。第二，由于对数正态分布假设是根据数据在从xm到xmax的范围内显示幂律，以及在x<xmin范围内的某些给定分布的假设进行检验的，因此必须指定偏侧分布。在这项研究中，还假设x<xmin为幂律，其指数可能与PDF其他部分的指数不同。因此，我们比较了数据集x<xmax的两个假设。其中之一（Hd）是，这些数据遵循双幂律，它由幂律和幂律组成，幂律的某个指数τ介于xmin和xmax之间，幂律的某个指数τ′介于x′min和x′max之间，其中x′mini是样本中的最小值，x′max=xmin，没有不连续性（即，在较低范围内计算的f（x′max）必须等于在较高范围内计算的f（xmin））。

给定x′min和xmax，双幂律有三个参数，τ、τ′和xmin，寻求其最大似然估计量（因此，该测试中使用的xmin值不必与我们之前确定的值完全一致，并且通常不太保守）。另一个假设（Hl）是数据遵循从x′minto xmax范围内的截断对数正态分布。考虑到这两个极限，该分布有两个参数（等式（2）中的τ和ψ，或等效的u和σ）可通过最大似然估计来确定。该测试使用以下似然比：λij=f（Dij|Hl，^τij，^ψij，xmax=xi，x′min=xj）f（Dij|Hd，^τij，^τ′ij，^xmin，xmax=xi，x′min=xj）。（4） 虽然单截断幂律和截断对数正态分布是嵌套分布，但双幂律和t r非截断对数正态分布不是嵌套分布。因此，尽管双幂律有更多的参数，但如果后者是正确描述数据的分布，则似然比通常会倾向于无限制对数正态分布。此外，由于其额外的参数（第2.2节），双幂律在我们的测试中得以实现。2.2似然比的解释使用似然比作为比较假设的工具。比INEQ更普遍。（3,4），似然比可以表示为λ=f（D | H，^p）f（D | H，^p）。（5） 在这里，我们使用一组N个数据来比较假设H和p，以及它们参数的最大似然估计量。让我们把νito称为假设i下的参数数。按照惯例，我们将保留参数数最多的假设的分母，即ν≥ ν. 因此，在式（3）中，截断幂律出现在分子中，截断对数正态出现在分母中，而在式（3）中。

（4） ，r uncatedlognormal在数字中，双幂定律在分母中。似然比对于两个主要的统计学流派，即贝叶斯学派和频率学派，都是有意义的。贝叶斯统计[24]使用数学上与概率的基本概念不同的方程式，将概率分配给不同的假设，但它的使用并非微不足道，因为o符合对先验概率的依赖。原则上，当使用Bayesiantools分析某些给定数据时，起点是一组先验概率，这些概率基于除这些数据之外的所有可用信息来量化每个命题的合理性。将先验概率与数据相结合产生的概率称为后验概率。反过来，在分析新数据时，这些概率或亲子概率可以用作先验概率。然而，对于ssign来说，先验概率往往很难确定，而且对于最佳方法也没有共识[25]。常客统计是主流学派，它包括一组使用先验概率的食谱。例如，它没有贝叶斯统计的逻辑透明度，也没有为假设分配概率。相反，其结果是用重要程度和（在参数值的情况下）置信区间等概念表达的，这些概念的解释不那么清晰，并且依赖于测试。贝叶斯统计的出发点是贝叶斯定理P（x）P（y | x）=P（y）P（x | y）。如果我们用数据集D和假设H替换变量x，y，我们得到了P（H | D）∝ P（H）P（D | H），其中P（H）是先验概率，P（H | D）是后验概率，P（D | H）是似然函数。

当比较两个不同假设的概率时：P（H | D）P（H | D）=P（H）P（H）B，（6）其中P（H）/P（H）是先验概率的比率，B是贝叶斯因子[26,27]，即似然函数的比率：B=f（D | H）f（D | H）。（7） 贝叶斯因子包含从数据中提取的所有证据，可以量化，而无需为两个假设分配先验概率。然而，我们仍然需要一些其他的先验概率：注意，等式（5）中的似然比λ和等式（7）中的贝叶斯因子B之间的差异在于后者不包括参数的最大似然估计。这是因为（在分析数据之前）没有理由先验地精确地计算这些值。所有可能的参数值都被预先考虑[26]：B=Rf（D | H，p）f（p）dpRf（D | H，p）f（p）dp，其中参数的先验概率分布显示为输入。请注意，如果一个假设有许多参数，那么所有参数的值都能很好地拟合数据的先验可能性较小，因此，不需要的参数的存在降低了假设的可能性。从式（5）中的似然比来看，这一点并不明显。如果从表面上看，似然比有利于许多参数的假设。不幸的是，如果不引入参数的先验概率分布，就无法精确计算B。然而，如果我们有足够的近似值B，并且数据N的数量很大，通常可以避免显式地考虑这些分布。Schwarz[28]表明，在广泛的条件下，ln（B）近似为s=ln（λ）-(ν- ν） ln（N）。在截断幂律和截断对数正态的情况下，νp-νl=-因此，S=ln（λ）- ln（N）/2。如果我们用等式中的exp（S）替换B。