多元瞬时价格影响与矩阵值正定

给定初始条件X的策略类将由X（T，X）表示，X（T，X）中确定性策略的子集将由xdet（T，X）表示。如果T={T，…，tN}是有限时间网格，ξ∈ 在定义2.1中，X（T，X）是一个可接受的策略，那么XξT:=X-Xtk∈T、 tk<Tξk（14）在定义2.22的意义上是一种可接受的策略。因此，定义2.22与定义2.1一致。现在让T是[0，T]的任意紧子集，G是衰变核。为了X∈ X（T，X）我们定义了相关成本asCT（X）：=ZTZTeG（t- s） dXs>dXt。当T是有限时间网格时，ξ∈ X（T，X），Xξ由（14）定义，那么我们显然有CT（Xξ）=CT（ξ），因此成本函数的定义也与我们早期对离散时间网格的定义一致。我们得到以下结果。定理2.23。设G是对称的、非负的、非递增的、凸的、非常数的、可交换的衰变核，T是[0，T]的紧子集。那么下面的断言就成立了。（a） 为了X∈ 但是，只有一种策略X*∈ X（T，X）使所有策略X的预期成本E[CT（X）]最小化∈ X（T，X）。此外，X*是确定性的，可以被描述为Xdet（T，X）中的唯一策略，它为某些λ解以下广义的Redholm积分方程∈ RK，ZTeG（t- s） dXs=所有t的λ∈ T.（15）（b）让T表示T中所有有限时间网格的类别∈Tminξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]=E[CT（X*) ].3例3。1.通过变换构造衰变核在本节中，我们现在来看一些衰变核的变换。第一个结果涉及简单形式G（t）=G（t）L的衰变核，其中G:[0，∞) → R是函数，L是函数∈ RK×Kis是一个固定矩阵。提议3.1。为了我∈ S+（K）和正定义函数g:R→ R、 衰变核g（t）：=g（t）L为正定义。

此外，如果g是一个严格正定义函数，L是一个严格正定义矩阵，那么g也是严格正的。前面命题中的简单衰变核提供了一类例子，下一个结果也适用于这些例子。特别是，通过在随后的命题3.2中选择decay核作为G（t）：=G（t）Id表示G:R→ R阳性定义和Id∈ RK×K通过身份矩阵，我们可以看到，形式为g（t）L的衰变核的最优策略∈ S+（K）不依赖于I6=j的交叉资产影响g（t）。因此，只有当g的成分以不同的速率衰减时，交叉资产影响才会变得相关。提议3.2。设G为衰变核，定义GL（t）：=LG（t）∈ RK×K.当G和眩光都为正时，那么Xdet（T，X）中G的每个最优策略也是GL的最优策略。结合命题3.1和命题3.2得出的主要信息如下：如果所有资产对之间的价格影响以相同的速度衰减，则可以忽略交叉资产影响，只需单独考虑每项资产。接下来，我们展示了同余变换也能保持正的不确定性。这是提案2.17（e）的结尾。提议3.3。如果G是（严格）正定义的衰变核，L是可逆的lek×K矩阵，那么GL:=L>G（t）L是（严格）正定义的。此外，如果ξ是Xdet（T，LX）中G的最优策略，那么ξL:=（L-1ξ, . . . , L-1ξ| T |）是GLinXdet（T，X）的最佳策略。例3.4（永久性冲击）。设G（t）=G，其中任意时间网格t，X的任意固定矩阵为RK×K∈ RK和ξ∈ 然后我们得到CT（ξ）=X>GX。因此，只要G为非负，G即为正定义。

通过使用Gsuch X>GX≥ 对于某些非零x和Y>GY<0，对于另一些人，我们得到一个例子，说明不可能定义命题2.6.3.2指数衰减核的第（a）部分。在本节中，我们将讨论价格影响指数衰减的衰减核。Obizhaeva和Wang[2013]引入了ForK=1指数衰减，并对其进行了进一步研究，例如，Alfonsi等人[2008]和Predoiu等人[2011]对其进行了进一步研究。下一个例子将Obizhaeva和Wang[2013]以及Alfonsi等人[2008]的结果扩展到一个多变量环境，其中decaykernel是根据矩阵指数定义的。本节的剩余结果在更一般但二维的背景下陈述。这些例子的主要信息是，一方面，通过矩阵函数很容易构造具有所有期望属性的衰变核。但是，另一方面，通常不容易建立定义为坐标的衰变核的正不确定性等属性。示例3.5（矩阵指数）。对于正交矩阵O，ρ，ρK≥ 0，且b=O>diag（ρ，…，ρK）O∈ S+（K），衰变核G（t）=exp(-tB）的形式为（13），g（t）=e-t、 因此G是非负的、非递增的和凸的。特别是，Gis正定义。当矩阵B是严格正定义时，我们将从现在开始假设，衰变核G甚至是严格正定义。我们现在计算初始投资组合X的最优策略ξ=（ξ，…，ξN）∈ Rk和时间网格T={T，…，tN}。为此，我们将使用提案2.17的（e）部分。设ηi:=（ηi，…，ηiN）是初始位置yi和一维衰变核gi（t）=e的最优策略-tρi.勒坦：=e-（tn）-tn-1） ρi和λi：=-yi1+ai+PNn=31-ain1+ain。Alfonsi等人[2008]中的定理3.1意味着最优策略ηi=（ηi。

，ηiN）inXget（T，yi）由ηi=λi1+ai，ηiN给出=1+ain-ain+11+ain+1λifor n=2，N- ηiN=λi1+aiN。通过命题2.17的（e）部分，我们现在可以计算最优策略ξ。考虑衰变核D（t）的最优策略η：=diag（exp(-ρt），经验(-ρKt）和初始位置OX。然后η=（η，…，ηK）>对于yi:=（OX）i.定义Qn:=D（tn-tn-1） andeλ=-2（Id+Q）-1+NXn=3（Id- Qn）（Id+Qn）-1.-1OX，η=（η，…，ηN）可以方便地表示为：η=（1+Q）-1eλ，ηn=（Id+Qn）-1eλ- Qn+1（Id+Qn+1）-1eλ，对于n=2，N- 1，ηN=（Id+QN）-1eλ。根据命题2.17的（e）部分，G和Xis的最优策略ξ现在由ξ=OTη给出。要从这些表达式中删除O，请定义An=e-（tn）-tn-1） B=O>QnO和λ：=-Id+A-1+NXi=3身份证件- 艾岛Id+Ai-1.-1X。通过观察（Id+An）-1=O>（Id+Qn）-1O和λ=O>eλ，我们发现最优策略ξ的组成部分为ξ=Id+A-1λ，ξn=Id+An-1λ - 安+1Id+An+1-n=2时为1λ，N- 1，ξN=Id+AN-1λ.最后，让我们考虑一下等距时间网格ti=i的情况-1N-1.在这种情况下，所有矩阵a都等于一个矩阵a。我们的λ公式变成λ=-（Id+A）奈德- （N）-2） A-1X。因此，最优策略的公式简化为ξ=-奈德- （N）-2） A-1X，ξi=（Id- A） ξ对于i=2，N- 1，ξN=ξ。通过像Gatheralet al.[2012，示例2.12]那样的论证，不难将这一结果扩展到第2.5节的设置。细节留给读者。当g:R→ R是一个解析函数，对于非对称矩阵，g（B）的定义也可以通过Letting g（B）实现：=∞Xk=0akBk，其中g（x）=P∞k=0akxk是g的幂级数展开。在下面的例子中，我们分析衰变核g（t）的性质：=exp(-tB）对于特殊的非对称但严格正的2×2-矩阵B=（b10b），B>0。

我们将看到，根据b的特殊选择，G可能是正定义的，也可能不是正定义的。因此，对于定义为对称矩阵的矩阵函数的衰变核，我们得到的一般结果不适用于非对称情况。例3.6（非对称矩阵指数衰减）。设B=（b10b），其中B>0，并考虑以下衰变核g（t）=e-肺结核=经验(-肺结核）-经验(-tb）0经验(-肺结核）.应用引理5.2和5.3，我们很容易看到G不是对称的，不是非负的，不是递增的，也不是凸的。但G是正定义的当且仅当b≥ 1/2. 为了看到这一点，我们通过计算傅里叶逆变换来观察，即eg（t）=rreizm（z）dz，m（z）=πbb+z-12（b+iz）-12（b）-iz）bb+z-1.5-1.0-0.50.00.5图2:G的最优策略ξ，如推论3.8中的κ=1，κ=1.8，ρ=0.3，X=(-50,1）>，T=5，N=11。左：ξ，ξ、 右：ξ，ξ.根据定理2.10和引理5.2，G是正定义的当且仅当对于所有z∈ R（b+z）≤bb+z,这反过来相当于1/2≤ B对于下面的结果，我们不再要求衰变核以矩阵函数的特殊形式给出。提案3.7。LetG（t）=aexp(-bt）aexp(-bt）aexp(-bt）aexp(-（英国电信）a，a，a，a，b，b，b>0。（a） G是非负的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（a+a）≤ aa。（b） G是非增的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（ab+ab）≤阿巴布。（c） G是凸的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（ab+ab）≤ 阿巴布。（d） 设G为非递增且a=a，则G为正定义。（e） G是可交换的当且仅当b=b=b=b，或b=band b=banda=a。对于以下更简单且对称的衰变核，结果紧随前面的命题。请参见图2，以了解相应的最佳策略。推论3.8。

设ρ，κ，eκ>0和g（t）=经验(-κt）ρexp(-eκt）ρexp(-eκt）exp(-κt）.（a） G是非负的当且仅当κeκ≤ 1和ρ≤ 1.（b）G是非增的当且仅当ρ≤κeκ≤ 1.在这种情况下，它也是非负的。（c） G是凸的当且仅当ρ≤κeκ≤ 1.（d）如果G是非递增的，则G是正定义。（e） G是通勤。下面的命题表明，我们不能放弃定理2.15中的对称性假设。提案3.9。LetG（t）=经验(-T∧ 1） 经验(-2（t）∧ 1） ）经验(-3（t）∧ 1） ）经验(-T∧ 1).G是连续的、凸的、非递增的、非负但非正的定义。3.3线性衰减在本节中，我们分析K=2资产价格影响的线性衰减。提案3.10。LetG（t）=（a）- bt）+（a- bt）+（a- bt）+（a- （英国电信）+a，a，a，a，b，b，b>0。（a） G是非负的当且仅当max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和（a+a）≤ aa。（b） G是非增的当且仅当max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和（b+b）≤ bb。（c） 假设max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和a=a。那么，G是正定义的，且仅当G是对称的（即a=a和b=b），ab=ab=aband b时≤ bb。在这种情况下，我们设置λ=aband haveG（t）=（λ- （t）+bbbb,G也是非递增的，凸的，可交换的。4结论我们在本文中的目标是分析不同风险资产具有瞬时价格影响的线性市场影响模型。我们特别感兴趣的是阿德凯内核应该满足哪些属性，以便相应的市场影响模型具有某些期望的特征和属性。

让我们总结一下从我们的结果中可以得出的瞬时价格影响模型实际应用的一些主要信息。（a） 为了排除Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵，并确保最优策略的存在，衰变核应该是定义2.9意义上的正定义（命题2.6和命题2.7以及引理2.8）。（b） 仅要求积极的不确定性通常不足以保证最佳策略表现良好（图1）。特别是，Decay核的非参数估计可能会有问题。（c） 假设衰变核是对称的、非负的、非递增的、凸的和交换的，保证了最优策略具有许多期望的性质，并且易于计算（命题2.17和命题2.18）。t 7的附加假设→ x> G（t）xis对所有x都是非常数的∈ 保证最优策略是唯一的（定理2.15和命题2.7）。在这种情况下，人们还可以在时间网格和策略上进行联合优化，并传递到一个连续的时间限制。（d） 矩阵函数（13）为构造满足（c）性质的衰变核提供了一种方便的方法。矩阵指数衰减的最优策略可以用封闭形式计算（例3.5）。（e） 如果所有资产对之间的价格影响以统一的速度衰减，则可以忽略交叉资产影响，并且可以单独考虑每项资产（命题3.1和命题3.2）。5引理2.3的证明。

利用G的连续性和S的右连续性，我们得到-E[R（ξ）]=EhNXk=1ξ>k（Sξtk++Sξtk）i=ENXk=1ξ>kStk+ ENXk=1ξ>kG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>kG（tk- t`）ξ`.从沙的鞅性质出发，给出了Pnk=1ξk=-我们得到了NXk=1ξ>kStk= EhNXk=1ξ>kSTi=-十> 此外，NXk=1ξ>kG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>kG（tk- t`）ξ`=NXk=1ξ>keG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>桶（tk- t`）ξ`+NXk=1k-1X`=1ξ>`eG（t`- tk）ξk=CT（ξ）。这证明了（4）。引理2.4的证明。假设一个极小值η∈ E[CT（η）]的X（T，X）存在，但矛盾的是，不存在CT（·）的确定性极小值。那么就不可能有ξ∈ Xdet（T，X）使得CT（ξ）≤ E[CT（η）]。自η（ω）∈ Xdet（T，X）对于P-a.e.ω，我们必须有CT（η（ω））>e[CT（η）]对于P-a.e.ω∈ Ohm. 但这是一个矛盾。其余断言的证据也是显而易见的，留给读者。命题2.6的证明。条件（a）和（b）的等价性来自引理2.4。为了证明（b）和（c）的等价性，有必要观察CT（ξ）是R | T上的二次型| 众所周知，二次型是凸的当且仅当它是非负的。接下来我们证明（b）和（d）的等价性。显然，（d）立即暗示（b）使用CT（·）的表示（5）并将其与（8）与zi进行比较∈ RK。为了证明反义词的含义，我们，tN∈ 显然，我们可以在不失去普遍性的情况下假设，T={T，…，tN}是一个时间网格，在这个意义上，0=T<T<·tN.。N元组ζ：=（ζ，…，ζN）与ζi∈ Ck可以看作张量积CN中的一个元素 CK。因此，让我们定义线性映射L:CN CK→ CN CKbyLζ=NXj=1eG（t- tj）ζj，NXj=1eG（t- tj）ζj，NXj=1eG（tN- tj）ζj. （16） 我们声称我是赫米特人。

的确，对于η，ζ∈ CN CK，CN的内积 η和Lζ之间的系数由hη给出，Lζi=NXi，j=1η*ieG（ti）- tj）ζj=NXi，j=1ζ*杰格（ti）- （tj）*ηi=NXi，j=1ζ*杰格（tj）- ti）ηi=hζ，Lηi，其中我们使用了以下事实：- （tj）*=eG（ti）- tj）>=eG（tj）- ti）。因此，L到RN的限制RK是对称的，由于条件（b），满足0≤ CT（ξ）=hξ，Lξ∈ 注册护士 RK。根据L的对称性，由于L只有实项，所以它遵循Hζ，Lζi≥ 0表示所有ζ∈ CN CK，与（8）相同，因此产生（d）。剩下的评估是显而易见的。命题2.7的证明。我们首先证明了当NEG为正定义时存在最优策略。我们将使用命题2.6证明中介绍的符号。为了X∈ Rk和T，N=|T |固定，CT（ξ）对ξ的最小化∈ Xdet（T，X）等价于对称正半无限二次型RN的最小化RK3ξ7→ hξ，Lξi在等式约束Aξ=X下，其中L如（16）和A:RN所示RK→ Rk是线性映射Aξ：=PNk=1ξk。对于固定η∈ Xdet（T，X），每隔ξ∈ 对于某些ξ，Xdet（T，X）可以写成ξ=η+ξ∈ Xdet（T，0）。然后，由于L的对称性，hξ，Lξi=hη，Lηi+2hLη，ξi+hξ，Lξi，我们的问题现在等价于右边表达式的无约束极小化∈ Xdet（T，0）。显然，Lξ=0也意味着2hLη，ξi=2hη，Lξi=0。因此，Boot[1964]中第2.4.2节给出了极小值的存在。严格正定义的最优策略的唯一性直接来自ξ7的严格凸性→ CT（ξ）（见命题2.6）。如（9）所示，通过拉格朗日乘子描述最优策略是标准的。引理2.8的证明。（a） H（0）为非负定义，取N=1（8）。

托肖H(-t） =H（t）*对于任何给定的t∈ R我们在（8）中取N=2，让t=0，t=t。根据前面的断言，z*H(-t） z+z*H（t）z必须是所有z，z的实数∈ CK。用ck取z=cei和z=cej∈ C和e`表示RkHij中的` thunitvector\'产生ccHij(-t） +ccHji（t）∈ R、 其中c表示c的复共轭∈ C.选择C=C=1给出Im（Hij(-t） ）=-Im（Hji（t））和c=1，c=i收益率（Hij）(-t） ）=Re（Hji（t））。（b） 对于t，tN∈ R、 我们定义ti=tN-tN+1-我从（a）部分得到ζ∈ CNCK0≤NXi，j=1ζ*N+1-iH（~ti）-~tj）ζN+1-j=NXi，j=1ζ*N+1-iH(-（tN+1）-我- tN+1-j） ζN+1-j=NXi，j=1ζ*iH（ti）- （tj）*ζj.推论2.11的证明。为了证明蕴涵（c）=>（b） 首先，我们注意到矩阵xm（dγ）是对称的，因为M是非负定义且RK×K值。这意味着矩阵xh（t）对所有t也是对称的。其次，R上M的对称性意味着reiγtMk`（dγ）的想象部分等于∞sin（tγ）+sin(-tγ）Mk`（dγ）=0。因此，H取RK×Kand中的值，反过来取S（K）。下一步，我们定义了一个明确的R+值度量u至u（a）：=x>M（a）x，表示a∈ B（R）。然后函数t7→ x> H（t）x是u的傅里叶变换，因此是Bochner定理的正定义函数。证明（b）=>（a） ，我们将建立定理2.10的条件（b）。为此，写z∈ CKas z=x+iw，其中x，w∈ 我和我=√-1.然后z*由于H（t）的对称性，H（t）z=x>H（t）x+w>H（t）w。因此t 7→ Z*H（t）z是两个实值正定义函数的和，因此为正定义。证明（a）=>（c） 注意，H的每个分量Hk`等于复测度Mk`的傅里叶变换。由于Mk`是通过Hk`唯一确定的，并且Hk`=H`kwe必须具有Mk`=M`k。但是对称矩阵可以是非负定义的，并且只有当它是实的时，才是henceHermitian。因此我们必须有M（A）∈ S+（K）代表所有A∈ B（R）。