多元瞬时价格影响与矩阵值正定

在这种情况下，CT:R | T|RK→ Ris对于所有T都是严格凸的。EG的正不确定性不仅排除了价格操纵策略的存在。下面的命题表明，它还保证了在类X（T，X）中存在最小化预期成本的策略。这种策略在续集中将被称为最佳策略。一旦确定了最优策略的存在性，就可以通过二次规划的标准技术来计算它们（参见Boot[1964]或Gill等人[1981]）。提议2.7。假设EG为正定义。然后在Xdet（X，T）（因此在X（X，T））中存在一个针对所有X的最优策略∈ Rk和每个时间网格T。此外，Astragyξ∈ 当且仅当存在λ时，Xdet（X，T）是最优的∈ RKsuch thatNX`=1eG（tk- t`）ξ`=λ对于k=1|T |。（9） 如果EG是严格的正定义，那么（9）中的最优策略和拉格朗日乘数λ是唯一的。命题2.6和命题2.7表明，多元价格影响的衰减核G的构造应确保（6）中相应的函数G是一个正定义的矩阵值函数。以下基本引理的（a）部分暗示，这可以通过定义G（t）来实现：=H（t）表示t≥ H:R时为0→ RK×Kis是一个给定的连续正定数矩阵值函数，因为我们将自动得到haveeG=H引理2.8。让H:R→ CK×Kbe是一个正定义的矩阵值函数。然后：（a）矩阵H（0）是非负定义，我们有H(-t） =H（t）*每一个t∈ R

特别是H(-t） =H（t）>如果H取RK×K的值（b）也取t7→ H（t）*是一个正定义的矩阵值函数；它是严格正定义，只有H是严格正定义。由于衰变核与非负预期成本和连续RK×K值正定义函数之间建立了一对一的对应关系，因此我们将使用以下术语。定义2.9。衰变核G:[0，∞) → 如果（6）中对应的函数如为（严格）正定义的矩阵值函数，则RK×Kis称为（严格）正定义。2.2正有限衰变核的积分表示我们现在转向矩阵值函数正有限性的表征。在一维情况下，K=1，Bochner定理[Bochner，1932]将所有连续的正有限函数描述为非负有限Borel测度的傅里叶变换。Bochner定理在矩阵或算子值函数的情况下有几个扩展。其中一些结果将在下面的定理2.10和推论2.11中结合起来。对于相应的陈述，我们首先介绍一些术语。通常，复矩阵N∈ Cn×n称为非负定义，如果z*新西兰≥ 0代表everyz∈ 中国。即使是z*Nz>0对于每一个非零z，N称为严格正定义。非负有限复矩阵N∈ Cn×N必然是厄米特的，即N=N*. 特别是一个实矩阵N∈ Rn×nis非负定义当且仅当它属于非负定义对称实n×n矩阵的集合+（n）。用S（n）表示Rn×n中的全对称矩阵集。任意实矩阵M∈ Rn×nw将被称为非负ifx>Mx≥ 每x为0∈ 对于所有非零x，如果x>Mx>0，则为严格正∈ 注册护士。

注意，一个实矩阵M∈ Rn×nis非负当且仅当其对称部分（M+M>）为非负定义。设B（R）是R.A映射M:B（R）上的Borelσ-代数→ 如果每个分量都是具有有限总变差和矩阵M（a）的复测度，则CK×k将被称为非负定义的矩阵值测度∈ CK×Kis每A的非负定义∈ B（R）。以下定理结合了Cram\'er[1940]、Falb[1969]和Naimark[1943]的结果；我们参考Gl¨ockner[2003]对这一结果的扩展和全面的历史记录。定理2.10。对于连续函数H:R→ CK×k以下为等效值。（a） H是一个正定义的矩阵值函数。（b） 每一个z∈ CK，复函数t7→ Z*H（t）z为正定义。（c） H是非负有限矩阵值测度M的傅里叶变换，即H（t）=t的ZReiγtM（dγ）∈ R.（10）此外，任何具有（10）的矩阵值测度M都是由H.证明唯一确定的。Falb[1969]证明了（b）和（c）的等价性。（a）和（c）的等价性来源于Gihman和Skorohod[1974]在书中的两个陈述，即第四章§1中的定理1和第四章§2中的定理5。Mis标准的唯一性。当考虑在对称实K×K矩阵的空间S（K）中取值的正有限函数时，上述定理简化如下。根据引理2.8（a），此类函数H对应于正有限衰变核G，其对称性为G（t）>=G（t）≥ 在这种情况下，我们有H（t）=eG（t）=G（|t |）∈ R.推论2.11。

对于连续函数H:R→ CK×k下列语句是等效的。（a） H（t）∈ S（K）表示所有t，H是一个正定义的矩阵值函数。（b） H（t）∈ S（K）表示所有t，以及实函数t7→ x> H（t）x是everyx的正定义∈ RK。（c） H允许一个表示（10），其具有非负的有限度量M，该度量取RK×K中的值（因此在S+（K））并在R上对称，即M（a）=M(-A） 尽管如此∈ B（R）。备注2.12（不连续的正定义函数和临时价格影响）。设Hbe为非零非负有限矩阵。那么H（t）：=H{0}（t）是一个非连续的正微分矩阵值函数，因此不允许表示（10）。然而，对于满足一定有界条件的不连续矩阵值正定义函数，也可以给出类似的积分表示。为此，需要在加法（半）群R或R+的较大字符空间上，用非负的有限矩阵值度量替换度量M；参见Gl–ockner[2003，Theorem15.7]。在价格影响建模的背景下，对于一些非负矩阵GCA，与形式为G（t）：=G{0}（t）的不连续衰减核相关的成本（5）可以被视为临时价格影响的结果，该影响仅影响触发它的顺序，并在之后立即消失；一维模型中的临时价格影响见Bertsimas和Lo[1998]以及Almgren和Chriss[2001]。更一般地说，考虑到不连续性G（0）- G（0+）∈ S+（K），则必须通过假设R（ξ）=-PNk=1ξ>k（Sξtk+G（0）ξk）（注意这是G（0）而不是G（0+）。最后，让我们提到，0处的不连续性是实践中唯一相关的：其他不连续性会产生奇怪且可预测的价格影响。

因此，暂时的价格影响可以单独处理，并且假设G continuous没有限制性。2.3凸、非递增和非负衰变核如Alfonsi等人[2012]所示和讨论的，并非每个衰变核G:[0，∞) → R具有正定义EEG是单一资产模型中价格影响衰减的合理模型。具体而言，研究表明，对于K=1，要求衰变核为非负、非递增和凸的是有意义的。由于在我们的多元设置中也可以观察到与阿方西等人[2012]类似的效果（见图1），我们需要引入并分析G需要满足的进一步条件。为了激发以下定义，考虑两个交易ξ和ξ在时间t<t时放置。数量ξ>G（t- t） ξ描述了订单ξ引起的部分清算成本。当ξ=ξ时，直觉上很清楚，这些成本在t中应该是非负且非递增的- t、 定义2.13。一个矩阵值函数G:[0，∞) → RK×Kis称为（a）非递增，如果每x∈ RKT函数→ x> G（t）x是非递增的；（b） 非负，如果G（t）是每个t的非负矩阵∈ [0, ∞);（c） （严格地）凸的，如果对于所有x∈ 函数t7→ x> G（t）x是（严格）凸的。在这里以及下面的引理2.14和定理2.15中，我们不假设G是连续的。请注意，上述定义中引入的属性仅取决于G的对称性（G>+G）。我们对定义2.13中引入的两个属性得出以下简单结果。引理2.14。假设G:[0，∞) → RK×Kis是一种非递增的正定义的癸烯酮。那么G是非负的。如果G是非递增、非负且凸的，那么函数gx（t）：=x>G（t）x foreach x∈ RK。

因此，t 7→ gx（|t |）是一个正定义函数，这是由于一个通常被归为P\'olya[1949]的标准，尽管这个标准也是Young[1913]的一个简单结果。从推论2.11可知，只要asG对称且连续，矩阵值函数EG就是正定义的。但是，一个更强大的结果是可能的：只要gxis对于每个非零x都是非递增、非负、凸和非恒定的，G甚至是严格正定义的∈ RK。这是我们随后定理的内容，它扩展了K=1的相应结果（关于两个不同的证明，参见Sasv\'ari[2013]中的定理3.9.11和3.1.6或Alfonsi等人[2012]中的命题2），并具有独立的意义。定理2.15。如果G:[0，∞) → RK×Kis是对称的、非负的、非递增的和凸的，当G是正定义时。此外，G甚至是严格正定义的当且仅当t7→ x> G（t）xis对于每个非零x是非常数的∈ RK。我们将在命题3.9中看到，在定理2.15中，我们通常不能免除G对称以得出正不确定性的要求。2.4交换衰变核我们现在将介绍衰变核的另一个特性。定义2.16。衰变核G:[0，∞) → 如果G（t）G（s）=G（s）G（t）对所有s，t都成立，则RK×Kis称为交换≥ 如果对称衰变核是可交换的，它可以同时对角化，其性质可以通过一维衰变核的结果集合来表征，如下面的命题所述。提议2.17。对称衰变核G是可交换的当且仅当存在非正交矩阵O和函数G，gK:[0，∞) → R使得g（t）=O>diag（g（t），gK（t））O。

（11） 此外，以下断言也成立。（a） G（严格地）是正定义的当且仅当R值函数t7→ gi（t）对于所有i（b）G是非负的当且仅当gi（t）≥ 所有i和t为0。（c）G为非递增当且仅当GI为所有i.-1000-500为非递增图1：X=（10，0），N=23的最佳策略ξ，严格正定义的decaykernel G（t）=exp(-（tB）对于B=1 ρρ 1. ξ的第一个分量以绿色绘制，第二个分量以黑色绘制。请注意，振荡幅度超过初始资产位置的110倍以上。G是严格的正定义，由Remark2得出。20.（d）G是凸的当且仅当gi对所有元素都是凸的，即（e）如果G是正定义，则策略ξ=（ξ，…，ξ| T |）∈ 当且仅当Xdet（T，X）的形式为ξj=O>（ηj，…，ηKj）>，其中ηi=（ηi，…，ηi | T |）时，Xdet（T，X）是最优的∈ R|T| R是一维衰变核gi的Xdet（T，（OX）i）中的最优策略（这里（OX）idenotes向量OX的ithcomponent）。对于K=1，我们知道一个非负非增凸函数是正定义的，当它是非常数时，甚至是严格的正定义。因此，命题2.17在交换衰变核的特殊情况下暗示了定理2.15。在K=1的情况下，Alfonsi等人[2012]观察到存在非递增、非负和严格正的有限衰减核G，对于这些核，最优策略在买卖订单之间表现出强烈的振荡（“交易触发的价格操纵”）；参见图1了解我们多元设置中的示例。Alfonsi等人[2012]中的定理1给出了排除K=1的这种振荡策略的条件，并保证最优策略是只买或只卖：G应该是非负的、非递增的和凸的。

然而，当K>1时，情况会发生变化，人们不能期望排除同一资产中买卖订单的共存。原因是，清算第一项资产的头寸可能会通过交叉资产价格影响导致第二项资产的价格漂移。利用第二资产的这种漂移进行往返可能有助于降低清算资产组头寸所产生的成本；参见图2。因此，人们不能希望完全排除所有非对角线的德卡克内尔人往返旅行。然而，我们的下一个结果给出了关于G的条件，在此条件下，最优策略可以表示为K策略与只买/只卖成分的线性组合，这将导致最优策略交易的股票总数的统一界限，防止出现如图1所示的大振荡。这个结果也将允许我们在下面第2.5节的非离散时间网格上构造极小值。提案2.18。设G是对称的、非负的、非递增的、凸的和可交换的衰变核。然后存在一个正交基v，vKof RKand，对于每个时间网格T，最优策略ξ（i）∈ Xdet（T，vi），i=1，K、 使下列条件成立。（a） 每个ξ（i）的组成部分包括只买或只卖策略。更准确地说，fori，j∈ {1，…，K}和n，m∈ {1，…，T}我们有ξ（i），jmξ（i），jn≥ 0.（b）对于X=PKi=1αivi∈ 给定，ξ：=PKi=1αiξ（i）是Xdet（T，X）中的一个最优策略。注意，对于K=1，每个衰变核都是对称的和可交换的。因此，对于K=1，递减命题简化为Alfonsi等人[2012]中的定理1：一维、非恒定、非负、非递增和凸衰减核的最佳策略是只买或只卖。备注2.19。

如图1所示，交易策略的波动可以通过为每笔交易增加足够高的交易成本来防止。如果只允许市场指令，则此类交易成本自然产生；例如，参见Busseti和Lillo[2012]中的第7.1节和第7.2节。然而，如备注2.2所述，实际交易策略通常会产生比仅使用市场指令的策略低得多的交易成本，并且，如果交易成本足够低，波动可能只会被抑制，而不会完全消除。事实上，高频交易者的振荡交易策略在2010年5月6日的“闪电崩盘”中起了重要作用；见CFTC-SEC[2010年，第3页]。命题2.17和命题2.18不仅给出了某些衰变核的优良性质的表征。它们还提供了一种构造衰变核G的方法，这种衰变核G具有所有期望的性质。我们只需要从正交矩阵O和非递增、凸和非恒定函数g开始，gK:[0，∞) → [0, ∞) 然后定义一个衰变核asG（t）=O>diag（g（t），gK（t））O.这种构造的一个特例是所谓的矩阵函数，我们将在后继中解释；有关此上下文中的几个示例，请参见第3.2节。让g:[0，∞) → R是一个函数，B是∈ S+（K）。然后存在一个正交矩阵Osuch，其中B=O>diag（ρ，…，ρK）O，其中ρ，ρK≥ 0是B的特征值。矩阵g（B）∈ 然后将S（K）定义为asg（B）：=O>diag（g（ρ），g（ρK））O；（12） 例如，参见Donoghue[1974]。因此，我们可以定义衰变核G:[0，∞) → S（K）byG（t）=g（tB）=O>diag（g（tρ），g（tρK））O，t≥ 0.（13）我们在下面的注释中总结了G的性质。在第3.2节中，我们将分析作为矩阵指数出现的衰减核，并明确计算相应的优化策略。备注2.20。

（13）中定义的衰变核G是通勤。此外，它是gi（t）=g（tρi）的形式（11），因此命题2.17表征了g的性质。特别是，它是正定义的当且仅当t7→ g（|t |）是一个正定义函数。此外，当且仅当g具有相应的性质时，它将是非负的、非递增的或凸的。此外，最优策略可以通过命题2.17（e）进行计算。备注2.21。设G为非负对称交换衰变核，f:[0，∞) →[0, ∞) 是一个凸的非减量函数。我们用F（t）：=F（G（t））定义核F，如（12）所示。我们很容易从命题2.17得到，如果G也是非增凸的，F是非增凸的。因此，在这种情况下，这是积极的定义。2.5非离散时间网格的策略 T、 然后X（T，X） X（T，X）和henceminξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]≥ minξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]。因此很明显，在ξ上联合最小化E[CT（ξ）]的问题∈ X（T，X）和时间网格T在有限时间网格类中通常没有解。因此，考虑将我们的框架扩展到非离散时间网格是很自然的。Gathereal等人[2012]针对一维情况K=1开发了相应的框架。提案2.18（b）将使我们能够在目前的框架内获得类似的扩展。定义2.22。设T是[0，T]的任意紧子集。T是一个左连续、自适应、有界的K维随机过程（Xt）的容许策略，使得T 7→ i=1，…，的有限变化，对于所有t>t，K和satis Xt=0。我们进一步假设向量值随机测度dxts在T上受支持，且其分量具有p-a.s.有界全变差。