多元瞬时价格影响与矩阵值正定

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英文标题：
《Multivariate transient price impact and matrix-valued positive definite
  functions》
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作者：
Aur\\\'elien Alfonsi, Alexander Schied, Florian Kl\\\"ock
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a model for linear transient price impact for multiple assets that takes cross-asset impact into account. Our main goal is to single out properties that need to be imposed on the decay kernel so that the model admits well-behaved optimal trade execution strategies. We first show that the existence of such strategies is guaranteed by assuming that the decay kernel corresponds to a matrix-valued positive definite function. An example illustrates, however, that positive definiteness alone does not guarantee that optimal strategies are well-behaved. Building on previous results from the one-dimensional case, we investigate a class of nonincreasing, nonnegative and convex decay kernels with values in the symmetric $K\\times K$ matrices. We show that these decay kernels are always positive definite and characterize when they are even strictly positive definite, a result that may be of independent interest. Optimal strategies for kernels from this class are well-behaved when one requires that the decay kernel is also commuting. We show how such decay kernels can be constructed by means of matrix functions and provide a number of examples. In particular we completely solve the case of matrix exponential decay.
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中文摘要：
我们考虑多个资产的线性瞬时价格影响模型，该模型考虑了交叉资产影响。我们的主要目标是挑出需要施加在衰变核上的属性，以便该模型允许行为良好的最优交易执行策略。我们首先通过假设衰变核对应于一个矩阵值正定函数，证明了这种策略的存在性。然而，一个例子说明，仅仅是正定性并不能保证最优策略的良好表现。基于一维情形的先前结果，我们研究了一类非递增、非负和凸的衰变核，其值在对称的$K \\乘以K$矩阵中。我们证明了这些衰变核总是正定的，并且当它们甚至是严格正定的时候，它们都具有特征，这一结果可能是独立的。当需要衰变核也是交换核时，此类核的最优策略表现良好。我们展示了如何利用矩阵函数构造这样的衰变核，并给出了一些例子。特别地，我们完全解决了矩阵指数衰减的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Multivariate_transient_price_impact_and_matrix-valued_positive_definite_functions.pdf (647.04 KB)

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关键词：Optimization Quantitative Multivariate agent-based Game Theory

多元瞬时价格影响和矩阵值正定义函数*弗洛里安·克罗克——亚历山大·希德**第一版：2013年10月16日第一版：2015年9月9日摘要我们考虑多个资产的线性瞬时价格影响模型，该模型考虑了交叉资产影响。我们的主要目标是挑出需要在衰变核上应用的属性，以便该模型允许行为良好的最优交易执行策略。我们首先证明，假设衰变核对应于一个矩阵值的正定义函数，这类策略的存在是有保证的。然而，一个例子说明，仅仅是积极的不确定性并不能保证最佳策略的良好表现。在一维情形的基础上，我们研究了对称K×K矩阵中一类非增、非负、凸的衰减核。我们证明，这些衰变核总是正定义的，当它们甚至是严格正定义时，它们都具有特征，这一结果可能具有独立的意义。如果需要衰变核也是交换的，则此类核的最优策略表现得尤为出色。我们展示了如何通过矩阵函数构造这样的decay核，并提供了一些例子。特别地，我们完全解决了矩阵指数衰减的情况。关键词：多元价格影响、矩阵值正定义函数、最优交易执行、最优投资组合清算、矩阵函数1简介价格影响指交易对资产报价的反馈影响，并负责产生执行成本。经验证明，价格影响主要是暂时的；例如，见Moro等人[2009]。

当交易速度非常低时，暂时性的影响可以减少到只考虑暂时性和永久性*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MathRisk ENPC-INRIA-UMLV，法国马恩拉山谷77455号布莱斯帕斯卡大道6-8号桥学院。alfonsi@cermics.enpc.fr——德国曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆。**曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆，德国。schied@uni-曼海姆。作者感谢匿名审稿人的评论，这些评论有助于大幅改进原稿的前一版本。A.A.感谢Risque基金会“主席Risque金融家”的支持。F.K.和A.S.感谢Martin Schlather和Marco Oesting的讨论，并衷心感谢德意志金融服务集团通过研究基金SCHI 500/3-1提供的财务支持。价格影响部分[Bertsimas和Lo，1998年，Almgren和Chriss，2001年]。然而，对于更高的交易速度，我们需要一个明确描述交易双方价格影响衰减的模型。Bouchaud等人[2004]和Obizhaeva and Wang[2013]首次提出了此类模型。这些模型后来被阿方西等人[20082010]、Gathereal[2010]、阿方西等人[2012]、Gathereal等人[2012]、Predoiu等人[2011]、Fruthet等人[2014]和Lokka[2012]扩展到各个方向，仅举几例。在Gathereal和Schied[2013]中可以找到更全面的参考文献列表。

我们还参考郭[2013]对上述介观模型背后的微观订单图片的介绍。上述所有瞬时价格影响模型只涉及一种风险资产。虽然暂时性和永久性价格影响的多资产模型[Sch¨oneborn，2011]或forgeneric价格影响函数[Schied等人，2010年，Kratz和Sch¨oneborn，2013年]被认为更昂贵，但我们不知道以前有任何方法来分析暂时性跨资产价格影响的具体影响。本文的目标是提出并分析K种不同风险资产之间的瞬时价格影响的简单模型。继Gatherel[2010]的一维ansatzof之后，时间t对ithasset价格的影响将由时间s<t时jthasset的一个单位产生，用数字Gij（t）来描述- s） 对于某个函数Gij:[0，∞) → R.矩阵值函数G（t）=（Gij（t））i，j=1，。。。，K将被称为多资产价格影响模型的decay内核。在具体情况下建立这样一个模型时，人们遇到的第一个问题是如何选择衰变核。已经在一维情况下，K=1，decaykernel G需要满足一定的条件，以便由此产生的价格影响模型具有一些最小的规律性性质，如最优交易执行策略的存在，Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵的存在，或振荡策略的不发生。Alfonsi等人[2012]表明，当G为非负、非递增和凸时，这些性质是满足的。在这里，我们将继续相应的分析，并将其扩展到矩阵值衰减核G。我们的第一个观察结果是，G必须对应于某个矩阵值正定义函数。

这些函数以前曾被克拉姆[1940]、奈马克[1943]、法尔布[1969]等学者定性和分析过。然而，一个例子说明，仅仅是积极的不确定性并不能保证最佳策略是良好的。因此，我们引入了一类在对称K×K矩阵中具有值的非增、非负和凸decaykernel。我们证明了这些衰变核始终是正定义的，当它们甚至是严格正定义时，我们在定理2.15中对其进行了刻画。如果一个额外的条件是衰变核是交换的，那么这类核的最优策略不允许振荡。基于这一结果，我们将在第2.5节中讨论在时间网格和策略上同时优化的问题，并根据合适的连续时间限制说明解决方案。最后，我们展示了如何通过矩阵函数构造这种衰变核，并提供了一些例子。特别地，我们完全解决了矩阵指数衰减的情况。我们的主要一般结果在第2节中说明。第3节给出了衰变核及其最优策略的转换结果，以及几个显式示例。由于K>1的情况比一维情况要复杂得多，我们在第4节总结了从我们的结果中得出的主要结论。这些结论将集中在我们最初的问题上：应该从哪类函数中选择瞬态价格影响的衰变核？第5.2节“一般结果说明”给出了大多数证据。在本节中，我们首先介绍了Kdi不同风险资产的具有瞬时价格影响的线性市场影响模型。然后，我们讨论衰变核应该满足哪些属性，以便相应的市场影响模型具有某些期望的特征和属性。

其中两个性质是Huberman和Stanzl[2004]意义上的最优策略的存在和价格操纵策略的缺失，我们都将通过建立正定矩阵值函数理论来描述这两个性质。然而，要求积极的不确定性通常不足以保证最佳策略的良好表现。因此，我们将对正定矩阵值函数和相关的二次极小化问题进行更详细的分析，这一分析可能具有独立的意义。2.1准备工作我们在这里介绍一个针对在K种不同证券中交易的投资者的市场影响模型。当投资者不活跃时，这些资产的未受影响价格过程由右连续的K维鞅（St）t给出∈[0，T]定义在过滤概率空间上(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）。现在假设投资者可以在时间网格T={T，…，tN}的时间进行交易，其中∈ N和0=t<t<··<tN（第2.5节将考虑可能存在交易不连续时间的扩展设置）。ithasset在时间tkis的订单大小由Ftk可测量的随机变量ξik描述，其中正值表示买入，负值表示卖出。通过ξk=（ξk，…，ξKk）>我们表示在时间tk处绘制的所有顺序的列向量。我们主要关注的是P-a.s.清算agiven初始投资组合X的可接受策略∈ RK。当最初的投资组合太大而无法立即清算时，这种策略在实践中是必要的；例如，参见Almgren和Chriss[2001]。定义2.1。设T={T，…，tN}为时间网格。T的一个可容许策略是有界k维随机变量的序列ξ=（ξ，…，ξN），使得每个ξkis ftk可测量；如果每一个ξIk不依赖于ω，则称ξ为确定性的∈ Ohm.

给定初始投资组合X的可接受清算策略集∈ RK和T定义为asX（T，X）：=nξ=（ξ，…，ξn）ξ是容许的，X+NXk=1ξk=0 P-a.s.o.（1）X（T，X）中的确定性清算策略集用Xdet（T，X）表示。我们现在转向定义可接受策略产生的价格影响。正如导言中更详细地讨论的那样，近年来提出了几种模型，其中考虑了价格影响的暂时性。然而，所有这些模型只考虑一种风险资产。在本文中，我们的目标是将模型从Alfonsi et al.[2012]扩展到风险资产大于1的情况，Alfonsi et al.[2012]本身是Gathereal[2010]模型的线性和离散版本。衰变内核将是一个连续函数[0，∞) -→ RK×kboundness在这里是为了简单而假设的，并且很容易放松；例如，假设ξ和都是平方可积的就足够了。由于一项资产的股份总数始终是有限的，因此从经济角度来看，可以在不丧失一般性的情况下假设有界性。取空间RK×Kof中所有实K×K矩阵的值。当ξ是一段时间的容许策略时，网格T={T，…，tN}和T≥ tk∈ T、 Gij（T）的值- tk）描述了通过交易一个单位的jthasset attime tk而产生的对ithasset价格的时间影响。因此，我们定义了受影响的价格过程asSξt=St+Xtk<tG（t- tk）ξk，t≥ 这里是G（t）- K×K矩阵G（t）的应用- tk）到K维向量ξK。让我们写Sξ，它是价格向量Sξt=（Sξ，1t，…，Sξ，Kt）>。kthorderξk的执行使ITH资产的价格从SξITkT线性地转移到Sξitk+。因此，ithasset的股票指令ξik以平均价格（Sξ，itk++Sξ，itk）执行。

因此，执行ITH资产的ξIk股份的过程如下所示：-ξik（Sξ，itk++Sξ，itk）。由此得出，策略ξ产生的总收入为byR（ξ）=-NXk=1ξ>k（Sξtk++Sξtk）。（3） 在续集中，可以方便地将收入转换为成本，成本定义为X>S- R（ξ），收益低于初始投资组合的账面价值X>S。备注2.2。在我们的模型的一维版本中，通常会添加买卖价差，以便提供对ξkas的解释。ξkas是放置在区块形状的限价指令簿中的市场指令；例如，参见Alfonsi and Schied[2010]中的第2.6节。然而，在实践中，执行算法将使用各种不同的订单类型，人们应该将价格影响和成本视为这些订单类型的总和。例如，虽然在下达市场买入指令时必须支付一半的差价，但在执行限价卖出指令时可以获得相同的差价。其他订单类型在执行时可能会产生折扣，或允许以中间价格执行。将买卖价差计算出来可能比将其添加到订单的每次执行中更现实。在本文中，我们将研究一个策略的预期成本最小化问题，在许多情况下，这是一个确定最优交易执行策略的合适优化问题。然而，我们的主要兴趣是提供衰变核G的条件，在衰变核G下，模型是充分正则的。

正如Gatherel和Schied[2013]中详细讨论的那样，市场影响模型的规律性应该通过最小化预期成本的执行策略的存在和行为来衡量，因为模型的规律性应该独立于使用该模型的代理可能具有的风险规避来考虑。为了分析可容许策略ξ=（ξ，…，ξN）的预期成本，识别特定实现ξ（ω）=（ξ（ω），ξN（ω），具有张量积空间RN的元素 RK。我们还将为时间网格的基数写| T |。引理2.3。战略的预期成本ξ∈ 时间网格T的X（T，X）由[X>S]给出- R（ξ）=E[CT（ξ）]，（4）其中成本函数CT:R |T| RK→ R由ct（ξ）=NXk，`=1ξ>桶（tk）给出- t`）ξ`（5）用于函数eg:R→ RK×Kde定义字节（t）：=G（t）对于t>0，（G（0）>+G（0））对于t=0，G(-t） >对于t<0。（6） 现在我们将讨论在类X（T，X）中最小化预期成本的可容许策略的可能存在性和结构。同时优化T和策略ξ的问题∈ X（T，X）将在第2.5节中讨论。引理2.4。在所有策略η中，X（T，X）中存在一个最小化预期成本E[CT（η）]的策略∈ X（T，X）当且仅当存在使代价函数CT（ξ）在所有ξ上最小化的确定性策略∈ Xdet（T，X）。在这种情况下，任何极小值η*∈ X（T，X）可以看作是Ohm 进入Xdet（T，X），它取成本函数CT（·）的确定性极小值集中的P-a.s.值。条件[CT（η）]≥ 0代表所有T，X∈ Rk和η∈ X（T，X）（7）可以被视为基础市场影响模型的一个规律性条件。它排除了通过利用自身价格影响获得积极预期收益的可能性；例如，见阿方西等人。

[2012]或Gathereal and Schied[2013]进行详细讨论。特别是，它排除了Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵策略的存在。因此，在续集中，我们将重点讨论满足（7）的衰变核。事实证明，（7）可以通过要求（6）中的函数G是以下意义上的正有限矩阵值函数来等价刻画。定义2.5。函数H:R→ CK×Kis称为所有N的正定义矩阵值函数if∈ N、 t，tN∈ R、 z，锌∈ CK，NXi，j=1z*iH（ti）- tj）zj≥ 0，（8）其中*-上标表示复向量或矩阵的通常共轭转置。如果（8）中的等式仅适用于z=···=zN=0，则H称为严格正定义。当K=1时，我们说H是（严格地）正定义函数。请注意，在整条实线R上定义了一个正定矩阵值函数H，并允许在复矩阵中取值。另一方面，衰变核G仅在[0]上定义，∞) 取实矩阵RK×K中的值。考虑到CK×K值正定义函数的扩展框架，将便于我们的分析。下一个命题解释了正定义函数和具有非负预期成本的衰变核之间的关系。提议2.6。对于衰变核G，下列条件是等价的。（a） E[CT（η）]≥ 0表示所有时间网格T，初始投资组合X∈ RK和η∈ X（T，X）。（b） CT（ξ）≥ 0表示所有时间网格T和ξ∈ R|T| RK。（c） 对于所有时间网格T，CT:R | T| RK→ R是凸的。（d） （6）中定义的eG是一个正定义的矩阵值函数。此外，如果满足这些等价条件，则等式CT（ξ）=0适用于所有时间网格T，仅当且仅当ifeG严格为正定义时，ξ=0适用于ξ=0。