大蜱虫耦合回传扩散高频动力学建模

kurt是逐滴答返回的最大峰度，^π是传播等于一滴答的时间的分数。我们计算了p=1,3的平方转角的自相关系数ρ（τ），结果如图5所示。我们已经校准了MSFT资产上的参数（详见下一节）。我们注意到MS和MSB模型严重低估了ρ（τ）。注意，对于theMS模型，根据实际数据校准的ρ（τ）非常小，但不是理论预测的零。另一方面，DCMM（p）模型能够很好地拟合ρ（τ）直到滞后τ=p。值得注意的是，该模型也很好地捕捉了非常短滞后的负相关性。然而，这一观察结果表明，高阶DCMM（p）模式l可能能够更好地拟合真实数据。在接下来的章节中，我们将展示事实的确如此。4数据我们调查了两家股票，即na mely Microsoft（MSFT）和Cisco（CSCO），两家股票均于2009年7月至8月在纳斯达克市场交易，对应42个交易日。数据包含与订单执行、价格、交易量大小和交易方向相对应的时间戳。时间分辨率为一毫秒。在本文中，我们主要报告了MSFT资产的结果，这与CSCO的结果非常相似。在调查日内财务数据时，非统计数据可能非常重要。因此，为了将我们的实证分析限制在大致固定的时间间隔内，我们首先计算时间t的交易活动强度，条件是中间价格变化的特定值k，即p（t | r（t）=k）。如图6所示，无条件交易强度t（t）在一天中不是静止的[21]。和往常一样，交易活动在一天的开始和结束时都非常活跃。因此，我们放弃交易日第一和最后六分钟的交易数据。

此外，图中还显示，这三种返回值的相对频率在一天中都会发生变化，但大于两个滴答声的返回值在一天中非常罕见。最重要的是，在一天的前半部分，一次或两次滴答的回报比零回报更频繁，而在大约10:30之后，情况正好相反。因此，我们将时间序列分为两个子样本。第一个样本对应于高交易强度的每iod，涵盖时间集t∈ (9 : 36, 10 : 30) ∪ （15:45，15:54），时间是在室内测量的。第二个样本对应于低交易强度，涵盖时间集t∈ [10 : 30, 15 : 45]. 表1报告了两个子样本的汇总统计。然后，我们分析了每一天的时间（小时）0.010.1p（t）p（t | ret（t）=0）p（t | ret（t）|ret（t）|=1）p（t | ret（t）|=2）p（t | ret（t）|>2）时间限制图6：交易发生时的无条件和条件概率分布。我们把数据分成6分钟的间隔。科尔r（t），r（t+τ）= ρ（τ）表示这两个级数。如图7所示，对于τ>5，两个时间序列都显示出显著的正相关和缓慢衰减的自相关，这是波动性聚集的定量表现。

这些对应于低交易活动的系列显示出较小但非常持久的波动聚集。5模型的估计和与实际数据的比较我们已经估计了以秒为单位描述的模型。3.1和3.2，我们使用蒙特卡罗模拟生成了根据真实数据校准的人工时间序列。将这些时间序列的特性与realdata的特性进行了比较。更具体地说，我们考虑了三种模型：（i）MSB模型，其中传播由伯努利曲线描述，不存在logit回归；（ii）MS模型，当传播是马尔可夫（1）过程且不存在logitregres-sors时；（iii）DCMM（p）模型，其中利差是一个马尔可夫（1）过程，logit回归集仅包括平方收益的过去p值。因此，请注意，在最后一个模型中，我们将e设置为0。最后，我们分别估算了高活性和低活性状态下的模型。滞后τ（交易数量）-0.03-0.02-0.010.010.020.030.04ρ（τ）MSFT高ρ（τ）MSFT低。i、 d.炒作。图7:MSFT平方收益的样本自相关函数ρ（τ）。黑色圆圈表示高交易活动系列，红色方块表示低交易活动系列。虚线表示i.i.d.时间序列假设中的2σ置信区间。活动^π^p^p^θ^θ高9.17* 10-19.53* 10-15.22* 10-14.81* 10-21.51* 10-3低9.52* 10-19.72* 10-15.50* 10-12.85* 10-22.65* 10-4表2：MSFT资产的估计参数。5.1模型的估计从价差和收益数据中，我们计算了第节中定义的参数的估计量^π、^p、^p、^θ、^θ。3.1.

它们由π=nNs，π=nijPj=1nij，θk给出=1.-n0kNk, （31）其中nis是s（t）=1的次数，Ns是s前时间序列的长度，nijis是价差i的值后面跟着值j的次数，N0是在制度x（t）=k中收益为零的次数，Nk是在制度x（t）=k中收益子序列的长度。对于最后的估计量^θkwe c count，只有零回报，因为我们假设回报在集合中对称分布(-2, 0, 2). 我们已经检查过，这个假设代表了我们数据集的一个很好的近似值。MSFT资产的估计参数如表2所示。为了估计DCMM（p）模型，我们需要估计向量θ。对于这两种情况，我们都使用了公式30的近似对数似然。错误z- 价值1-1.56* 10-19* 10-3.-18.4* **2.-4.03* 10-27.4* 10-3.-5.45* **3 2.18 * 10-27* 10-33.12* *4 4.58 * 10-26.9* 10-36.61* **5 7.13 * 10-26.8* 10-310.5* **6 7.59 * 10-26.8* 10-311.2* **7 5.94 * 10-26.9* 10-38.57* **8 6.06 * 10-26.9* 10-38.76* **9 5.94 * 10-26.9* 10-38.55* **10 5.58 * 10-27* 10-38.01* **11 5.69 * 10-26.9* 10-38.20* **12 4.14 * 10-27.1* 10-35.86* **13 5.79 * 10-26.9* 10-38.36* **14 5.17 * 10-27* 10-37.40* **15 4.18 * 10-27.1* 10-35.93* **16 3.76 * 10-27.1* 10-35.30* **17 4.86 * 10-27* 10-36.92* **18 5.11 * 10-27* 10-37.31* **19 3.52 * 10-27.1* 10-34.95* **20 2.96 * 10-27.2* 10-34.14* **21 3.92 * 10-27.1* 10-35.54* **22 2.51 * 10-27.2* 10-33.49* **23 2.70 * 10-27.2* 10-33.76* **24 3.50 * 10-27.1* 10-34.93* **25 2.32 * 10-27.2* 10-33.23* *表3：高活动状态下MSFT资产的估计参数。星星表示重要程度：***(0.001) , **(0.01) , *(0.05) , . (0.1) , (1).对于低波动率系列P（x（t）=1），我们有≈ 0.92，对于高挥发性，Yp（x（t）=1）≈ 0.87.

因此，我们只需要估计向量θ=α, β′通过标准的广义线性回归，我们使用迭代加权最小二乘法[6]。通过这种方式，我们以regimex（t）=1的形式生成收益序列，而对于其他制度，收益率遵循等式9中的规则，即我们使用估值器^θ。为了研究过去的平方收益对收益过程的影响，将模型的顺序固定为p=50。为了简单起见，我们在这里只报告高活动时间序列的结果。我们发现α=-2.921（0.019），我们在表3中给出了β1的前25个值。β1的估计值在i>2且i=50时具有显著性，i=36、37除外。此外，当i=6时，它们显示最大值。我们对这些参数进行幂律拟合，β1i∝ 我-α、 我们发现一个显著的指数α=0.626（0.068）。我们假设β1i的这种函数依赖性可能与平方收益的自相关函数的缓慢衰减有关，但我们没有进一步研究这方面。5.2与实际数据的比较在根据实际数据估计了三个模型后，我们为每个模型生成了25个长度为10次观测的数据样本。通过这种方式，我们能够确定数量的经验统计误差，即10 20 30 4050 60τ（交易数量）－0.03-0.02-0.010.010.020.03真实数据DCMM（p=50）模型真实数据fit0 20 40τ（交易数量）－0.04-0.020.020.04真实数据DCCM（p=50）真实数据Fit图8：经验自相关函数r（t），r（t+τ）对于符合DCMM（50）模型的真实（黑色）和模拟（红色）数据。红方块是真实数据的幂律曲线。左面板指MSFT，右面板指CSCO。在这些艺术样本上测量。我们考虑了三个量与实际数据进行比较。

除了平方收益的自相关之外，为了分析不同交易时间尺度下的收益分布t、 我们测量了经验标准差和exc ess峰度σ(（t）=Eh（（pm（t+（t）- pm（t））- E[pm（t+（t）- pm（t）]i1/2(32)κ (t） =Eh（pm（t+（t）- pm（t））- E[pm（t+（t）-pm（t）]iσ(（t）- 3（33）归一化标准偏差σN(t） =σ(（t）/√t给出了价格过程的不同特征的信息，因为σN(t） 是持续不断的努力。κ的行为(t） 作为t描述了收益分布向高斯分布的收敛[4]。我们首先研究平方收益ρ（τ）的自相关特性。对于MSB和MS模型，该函数与零兼容，但FirstLag除外，在FirstLag中，我们测量了显著的正值ρ（τ=1）≈ 0.01. 相反，带有Regressiono rs DCMM（p=50）的模型能够显著地再现ρ（τ）的值，直到τ=50，如图8所示，这两个值都适用于MSFTA和CSCO。ρ（τ）在τ周围的行为 模型也很好地再现了0。该模型低估了τ>50的实际过程的自相关值，但它产生的值仍然显著为正。我们对re-al和DCMM（p=50）模拟数据进行了幂律拟合，得到了与τ对应的滞后值∈ [6, 50]. 对于实际数据，我们发现α=0.298（0.0 23），对于模拟数据，α=0.300（0.028）。由于α<1，该模型能够重新生成与模型p阶数相等的滞后sτ值的相关关系ρ（τ）的长记忆形状。然后，我们分析了分布特性，即归一化标准差σN(t） 和exc e ss峭度κ(t） 。

对于每个对于每个模型，我们计算25次模拟的平均值和标准偏差，并将模拟结果与实际数据进行比较（见图9）。这些模型明显不同。此外，MS和DCMM（p=50）模型比MSB模型更能再现σn的经验值。这个t（事务数）0.620.640.660.680.70.72真实数据MSBModelMS modelDCCM（p=50）模型t（交易数量）-2-1真实数据MSB模型MS模型DCCM（p=50）模型图9:L e ft.重新标度的波动率σN(t） 在时间尺度上的聚集翻转t代表MSB（红线）、MS（绿线）和DCMM（p=50）（蓝线），而高波动性系列（黑线）的实际数据数量相同。正当过量峰度κ(t） 在时间尺度上的累计重复次数t对于M SB（红线）、MS（绿线）、DCMM（p=50）（蓝线），与高挥发性系列（黑线）的稀土数据的相同数量进行比较。两个面板内的误差条是从相应模型的25个蒙特卡罗模拟中获得的标准偏差。MS和DCMM（p=50）模型之间的差异仅适用于以下情况：t>128，即。这两个模型的参数几乎相同。相反，过度峰度的行为在模型之间是不同的（参见图9的右面板）。MSB和MS模型的超额峰度符合幂律κ(（t）~ -α=0.901（0.027）（MSB）和α=0.997（0.052）（MS）。这些值与fvolatility的短期相关性一致。事实上，可以证明[4]具有短程自相关波动率的随机波动率模型的特征是α=1。相反，具有长期自相关波动率的随机波动率模型显示出较慢的衰减。这正是真实数据和CMM（p=50）模型观察到的结果。

在这两种情况下，我们都观察到峰度的异常标度，这与随机波动率模型更为一致，其中波动率是一个长记忆过程。6结论我们开发了马尔科夫转换模型，用于描述交易时间内大型股票资产的价差和收益的耦合动力学。潜在的马尔可夫过程是连续sprea d值之间的转换过程。通过这种方式，收益通过不同的过程来描述，取决于利差是恒定的还是不及时的。我们已经证明，这种机制是必要的，以便在不同的交易数量聚集情况下，模拟中间价格变化分布的不同形状。为了能够对持续的波动性聚类进行建模，我们引入了一个马尔可夫模型，该模型由过去的收益值和平方收益表示logit回归。我们在微软和Cisc o股票上校准了模型，通过使用蒙特卡罗模拟，我们发现该模型以定量的方式再现了显著的经验程式化事实。特别是，我们能够在不同的聚合、不相关回报、差异性、s四次回归的缓慢衰减自相关函数以及不同时间尺度上峰度的异常衰减（即收敛到高斯分布）下重现分布的形状。作为一种可能的扩展，我们观察到，如果我们想要更精确地重新生成平方收益的自相关函数，直到达到一定数量的滞后，我们需要估计一些参数，即模型的阶数，至少等于这个值。我们发现，这些参数与参数指数的幂律函数成比例，也就是说，它是定义回归系数的过去la G数量的函数。

该模型的一个可能改进是开发一个模型，在该模型中，我们直接估计一个带有少量参数的参数函数（例如幂律函数），它可以描述当我们考虑模型的特定顺序时，这些参数是如何缩放的。最后，我们注意到，我们已经在大型资产的情况下开发了这个模型，但这个局限性只是通过为价差和收益变量选择一组有限的值来重新呈现。原则上，任何类型资产的扩展都只能通过一个模型来表示，在这个模型中，我们可以有多个预测值，而不仅仅是1或2，以及一组更广泛的回报值。致谢我们要感谢Alessander o Profeti和Andrea Carlo Giuseppe Mennucci开发和支持计算机设施HAF92 2。sns用于执行数据分析和Montecarlo模拟，用R语言编写，本文对此进行了报道。作者承认grantSNS11LILLB“价格形成、代理人异质性和市场效率”的部分支持DCMM（p）模型的平方收益相关性r（t）过程的定义∈ {0,1,4}在DCMM模型的p的一般值的情况下，在公式19中报告。对于k[31]：p的每一个值，这个随机过程是一个稳定的马尔可夫过程r（t）=（3）-ip+1）|x（t）=k；r（t）- 1) = (3 - ip），··，r（t）- p） =（3）- i） )；θk= Vx（t）；二、ip+1，（34）我们有k∈ {1,2,3,4}和指数^i=（i，i，···，ip+1）的p+1维向量，其中每个指数可以假定值为il∈ {1,2,3}∈ {1,2，··，p+1}。我们强调指数ip+1定义了平方收益r（t）的当前值，而不是指数i，···，i定义了平方收益过程的过去历史，即定义了r=r（t）的最终值- p） 。

跃迁概率由以下公式给出：Vx（t）=k∈{1,4};二、ip+1=1=ηk（i，··，ip）=exphαk+Ppl=1βk，l（3- 知识产权-l+1）i1+exphαk+Ppl=1βk，l（3- 知识产权-l+1）i，Vx（t）=k∈{1,4};二、ip+1=2=0，Vx（t）=k∈{1,4};二、ip+1=3=1+exphαk+Ppl=1βk，l（3- 知识产权-l+1）i，Vx（t）=k∈{2,3};二、ip+1=1=0，Vx（t）=k∈{2,3};二、ip+1=2=1，Vx（t）=k∈{2,3};二、对于p维向量i=（i，·，ip）的每个值，ip+1=3=0，（35）。对于归一化的转移概率，我们有3p+1个值：K i、 ip:Xip+1=1Vx（t）=k；二、ip+1=1。（36）我们可以恢复定义在向量状态Y（t）上的等价马尔可夫（1）过程。我们定义了一个p维向量的平方比ns:Y（t）[i]=r（t）- p+1）=（3- i） ，r（t）=（3）-ip）, （37）在本案例中，指数I定义了平方收益r（t）的当前状态。向量过程Y（t）是状态空间{0，1，4}p上的一阶马尔可夫链，即Y（t）可以假定3个不同的值。我们定义了四个转移矩阵Ux（t）=k∈ Mp，3p（R），以表示x（t）的每个可能值的等效马尔可夫过程。这些矩阵描述了传递（t）→ Y（t+1），我们也可以通过指数的变换来表示：（i，··，ip）→ （一、知识产权+1）。我们必须映射跃迁概率Vx（t）=k；二、ip+1至矩阵Uk的元素；m、 n，其中m，n∈ {1，··，3p}。我们可以通过简单的规则来获得这一点：（i，··，ip+1）→ （m，n），m（i，·ip）=“p-1Xl=1p-l（3）- il）#+4- ip，n（i，··，ip+1）=“p-1Xl=1p-l（3）- il+1）#+4- ip+1，Ux（t）=k；m、 n=Vx（t）=k；二、ip+1。（38）本规则无法填写整个英国矩阵；m、 n，bec，因为当我们研究Y（t）的马尔科夫过程时，我们有很多禁止的跃迁，所以上述规则没有捕捉到的矩阵元素有0个值。