大蜱虫耦合回传扩散高频动力学建模

通过这种方式，我们可以通过一种简单的最大似然方法直接估计矩阵M和Vkb，而无需使用期望最大化（EM）算法和维特比算法，这通常在隐藏过程不可观测时使用[25,26]。我们使用过程x（t）的平稳概率分布作为初始概率分布π来进行计算和模拟。我们使用DCMM模型作为差价和差价过程的数学框架，而不将差价过程视为隐藏过程。在DCMM模型的少数金融应用中，我们提到了参考文献[35,36]。在前一篇论文中，作者研究了金融公司投资组合的信用评级动态，其中未被观察到的隐藏过程是整体经济的状态。相反，在Eisenkopf[36]中，作者考虑了一个问题，即信用评级过程受到未观察到的隐藏风险情况的影响。据我们所知，我们的论文是DCMM首次应用于市场微观结构和高频金融数据领域。3.扩散和回流耦合动力学模型在本节中，我们介绍了描述回流过程的模型r（t，t） =pm（t+（t）-时间尺度上的pm（t）t、 其中，我们将中间价格定义为pm（t）=（pASK（t）+pBID（t））/2，并选择以半刻度大小为单位进行测量。在我们的模型中，retur n过程遵循不同的时间序列s过程，条件是扩散s（t）=pASK（t）的转换动力学-pBID（t）。在这里，我们将使用符号r（t）=r（t，t=1）。s pread变量s是以1个刻度为单位测量的，所以我们有r（t，（t）∈ Z和s（t）∈ N.时间变量∈ N是事务时间。3.1马尔可夫切换模型扩展过程。众所周知，传播过程在时间上是自相关的[42,4,7,18]。

我们将sprea d s（t）建模为一个平稳的Markov（1）[41]过程：P（s（t）=j|s（t）-1） =i，s（t）- 2） =k，··）=P（s（t）=j | s（t）- 1） =i=pij，（4）式中i，j∈ N是传播值。如上所述，我们将spre ad值集限制为∈ {1，2}，因为我们想描述大型tick资产的情况。我们还认为过程s（t）不受返回过程r（t）的影响。扩散过程由转移矩阵B描述=pppp其中规范化由Pj=1pij=1给出。平稳概率向量是B′相对于特征值1的特征向量π，即B′π=π，π=(1 - p） /（2）-P- p） （1）- p） /（2）-P- p）（5） 其中B′表示矩阵B的转移。该向量表示s（t）的无条件概率，因此πk=P（s（t）=k），k=1，2。从s（t）过程开始，定义一个新的平稳马尔可夫（1）过程x（t）是有用的，它描述了当s（t+1）=1，s（t）=1，s（t）=1，如果s（t+1）=2，x（t）=2，s（t）=1，x（t）=3，如果s（t+1）=1，s（t）=2，x（t）=4，如果s（t+1）=2，s（t）=2。（6） 这个过程用一个新的转移矩阵来描述=嗯嗯=pp0 00 pp0 00 pp其中，平稳向量由m′λ=λ，λ给出=（pp）/（1）-p+p）p（1）- p） /（1）- p+p）p（1）- p） /（1）- p+p）（1）- p） （1）-p） /（1）- p+p）. （7） 极限情况是当扩散过程s（t）由伯努利过程描述时。在这种情况下，我们设置P（s（t）=1）=P。尽管s（t）是一个i.i.d。

在这一过程中，我们尝试了传播过程的其他具体情况，例如长记忆过程，但这并没有显著改变我们的结果。扩散转移过程xB（t）是一个马尔可夫过程，定义为：MB=p（1）- p） 00 p（1）- p） p（1）- p） 00 p（1）- p）, λB=pp（1）- p） p（1）- p） （1）- p）.在一般情况下，过程x（t）由两个参数p定义，p（在伯努利的情况下减少为p），我们可以从数据中估计。中等价格流程。我们现在可以定义returnsr（t）的马尔可夫转换过程，该过程以过程x（t）为条件，即扩展转换。回报率以半个刻度来衡量，我们限制可能的值tor（t）的集合∈ {-2.-1，0，1，2}，正如在我们的示例中所观察到的。价格网格的离散性要求机械结构x（t）=1-→ r（t）∈ {-2,0,2}，x（t）=2-→ r（t）∈ {-1,1}，x（t）=3-→ r（t）∈ {-1,1}，x（t）=4-→ r（t）∈ {-2, 0, 2}. （8） 转换x（t）和中间价格变化r（t）的允许值之间的映射已通过使用图3所示的ca完成。这一假设是基于经验观察得出的，即中间价格变化| r（t）|>2对于大型股票资产来说是极其罕见的（见第4节）。在最简单的模型中，我们假设两个交易之间收益的概率分布仅取决于它们之间的价差转移。因此，我们可以确定收益过程中的以下条件概率：P（r（t）=±2 | x（t）=1；θ） =θ，P（r（t）=0 | x（t）=1；θ) = 1 - 2θ，P（r（t）=±1 | x（t）=2；θ） =1/2，P（r（t）=±1 | x（t）=3；θ） =1/2，P（r（t）=±2 | x（t）=4；θ） =θ，P（r（t）=0 | x（t）=4；θ) = 1 - 2θ. （9） 注意，我们假设收益在正负值之间呈对称分布，θ=（θ，θ）′是我们可以从数据中估计的参数向量。

参数θ（θ）描述了当差价在一（两）个基点上保持不变时，中间价发生变化的概率。本文描述的利差和收益的耦合模型将被称为theMS模型。当我们考虑伯努利过程描述的特殊传播情况时，我们将其称为MSB模型。价格回报的性质。这里我们推导了矩和自相关函数corr（r（t），r（t+τ））≡ ζ（τ）和corrr（t），r（t+τ）≡ ρ（τ）在MS模型下。数量ζ（τ）有助于研究价格的统计效率，而ρ（τ）描述交易时间内的波动率聚集。我们首先计算条件一阶、二阶和四阶矩se[r（t）|x（t）=k]=m1，k，E的向量r（t）|x（t）=k= m2，k，Er（t）|x（t）=k= m4，k.（10）其中mj表示k-向量mj的第th分量。我们有m=0，m=（8θ，1，1，8θ）和m=（32θ，1，1，32θ）。然后，我们使用平稳向量λasE[r（t）]=Xk=1E[r（t）|x（t）=k]P[x（t）=k]=m′λ，E来计算无条件矩r（t）=Xk=1Er（t）|x（t）=kP[x（t）=k]=m′λ，Er（t）=Xk=1Er（t）|x（t）=kP[x（t）=k]=m′λ，var[r（t）]=m′λ- （m′λ），varr（t）= m′λ- （m′λ），（11）为了计算线性自相关函数ζ（τ），我们需要计算E[r（t）r（t+τ）]，通过使用r（t）与光谱x（t）的条件独立性。我们得到：E[r（t）r（t+τ）]=Xi=1Xj=1E[r（t）r（t+τ）|x（t）=i，x（t+τ）=j]P[x（t）=i，x（t+τ）=j=Xi=1Xj=1E[r（t）|x（t）=i]E[r（t+t） |x（t+τ）=j]P[x（t）=i，x（t+τ）=j]=Xi=1Xj=1m1，im1，jλiMτij=λ′MτM，（12）其中我们定义了矩阵∧=diag（m1,1，m1,2，m1,3，m1,4）。

收益率的自相关函数由ζ（τ）=λ′∧MτM给出- （m′λ）m′λ- （m′λ），（13）在我们的具体情况下ζ（τ）=0，因为系统导致m=0。我们还计算了平方返回ρ（τ）的自相关函数，它等于ρ（τ）=λ′∑MτM- （m′λ）m′λ- （m′λ），（14）其中我们定义了矩阵∑=diag（m2,1，m2,2，m2,3，m2,4）-2-1 0 1 2价格变化（半滴答声）0.20.40.60.8k evenk奇数-25-20-15-10-5价格变化（半滴答声）0.050.1k evenk奇数图4：在MSFT上校准的模拟ofMS模型的中间价格变化的无条件分布。le ft面板显示r（t，t=1）=pm（t+1）-pm（t），而右侧面板显示r（t，t=128）=pm（t+128）- pm（t）。正如所料，这两个相关函数都取决于转移概率矩阵M的幂。对于马尔可夫过程，M是可诊断的，我们可以写出Mτ=CMτDC-1，式中：MτD=00 00 00 01 00 0（p- p） τ, C=101P（p-1） 0 1p（p-1） 011P（p-1） p（p-1).在用伯努利过程描述扩展的极限情况下，矩阵MBis不可对角化，但其所有特征值都在R中，即sp（MB）=（0，0，0，1），我们可以计算其Jordan正则形式。因此，我们可以将滞后依赖性改写为MτB=EJτBE-1，地点：JB=0 1 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0, E=P- P 1.- PP-P-聚丙烯P- P-购买力平价-1p-P-聚丙烯.块状直径矩阵JB的结构意味着JτB=JB=0，τ ≥ ρ（τ）是τ的常数函数≥ 2.讨论。对实际数据和模型的定性比较表明，MS模型能够很好地再现收益率的分布。通过比较图1和图4可以看出这一点。值得注意的是，至少在定性上，伯努利模型也能够重新产生对r e匝数奇数值的低估，而不是对偶数值的低估，正如在实际数据中观察到的那样。

因此，它是扩散和返回的耦合，而不是扩散的记忆特性，这是图1中的聚集选通返回分布行为的原因。也有可能表明，该模型具有线性不相关的回报，正如在实际数据中观察到的那样，至少在很少的交易中是如此。然而，该模型未能描述波动率聚类。事实上，我们可以证明ρ（τ）是一个指数函数，exp(-aτ，其中a=-ln（p- p） ，即模式l描述了指数衰减的波动率聚类。如数据校准所示（见第5节和图5），MS模型下预测的ρ（τ）行为远小于真实数据中观察到的。因此，该模型不能产生波动率聚类以及任何长记忆性质。这种观察促使我们开发一个模型，该模型保留了迄今为止讨论的价差和收益之间耦合的结构，能够描述非指数波动性集群。该模型将在下一节中开发。3.2带有logit回归的双链马尔可夫模型马尔可夫转换模型无法解释图2所示的经验观测平方回归的相关性。因此，在第二类模型中，为了研究平方收益的相关性，我们考虑了收益的自回归切换模型[17,30]。其思想是对变量的过去值（即返回值和平方d返回值）使用logit回归，以减少高阶马尔科夫过程的参数数量。

因此，该模型由以下条件概率定义[6]：P（r（t）|x（t）=k，Ohm （t）-1) ; θk），k∈ {1, 2 , 3, 4}Ohm′（t）- 1) =r（t）- 1) , ..., r（t）- p） ，r（t）- 1) , ..., r（t）-（e）=Ohm′ROhm′Rθ′k=αk，β′k，γ′k, （15） 其中，我们定义了一个信息（p+e）维回归向量Ohm, 由过去的e回报和p平方回报组成。每个参数向量θkis由标量αk组成，p维向量βkwhich描述对平方收益过去值的回归，e维向量γkwhich描述对过去收益的回归。为了处理收益的离散性，我们使用对数回归。在本系列中，我们将ESB转换为第一个二进制文件∈ {0, 1}. 当排列在t和t+1之间保持不变时（即x（t）=1或x（t）=4），我们设置r（t）=±2-→ b（t）=1r（t）=0-→ b（t）=0（16），而当排列变化时，（即x（t）=2或x（t）=3），我们设置r（t）=1-→ b（t）=1r（t）=-1.-→ b（t）=0（17），然后通过ηk（t）表示b（t）=1的条件概率，逻辑回归isP（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）=expb（t）Logηk（t）1- ηk（t）+ 日志（1）- ηk（t））ηk（t）=expαk+Ohm′r（t）- 1） βk+Ohm′r（t）- 1） γk1+ex pαk+Ohm′r（t）- 1） βk+Ohm′r（t）- 1） γk（18） 我们最终通过以下方式获得r（t）的过程：P（r（t）=±2 | x（t）=1，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t）/2，P（r（t）=0 | x（t）=1，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t）P（r（t）=1 | x（t）=2，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t），P（r（t）=-1 | x（t）=2，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t），P（r（t）=1 | x（t）=3，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t），P（r（t）=-1 | x（t）=3，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t）。P（r（t）=±2 | x（t）=4，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t）/2，P（r（t）=0 | x（t）=4，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t），（19）这些方程定义了基因ral DCMM（e，p）模型。在本文的其余部分，我们将考虑e=0的情况，为了简单起见，我们将表示DCMM（p）=DCMM（0，p）。

在我们的例子中，独立的潜在马尔科夫过程由转移过程x（t）表示，而独立的马尔科夫过程由r（t）过程表示。随机依赖的形式由式（19）中的罗吉特规则定义。为了清楚起见，这里我们考虑p=1的情况，而其对p的一般值的扩展在附录a中考虑。r（t）过程的定义∈ {-2.-1,0,1,2}和i，j∈ {1,2,3,4,5}，在p=1（DCMM（1））的情况下，p（r（t）=（3- j） |x（t）=k，r（t- 1) = ( 3 -i） )；θk）=Ak，ij。（20） 对于k，我们有四个可能的转移矩阵Ax（t）=kF∈ {1,2,3,4}，由潜在过程sx（t）决定：Ax（t）=1=ηr（t）- 1) = 4/2 0 1 - ηr=40 ηr=4/2ηr（t）- 1) = 1/2 0 1 - ηr=10 ηr=1/2ηr（t）- 1) = 0/2 0 1 - ηr=00 ηr=0/2ηr（t）- 1) = 1/2 0 1 - ηr=10 ηr=1/2ηr（t）- 1) = 4/2 0 1 - ηr=40 ηr=4/2.Ax（t）=2=0 ηr（t）- 1) = 40 1 -ηr=40 ηr（t）- 1) = 10 1 -ηr=10 ηr（t）- 1) = 00 1 -ηr=00 ηr（t）- 1) = 10 1 -ηr=10 ηr（t）- 1) = 40 1 -ηr=4其中，我们仅在FirstColumn中指定了回归系数s的时间依赖性。其他两个矩阵具有相同的定义：A=A（η→ η） andA=A（η）→ η). 通过这种方式，假设潜在过程已经达到等式7中定义的平稳分布，我们可以通过描述r（t）过程的转移矩阵N来定义一个整体马尔科夫链：N=Xk=1λkAk。（21）矩阵N由6+4p参数定义：p，p，αk，β′k。r（t）过程的概率∈ {0,1,4}和i，j∈ {1,2,3}，在p=1（DCMM（1））的情况下r（t）=（3）- j） |x（t）=k，r（t- 1) = (3 - i） )；θk= Vx（t），ij。

（22）可以根据矩阵A的知识来计算。特别是，我们有四个可能的转移矩阵Vx（t）=k∈{1,2,3,4}，由潜在过程x（t）决定：Vx（t）=1=ηr（t）- 1) = 40 1 - ηr=4ηr（t）- 1) = 10 1 - ηr=1ηr（t）- 1) = 00 1 - ηr=0, Vx（t）=2=0 1 00 1 00 1 0.我们可以定义由过渡矩阵S描述的r（t）的整体马尔可夫过程，假设过渡过程x（t）已达到平稳分布：S=Xk=1λkVk。（23）矩阵S由4+2p参数定义：p，p，αk，β′k，其中k∈ {1, 4}.函数corrr（t），r（t+τ）= DCMM（1）过程的ρ（τ）是由S定义的马尔可夫（1）过程的相关性。我们求解S相对于特征值1的特征方程，以确定平稳概率向量ψ：S′ψ=ψ，（24）整个sp曲线由sp（S）=（0，1，e）给出，其中最后一个特征值为：e=-[(η(0) - η(4)) (1 -P- p+pp）+（η（0）- η（4））pp]p- p+1。（25）如果我们定义向量δ、δ和ξ，其中δi=（3-i） ，δ2，i=（3）-i） ξ=δ⊙ ψ，矩由E给出r（t）= δ′ψ，Er（t）= δ′ψ，Er（t）r（t+τ）= ξ′Sτδ。（26）最后，我们得到了p=1时ρ（τ）的表达式：ρ（τ）=ξ′Sτδ-δ′ψδ′ψ -δ′ψ. （27）将ρ（t）的计算推广到p阶的任何值，如附录A所述，以估计参数向量θ′=θ′, θ′, θ′, θ′我们最大化部分对数似然，L（θ）=TXt=p+1log“Xk=1P（x（t）=k|Ohm （t）-1) ; θk）P（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）#，（28）1 10lagτ（交易数量）-0.03-0.02-0.010.010.020.03Corr（r（t），r（t+τ））Corr MSBCorr MS（HMM）Corr DCMM（1）Corr DCMM（3）图5：平方收益的自相关函数ρ（τ）。黑色圆圈是MSFT资产的真实数据。

红色方块是MSBM模型的结果，绿色菱形表示MS模式l，蓝色三角形表示DCMM（1）模型，粉色三角形表示DCMM（3）模型，所有这些都在MSFT资产上校准。其中T是s sample的长度，我们假设参数pand pare已知。因为扩散跃迁的动力学独立于上一个信息集，即P（x（t）=k|Ohm （t）- 1) ; θk=P（x（t）=k，我们有（θ）=TXt=P+1log“Xk=1P（x（t）=k）P（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）#，（29）对于大的tick资产，它是λ≈ 1，我们可以使用近似值l（θ）≈TXt=p+1日志P（b（t）|x（t）=1，Ohm （t）-1) ; θ). （30）例如，对于MSFT，我们有λ≈ 0.9. 通过这种近似，我们只估计等式9中的向量θ和参数θ，这足以定义矩阵Vk。此外，我们可以近似地得到evx（t）=4≈2θ0 1 - 2θ2θ0 1 - 2θ2θ0 1 -2θ.这样我们就忽略了回归者的贡献Ohm （t）- 1） （由β加权）并利用等式9中的简单表达式，当x（t）=4时。如前所述，如果Vx（t）=4的权重可忽略，即λ，则该近似成立≈ 0，即当存在少量扩展跃迁s（t）=2时→ s（t+1）=2。这就是当我们拥有大量资产时的情况，我们几乎总是s（t）=1。以MSFT资产为例，我们有λ 0.04.资产活动#交易平均值（ticks/2）σ（ticks/2）除库尔特^πMSFT高184542-2.82* 10-40.6525.13 0.9242天低点3482538.96* 10-40.514 9.89 0.95CSCO高145084-1.32* 10-30.673 4.73 0.9242天低点275，879 1.44* 10-30.551 8.46 0.95表1：高交易活动和低交易活动两个子样本中MSFT和CSCO资产的汇总统计。σ是标准差和ex。