用EVT和微观模拟方法模拟灾难性死亡

有关更多详细信息，请参见示例[3].0.5 100.20.40.60.81观察到的模型0 50 100 150 2000050100150200观察到的图3：概率和QQ图；芬兰数据与模型。水位和重现期。考虑到损失事件的频率（例如，百分之一年的事件），这一事件的规模被称为回报水平。相反，考虑到事件的规模，这种事件的频率被称为重现期。更准确地说，假设（Xi）是一个iid序列或具有共同dfF的静止rvs序列。事件{Xi>u}的重现期为tu=1/（1）- F（u））。类似地，对应于（重现期）t的重现期水平由xt=q1给出-1/t（F）=F←(1 - 1/t），其中F←是F的广义逆。在我们的有标记泊松过程模型中，阈值超出的分布，以超出发生为条件，由广义帕累托分布给出：P（X- U≤ x | x>u）=Gξ，β（x），x>0。为了计算回归水平和回归期，我们还需要在给定的byP（X>u）=1的情况下计算回归概率- 经验(-λu），其中λu是与阈值u相关的泊松过程的强度。图4显示了模型的回归水平图，具有大约95%的置信区间。模型很好，所有观测值都在置信区间内。1100 100002004006008001000重现期（年）重现水平（死亡）图4：芬兰数据与隐含模型的经验重现水平。表2显示了基于渐近正态性的delta方法和基于概率似然法的10年、100年、200年和1年突发死亡事件的基于模型的回报水平。当使用delta方法时，较低的端点变为负值，这当然是物理上不可能的；使用delta方法获得置信区间；参见，例如[3]。这种可能性没有问题。

从表中我们可以看到，例如，一个100年的事件对应170例死亡，95%的置信区间为80到1100例死亡。表2：95%置信区间的估计意外死亡返回水平。u=20德尔塔法概率重现期MLE 95%置信区间MLE 95%置信区间10 25[16,34]25[22,31]100 170[-90, 430] 170 [80, 1′100]200 320 [-370, 1′100] 320 [110, 4′200]′000 1′400 [-4′000, 6′900] 1′260, 1.1 · 10回报水平与流行的风险度量值VaR密切相关，两者都是基础（损失）分布的分位数。再次证明t年回报水平由xt=q1给出-1/t；这等于信心水平α的风险价值，VaRα=qα（F），其中α=1- 1/t。这意味着表2隐式给出了α的1年VaRα∈ {0.9,0.99,0.995,0.999}，与as相关的置信区间。例如，意外死亡的1年99.5%VaR估计为320例死亡，风险度量值的95%置信区间上限为4′200例死亡。我们还可以通过考虑模型中的尾部概率来明确计算风险价值：如上所述，x≥ u、 \'F（x）=P（x>x | x>u）P（x>u）=P（x- u>x- u | X>u）`F（u）=`Fu（X- u） \'F（u）=\'F（u）1+ξx- uβ-1/ξ.（8） 在这里，超越概率F（u）=P（X>u）与之前一样进行估计。通过颠倒上述方程，我们得到Varα=F-1（α）=u+βξ1.- α′F（u）-ξ- 1.（9） 我们还可以获得另一种流行的风险度量——预期短缺（ES）的显式公式。本质上，如果损失大于给定的高水平（VaR），则预期短缺给出了平均损失，并用yesα=1表示- αZαqs（F）ds=VaRα1- ξ+β - ξu1- ξ、 （10）前提是ξ<1（否则分布的平均值不存在，且积分不确定）。

在我们估计模型的情况下，形状参数p点估计非常接近，^ξ=0.938，但仍然可以计算出预期的短时下降。表3列出了估计值。本节结束时，我们将简要介绍有关偿付能力法规的内容。在欧盟的Solvency II框架指令中，选择1年99.5%的风险价值作为风险度量，而在瑞士的偿付能力测试中，使用的风险度量是1年99%的风险。在我们的模型背景下，以下是表3：死亡计数的风险价值和预期短缺估计。α0.90 0.99 0.995 0.999VaRα25 170 320 1′ESα310 2′600 5′000 23′测量值估计分别为320和2′600死亡，给出了人口水平的卡塔斯托普死亡计数。VaR0之间的差异。995和ES0。99，尽管对正态分布不显著，但在这里是值得注意的，因为意外死亡的分布非常重尾。在这种情况下，基于VaR的资本要求将显著高于基于VaR的资本要求，对于非常重尾的分布来说，这更普遍。有人可能会说，将ES作为一种风险度量准确地捕捉了尾部风险（最重要的风险），但最终，在法定偿付能力计算中使用d的风险度量（和置信水平）是一个不确定的决定，取决于保险公司需要承担多大的损失。虽然从理论上讲，ES比VaR具有更好的性能，但本例也显示了与其us e相关的一个实际问题：如果分布的平均值不存在（这里，如果ξ≥ 1） ，预期的空头也不存在。

在我们的模型中，ξ非常接近具有宽置信区间的ξ，这使得ES的us e有些可疑。4巨灾再保险定价选择了巨灾意外死亡发生的模型，我们进一步扩展该模型，以便将该模型应用于本节中的再保险定价。意外死亡模型能够明确模拟事故的时间和规模，这是本文提出的定价方法的关键：结合个别合同层面的数据，并通过几个中间环节，这允许我们获得准确一致的损失分布。这是因为，在不引入近似值的情况下，投保组合中主要保险合同的所有特征以及再保险合同条款都可以被捕获。4.1扩展意外死亡模型第3节和第3.3小节的标记泊松点过程模型描述了“重大”事件的发生和规模（定义为超过阈值u的事件）。当我们对外部，即尾部概率感兴趣时，这就足够了。然而，对于定价目的，我们通常需要完整的分布，因此也必须考虑小事件，GPD不是合适的模型。通过利用事件数及其相关标记大小之间的独立性假设（第3.3小节），我们可以方便地依次考虑频率和严重性分量。关于评估这些灾难事件对特定保险公司的影响，请参见下一节。设F大于阈值u>0，F（x）=P（x）的条件超额分布≤ x | x>u）=P（x- U≤ 十、- u | X>u）=Gξ，β（X），阈值以下的条件分布F（X）=P（X≤ x | x≤ u） ，forx>0。

用pu=P（X>u）表示u级的超越概率，我们可以将条件分布组合成一个f（X）=（1）的无条件分布- pu）F（x）+puF（x）。如上所述，超额分布为GPD，而FCA的分布形式可以被视为任何计数分布，例如负二项分布，这为数据b提供了一个很好的拟合。需要从上方截断“小事件”分布，以获得条件分布P（X≤ x | x≤ u） 支持[0，u]。设Gbe为F下的完全非负分布，密度（或概率函数）为g（·）。一般来说，Gover[a，b]的截断版本的密度，-∞ < a<b<∞, 是f（x）=1{a≤十、≤b} g（x）/（g（b）- G（a））。对其积分（或求和），我们得到截断的dfF（x）=G（max（min（x，b），a））- G（a）G（b）- G（a）。（11） 小事件和大事件根据（同质）泊松过程发生，{K（t），t≥ 0}和{K（t），t≥ 0}，强度分别为λ和λ。这些是相互独立的，泊松强度可以根据观察到的发生次数来估计，即λ和（u）的死亡计数在（0，u）范围内的事件数，∞) 对于λ。利用独立泊松过程之和又是一个泊松过程，其速率等于单个过程速率之和的已知性质，我们得到组合过程{K（t），t≥ 当K（t）=K（t）+K（t）时，0}是速率λ=λ+λ的泊松。反之，设{K（t）}为速率为λ的泊松过程。假设这个过程被细分为两个过程，{K（t）}和{K（t）}：也就是说，K的到达以概率p独立地发送给K，以概率1发送给K- P

由此产生的过程是每个泊松过程，其中ra tesλ=pλ和λ=（1- p） λ，且相互独立。这意味着我们可以分别模拟小事件和大事件的发生时间；或者我们可以模拟所有事件的发生，并独立模拟每个事件的“类型”，即绘制条件分布，从中得出事件的大小。对于n>2个独立的poisson过程（{Ki（t）}，i=1，n） .4.1.1组合过程的特殊性考虑到我们的事故规模数据有效地被左截尾，我们将关于较小死亡人数（由前一节Fin表示）的条件分布分为两部分：我们有数据的较小死亡人数，在区间（u，u]：=（3，20）中，由（截断的）负二项分布建模；而在区间（u，u]：=（0，3）内，我们没有数据的最小死亡人数是通过选择事故规模{1，2，3}的离散概率来建模的。超过阈值u=20的事故是通过3.3小节的标记泊松过程建模的，发生强度λ和标记大小分布F（x）=Gξ，β（x）。死亡人数在区间（u，u）内的事故强度用λ表示，并根据数据估算为^λ=0.50，条件尺寸分布用参数r、p截断为负二项式，并用F表示。最后，我们指定了在（u，u）主观上，通过查看合并数据中不同规模事故的频率（以及此类事故的个别“强度”）的比率，并基于这些进行推断。对于最小的事故，我们得出的综合强度估计为^λ=1.63。

条件概率pi:=P（N=i | 1）≤ N≤ 3） ，i=1,2,3，构成了作为单个强度与组合强度λ之比获得的分布。考虑到事故的发生，我们现在可以把事故的综合规模分布写成F（x）=pF（x）+pF（x）+pF（x）+pF（x）。这里，pi=λi/λ，其中λ=piλi是一个事件（发生时的条件）属于类型i的概率，这意味着与该事件相关的死亡计数是从条件分布Fi中提取的。表4列出了组件分布及其参数。此外，在这种情况下，事件大小的无条件分布可以表示为F（x）=q+（1）-q） F（x），w和q=e-λ无事件发生的概率。表4：示例中组件过程的参数。类型，i区间泊松标记（大小）参数强度，λi分布估计1（0,3]1.63离散^p=0.43，^p=0.32，^p=0.252（3,20]0.50负b^r=1.15，（截断）^p=0.1823（20，∞] 0.15 GPD^ξ=0.938，^β=12.9总计2.284.2模拟框架鉴于前一部分的组合点过程模型，获得主要被保险人损失分布的模拟程序概述如下。我们假设一个长度为T的模拟期，通常为一年，以及保险投资组合中的初始被保险人数量。Foreach模拟k=1，Nsim（抑制对k的依赖）1。用速率λ模拟泊松过程（0，T）内事件的发生。用K表示事件总数：=K（T）=K（（0，T））；如果k=0，将总损耗设置为零，继续下一次模拟；用Tj表示事件的时间，j=1。

，K.具体来说，负二项分布首先以阿列夫特截短形式填入相关数据，以说明以下观察值（包括u=3）缺失的事实。然后将得到的分布截断为区间（u，u）=[u+1，u]。另一种“强制”强度λ的方法是主观地指定不发生事件的概率，即q:=P（N=0）=exp{-λ} =exp{-(λ+ λ+ λ)}; 由此我们得到λ=- ln q- （λ+λ）一旦q被指定。模拟每个事件j=1，K.为此，首先模拟事件j的类型：概率pi=λi/λ，死亡人数从分布Fi中得出，其中λ=piλi.3。对于每个事件j，模拟投保事件中的生命损失比例（考虑该类型的保单）。将其称为保险百分比，并用PIj表示∈ [0, 1]. 事件j中的保险死亡人数由NIj=PIjNj给出。4.对于每个事件j，模拟保险公司承保的被保险人死亡比例。称之为覆盖百分比，并用PCj表示∈ [0, 1]. 事件j中的承保死亡人数为nowNCj=PCjNIj。5.如果NCj>0且NIS>0（即，并非所有被保险人都已死亡），则从仍然活着的人中随机抽取MIN（NCj，NIS）被保险人。将选定被保险人的状态设置为“死亡”，减少NIS，终止每个被保险人仍然有效的所有合同，并计算索赔金额C（j）i，i=1，NCjbasedon每个单独合同的合同条款。事件j的索赔总额为C（j）=PiC（j）i.6。每个事件的所有索赔总和j=1，K以获得当前模拟路径的总索赔金额C（T）=PK（T）j=1C（j）。重复NSIMTIME程序，我们获得主保险人总索赔金额C（T）的NSIMDEpendent实现，即损失分配。

为了得到再保险人的损失分布，我们在模拟步骤中叠加或嵌入再保险覆盖的规则。例如，当前累计限额自然适用于每个事件的累计损失C（j），而每风险限额则适用于每个受影响政策的损失C（j）i。第一步中泊松过程或事件时间的实现可以通过任何标准技术进行模拟，如指数等待时间求和。一种相对有效的方法是首先模拟区间（0，T），K（T）内发生的事件总数~ Poi（λT），然后使用众所周知的Poisson过程的阶统计量性质：给定（0，T）中的eventsK（T）个数，事件时间作为（0，T）上的一致阶统计量分布。也就是说，我们可以模拟iid一致rvs Ui~ U（0，T），i=1，…，K（T），并命令它们得到泊松过程（Tj）K（T）j=1的时间的实现。在第二步中，事故严重程度由广义帕累托分布或为较小事故选择的截断计数分布模拟。这可以使用基于均匀随机数的标准逆变换方法来实现。进入第三步和第四步，假定在特定市场/国家内，特定事件中死亡的投保人的比例分布为特定产品类型。类似地，在给定公司保险的保险事故受害者比例的分布既可以是分布，也可以是截短的分布，截短为区间[a，b]。F的倒数由F给出-1（p）=G-1（G（a）+p（G（b）- G（a）））表示分位数p。可以基于此生成随机变量。产品类型和公司规格。

我们建议使用保险覆盖年龄百分比，即给定国家/市场中拥有特定保险单的人口比例，作为保险百分比PI分布平均值的代表。这个或类似的数据通常可以从政府机构或国家保险协会发布的统计数据中获得。同样，我们建议使用保险公司的市场份额（在考虑中的特定产品类型范围内）作为承保个人电脑分配平均值的代理。这些比例的实际分配可以被视为用户认为合理的区间[0,1]（或截断为[0,1]）上的任何分配。另请参见[6]了解另一种方法，该方法直接涉及客户损失的总生命，而不考虑国家/市场内的保险范围。4.3关于微观模拟定价方法的讨论所提出的定价方法的主要优点是，基于单个合同级模拟，结合合同级数据，对事故——以及最终在这些事故中死亡的保险公司客户——进行明确的模拟，这通常允许更准确地分配损失：由于模拟是在保单层面进行的，我们不需要为索赔假设某种特定的分配形式，但可以计算出确切的合同金额。