用EVT和微观模拟方法模拟灾难性死亡

这种方法在实践中取得了很好的效果。基于统计检验和模型比较，选择具有独立广义帕累托分布标记的标记泊松过程模型作为最终模型。这是[6]中最初提出的模型；我们的论文为选择提供了依据。该模型描述了观察到的大事件，但结构简单。目前为止，对极端事件和极端风险的评估比对极端事件和极端风险的评估更为有用。由于隐含的GP分布不能描述我们将要讨论的较小的死亡人数，因此我们采用了一种实用的方法，分别用可测量的人数分布（或其中几个）对较小的事故进行建模。由此产生的组合MPPmodel能够灵活地捕获整个范围内的意外死亡计数。由于与外部因素有关的巨大不确定性，任何统计模型的局限性都必须得到承认。然而，事实仍然是，需要评估尾部风险，为此需要建立模型；最终使用的模型应该有一个良好的基础。我们认为本文提出的灾难风险建模方法是一种支持决策的工具，有助于对与极端事件相关的风险和不确定性进行诚实评估。在论文的第二部分中，我们提出了一个再保险定价模型，该模型基于个人合同层面的模拟，并使用我们的扩展意外死亡模型。

微观模拟方法能够使用（再保险）保险人拥有的所有信息，有可能提供比传统定价技术更准确的结果：通过明确模拟事故的发生和被保险人的死亡，可以单独说明每个生效合同的条款，导致对最终索赔和未决赔款的准确一致估计。由于每个事故的所有索赔都是在合同层面上记录的，因此直接将再保险合同的特征覆盖或挪用到模拟中。这种方法可以在不进行近似计算的情况下对复杂的再保险特征进行建模。作为一个应用，该仿真模型被用于对具有额外聚集特征的非比例超额再保险合同进行定价。这里介绍的方法是为生命和事故灾难保险量身定制的，但也可以在非生命环境中使用。从纯实践的角度来看，我们讨论的一些特性可能会被视为不必要的复杂因素，考虑到基本的不确定性，这无论如何都与Catastrophes的建模和定价有关。然而，我们认为，我们应该尽可能减少不确定性，因为这可以通过适当的（即更现实的）建模合理地实现。合同级模拟方法可能会揭示在使用聚合方法时，或者甚至在不直接参考基础合同的情况下模拟单个索赔时，仍然隐藏的r ISK。

我们的方法不限制建模者或强制使用近似值——相反，他可以自由地为目的包含细节级别。除了定价和再保险设计之外，本文提出的微观模拟方法也适用于从主要保险人的角度评估保险组合的风险。这可以包括对再保险需求的评估，以及从偿付角度检查（人寿）灾难风险。感谢作者感谢Model IT Ltd.andAalto University的Lasse Kosk ine n博士对本文的有益评论；以及卡列娃互助保险公司前员工塔帕尼·托米宁先生，感谢他提供了本研究中使用的意外死亡数据的bas格式。参考文献[1]K。Antonio和R.Plat，《为全面保险准备的微观随机损失准备金》，斯堪的纳维亚精算杂志（2013年），2013年5月17日在线出版。[2] A.A.Balkema和L.de Haan，《大年龄时的剩余寿命》，可能性年鉴2（1974），792-804。[3] S.G.Coles，《极值统计建模导论》，斯普林格，纽约，2001年。[4] D.J.Da ley和D.Vere Jones，《点过程理论导论：第一卷：基本理论和方法》，第二版，斯普林格出版社，2003年。[5] C.D.Daykin，T.Pentik–ainen和M.Pesonen，《实际的实际风险理论》，查普曼和哈尔，伦敦，1994年。[6] E.Ekheden和O.H¨ossjer，《人寿（再保险）中的巨灾风险定价》，斯堪的纳维亚精算师Jo urnal（2012年），Publis he d online，2012年8月20日。[7] P.Embrechts，C。吉隆坡·阿佩尔伯格和T.米科什，《保险和金融极端事件建模》，柏林斯普林格，1997年。[8] R.A.费舍尔和L.H.C。

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在模拟框架的背景下，考虑有限的被保险人口规模意味着我们重新安排受影响的被保险人数量，NIj=PIjNj，其中NIj=min{Nipj，max{PIjNj，Nipj- 最大{Npopj- Nj，0}}。每次事故发生后，总人口和参保人口规模分别减少伤亡人数、新泽西州和纽约州，但风险为零。随着人口规模因事故而减少，人口中的保险范围也会发生变化（取决于谁死亡，谁不死亡），被保险人占总人口的新比例为uIj=~Nipj/~npopjapplingbetween（Tj，Tj+1）（即事故j和j+1之间）；在这里，表示法的意思是Nipj=Nipj- NIj，即事故j（时间Tj+）后立即参保的人口数量——一般来说，这不需要与Nipj+1（时间Tj+1）相同-) 例如，如果对（更大的）事故造成的死亡以外的其他死亡进行了建模，或者如果在模拟模型中包括了新业务；见第4.3节。与上述程序类似的程序也适用于特定保险公司承保的在特定事故中死亡的投保人数。假设特定公司的市场份额为uC=20%，在这种情况下，公司承保的人数（有相关保险保障的人）在开始时被视为Ncov=40万。同样，如果被保险人在事故中死亡的人数大于Nipj- Ncovj（在我们的例子中，最初是160万），我们知道其中至少有一部分不可避免地在相关公司投保。

通过PCJ表示公司承保的保险事故受害者的随机比例，因此，我们将承保死亡人数NCj=PCjNIj替换为NCj=min{Ncovj，max{PCjNIj，Ncovj- max{Nipj- NIj，0}}。同样，事故发生后，公司覆盖的剩余员工人数jis表示为Ncovj=Ncovj- NCj和新的市场份额（用作完全一致的pr oxy fort，这里的市场份额理想情况下应该通过被保险人的数量来衡量，而不是通过货币金额来衡量，例如风险总额或储蓄。下一次事故的承保百分比分布的平均值）由uCj=~Ncovj/~Nipjif~Nipj>0给出，否则uCj=0。重复第4.4小节的模拟，并对人口规模进行了描述的明确计算：在我们的案例中，获得的结果与之前没有的结果没有实质性差异（如表5所示）。然而，对于更小的人口来说，明确说明人口规模是很重要的。在这些情况下，较小的事故足以影响结果。B型号选择B。1阈值选择测试平均超额图。平均超额函数e（u）=e（X- rv X（如果存在）的u | X>u）给出了超过u的量的平均值，条件是X超过u。对于GP分布，这由e（u）=β（u）/（1）给出- ξ） =（β+ξu）/（1）- ξ） ，因此是u的线性函数；当考虑更高的阈值v>u时，线性保持不变。阈值的选择可以基于此特性。在实践中，我们使用基于样本的e（u）的时间，Xn，样本平均超额函数en（u）=Pni=1（Xi- u） 1{Xi>u}Pni=1{Xi>u}，（12）并从视觉上寻找一个值u=ufrom，该值使平均超额图（u，en（u））变得大致线性（考虑样本方差后）；有关更多详细信息，请参见[7]。

图7显示了芬兰和瑞典组合数据的样本平均超标图。我们看到绘图曲线一直上升到值30左右，之后似乎开始变紧，在值20处出现了某种轻微的“扭结”。根据平均超额图，我们可以选择一个阈值30。仅考虑芬兰数据也得出了类似的结论，尽管在这种情况下，有更多证据可以选择较低的阈值20（未显示分析）。20 40 60 80 100 120 14005100100150200250300350en（u）图7：组合数据的样本平均超额图。在目前的情况下，我们从纯技术角度考虑极端事故，没有任何目的来解释此类灾难不可避免会对保险公司造成的其他后果。参数估计的稳定性。广义帕累托分布具有众所周知的“稳定性”，即aGP分布的超额分布也总是GP分布。这意味着，在实践中，如果广义帕累托模型适用于给定阈值u上的e xcess，那么也适用于所有更高的阈值v>u。多余的df具有相同的形状参数ξ，但标度随阈值βu:=β（u）线性增长- u） =βu+ξ（u）- u） ，其中βu是与初始阈值u相对应的标度参数。因此，基于观察样本的ξ估计值应在阈值u后保持相对恒定（在考虑样本变量后，实际上是稳定的），前提是GPD是一个合理的超额分配模型。

类似地，标度参数βu应以近似线性的方式变化，除非ξ=0；后者的不便可以通过考虑替代参数化β来避免*:= βu- ξu，对tou是常数。不同阈值的参数估计如图8所示。在这种情况下，阈值30看起来仍然是可能的，但可能不是最佳选择。特别是，出于定价和风险评估目的，模型输出相对于参数微小变化的相对稳定性至关重要。从这个角度来看，30似乎太高了。相反，我们将thr eshold设为u=20。如果我们只看芬兰的数据，这一选择也得到了支持。5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60012ξu05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60050βu05 10 15 20 25 30 35 40 55 60-10000100u0β*u0图8：ξ，β，β的参数估计*作为阈值u.B.2同质性测试的一个函数，阈值超越法（隐式）和点过程法的基本形式都是假设高thre的超越应根据同质泊松过程发生，也就是说，在不同间隔内的超越是iid泊松分布的随机变量。如果这一假设不成立，为iid数据制定的EVT基本方法就不能自动适用，可能有必要考虑更通用的模型来充分描述数据基因评级过程。让{ti}表示超出的时间。根据泊松分布的基本性质，我们知道，如果超越时间遵循强度为λ的泊松过程，则到达（或等待）时间Tk=Tk-tk-1是参数为λ的iid指数RVs。此外，数量Uk=1- 经验(-λYk）在[0,1]上均匀分布。

我们使用Kolmog-orov-Smirnov（K-S）检验来检验样本的均匀性（英国）：不拒绝数据均匀分布的零假设。图9的左面板显示了经验分布函数与参考分布u（0,1）以及95%置信区间的比较。在目前的情况下，由于观测数量较少，K-Stest没有太大的能力来拒绝无效假设——这一点可以通过较宽的置信区间得到证明。然而，该图并未显示出反对（Uk）一致性的具体证据，因此也没有证明超越时间的泊松分布。如[15]中所述，到达时间的独立性也可以通过绘制转换后的等待时间Uk+1，而不是之前的等待时间Uk来验证。如果（相邻）到达时间是独立的，点{（Uk，Uk+1）：k=1，…，n}应该均匀地分布在单位r e角[0，1）×[0，1]上。图9的右面板包含这样一个图。点的缺乏使解释变得非常困难，但似乎没有任何结构。0.5 100.20.40.60.81xF（x）0.5 100.20.40.60.81UkUk+1图9：左：empirical vs.U（0,1）df。右：相邻等待时间。B.3比较点过程模型基于之前附录的测试，意外死亡数据可以由时间均匀泊松过程生成。然而，我们将通过对数据进行非同质点处理，进一步调查可能趋势的存在，以及是否可以通过包含趋势成分来改进模型。我们首先考虑（时间均匀的）POT模型。这为其他模型的比较奠定了基础。过程N的点包括点（Tj，~Xj）∈ E=（0，n]×（u，∞) 从超过所选阈值u的r vs（X，…，Xn）的下面序列。