用EVT和微观模拟方法模拟灾难性死亡

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英文标题：
《Modeling catastrophic deaths using EVT with a microsimulation approach
  to reinsurance pricing》
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作者：
Matias Leppisaari
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Recently, a marked Poisson process (MPP) model for life catastrophe risk was proposed in [6]. We provide a justification and further support for the model by considering more general Poisson point processes in the context of extreme value theory (EVT), and basing the choice of model on statistical tests and model comparisons. A case study examining accidental deaths in the Finnish population is provided.   We further extend the applicability of the catastrophe risk model by considering small and big accidents separately; the resulting combined MPP model can flexibly capture the whole range of accidental death counts. Using the proposed model, we present a simulation framework for pricing (life) catastrophe reinsurance, based on modeling the underlying policies at individual contract level. The accidents are first simulated at population level, and their effect on a specific insurance company is then determined by explicitly simulating the resulting insured deaths. The proposed microsimulation approach can potentially lead to more accurate results than the traditional methods, and to a better view of risk, as it can make use of all the information available to the re/insurer and can explicitly accommodate even complex re/insurance terms and product features. As an example we price several excess reinsurance contracts. The proposed simulation model is also suitable for solvency assessment.
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中文摘要：
最近，在[6]中提出了一个生命巨灾风险的标记泊松过程（MPP）模型。通过在极值理论（EVT）的背景下考虑更一般的泊松点过程，并基于统计检验和模型比较来选择模型，我们为模型提供了理由和进一步的支持。本文还提供了一个调查芬兰人口意外死亡的案例研究。通过分别考虑小事故和大事故，进一步扩展了巨灾风险模型的适用性；由此产生的组合MPP模型可以灵活地捕捉意外死亡计数的整个范围。利用所提出的模型，我们提出了一个模拟框架的定价（人寿）巨灾再保险，基于建模的基本政策，在个人合同的水平。这些事故首先是在人口水平上模拟的，然后通过明确模拟由此产生的保险死亡来确定它们对特定保险公司的影响。与传统方法相比，拟议的微观模拟方法可能会产生更准确的结果，并更好地了解风险，因为它可以利用再保险公司/保险公司可获得的所有信息，并且可以明确地适应甚至复杂的再保险/保险条款和产品特征。例如，我们为几个超额再保险合同定价。该仿真模型也适用于偿付能力评估。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

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PDF下载：
--> Modeling_catastrophic_deaths_using_EVT_with_a_microsimulation_approach_to_reinsu.pdf (490.6 KB)

2022-5-5 03:48:47 上传

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关键词：灾难性 Applications Catastrophic epidemiology Quantitative

利用EVT和amicrosimulation方法对Leppisaari再保险pricingMatias进行灾难性死亡建模*此版本：2013年10月30日摘要最近，在[6]中提出了生命灾难风险的标记泊松过程（MPP）模型。通过在极值理论（EVT）的背景下考虑更一般的泊松点过程，并基于模型统计检验和模型比较的选择，我们为模型提供了一个合理的解释和进一步的支持。本文提供了一个关于芬兰人口意外死亡的案例研究。通过分别考虑小事故和大事故，进一步扩展了巨灾风险模型的适用性；由此产生的combinedMPP模型可以灵活地捕捉意外死亡人数的整个范围。利用所提出的模型，我们提出了一个模拟框架，用于定价（人寿）巨灾再保险，其基础是在个人合同层面上对潜在保单进行建模。事故首先是在人口水平上模拟的，它们对特定保险公司的影响是通过明确模拟由此产生的保险死亡来确定的。与传统方法相比，拟议的微观模拟方法可能会产生更准确的结果，并更好地看待风险，因为它可以利用再保险公司/保险公司可获得的所有信息，并且可以明确地适应甚至复杂的再保险/保险条款和产品特征。例如，我们为几个超额再保险合同定价。该仿真模型也适用于偿付能力评估。关键词：意外死亡、巨灾风险、极值理论、广义帕累托分布、人寿和意外保险、泊松点过程、定价、再保险、偿付能力。1简介灾难性死亡风险的评估对于人寿保险公司、非人寿保险公司和撰写意外死亡报告的健康保险公司都很重要。

为了明确评估再保险的需求，并确定公司账户上剩余风险所需的资本金额，需要对该风险有一个良好的认识。相反，再保险人需要能够对ca风险进行定量评估，以便为保险范围设定一个充分但具有竞争力的价格。巨灾风险模型也需要在设计一个*Model IT有限公司、芬兰赫尔辛基Unioninkatu 13和阿尔托大学数学与系统分析系。电子邮件：matias。leppisaari@modelit。fi再保险计划，以评估不同建议功能的影响，如总限额或下拉功能。灾难风险的衡量以及不同行动计划的适用性和可能性——如获得再保险、储备资本或使用保险相关证券将风险转移到资本市场——需要适当的量化工具。在本文中，我们提出了一种解决人寿和（健康/非人寿）意外保险中巨灾风险的工具。我们的方法基于灾难事件发生的人口水平模型，结合灾难对特定保险组合影响的法律水平模拟：使用泊松点过程规范对事故的次数和规模进行建模，然后，首先对持有（特定类型）保单的总生命损失比例（基于国家保险覆盖率统计）进行建模，最后对特定保险公司客户的保险生命损失比例进行建模（基于市场份额统计）。

基于意外dea th模型，我们提出了一个逐单保单模拟框架在寿险灾难风险度量和再保险定价中的应用；突变模型使模拟框架的具体实现成为可能。巨灾风险模型现在常用于财产保险，其中有广泛使用的公认商业供应商模型（如AIR、RMS、EQECAT）。这些模型通常模拟导致灾难的事件的发生时间、强度、地理位置和可能的其他相关特征，然后通过保险公司制定的政策评估这些事件对保险公司的影响。当我们研究一个明确的现象所造成的损失时，这种方法尤其有效。例如地震、飓风、风暴和洪水等自然现象。这些事件是由潜在的物理过程引起的，通常可以基于对生成它们的过程特征的科学知识，以良好或中等的成功率进行建模。事实上，商业灾难风险模型主要用于模拟自然灾害造成的损失。有了人寿保险，情况就更复杂了，因为人寿保险人所写的死亡案例一般涵盖了所有死亡原因。这意味着，没有明确的流程负责造成公司的保险损失，因此该设置不适用于自然风险所采用的建模。另一种方法是使用纯统计方法评估死亡人数，而不明确建模死亡原因。这就是本文采用的方法。灾难的统计方法当然也有自己的问题，最大的问题是有关极端事件的相关数据的复杂性。

此外，我们的最终目标不仅是通过统计模型来描述观察到的意外死亡，而且是使用该模型在数据范围之外进行外推：即，评估比迄今观察到的事件更极端的事件概率。这需要有充分依据的概率和统计方法，并以可靠的数学理论为基础：我们使用极值理论（EVT）（[7,3,11]）——特别是极值的点过程观点（[22,24]）——来为意外死亡事件建立合理的人口水平模型。有关专有模型的公开信息可在www。环球航空。com，www.rms。com和www.eqecat。通用域名格式。为了从人口层面的风险转变为保险公司特定的风险，我们利用了所考虑的被保险产品的特殊结构。产品涉及被保险人的死亡，保险事件是二元的：客户要么死亡，要么不死亡——与非人寿保险相反，没有部分损失。此外，考虑到死亡时间，应付的风险金额通常是已知的，或根据合同条款直接计算（在风险和非参与传统储蓄政策中）；或者可以合理估计，例如，作为政策层面模拟模型的一部分（针对与利润和单位挂钩的储蓄政策）。我们认为，生命和个人意外产品的这些特征要求对灾难性事件（死亡人数）进行明确的模拟，并结合模拟事件对保险公司的影响，考虑到forc e中所有保单的相关数据，人寿保险中基于强度的标准死亡率建模方法不适用于灾难建模，因此我们需要使用与非人寿保险中应用的方法更一致的技术（参见[5]）。

虽然传统的再保险定价方法——经验比率和事后评级、se e[9]以及其中的参考方法——在实践中仍然很普遍，并且这些方法有其地位，但人们早就认识到，再保险合同的某些特征（适当）定价需要一种模拟方法。与（非寿险）损失准备金不同，在（非寿险）损失准备金中，ag gregate方法一直是标准，基于模拟（个人索赔的发展）的方法最近才应用于真实数据（[1,20]），个人索赔模拟长期以来一直被用于更直接的定价领域；参见[16]中的一个好例子。这种所谓的频率-严重性方法是基于模拟个人索赔的数量和规模（另见[5]）。与传统的基于分布的模拟定价方法相比，我们的方法的不同之处在于，我们并不是简单地根据估计的索赔规模分布生成索赔额。相反，我们通过明确建模投保人的死亡原因和合同条款中规定的后续保险付款，利用人寿/意外险设置的特点；这使得我们能够准确地获取考虑中的保险组合的结构，以及基本保单的（确切的、个别的）合同条款，从而为我们提供主要保险人的损失分配。通过在合同层面单独记录所有模拟损失，可以直接覆盖或嵌入拟定再保险计划的条款和条件，从而得出对保险人的全部损失分配。

合同级模拟方法在本文中称为微观模拟，与传统的个人索赔模拟方法不同，后者不参考实际合同。在完成这篇论文时，我们了解到已经发表了一篇类似的研究论文。在[6]中，Ekheden和H¨ossjer首次提出了生命突变的显著泊松过程模型；将灾难性死亡总数转换为保险公司承保范围的机制也与本文提出的机制类似。这篇文章[6]对一个比我们更大的数据集以及不同地区进行了有趣的分析：我们在本文第一部分的结果与他们的发现基本一致。然而，虽然[6]中的作者假设灾难性事件的发生遵循同质泊松过程，但我们从考虑更多的随机泊松点过程开始，并根据统计测试和模型比较来选择规范标记的泊松过程（意味着发生时间的同质泊松过程）。因此，本文对[6]中总结和使用的模型进行了先验调整。

我们进一步扩展了灾难模型，用单独的标记分布对小事件和大事件进行建模，使其能够对整个事故规模进行建模，从而更好地描述相对较小的事故。我们的论文进一步与[6]的不同之处在于，我们提出了一种微观模拟方法，用于在个人合同层面为人寿（再保险）保险定价，以捕捉潜在保险组合的确切特征：我们不仅模拟了死亡人数，还模拟了实际死亡的客户，以及由此产生的合同付款；然而[6]中使用的索赔分布模型过于简单（伽马分布），没有参考实际的合同数量或合同特征。[6]中的作者专注于为特定类型的巨灾超额损失再保险合同在定期保单上定价，而我们的方法是完全统一的，涵盖所有类型的再保险合同——原则上，扩展到所有类型的基本人寿保险产品。论文的概要如下。利用第2节介绍的极值理论和基于极值理论的统计技术，我们利用芬兰和瑞典人口的数据作为第3节分析的基础，建立了芬兰灾难性灾难发生率和规模的模型。Wealso discus通过模型进行了白内障风险测量。第4节介绍了再保险定价的微观模拟模型，并将所建立的意外死亡模型推广到超额再保险定价。最后，第5节是总结和结论。2背景极值理论在本节中，我们将介绍我们的目的所需的极值理论的符号和概念。让X，X。

是一系列独立同分布（iid）随机变量，具有公共分布函数（df）F，定义在概率空间上(Ohm, F、 P）。随机变量（简称rvs）Xi：(Ohm, F）→ （E，E）在可测量的空间（E，E）中获取其值；通常，我们用它的子集B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B，B。在实际应用中，我们通常不知道形成数据的r vs（Xi）的潜在分布。因此，在使用极值理论对极值事件建模时，我们通过数学极限参数直接寻求最大值的渐近分布。然后，这些限制分布在应用中用作ma xima分布或高阈值的近似值。在经典极值理论中，人们对样本极大值Mn=max（X，…，Xn），n的行为感兴趣≥ 1.也就是说，我们寻找规范化序列cn>0，dnm*n=（Mn）- dn）/cns在分布上收敛（弱），表示P（（Mn）- dn）/cn≤ x） =Fn（cnx+dn）→ H（x）as n→ ∞, 十、∈ R、 其中H是非退化df。收敛的另一个等价条件是（1- F（cnx+dn））n→∞-→ - lnh（x），x∈ R.（1）如果对一些非n-简并df H成立，则底层分布F被称为在H的最大吸引域中，用F表示∈丙二醛（H）。Fisher-andTippett[8]和Gnedenko[10]提出的经典外值理论的一个关键结果是，如果极限分布H存在，它必须是三种类型的分布之一，而不考虑潜在分布F。

这三种分布被称为极值分布，可以参数化为一种分布，即广义极值（GEV）分布hξ，u，σ（x）=exp(-1+ξx- uσ-1/ξ），1+ξx- μσ>0，（2）形状参数ξ∈ R、 标度σ>0和位置u∈ R.当ξ=0时，ξ=0的情况被解释为极限→ 0.形状参数ξ控制分布的尾部行为。对于固定x，它认为limξ→0Hξ，u，σ（x）=H0，u，σ（x）从两侧开始，表示GEV参数化在ξ中是连续的。2.1阈值超出上述GEV分布是标准化样本最大值的极限分布。建模极端情况的另一种方法是考虑超过某个（高）阈值的allobservations。然后，该方法基于阈值u上的超标分布，例如，isFu（x）=P（x- U≤ x | x>u）=F（x+u）- F（u）1- F（u），0≤ x<xF- u、 （3）其中X是带有df F和xF的rv≤ ∞ 是F的右端点。在导致（1）的相同条件下，对于lar ge u，可以用广义帕累托分布（GPD）族来近似（3）中的超额分布Fuin，这最初是由于Pickands（se e[19]）：Gξ，β（x）=1.-1+ξxβ-ξ, ξ 6= 0,1 - E-x/β，ξ=0。, （4） 其中标度参数β>0。如果形状参数ξ>1/2，则GP分布的方差不存在；如果ξ>1，平均值也不存在。正如在GEV分布的例子中一样，对于固定x，GPD参数化在ξ中是连续的，因此limξ→0Gξ，β（x）=G0，β（x）。这在统计建模中特别有用。GPD被证明是许多基础INGF分布的自然极限分布。