基于Wishart的多元随机波动率建模

首先可以看出，当k=1/δ时，我们有E（Φt | Dt）-1) -E（Φt）-1 | Dt-1） =（p- 1)(δ-1.- 1） 英尺-1因此，从时间t开始，期望就没有保留下来- 1到t，就像我们有E（Φt | Dt）一样-1） >E（Φt）-1 | Dt-1). 特别是当p很大时，即使δ≈ 1.上述模型假设Φt的估计值大于Φt的估计值-1.这样的设置显然不合适。Triantafyllop ou los（2008）建议使用贴现系数δ，δpto代替δ的单个值，但这个选择也会导致E（Φt | Dt-1） >E（Φt）-1 | Dt-1） ，这与所声称的Φt的随机游走演化不一致。在本文中，我们建议使用一个遗忘因子δ，因为（a）这允许如上定义k，以保持随机游走模型中的预期，（b）使用p贴现因子可能会引入估计困难，因为需要估计或指定pdiscount因子。我们注意到a>p- 1，但1=b<p- 1，后者对贝塔分布的奇异性负责。单数贝塔密度（如果旧的话，在铁人身上定义）取代了Ip的决定因素- Bt（为零）乘以该矩阵的唯一正值（由于b=1）。另一方面，Bt的决定因素在a>p时仍为正- 因此BTP的所有特征值都是正的；该贝塔分布在附录中进行了简要讨论。在∧t6=0的一般情况下，Φt的先验值为Φt | A，Dt-1.~ Wp（δn+p）- 1，k船尾-1A′+t）。到目前为止，我们的讨论一直集中在精密加工{Φt}上。在我们处理信息之前，我们证明了波动率∑t}也遵循一个自回归过程。在不损失一般性的情况下，为了便于说明，我们假设∧t=0；此设置适用于d=1，而对于d>1，修正量较小。

由（2）可知，我们haveEt=Φt- AΦt-1A′=kAU（Φt）-1） ′BtU（Φt）-1） A′- AΦt-1A′。应用（3）中的矩阵求逆引理，我们得到∑t=Φ-1t=（AΦt）-1A′+Et）-1=（A′）-1∑t-1A-1Y，（4）其中使用（2），Y=（Et（A′）-1∑t-1A-1+Ip）-1=k-1AΦt-1（U（Φt）-1))-1B-1t（U）Φt-1)′)-1A-1.ThusE（Y∑t-1） =k-1AU（Φt）-1） ′E（B）-1t）（U（Φt）-1)′)-1A-1=δ(1 - δ)-1.- 1k（δ（1）- δ)-1.- 2） Ip=cIp。（5） 这个结果是通过注意到Bt的β分布，B-1t- IPS遵循II型奇异多元贝塔分布（Diaz Garcia和Gutiierrez，2008）。由此我们得到E（B）-1t-Ip）=b（a-P-1)-1和E（B）-1t）=（a+b-P-1） （a）-P-1)-1Ip，其中a=δ（1-δ)-1+p-1和b=1。关于II型β-d分布矩推导的更多详细信息，请参见Khatri和Pillai（1965）和Konno（1988）。上述预期仅对a>p+1或δ>2/3有效，本文将对此进行假设。因此，给定∑t-1，结合（4）和（5），我们得到了E（∑t |∑t）-1） =c（A′）-1∑t-1A-因此，定义C=c1/2（A′）-1，{∑t}遵循AR过程，即∑t=C∑t-1C′+Zt，（6）对于具有零均值矩阵的对称随机矩阵Zt。建立了前Φt | A，Dt-1.~ Wp（δn+p）- 1.卡夫特-1A′+t），后验分布后面跟着一个s im-ilar参数，如Triantafyllopoulos（2008）Φt|a，Dt~ 可湿性粉剂（n+p）- 1，Ft），（7）式中，et=yt- u是残差向量，Ft=（ete′t+（kAFt-1A′+t）-1.根据上述参考文献，yt的一步预测分布是一个p变量的Student t分布，具有δn个自由度和s扩展矩阵δ-1n-1（卡夫脱）-1A′+t）-1，即yt | A，Dt-1.~tp（δn，u，δ-1n-1（卡夫脱）-1A′+t）-1） .3.1.2 AR订单d的情况≥ 1上述结果假设一阶UWAR过程，即d=1。现在考虑一下d的一般情况≥ 1.

从自回归（3）很容易验证Φt0···00Φt-1· · · 0............0 0··Φt-d+1=AA··Ad-1AdIp0····························。。。。。。。。。。。。。。。0 0··IpΦt-10··00Φt-2· · · 0............0 0··Φt-D×A\'Ip0··0A\'0 Ip··0。。。。。。。。。。。。。。。A′d0 0··0+Et-AΦt-1· · · -公元-1Φt-d+1-Φt-1A′0···0。。。。。。。。。。。。-Φt-d+1A′d-10 · · · 0,可以写成ψt=Aψt-1A′+Et.（8）此外，从恒等式Φt=[Ip，0，…，0]Φt0···00Φt-1· · · 0............0 0··Φt-d+1Ip。。。,我们可以写出Φt=JψtJ′，其中J=[Ip，0，…，0]，我们还可以验证∑1/2t=Jψ-1/2tJ′。因此，方程（1）可以写成asyt=u+Jψ-1/2tJ′t.（9）假设ψ服从Wishart分布，ψt|a，Dtisa-Wishart的后验分布和来自ψtwe的块对角结构的f也将遵循Φt|a，dt的后验分布。然后，提前一步预测ytis a学生的分布。这些结果取决于，A上的Ador条件。如果我们利用上述变换并使用d=1，则可得到A上的无条件推理，这是下一步的发展。3.2 ALet A上的无条件推断应为p×p非奇异随机矩阵。从接缝的先验密度f（Φt，A | Dt-1） =f（Φt | A，Dt）-1） f（A | Dt-1） 从（Φt，A）的Bayes定理的应用，我们得到了（Φt，A | Dt）∝ f（yt |Φt）f（Φt | A，Dt）-1） f（A | Dt-1） ，所以f（A | Dt）∝ f（A | Dt-1） Zf（yt |Φt）f（Φt | A，Dt）-1） dΦt。

（10） 从yt的预测分布来看，（10）的积分是zf（yt |Φt）f（Φt | A，Dt）-1） dΦt∝ |ete′t+（kAFt-1A′+t）-1|-（δn+p）/2和sof（A | Dt）∝ f（A）tYj=1 | eje′j+（kAFj-1A′+j）-1|-（δn+p）/2，其中f（A）是A的先验密度。为了确定f（A | Dt）的模式^A，我们注意到矩阵方程f（A | Dt）/A=0（相对于A；h或e）f（·）/ 表示第一偏导数）似乎不适用于解析解。因此，我们通过使用牛顿拉斐逊方法来近似真模式^A，根据该方法，在每次t，对于迭代i=1，2。，我们使用公式vec（^A（i））=vec（^A（i）计算^A（i）-1)) +对数f（A | Dt）vec（A）vec（A）\'-1.A=^A（i）-1) 对数f（A | Dt）vec（A）A=^A（i）-1） ，（11）式中，首先给出^A（0），vec（·）表示无限制矩阵的列叠加算子。在某些监管条件下（Sumway and Stoff，2006，§6.3），算法收敛到真模式^A。对数f（A | Dt）的密度为对数f（A | Dt）=对数c+对数f（A）-δn+ptXj=1log | eje′j+（kAFj-1A′+j）-1 |，其中c是f（A | Dt）的比例常数。然后，对数f（A | Dt）对A的第一次偏导数为 对数f（A | Dt）A= 日志f（A）A.- k（δn+p）tXj=1（eje′j（（kAFj-1A′eje′j+λjeje′j+Ip）-1) - （卡夫基）-1A′+j）-1） AFj-1.（12）附录中显示，对于变量X的非限制矩阵和恒定对称矩阵B、C和G，它是 日志| BXCX′+BG+Ip|X=2B（XCX′B+BG+Ip）-1XC，（13）所以 log|B+（XCX′+G）-1|X= 对数|（XCX′+G）-1（Ip+BXCX′+BG）|X= 日志| BXCX′+BG+Ip|十、- log|XCX′+G|X=2（B（XCX′B+GB+Ip）-1.- （XCX′+G）-1） XC，通过替换X=A，B=eje′j，C=kFj-G=j，立即给出对数f（A | Dt）导数的表达式。表达式（13）扩展了以前关于对称矩阵行列式对数的部分导数的结果（Harville，1997，p。

327).从我们之前的 日志f（A）A=-五、-1A（A）- MA）W-1.a.（14）使d-er-ivative（12）成为 对数f（A | Dt）A=-五、-1A（A）- MA）W-1A- k（δn+p）tXj=1（eje′j（（kAFj-1A′eje′j+λjeje′j+Ip）-1) - （卡夫基）-1A′+j）-1） AFj-1，（15）通过应用vec（·）算子，给出（11）右侧的梯度，即。 对数f（A | Dt）vec（A）=-（W）-1A 五、-1A）（vec（A）- vec（硕士）-k（δn+p）tXj=1（Fj）-1. eje′j）vec（kAFj）-1A′eje′j+λjeje′j+Ip）-1） A-（Fj）-1. Ip）vec（kAFj-1A′+j）-1A. （16） 为了得到（11）的Hessian矩阵，我们对（16）进行微分，即。对数f（A | Dt）vec（A）vec（A）′=-W-1A 五、-1A+k（δn+p）tXj=1（Fj）-1. eje′j）×（kFj-1A′eje′j+A-1∧jeje′j+A-1)-1. （kFj）-1A′eje′j+A-1∧jeje′j+A-1)-1×（（eje′j） kFj-1） 金伯利进程- eje′j∧jA-1. A.-1.- A.-1. A.-1) - （Fj）-1. 知识产权（kFj）-1A′+A-1∧j）-1.（kFj）-1A′+A-1∧j）-1（（Ip） kFj-1） 金伯利进程- ∧jA-1. A.-1), （17） 其中kpi是p×pvec置换矩阵，即vec（A′）=Kpvec（A）。这个结果来自标准的矩阵微分规则，例如，对于X是无限制变量的矩阵，而F（X）是X的函数的非奇异矩阵，它是vec（F（X）-1)vec（X）=-F（X）-1. F（X）-1.向量（F（X））vec（X），读者可参考Harville（1997，§16.6）的证明。在（16）和（17）就位的情况下，每次迭代i=1，2。，我们可以从（11）中计算出^A（i）。最初，我们设置了一个（0）=Ip，但根据我们的经验，这对收敛并不重要。收敛假设为迭代i，其中ka（i）- A（我）-1） k≤ T ol，对于一些较小的公差值T ol，k·kdenotes为Frobenius范数；Shumway和Stoffer（2006，§6.3）中讨论了类似的停工规则。请注意，收敛通常不需要多次迭代，尽管这可能取决于特定的应用程序和数据的维度。

此外，请注意，由于f（A | Dt）是对称分布，因此计算出的近似值^A也提供了平均矩阵E（A | Dt）的近似值。Φt的后d分布由f（Φt | Dt）=Zf（Φt | A，Dt）f（A | Dt）dA给出∝ |Φt |（n）-2） /2Zexp（跟踪(-F-1tΦt/2）tYj=1 | ete′t+（kAFj-1A′+j）-1|-（δn+p）/2f（A）dA。上述积分不容易以封闭形式计算，但一种选择是采用基于模拟或数值方法进行计算。第6节中部署的另一个选项是使用Wishart后Φt | A=^A，Dt~ 可湿性粉剂（n+p）- 1，^Ft），其中^fti是Ftif的估计值，我们用^A替换A。同样，我们可以使用Φt|A=^A，Dt的先验分布-1和yt |A=^A，Dt的预测分布-1，其中现在^A的计算使用时间t之前的数据- 1或信息Dt-1.4诊断工具诊断工具包括贝叶斯和非贝叶斯。例如，从贝叶斯的角度来看，Bayes因子、Schwartz的cr iterion（也称为贝叶斯信息准则）、贝叶斯偏差和模型平均都可以在模型选择框架内使用。从经典的角度来看，似然函数和平均绝对偏差和均方误差等误差也可用。Robert（2007年，第7章）详细介绍了上述贝叶斯模型选择标准。贝叶斯方法的优点是它不仅能考虑数据，而且能考虑先验信息。然而，上述一些标准涉及使用基于模拟的方法，如偏差和模型平均。Schwartz的标准使用了Bayes因子的拉普拉斯近似，但该标准不适用于具有相同数量参数的模型或非嵌套模型的比较。

由于时间序列中的先验信息有随时间变化的趋势，所以将先验信息整合起来的问题并不那么关键。在本文中，当我们提出一种方法来弥合封闭形式估计和基于模拟的算法之间的差距时，我们不讨论依赖于模拟的模型选择标准。接下来，我们讨论了三个模型的比较，即对数后验、贝叶斯因子和最小时间平均投资组合风险。这三个标准旨在比较同一模型（2）形式的不同模型组成部分的模型，如折扣系数。4.1对数后验函数对数似然函数可通过使用状态空间模型的经典误差分解获得，即基于信息DN=（y，…，yN），似然为L=QNt=1f（yt | A，Dt）-1） ，它是N螺柱t密度的乘积。然而，由于本文的重点是L中∑tand的估计，这只是间接涉及，因此在后半部分我们讨论对数后验函数。根据信息DN，波动率的对数后验函数∑，∑N可作为模型比较的一种手段，也可用于选择超参数δ。写入∑*N=（∑，…，∑N），然后，通过使用贝叶斯定理，后验概率∑*Nisf（σ）*N | A，DN）=f（yN∑N）f∑*N | A，DN- 1） =cNNf（σ）*N- 1 | A，Dt-1） f（yN∑N）f（N∑N）- 1，A）=cNf∑| A）NYt=1f（yt∑t）f∑t∑t-其中cN=QNt=1（f（yt | Dt-1、A）-1.由于Cnn不依赖于{∑t}，我们将其从后验概率的计算中排除，即我们设置cN=1，但是如果我们希望使用对数后验概率最大化原理来估计A，那么Cnn必须被包括在内，因为它隐式依赖于子A。从（1）中，我们有yt∑t~ Np（u，∑t）。下面是密度f（t∑t-1，A）。首先我们推导出密度f（Φt |Φt）-1，A）。

从（2）我们得到了Bt=k-1U（Φt）-1)′-1A-1（Φt）-∧t）A′-1U（Φt）-1） 由此和Diaz Garcia和Gutiierr ez（1997，定理1）关于Φtis（dBt）=| Bt | p/2 |Φt的Bt的雅可比数- ∧t | p/2 | k-1U（Φt）-1)′-1A-1 |（dΦt）。因此，从规定的beta分布来看~ Bp（a/2，1/2），密度为f（Bt）π（1-p） /2Γp（（a+1）/2）Γ（1/2）Γp（a/2）ξ-p/2t | Bt |（a）-P-1） /2，对于a=δ（1- δ)-1+p- 1（见第3.1节），Φt |Φt的密度-1，一个isf（Φt |Φt-1，A）=π-p/2Γp（（a+1）/2）Γ（1/2）Γp（a/2）ξ-p/2tk-3p∑t-1 |（p+3）/2 | A|-（p+4）|∑-1t- ∧t | p+1，其中ξ是Ip的唯一正特征值- Bt.∑t=Φ-1t，以及Φt关于∑tis∑t的雅可比矩阵|-（p+1），我们得到了∑tas f（∑t |∑t）的密度-1，A）=f（Φt |Φt-1，A）∑t|-（p+1）。因此，从上面和（18）中取对数，对数后验函数isLP=3Np log k-迹（AFA′∑）-1) -2n+plog |∑-NXt=1（yt- u)′Σ-1t（yt）- u)-3p+2NXt=1log |∑t |+（p+1）NXt=1log |∑-1t- ∧t|-pNXt=1logξt，（19），其中除3Np log k外，所有常数均被忽略。我们保持该常数的原因是δ上kdepends的th。上述对数后验值是在A上有条件地给出的。如果我们通过估计值∑tand^A替换∑tand A（t=1，…，N），我们可以得到LP的值，其中前者可以是平均值，也可以是∑t | Dt，A=A的模式，这两者都是通过后验Wishart密度常规获得的。然后，我们可以利用最大对数后验原理比较两种不同δ值的模型。

在同样的思路中，我们可以选择使上述对数后验值最大化的最佳δ。4.2贝叶斯因子在这里，我们讨论贝叶斯因子，特别是我们关注顺序贝叶斯因子，它在West（1986）中介绍，并在West和Harrison（1997，§11.4）中详细讨论。正如Kass和Raftery（1995年）所述，Gamerman和Lopes（2006年，§2.6）和Robert（2007年，§7.2.2）所讨论的，Bayes因子基本上是两个模型的后奇数比和M（它们是互补的）与前奇数比。对于顺序应用，在每个时间t，Bayes因子由BFt=f（yt | Dt）定义-1，M）/f（yt | Dt-1.M），更多细节参见Example West（1986）。考虑到上述对BFt的定义，将其与1进行比较（大于1的BFt值表示偏好M，小于1的BFt值表示偏好M，等于1的BFt值表示两个模型是等效的，从这个意义上说，它们都具有相同的预测能力）。一种可能的形式是，在它们各自的贴现因子δ，δ中存在差异，在这种情况下，贝叶斯因子t是bft=Γ（（δn+p）/2）Γ（δn/2）|k^AF1，t-1^A′+t|1/2（1+e′1t（k^AF1，t-1^A′+λt）e1t）-（δn+p）/2Γ（（δn+p）/2）Γ（δn/2）|k^AF2，t-1^A′+t|1/2（1+e′2t（k^AF2，t-1^A′+t∧e2t）-（δn+p）/2，其中nj，kj，^Aj，Fj，t-1是n，k，^A，Ft的各自值-1，对于δ=δjand j=1，2。可以考虑West（1986）中描述的监测程序，并基于BFt的顺序应用，t=1,2。，或者考虑一些关于平均贝叶斯系数BF=N的阈值规则-1PNt=1ft，例如Je ffreys（1961）的规则，在Kass和Raftery（1995）中进行了详细讨论；另见Robert（2007，第228页）。4.3最小时间平均投资组合风险我们将最小时间平均投资组合风险作为一个标准，选择具有最小抽样方差的波动率估值器。

为此，我们采用了Markowitz（1959）均值-方差无约束优化的顺序版本（使用时间t的样本外预测作为波动率的负荷）。顺序投资组合选择的目的是在每次t时都覆盖一个最佳权重向量wtt，以最小化投资组合收益的方差rt=w′tyt，即最小化Var（rt | Dt-1） =w′t^∑行波管，其中∑是yt | Dt的一步预测协方差矩阵-1.无约束投资组合策略计算最优权重为WT=m^∑-1tu′^∑-1tu，其中预期收益w′tu=m被假定为时不变的。考虑到没有交易成本，实际收益rt=w′tytca可用于直观地评估权重分配的性能，类似的投资组合分配策略，包括约束投资组合选择，在Aguilar和West（2000年）、Soyer和Tanyeri（2006年）、Han（2006年）以及其中的参考文献中进行了讨论。采用这个标准，使用两个方差估计，产生投资组合方差s（A）t=Var（rt | Dt-1，估计量A）和s（B）t=Var（rt | Dt-1，估计量B），我们选择估计量A，如果N-1PNt=1s（A）t<N-1PNt=1s（B）t。给定一个模型，我们可以应用相同的原理来选择贴现因子δ或其他模型组件。5模拟研究在本节中，我们在3个不同的模拟序列{∑it}i=1,2,3上进行蒙特卡罗实验，以评估基于UWAR（1）模型的拟议估计方法的效率。{Σ-11t}由UWAR（1）过程生成，{∑-12t}由UWAR（2）过程生成，{∑3t}由UWAR（1）过程生成。在这三种情况下，我们使用第3节中提出的UWAR（1）过程估计波动率的精度，因此在情况2和3中，我们使用“错误模型”，而在情况1中，我们使用“真实模型”。