基于Wishart的多元随机波动率建模

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英文标题：
《Multivariate stochastic volatility modelling using Wishart
  autoregressive processes》
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作者：
K. Triantafyllopoulos
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  A new multivariate stochastic volatility estimation procedure for financial time series is proposed. A Wishart autoregressive process is considered for the volatility precision covariance matrix, for the estimation of which a two step procedure is adopted. The first step is the conditional inference on the autoregressive parameters and the second step is the unconditional inference, based on a Newton-Raphson iterative algorithm. The proposed methodology, which is mostly Bayesian, is suitable for medium dimensional data and it bridges the gap between closed-form estimation and simulation-based estimation algorithms. An example, consisting of foreign exchange rates data, illustrates the proposed methodology.
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中文摘要：
提出了一种新的金融时间序列多元随机波动率估计方法。对于波动率精度协方差矩阵，考虑了Wishart自回归过程，其估计采用了两步程序。第一步是对自回归参数的条件推理，第二步是基于牛顿-拉斐逊迭代算法的无条件推理。所提出的方法主要是贝叶斯方法，适用于中维数据，它弥补了封闭形式估计和基于仿真的估计算法之间的差距。一个由汇率数据组成的例子说明了所提出的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Multivariate_stochastic_volatility_modelling_using_Wishart_autoregressive_processes.pdf (509.28 KB)

2022-5-5 04:02:15 上传

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关键词：Hart wish 波动率 ART Multivariate

使用Wishart自回归过程的多元随机波动率建模。TriantafyllopoulosSchool of Mathematics and Statistics，University of She ffield，She ffield，S3 7RH，UK2018年8月6日摘要针对金融时间序列提出了一种新的多元随机波动率估计方法。波动率-精度协方差矩阵采用Wishart自回归过程，估计采用两步过程。第一步是对自回归参数的条件推理，第二步是基于牛顿-拉斐逊迭代算法的无条件推理。提出的方法主要是贝叶斯方法，适用于中维数据，它弥补了封闭形式估计和基于仿真的估计算法之间的差距。一个由汇率数据组成的例子说明了所提出的方法。一些关键词：多元波动性、Wisha rt过程、金融时间序列、c方差、贝叶斯预测。1简介在过去的二十年中，许多工作致力于开发时变波动率的估计方法和相关计算算法。虽然关于单变量波动率估计方法有大量文献，但人们普遍认为，资产配置和风险管理需要多变量波动率模型。已经确定了两类主要的模型：（a）多元广义自回归条件异方差模型（GARCH），见e.g.Engle（2002）；和（b）多元随机波动模型（SV），见e.g.Chib et al.（2006）和Philipov and Glickman（2006）。GARCH模型家族采用了最大似然估计方法，但正如许多作者所报道的那样（参见Bauwens等人2006年的综述），这些模型不受维度诅咒的影响。

Asai等人（2006年）和Yu和Meyer（2006年）对SV模型进行了审查，通过采用基于模拟的贝叶斯方法，即马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）或粒子滤波器，为最大似然法提供了一种替代方法。然而，由于一些原因，此类估算方案可能仍表现不佳。首先，有许多参数需要考虑（每个haps小于GARCH规范中的参数），因此，对于GARCH模型来说，强调的维度问题仍然是一个问题。其次，对基于模拟的程序的依赖使得估算更低，在某些情况下更难应用。在这一点上，Brandt和Santacrara（2006）表示，“虽然研究人员探索了各种数值求解方法，包括求解偏微分方程、离散状态空间和使用蒙特卡罗模拟，但这些技术对大多数实践者来说都是遥不可及的，因此它们重新被放在了象牙塔中。”本文的目的是开发一种多元随机波动率估计方法，该方法将弥合从业者发现的封闭式估计算法与许多学者青睐的基于模拟的估计算法之间的差距。这项工作有助于快速封闭形式的估计程序，适用于中维数据，但不会影响估计的质量。本文采用的算法适用于实时应用，这在金融行业越来越成为必要，尤其是在算法交易和相关统计套利策略的实施方面（Pole，2007）。我们从第2节开始，考虑波动率矩阵精度的Wishart自回归随机过程。

Bru（1991）引入了这种过程，并进一步发展为随机波动率的有用概率模型（Gourieroux，2006；Gourieroux等人，2009）。在本文中，我们发展了Uhlig（1994）矩阵变量随机游动模型的一个扩展，以便有条件地对Wishart自回归过程的自回归（AR）参数进行推理。在这个框架下，我们证明了波动过程也是自回归的，并且我们将其参数确定为AR精度过程参数的函数。假设精确过程的AR参数是随机的，我们确定了它们的后验分布（直到一个比例常数），并建议使用迭代过程中的牛顿图来近似其m模式。因此，我们用共轭贝叶斯方法估计波动率协方差矩阵，用迭代方法估计Wishart过程的AR参数。第4节讨论了三个诊断标准，即对数后验函数、贝叶斯因子和最小时间平均投资组合风险。通过考虑波动率精度的AR过程，本文旨在克服inUhlig（1994）提出的随机游走进化的局限性，并在许多研究中采用（Quintana等人，2003年；Soyer and Tanyeri，2006年；Triantafyllopoulos，2008年）。Monte Carlo模拟以及五种货币对美元的汇率（FX）数据说明了拟议的方法。我们的实证结果表明，考虑到类似的计算算法，如Philipov和Glickman（2006）以及下文提到的相关研究中的算法，提出的波动率估值器具有较低的计算成本。外汇数据的维度与文献中最近的类似研究一致，例如：。

Danielsson（1998）考虑四维数据，Liesenfeld和Richard（2003）考虑四维数据，Philipov和Glickman（2006）考虑五维数据，Chib等人（2006）考虑10维数据。在我们的实证研究中，我们发现，所提出的方法与Soyer和Tanyeri（2006）的随机方差模型（Quintanaand West（1987）、Quintana e t al（2003）、Triantafyllopou los（2008））以及Engle（2002）的动态条件相关GARCH模型进行了很好的比较。最后，本文对第7章进行了总结。2模型描述考虑p-dim基本时间序列向量{yt}，通常由资产价格、汇率或任何其他相关金融工具的对数回报或算术回报组成。例如，如果pt=（p1t，…，ppt）′表示p资产列表的p维价格列向量或时间t时的p汇率值，则对数回报定义为yit=log pit- 对数π，t-1算术回报定义为yit=pit/pi，t-1.- 1，foryt=（y1t，…，ypt）和t≥ 2.{yt}的经典建模设置是假设在波动率矩阵∑t（这是计量经济学分析的主要主题）的条件下，ytis多元正态分布，即yt=u+∑1/2tt，t~ Np（0，Ip），（1）其中u表示历史平均向量，∑1/2t表示∑t的平方根矩阵，{t}序列遵循具有单位对角方差的p维高斯白噪声过程（此处Ip表示p×p单位矩阵）。为了确定∑t}的随机演化f，首先我们假设对于所有t，p×p精度协方差矩阵Φt=∑-存在，即。

∑是严格的正定义，随后假设{Φt}遵循Uhlig的Wishart自回归过程（Uhlig，1994，1997），Φt=kAU（Φt-1） ′BtU（Φt）-1） 其中k是一个待确定的常数，A是一个p×p自回归参数矩阵，∧tisa p×p对称矩阵和U（Φt）-1） 表示矩阵Φt的组合的上三角矩阵-1.在大多数实际应用中，∧t=0，如本文第6节所用，但如下文第10页所示，需要考虑∧t6=0，以适应比1阶更高的Wishart AR过程。在上述模型公式中，p×p矩阵遵循bts，与Φt无关-1，一个参数为a/2和b/2的奇异多元β分布，写Bt~ Bp（a/2，b/2）；在下面和下一节中，我们讨论参数a，b。为了激励模型（2），假设a=Ip和∧t=0，因此（2）被简化为Uhlig（1994）中考虑的ran-domwalk演化，即Φt=Φt-1+Et，wher e eti是一个期望为零的对称随机矩阵，它支持随机游动性质e（Φt |Φt）-1） =Φt-1.在附录中，我们详细讨论了Uhlig的随机游动模型，以及奇异贝塔分布。参数a、b、k均设定为特定值（见下文），取决于遗忘或贴现因子0<δ<1，它控制从Φt开始引入的冲击的大小-1到Φt，因此唯一的自由参数是δ（第3.1节详细讨论了a、b、k的规格）。

可以方便地选择参数a和b（a是δ的函数，b=1），使E（Bt）=k-1Ip，以支持随机游动特性E（Φt |Φt-1） =Φt-1.Uhlig（1994）表明，为了使b<p，Bt必须遵循一个单一的贝塔分布- 1（因为对于非单数d分布b大于p- 1). 此外，我们很高兴允许b<p- 1，因为假定给定的中维p。进化（2）与Soyer and Tanyeri（2006）和Triantafyllopoulos（2008）中考虑的随机游走模型有一些相似之处。这些作者对平均过程u使用了不同的模型（Soyer和Tanyeri（2006）使用指数平滑，Triantafyllopoulos（2008）使用状态空间模型），而不是k in（2），他们使用1/δ。在这种情况下，它声称在他们的随机游走过程中，期望值被保留，即Φtat t的先验期望值等于Φt的后验期望值-1 AT t- 1.在本文第3.1节中，我们解释了这是不正确的，并且选择基本上会导致{Φt}的收缩类型演变，这是不现实的。因此，我们表明，需要考虑k的特殊表达式，本质上是δ的函数，但不同于1/δ。Triantafyllopoulos（2008年）扩展了Soyer和Tanyeri（2006年）的方法，包括几个统计因素。这种方法也有上述不足之处，而且随着模型中引入了更多的统计因子，它们的估计或规格可能会降低算法的速度。与上述研究相比，本文提出了{Φt}的自回归演化。考虑模型（2），我们可以看到E（Φt |Φt-1） =AΦt-1A′+t，因为根据β分布，它是E（Bt）=k-1Ip。

根据这个性质，并与上面描述的随机行走模型相类比，我们可以写出Φt=AΦt-1A′+Et，其中{Et}是一系列对称矩阵，期望E（Et）=∧t。两个模型（2）和（3）都产生了sameE（Φt |Φt）-1); 模型（2）使用乘法定律，而（3）使用加法定律。事实上，我们可以考虑一个高阶AR模型，由Φt=dXj=1AjΦt定义-jA′j+Et，t=d，d+1，N、 （3）凡，Adare p×p参数矩阵，d为自回归阶。我们称（3）为asUhlig的Wishart自回归过程（UWAR（d）），因为它可以写成UWAR（1）过程（见下一节），我们采用Uhlig的乘法进化（2）进行推理。过程（3）不应与Gourieroux等人（2009）提出的Wishart自回归过程混淆，其中序列{et}是i.i.d，而在（3）中，可以证明{et}是条件异方差的（Soyer and Tanyeri，2006，第982页）。因此，波动率模型由观测方程（1）和过程{Φt}（2）的演化定义。最后，假设Φs最初遵循一个已知自由度n>p的Wishart分布- 1和比例矩阵F，写成Φ~可湿性粉剂（n，F）。设Dt=（y，…，yt）d表示时间t处的数据或信息集，包括观测数据向量y，对于t=1，N.我们希望得到Φt的后验分布，给定Dt。模型参数为A（AR参数矩阵）、∧t（Et的平均值）和δ（贴现因子）。完全贝叶斯方法需要指定先验参数Φ，Φt，给定A，∧i和δ以及A，∧i和δ的先验，它应该依赖于MCMC。

Philipov和Glickman（2006）提出了Suchan方法，他们使用Gibbs采样器从Φt的后部采样，同时使用Metropolis-Hastings算法估计其模型的超参数。在本文中，由于我们的目标是弥合封闭形式估计和基于模拟的估计算法之间的差距，我们采用了两步估计过程。在第一步中，有条件地在A∧t，δ上，我们获得Φt的后验分布，在第二步中，我们获得A的后验分布。然后，为了获得A的工作估计量，我们使用牛顿-拉夫逊方法来近似A的后验分布模式。假定已知∧t，这里将其设置为零矩阵，适用于支持期望值e（Φt |Φt-1） =AΦt-1A′。我们注意到理论上∧t=0时，可能会导致Φtin（3）太接近零矩阵，但在应用中，我们发现这不是问题，因为每次t，a都会平衡这种影响。对于h igher自回归阶数d>1，∧t=E（Et）是一个零上n均值，这从下面第3.1节的等式（8）中可以明显看出。与其他作者一样，对于贴现因子δ的规定，我们采用了非贝叶斯设置。δ是由t引起的冲击的大小，单位为Φt- 1对t。在一端，δ=1意味着Φt=AΦt-1A′，或Et=0或Bt=Ip（概率为1），而在另一端，δ的低值会对Φt过程产生较大冲击。Quintana和West（1987年）以及Soyer和Tanyeri（2006年）考虑到随机游走模型，建议δ值在0.8或0.9左右。下面我们展示了δ必须满足2/3<δ<1，波动过程才有意义。在上述设置到位后，ΦTHA的后验分布隐含地取决于A的模式和给定的δ的特定值。

我们假设a的矩阵变量正态先验分布，即a~ Np×p（MA，VA，WA），其中MAI是一个p×p矩阵平均值，VAI是一个p×p左协方差矩阵，WAa是一个p×p右协方差矩阵。这意味着vec（A）遵循p维高斯分布，或vec（A）~ Np（vec（MA）、WA 弗吉尼亚州），在哪里 表示Kronecker运算符。推论。1以A3为条件的推理。1.1 AR订单d=1的情况我们首先讨论AR订单d=1的影响。Φ的后验分布的推导是归纳的。有条件地，假设Φt-1具有后验分布Φt-1 | A，Dt-1.~ 可湿性粉剂（n+p）- 1英尺-1） ，英国《金融时报》-1完全取决于A和n=（1- δ)-1，对于折扣或遗忘因子0<δ<1。从t=1开始，如果我们设置n=n+p，这与Φ的优先级一致-1.为了建立Φtand的先验分布和后验分布来计算k的值（见等式（2）），我们首先考虑∧t=0的情况。如果我们指定a=δ（1- δ)-1+p- 1和b=1，我们从Uhlig（1994）中可以看出-1A-1Φt | A，Dt-1.~Wp（δn+p）- 1英尺-1） ，或Φt|A，Dt-1.~ Wp（δn+p）- 1.卡夫特-1A′；附录九中讨论了这一论点的细节。从前面来看，它是E（Φt）-1 | A，Dt-1） =（n+p）- 1） 英尺-1和（Φt | A，Dt）-1） =（δn+p）-1） 卡夫特-1A′，通过平衡这两个期望，我们得到k=n+p- 1δn+p- 1=δ(1 - p） +pδ（2）- p） +p- 1.在上述设置下，k gu arante的这个值表示模型的自回归特性，用E（Φt | A，Dt）表示-1） =AE（Φt）-1 | A，Dt-1） A′。我们注意到，考虑到随机游走模型（A=Ip），West和Harrison（1997年，第16章）以及Soyer and Tanyeri（2006年）使用k=1/δ。虽然很容易验证这是p=1的正确选择，但将k=1/δ设置为p>1会导致{Φt}的收缩类型演变。