基于Wishart的多元随机波动率建模

在每种情况下，矩阵A都是根据阿加西矩阵变量分布随机生成的，并且使用了δ=0.8的真值。我们重复表1：对于3种情况（精确波动率的UWAR（1）情况1、精确波动率的UWAR（2）情况2和波动率的UWAR（1）情况3），估计模式波动率的Frobenius距离和波动率的真实值的蒙特卡罗平均值（括号内）和标准差。情景1情景2情景3p=3 0.0001（0.001）0.0008（0.002）0.0010（0.001）p=100.0003（0.001）0.0013（0.003）0.0018（0.002）p=300.0007（0.002）0.0025（0.005）0.0033（0.001）对p=3、p=10和p=30（协方差矩阵的维数）进行实验，我们从u=0的模型（1）生成时间序列{yt}。每次计算的时间序列长度为N=1000，蒙特卡罗样本量设置为100。报告的是平均值（所有蒙特卡罗样本和时间点101≤ T≤ 1000）Fr obeniusvolatility distance（定义为估计波动率与真实模拟波动率之差的平方根）。对于估计的波动率，使用样本外波动率后验分布的近似模型e。Reportedalso是相关的蒙特卡洛标准偏差。我们使用每个蒙特卡罗样本的前100个观测值来指定先验F（另见下文第6节，其中讨论了真实数据集的先验设置）。对于∑t的估计，使用真值δ=0.8。δ是最敏感的参数，对于第4节讨论的标准可用于该规范（另见第6节）。我们从表1中注意到，估计的平均附加值很小。随着协方差矩阵维数的增加，估计的功率降低，但对于p=30，仍然具有合理的结果。

此外，当假设为真实模型时（表的第一列），模型的性能比第二次和第三次会议的性能更好。这些结果说明了所提出模型的性能，尽管需要更详细地考虑模拟，以获得更具决定性的结果，例如，为了了解δ的敏感性。本文的建模方法允许模拟和估计中维时变协方差矩阵（用于波动率估计或一般情况下的估计），这是一项艰巨的任务，许多作者都指出了这一点，如Gourieroux等人（2009）。6外汇汇率6。1.数据在本节中，我们分析了五种外汇兑换美元的汇率。汇率为加元（CAD）、欧元（EUR）、日元（JPY）、英镑（GBP）和澳元（AUD），均以每美元的外币单位数表示。样本期从1999年1月4日至2009年12月31日，相当于2760个观测值，以每日频率进行采样。该数据集来自不列颠哥伦比亚大学太平洋汇率服务中心(http://fx.sauder.ubc.ca/).首先，数据被转换为日志返回。在前两年（1999年1月4日至2001年12月31日），我们使用数据进行预处理，以获得u和∑的样本估计值。

然后，从2002年1月2日开始，我们运行波动率算法，以获得波动率矩阵的预测。6.2竞争模型的描述我们考虑四种模型，均采用模型规格（1）和（a）∑-1跟踪aUWAR（1）过程（该模型被称为UWAR），（b）∑-1遵循Soyer和Tanyeri（2006）的随机游走模型，即a=Ip的UWAR（1）模型，（该模型被称为RW）（c）遵循Philipov和Glickman（2006）的Wishart规范（被称为PGWAR）和（d）遵循Engle（2002）的动态条件相关GARCHModel（被称为DCC）。DCC规范（Engle，2002）设定∑t=DtRtDt，其中dt是元素σ1/211，t，σ1/2pp，tand rti是动态相关矩阵，以yitand yjt和un的相关性作为对角元素，其中∑t=（σij，t）和yt=（y1t，…，ypt）′。换句话说，DCC sp规范结合了时变方差（通过Dt）和时变相关性（通过Rt）。对于每一个四次方对角元素，使用了FTA GARCH（1,1）过程，并使用指数平滑的标准化GARCH（1,1）残差对RTI建模。因此，在DCC下，∑t元素的过程包含以前方差、相关性和平方观测收益的自回归分量，而在UWAR（1）规范下，∑t元素的过程包含以前方差和协方差的自回归分量（见等式（6））。在UWAR规范中，过去的波动率矩阵是随机的，通过其条件分布携带重要信息，而在DCC规范中，此类信息通过其平方观测值和未知GARCH成分的潜在结构的明确规范携带。

另一个主要区别是，由于DCC推理是通过基于似然的估计方法进行的，因此DCC旨在进行有效的估计（当所有数据可用时），而UWAR可以应用，实际上在本文中，它是针对在线应用的。比较使用贝叶斯和非贝叶斯方法的不同模型是一项具有挑战性的任务；Danielsson（1998）报告了一些相关问题，他使用似然函数作为模型比较的手段。在本文中（a）我们比较了两个使用贝叶斯因子、对数后验函数和最小时间平均风险的贝叶斯模型（UWAR和RW），以及（b）我们使用夏普比率和最小时间平均投资组合风险来比较模型UWAR和P GWAR，以及UWAR和DCC。6.3实证结果表2比较了UWAR和RW模型（使用对数后验和时间平均最小投资组合风险）在一组贴现因子δ范围内（0.7,1）的表现；f orUWAR a的模糊高斯先验用于a，MA=0，VA=WA=1000I，和∧t=0，用于所有t。我们注意到，表现最好的是δ=0.7的UWAR，具有最大的对数后验函数和最小的时间平均投资组合风险。考虑到δ=0.7的该模型的Bayes因子，与δ=0.75,0.8,0.85,0.9,0的UWAR模型相比，δ=0.7的UWAR模型表现最好。95,0.98（平均贝叶斯因子值分别为10.01,15.9,18.2,23.5,27.9,33.02）。当与任何一个RW模型进行比较时，Bayes因子准则也支持δ=0.7的EduWar模型，δ的任何值都在上述范围内；Bayes因子的平均值最小为19.35。

参考上述标准（对数后验函数、时间平均投资组合风险和平均贝叶斯因子），我们得出结论，UWAR优于RW，这基本上说明了我们通过估计A（在UWAR中）获得的改进，而不是简单地将其设置为Ip。表2:UWAR和RW模型在一组贴现系数δ下的性能。所示为对数后验概率（LP）和时间平均投资组合风险（risk）。δ0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 0.98UWAR LP 829259.2 805312.4 773072.8 726744.8 664228.6 503922 276256.9风险0。0013 0.0018 0.0019 0.0022 0.0028 0.0049 0.011RW LP 817053.8 792433.3 759080.9 710748.5 632475.9 472273.9 211837.3风险0。0193 0.0209 0.0238 0.0286 0.0379 0.0678 0.1665就与其他两种模型的比较而言，尤其是对于PGWAR weadopt，菲利波夫和格利克曼（2006）中描述的高效吉布斯取样器。Gibbssampler老化阶段设置为1000次迭代。如上述参考文献中所述，在每个时间t，在最初的1000次磨合迭代后，采集2000张图纸的后验样本。最后，获得这些样本模式的蒙特卡罗平均值，并将其加载到投资组合练习中，得出时间平均投资组合风险0.0012。该值略小于UWAR，然而，PGWAR模型的缺点是需要对2008个时间点进行吉布斯采样，这非常耗时。针对DCC模型进行了类似的研究，得出的平均投资组合风险等于0.0019，大于UWAR。进一步比较四个模型，我们发现UWAR（δ=0.7）、THRW（δ=0.7）、PGWAR和DCC的平均条件夏普比分别为0.945、0.566、0.947和0.839，说明使用该标准时，UWAR和PGWAR表现最好。

然后，我们得出结论，总体而言，UWAR的表现最好，尽管PGWAR的表现也很好。对于UWAR模型，图1显示了绝对收益0。00 0.02 0.04加元0。00 0.02 0.04欧元。00 0.02 0.04JPY0。00 0.02 0.04英镑。00 0.04 0.082002 2004 2006 2008澳元交易日0。00 0.02 0.04 0.06CAD0。000 0.015 0.0300欧元。000 0.015 0.030日元。00 0.03 0.06英镑。00 0.10 0.202002 2004 2006 2008 AUD交易日绝对收益率和预测边际波动率图1：对于δ=0.7的UWAR模型，样本外预测波动率的绝对收益率和标准差。样本外预测边际波动率（预测波动率矩阵的对角线元素∑t，以信息Dt为条件）-1依次为t=1，N从2002年1月2日开始），图2显示了样本外预测的相关性。图1显示了波动率的良好样本外预测性能，而图2显示了相关性的动态。图3显示了A=（Aij）i，j=1，。。。，5.我们注意到，a和a表明2008年后发生了结构性变化，这突出了该时期波动性的突然增加，CAD（与a相关）和AUD（与a相关）的图1左面板显示了这一点。我们还注意到，最初，Aiiare的值以e为中心（A是精度过程{Φt}的自相关）。

在图3中，我们看到Aii逐渐增加（-0.50.0 0.5CAD-欧元-0.50.0 0.5CAD-日元-0.50.0 0.5CAD-英镑-0.50.0 0.51.0CAD-奥德-0.50.0 0.52002 2004 2006 2008欧元-日本贸易日-0.40.0 0.40.8欧元-英镑-0.40.0 0.40.8欧元-奥德-0.50.0 0.51.0日元-英镑-1.0.0.5日元-奥德-0.50.0 0.52002 2004 2006 2008英镑-澳元交易日波动率交叉-相关性图2：对于δ=0.7的UWAR模型，五种汇率之间的cr-oss相关性的样本外预测。波动过程为（A′）-1乘以一个常数，参见例如方程式（6））。因此，2003年之后，Aiiare的估计值集中在16.4左右，尽管要获得更具决定性的评论，我们也需要查看A的反对角线元素。对于Newton-Raphson算法，我们使用了s Topage tolerance T ol=0.0001，这是在最少4次迭代和最多10次迭代的情况下实现的。7.结论性意见本文提出了一种新的多元波动率估计方法。假设波动率矩阵为正定义，方法的核心是考虑到波动率精度的随机演化遵循一个Wishart自回归样本外估计，即2002年2004年200815.6 15.8 16.0 16.2 16.4 16.6 16.8 A11A22A33A44A55图3：对角线元素的样本外估计Aiiof a={Aij}，对于δ=0.7的UWARmodel。过程本文提出了基于自回归参数的条件推理和无条件推理。所提出的方法不依赖基于模拟的方法（如MC和粒子过滤器）或最大似然估计（如Bauwens等人，2006年报告的几个研究程序），但仍然保留了描述波动性动态的理想复杂性。

这提出了一个有效但现实的问题设置，适用于中维财务数据和需要实时估计的系统。最近，在金融行业，如对冲基金和其他对自动或算法交易需求很大的自营金融精品店，此类系统一直是讨论的焦点。感谢两位匿名推荐人的宝贵意见，这使得论文的版本有了很大的改进。附录A：奇异多元β分布在本节中，我们提供了第3.1节中提到的多元β分布的一些细节。Wishart和多元β卷积在文献中广为人知（Muirhead，1982，定理3.3.1给出了一个很好的解释），但Uhlig（1994）在其介绍中证明，对于以金融应用为目标的Wishart过程，前述卷积不适用。Wislighart和Wislighart提出了多变量随机分布的形成机制，Wislighart和Wislighart提出了多变量随机分布的形成机制。形式上，p×p矩阵B遵循奇异beta分布，ifB=（U（X+Y）′）-1YU（X+Y），w这里X~ Wp（a，Ip），Y~ Wp（b，Ip），X，Y相互依赖，U（X+Y）表示X+Y的Choleski分解的上三角因子，即X+Y=U（X+Y）′U（X+Y）。在这个定义中，假设a>p- 因此X服从非奇异Wishart分布，正整数b满足1≤ B≤ P-1，所以Y遵循一个奇异的Wishart分布。如果≤ P- 1是整数，b>p- 1.

就符号而言，我们写B~ Bp（a/2，b/2）和b的密度，这在Steifel manifod中定义，isf（b）=π-（pb+b）/2Γp（（a+1）/2）Γb（b/2）Γp（a/2）|b |（a）-P-1） /2 | L |（b）-P-1） /2，其中L是元素为Ip正特征值的对角矩阵- B、 如果B>p- 1，密度降低为非奇异多元β密度（Muirhead，1982），在这种情况下| L |=|Ip- B |。上述分布的关键特性是，如果Φ~ 可湿性粉剂（a+b，F），a>p- 对于某些整数b>0，如果b~ Bp（a/2，b/2）独立于Φ，然后Φ*= U（Φ）′BU（Φ）~可湿性粉剂（a，F）。这扩展了Wishart和beta卷积，允许a+b≤2p- 2，a>p- 1和b是正整数。近年来，单一的贝塔分布吸引了相当多的兴趣，读者可以参考Diaz Garcia和Gutiierrez（2008）了解更多细节。附录B：等式（13）的证明，让xijbe表示X的（i，j）第n个元素，并写出D=BG+Ip。它是 log|BXCX′+D|xij=跟踪（BXCX′+D）-1.（BXCX′+D）xij= 迹线（（BXCX′+D）-1Buiu′jCX′）+迹线（（BXCX′+D）-1BXCuju′i）=道（CX′（BXCX′+D）-1Buiu′j）+迹线（（BXCX′+D）-1BXCuju′i）=u′jCX′（BXCX′+D）-1Bui+u′i（BXCX′+D）-1BXCuj，其中ui=（0，…，0，1，0，…，0）\'，对于i=1，p、 所以xij=u′iXuj。将上述方程转化为矩阵形式，我们得到 log|BXCX′+D|X=（CX′（BXCX′+D）-1B）′+（BXCX′+D）-1BXC=（B（XCX′B+D′）-1+（BXCX′+D）-1B）xCx，然后观察该矩阵（BXCX′+D）-1B是对称的，即B=B（XCX′B+GB+Ip）（XCX′B+GB+Ip）-1.<=> B=（BXCX′+D）B（XCX′B+D′）-1.<=> （BXCX′+D）-1B=B（XCX′B+D′）-1.参考文献[1]Aguilar，O.和West，M.（2000）贝叶斯动态因素模型和投资组合分配。《巴西经济统计杂志》，18338-357。[2] Asai，M.，McAleer，M.和Yu，J。

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