投资组合优化中的自旋眼镜和非线性约束

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英文标题：
《Spin Glasses and Nonlinear Constraints in Portfolio Optimization》
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作者：
M. Andrecut
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We discuss the portfolio optimization problem with the obligatory deposits constraint. Recently it has been shown that as a consequence of this nonlinear constraint, the solution consists of an exponentially large number of optimal portfolios, completely different from each other, and extremely sensitive to any changes in the input parameters of the problem, making the concept of rational decision making questionable. Here we reformulate the problem using a quadratic obligatory deposits constraint, and we show that from the physics point of view, finding an optimal portfolio amounts to calculating the mean-field magnetizations of a random Ising model with the constraint of a constant magnetization norm. We show that the model reduces to an eigenproblem, with 2N solutions, where N is the number of assets defining the portfolio. Also, in order to illustrate our results, we present a detailed numerical example of a portfolio of several risky common stocks traded on the Nasdaq Market.
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中文摘要：
讨论了强制存款约束下的投资组合优化问题。最近的研究表明，由于这种非线性约束，解决方案由大量指数级的最优投资组合组成，彼此完全不同，对问题输入参数的任何变化都极为敏感，这使得理性决策的概念受到质疑。在这里，我们使用二次约束来重新描述这个问题，并且我们表明，从物理学的角度来看，找到一个最优投资组合相当于计算一个具有恒定磁化范数约束的随机伊辛模型的平均场磁化。我们证明了该模型简化为一个特征问题，有2N个解，其中N是定义投资组合的资产数量。此外，为了说明我们的结果，我们给出了一个在纳斯达克市场上交易的几个高风险普通股的投资组合的详细数字示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Spin_Glasses_and_Nonlinear_Constraints_in_Portfolio_Optimization.pdf (1.05 MB)

2022-5-5 04:44:09 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 非线性 Optimization Quantitative

投资组合优化中的旋转眼镜和非线性约束。Andrecut2013Unlimited Analytics Inc.卡尔加里，AB，加拿大。andrecut@gmail.comAbstractWe讨论强制存款约束下的投资组合优化问题。最近有研究表明，由于这种非线性约束，解决方案由指数级的大量最优投资组合组成，彼此完全不同，对问题输入参数的任何变化都非常敏感，这使得理性决策的概念受到质疑。在这里，我们使用二次磁化约束重新描述了这个问题，并从物理学的角度证明，在恒定磁化范数的约束下，找到一个最优的投资组合可以计算随机伊辛模型的平均场磁化强度。我们讨论了模型r如何导出一个带有2N个解的问题，其中N是定义投资组合的资产数量。此外，为了说明我们的结果，我们给出了一个在纳斯达克市场交易的se veralrisky普通股投资组合的详细数字示例。1简介投资组合优化是经济分析和风险管理[1,2]中的一个重要问题，在某些非线性约束条件下，投资组合优化实际上映射为发现远程自旋玻璃基态的问题[3,4,5]。主要假设是，任何金融资产的回报都由一个随机变量描述，其预期均值和方差分别被解释为回报和投资风险。问题可以表述如下：给定一组金融资产，以其预期平均值和协方差为特征，确定每种资产的最佳权重，从而使整个投资组合为给定的总体回报提供最小的风险。

标准均值-方差优化问题有一个独特的解决方案，描述了（风险、回报）平面中所谓的“效率边界”[6]。预期收益是标准差（风险）的单调递增函数，对于接受更大的风险，投资者会获得更高的预期收益。最近有研究表明，包含强制存款（保证金账户）卖空的投资组合优化问题相当于发现长程伊辛自旋玻璃基态的问题，其中耦合常数与定义投资组合的资产的协方差矩阵有关[3,4,5]。作为这一非线性约束的一个序列，解决方案由指数级的大量最优投资组合组成，彼此完全不同，对问题输入参数的任何变化都极其敏感。因此，在这种限制下，理性决策的概念变得可疑，因为投资者有指数级的“选项”可供选择。在这里，我们使用非线性约束的二次公式来讨论投资组合优化问题。从物理学的角度来看，找到一个最优的投资组合相当于在恒定磁化范数的约束下计算随机伊辛模型的平均场磁化强度。我们表明，所提出的模型简化为一个问题，有2N个解，其中N是定义投资组合的资产数量。为了支持我们的结果，我们还对纳斯达克市场上交易的几只风险股票的投资组合进行了详细的数值计算。2非线性优化模型A投资组合是对N种资产进行的投资，预期收益为rn，协方差为nm=smn，N，m=1，2。。。，N

Wn表示投资于第n项资产的相对金额。WN的负值可以解释为卖空。投资组合的方差反映了投资的风险，它由以下公式给出：s=NXi=1NXj=1wiwjsij=wTSw，（1）其中w=[w，w，…，wN]是权重向量，s=[snm]是协方差矩阵。此外，投资组合的另一个特征是预期回报率：ρ=NXn=1wnrn=wTr，（2）其中r=[r，r，…，rN]是资产回报的向量。标准投资组合选择问题包括找到以下多目标优化问题的解决方案[1,2,6]：s=wTSw, （3） 马克斯ρ=wTr, （4） 受投资财富限制：NXn=1wn=1。（5） 正如引言中提到的，这个问题有一个唯一的解决方案，可以使用拉格朗日乘子[1,2,6]的方法得到。最近有研究表明，通过将投资财富约束（5）替换为强制性的存款约束，该问题无法再解析地解决[3-5]。约束考虑的是强制要求保留与标的资产价值成比例的特定存款（保证金），其形式为：γNXn=1 | wn |=W，（6）其中γ>0是定义保证金要求的分数，W是投资的总财富。作为约束非线性的直接结果，该问题的解数呈指数增长：n（n，ρ）~ exp（ω（ρ）N），（7），其中ω（ρ）是一个正数，取决于投资组合回报[3,4,5]。这些解决方案也完全不同，并且对问题输入参数的任何变化都非常敏感。因此，在更大的范围内，找到全局最优解成为一个令人望而却步的问题（NP问题）。现在，让我们使用一个q-uadratic函数来重新表述这个约束：γNXn=1wn=W。

（8） 因此，我们要求保留与资产二次价值成比例的特定存款。这相当于常数范数kwk=k=W/γ。此外，我们将多目标优化问题组合成一个拉格朗日目标函数，如下所示：minw，uF（w，λ，u）=λwTSw- (1 - λ） wTr- u（wTw）- （k）, （9） λ在哪里∈ [0,1]是风险规避参数，u是拉格朗日参数。如果λ=0，则解对应于收益最大的投资组合，而不考虑风险。在这种情况下，最优解决方案将仅由预期回报最大的资产形成。λ=1的情况对应于风险最小的投资组合，而不考虑预期收益的价值。在这种情况下，问题变成：minw，uF（w，1，u）=wTSw- u（wTw）- （k）, （10） 用方程给出的解：wF（w，λ，u）=2Sw- 2uw=0。（11） 这是一个标准的特征值问题：Sw=uw，（12），其中S是一个对称矩阵，具有N个实特征值和N个实特征向量。与最大特征值对应的特征向量将提供全局最优值，因为它具有较低的风险。任意值λ∈ （0,1）表示风险和回报之间的权衡。在这种情况下，解对应于拉格朗日的临界点，这也是以下方程组的解：wF（w，λ，u）=2λSw- (1 - λ） r- 2uw=0，（13）F（w，λ，u）u=wTw- k=0。（14） 可以看出，拉格朗日目标函数等价于具有随机耦合的伊辛模型的自由能Jnm=-2λsn和随机磁场hn=（1- λ） 注册护士。从物理学的角度来看，找到一个最佳投资组合相当于在恒定磁化范数的约束下计算该随机伊辛模型的平均场磁化强度Wn。

在下文中，我们证明了求解这一方程组会简化为一个非齐次本征问题。根据第一个等式，我们得到：w=（1）- λ） （λS）- uI）-1r。（15） 将这个结果引入到第二个方程中，我们得到：（1）- λ） rT（λS）- uI）-2r- 1 = 0. （16） 该方程的左侧是矩阵的舒尔补：M=“（λS- uI）（1）- λ） r（1）- λ） rT#。（17） 因为这个矩阵必须是奇异的（舒尔补是零），我们有：（λS）- uI）-(1 - λ） rrT= 0，（18）减少到：det(1 - λ） rrT- λS+2λuS- uI= 0.（19）显然，有一个向量w，这样：(1 -λ） rrT- λS+2λuS- uIw=0。（20） 这是一个非齐次N×N本征问题[7]，通过引入以下量，它可以进一步简化为2N×2N标准本征问题：u=uw，（21），因此我们有：(1 - λ） rrT- λSw+2λSu=uu.（22）通过将最后两个方程组合成矩阵表示，我们得到：“0 IA B#”wu#=u”wu#，（23）其中=（1）- λ） rrT- λS，（24）和b=2λS，（25）和0，I分别为零和单位矩阵。这个本征问题显然有2n个本征值u，可能是实的，也可能是复杂的。如果w是一个与真实特征值相关的真实最优投资组合，则相应的风险和回报由以下公式给出：s=√wTSw，ρ=wTr. （26）在上述等式中，我们将收益定义为标量积的绝对值。这是一个事实的结果，即特征向量只能确定到符号值，即[w，u]和-[w，u]表示对应于相同特征值u的特征向量。这意味着如果回报为负，我们可以简单地改变符号（w）→ -w） ，使返回值变为正。复杂投资组合的实部和虚部也是有效的投资组合，但它们是次优的，可能会被丢弃。

假设w=x+iy，其中x=Re（w）和y=Im（w），实部和虚部的风险和收益可以确定为：=√xTSx，ρx=xTr, （27）sy=pyTSy，ρy=yTr. （28）0 50 100 150 200 250 3002 3 4 5 7天日志（价格）AmznebayBintcscovzmstforcGoogyHoodellHPQfigure 1：资产价格（对数标度）。3数值示例为了说明上述结果，我们考虑了一个由来自IT行业的N=12普通股组成的投资组合的情况：AMZN、EBAY、FB、INT、CSCO、VZ、MSFT、ORCL、GOOG、YHOO、戴尔、，HPQ（29）这些股票在过去T=300个交易日的每日价格历史记录被用来估计平均回报和协方差矩阵。资产的日收益率计算为：R（n，t）=P（n，t+1）- P（n，t）P（n，t），（30），其中t=1，2。。。，T是日指数，P（n，T）是截止日T的资产价格。估计的平均收益率和协方差为：rn=TTXt=1R（n，T），n=1，2。。。，N、 （31）0 50 100 150 200 250 300-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3每日收益SamznebayfBintcscovzmstforclgoogyhoodellHPQ图2：资产的每日收益。sij=TTXt=1[R（i，t）- ri][R（j，t）- rj]，i，j=1，2。。。，N.（32）所考虑的时间段内资产价格的时间序列如图1所示。在图2中，我们还给出了资产的预期每日收益。风险规避参数λ离散为λt=t/t，t=0，1。。。，T，其中T=1000。此外，确定保证金要求的分数设置为γ=1。因此，通过求解λ的每个值的特征问题，我们可以得到2NT=24000个特征值和包含投资组合权重的特征向量。图3显示了这些复杂解决方案的风险回报率（s，ρ），也显示了投资组合中包括的股票的风险回报值。

实贡献（sx，ρx）以蓝色显示，而虚贡献（sy，ρy）以红色显示。图4中提取了对应于实特征值的纯实解。这里我们还展示了最大夏普比率ξ=ρ/s的投资组合，夏普比率代表了风险单位的预期收益[1,2]。夏普比率ξ最大的投资组合每单位风险的预期回报最高，因此是最“风险效率”的投资组合。4结论我们考虑了当允许对相对大量的资产进行多头买入和卖空时，具有强制性depositis约束的投资组合优化问题。最近有研究表明，由于这种非线性约束，解决方案由指数级的大量最优投资组合组成，彼此完全不同，对问题输入参数的任何变化都极其敏感，这使得理性决策的概念受到质疑。在这里，我们使用二次磁化约束重新表述了这个问题，并且我们已经表明，从物理学的角度来看，发现非最优投资组合相当于计算具有恒定磁化范数约束的随机伊辛模型的平均场磁化。我们已经证明，该模型简化为一个特征问题，有2N个解，其中N是定义投资组合的资产数量。

Als o，为了说明我们的结果，我们给出了一个在纳斯达克市场交易的几个高风险普通股投资组合的详细数字示例。0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.0350.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005risk，sreturn，ρspamznebayBintcscovzmstforclgoogyhoodellhpqfigure 3：具有二次强制存款约束的投资组合优化问题的复杂解（蓝色=实部，红色=虚部）。SP是夏普比率最大的投资组合。0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.0350.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Risk，sreturn，ρspamznebayBintcscovzmstforclgoogyhoodellhpqfigure 4：二次强制存款约束下投资组合优化问题的实解。SP是夏普比率最大的投资组合。参考文献[1]H.Markovitz，《投资组合选择：有效的投资多元化》，纽约威利，1959年。[2] E.J.埃尔顿，M.J.格鲁伯，S.J.布朗，W.N.戈茨曼，《现代投资组合理论与投资分析》，第8版，威利，纽约，2010年。[3] S.Galluccio，J.-P.Bouchaud，M.Potters，理性决策，随机矩阵和自旋眼镜，Physica A 259449-456（1998）。[4] A.Gabor，I.Kondor，《具有非线性约束和自旋眼镜的投资组合》，Physica A 27422-228（1999）。[5] L.Bongini，M.Degli Esposti，C.Giardin，A.Schianchi，卖空和自旋玻璃组合优化，欧洲物理杂志B27263–272（2002）。[6] G.Cornuejols，R.Tutuncu，《金融中的优化方法》，剑桥大学出版社，剑桥，2007年。[7] R.M.M.Mattheij，G.Soderlind，关于非齐次特征值问题。一、 线性代数及其应用88-89507-531（1987）。